第10讲协方差与相关系数

1、 ijijiipYEyXExYX)()(),(Cov dxdyyxfYEyXExYX),()()(),(Cov0,1,X 表表示示第第一一次次取取黑黑球球, ,表表示示第第一一次次取取白白球球. .0,1,Y 表表示示第第二二次次取取黑黑球球, ,表表示示第第二二次次取取白白球球. .122()01333E X 122( )01333E Y 221224Cov(,)(0) (0)(0) (1)33153315X Y 224222(1) (0)(1) (1)3315335245 122()01333E X 122( )01333E Y xy221,1,( , )0,xyf x y 其其它它. .

2、()( , )E Xxf x y dxdy 22110 xyxdxdy 2211( )( , )0 xyE Yyf x y dxdyydxdy Cov(,)()( ) ( , )X YxE XyE Yf x y dxdy 22110 xyxy ()( )EXE XYE Y()( )() ( )EXYYE XXE YE X E Y()( ) ()() ( )() ( )E XYE Y E XE X E YE X E Y()() ( )E XYE X E Y()() ( )E XYE X E YCov(,)X Y0,1,X 表表示示第第一一次次取取黑黑球球, ,表表示示第第一一次次取取白白球球.

3、.0,1,Y 表表示示第第二二次次取取黑黑球球, ,表表示示第第二二次次取取白白球球. .122()01333E X 122( )01333E Y 544()01999E XY Cov(,)()() ( )0X YE XYE X E YCov(,)()() ( )Cov( ,)X YE XYE X E YY X22Cov(,)()()()X XE XE XD X()()( )2 ()( )D XYD XD YEXE XYE YCov(,)()()() ()aX bYE aXbYE aX E bY()() ( )ab E XYE X E YCov(,)XY Z ()()( ) ()E XZYZE

4、 XE YE Z()()() ()( ) ()E XZE YZE X E ZE Y E Z()() ()()( ) ()E XZE X E ZE YZE Y E ZCov(,)Cov( ,)X ZY Z() () ()EXY ZE XY E Z|Cov(,)|()( )X YD XD Y 2()( )2 Cov(,)()D YtXD YtX Yt D X()0D YtX2( )2 Cov(,)()0D YtX Yt D X24Cov(,)4 () ( )0X YD X D Y|Cov(,)|()( )X YD XD Y ()0D YtX|Cov(,)|()( )X YD XD Y ()1P Y

5、tXC()1P YtXCCov(,)()( )X YD XD YXY | 1XY | 1()1XYP YabX 22,min() (1) ( )XYa beE YabXD Y 0,1,X 表表示示第第一一次次取取黑黑球球, ,表表示示第第一一次次取取白白球球. .0,1,Y 表表示示第第二二次次取取黑黑球球, ,表表示示第第二二次次取取白白球球. .122()01333E X 122( )01333E Y 2Cov(,)45X Y 122()01333E X 122( )01333E Y 2Cov(,)45X Y 222122()01333E X222()()()9D XE XE X222(

6、)()( )9D YE YE YCov(,)()( )XYX YD XD Y 15 0,1,X 表表示示第第一一次次取取黑黑球球, ,表表示示第第一一次次取取白白球球. .0,1,Y 表表示示第第二二次次取取黑黑球球, ,表表示示第第二二次次取取白白球球. .122()01333E X 122( )01333E Y 544()01999E XY Cov(,)()() ( )0X YE XYE X E Y0XY 221122(,;,; )N 211(,)XN 222(,)YN 21222112()11( , )exp2(1)21xf x y 21222122()()()2xyy 22112222

7、21122()()()()122(1)xxyy 2212122121()122(1)xyx Cov(,)()( )X YEXE XYE Y12()() ( , )xyf x y dxdy 211(,)XN 222(,)YN 2212122211()122(1)12212()()21xyxxyedxdy 1212,xyuv12,dxdu dydv222122(1)12221uvuuvedudv 221122(,;,; )N 222122(1)12221uvuuvedudv Cov(,)()( )X YEXE XYE Y2(,1)Nu 2(,1)Nu 222()2(1)212211221vuuue

8、duvedv 12 211(,)XN 222(,)YN 221122(,;,; )N 2221212uuedu Cov(,)()( )X YEXE XYE Y211(,)XN 222(,)YN 221122(,;,; )N 2221212uuedu 12 Cov(,)()( )XYX YD XD Y0XY ()kE X() kEXE X klE X Y() ( ) klEXE XYE Y12(,)nXXXCov(,)()()ijijiijjcXXEXE XXE X111212122212nnnnnnccccccCccc 12(,)nXXXijjiccC是是对对称称矩矩阵阵1C 进进一一步步可可

9、以以证证明明存存在在221122(,;,; )N 2111(,)XN 2222(,)XN 2211221212(),(),Cov(,)D XD XXX 11122122ccCcc 21122122 21112222112()11(,)exp2(1)21xf xx 2112222122()()()2xyx 22212det(1)C 2211222221122()()()()122(1)xxyy 2112111122222212211(,)2(1)1xxxx 1122,xXx 22212det(1)C 1122()xXx 2112121122222222121211(,)2(1)xxxx 2212

10、21211()()2detTXXC 2212212111()()2detTXXC 11()()2TXCX 2211222221122()()()()122(1)xxyy 2211221222122121CC 221122(,;,; )N 2111(,)XN 2222(,)XN 2211221212(),(),Cov(,)D XD XXX 11122122ccCcc 21122122 21112222112()11(,)exp2(1)21xf xx 2112222122()()()2xyx 1122,xXx 12/21/211exp()()(2 )(det)2TXCXC 12(,)nXXX111

11、212122212nnnnnnccccccCccc 12(,)nXXX12,nxxXx 11222()(),()nE XE XE X 1122/21/211(,)exp()()(2 )(det)2Tf x xXCXC 12(,)nf x xx1/21/211exp()()(2 )(det)2TnXCXC 12(,)nXXX12(,)nXXX1122nnl Xl Xl X12(,)nXXX12,nXXX12, ,nl ll12(,)nXXX12,kY YY(1,2, )jXjn 12(,)nY YY12(,)nXXX12,XX,nX12,nXXX22(,) (1,3 ;0,4 ; 0.5)X Y

12、N 2(1,3 )XN()1,()9E XD X2(0,4 )YN( )0,( )16E YD Y()()32XYE ZE111()( )323E XE Y()()32XYD ZD()()2Cov(,)3232XYX YDD1111()( )2Cov(,)9432D XD YX Y111()( )()( )943XYD XD YD XD Y 22(,) (1,3 ;0,4 ; 0.5)X YN 2(1,3 )XN()1,()9E XD X2(0,4 )YN( )0,( )16E YD Y()()32XYE ZE111()( )323E XE Y()()32XYD ZD()()2Cov(,)3232XYX YDD111()( )()( )943XYD XD YD XD Y 111916( 0.5)3 43943 1( ,3)3ZN2(1/3)2 31( )23zZfze Cov(,)X Z11Cov(,)3