流体力学-第1章

1、第第4章章 流体动力学基础流体动力学基础 流体的运动微分方程流体的运动微分方程元流的伯努利方程元流的伯努利方程伯努利方程伯努利方程方程方程伯努利方程伯努利方程无旋流动无旋流动流体的运动微分方程流体的运动微分方程分析微元六面体受力，根据牛顿第二定律，得：分析微元六面体受力，根据牛顿第二定律，得：tuzyxzyxXzyxxupxxppxxdddddddddd)2d()2d(tuxpXxdd1化简得：化简得：tuypYydd1同理：同理：tuzpZzdd1zuuyuuxuutuzpZzuuyuuxuutuypYzuuyuuxuutuxpXzzzyzxzyzyyyxyxzxyxxx111uutupf)

2、(1或写为或写为0zuyuxuzyx连续性微分方程连续性微分方程理想流体运动微分方程，理想流体运动微分方程，又称为欧拉运动微分方程又称为欧拉运动微分方程1、运动流体的应力、运动流体的应力理想流体：理想流体：只有法向应力（动压强），没有切应力只有法向应力（动压强），没有切应力粘性流体：粘性流体：既有法向应力，又有切应力既有法向应力，又有切应力),(tzyxpp zzzyzxyzyyyxxzxyxxppp)(31yyyyxxpppp定义：动压强定义：动压强),(tzyxpp 则：则：2、应力和变形速度的关系、应力和变形速度的关系zuppppyuppppxuppppzzzzzyyyyyxxxxx22

3、2)()()(xuzuzuyuyuxuzxxzzxyzzyyzxyyxxy附加法向应力附加法向应力3、粘性流体运动微分方程、粘性流体运动微分方程zuuyuuxuutuuzpZzuuyuuxuutuuypYzuuyuuxuutuuxpXzzzyzxzzyzyyyxyyxzxyxxxx222111向量表示：向量表示：uutuupf)(12又称又称纳维纳维-斯托斯托克斯方程克斯方程，简称简称N-S方程方程2222222zyx拉普拉斯拉普拉斯(Laplace)算子算子恒定元流的伯努利方程恒定元流的伯努利方程问题：问题：如何求如何求v的大小？的大小？一、一、理想流体恒定元流的伯努利方程 原理：原理：能量

4、守恒能量守恒1 1/22/00z1z2p1u1dtu2dtp2dA1dA2对象：对象：元流内元流内1，2断面间流体，断面间流体， dt时间后至时间后至1/ 2/。压力做功：压力做功：tQpptuAptuApdd)(dddd21222111动能增加：动能增加：)22(dd)22(dd21222122gugutQuutQ位能增加：位能增加：)(dd12zztQ压力做功等于机械能增加：压力做功等于机械能增加：)(dd)22(dddd)(12212221zztQgugutQtQppgupzgupz2222222111gupzgupz2222222111理想流体恒定元流的伯努利方程或称能量方程即：即：)

5、(22常数Hgupz方程中各项均有物理意义和几何意义，如下表：方程中各项均有物理意义和几何意义，如下表：bc1aa2cbH总水头线静水头线gu2/21gp/11zgu2/22gp/22z速速度度水水头头位位置置水水头头压压强强水水头头总总水水头头 不可压缩理想流体在重力不可压缩理想流体在重力场中作恒定流动时，沿流线单场中作恒定流动时，沿流线单位重力流体的总水头线为一平位重力流体的总水头线为一平行于基准线的水平线。行于基准线的水平线。翼型动画翼型动画2u2u二、二、皮托管-元流伯努利方程的应用 原理：原理：弯成直角的玻璃管两端开口，一端的开口面向来流，弯成直角的玻璃管两端开口，一端的开口面向来流

6、，另一端的开口向上，管内液面高出水面另一端的开口向上，管内液面高出水面h，水中的，水中的A端距离端距离水面水面H0。BAhvH0由由B至至A建立伯努利方程建立伯努利方程ABBpgvp220HpB)(0hHpA v2)(2ghppgvBAB皮托管：皮托管：v) 1(2)(2hgppgvpBA 静压管与皮托管组合成一体，由差压计给出总压和静压静压管与皮托管组合成一体，由差压计给出总压和静压的差值，从而测出测点的流速。的差值，从而测出测点的流速。p 是压差计所用液体容重是压差计所用液体容重hv考虑误差修正，引入流速系数考虑误差修正，引入流速系数 v2ghvBv) 1(2hgvp1例例1 用毕托管测量

7、（用毕托管测量（1）风道中的空气流速；（）风道中的空气流速；（2）管道中水）管道中水流速。两种情况均测得水柱流速。两种情况均测得水柱h=3cm。空气的容重。空气的容重=11.8N/m3； 值取值取1，分别求流速。，分别求流速。解解：（：（1）风道中的空气流速为风道中的空气流速为 m/s 1 .2203. 0) 18 .119807( 8 . 92) 1(2vhgvp（2）管道中水流速为管道中水流速为m/s 77. 003. 08 . 922vghv三、三、实际流体恒定元流的伯努利方程实际流体恒定元流的伯努利方程实际流体存在粘性，粘性阻力做负功，故：实际流体存在粘性，粘性阻力做负功，故：whgu

8、pzgupz2222222111称为水头损失 wh恒定总流的伯努利方程恒定总流的伯努利方程思考：思考： 静止液体压强分布静止液体压强分布Cgpz运动液体压强分布？运动液体压强分布？应与重力，粘性力，惯性力应与重力，粘性力，惯性力处于动态平衡处于动态平衡直线惯性力，离心惯性力直线惯性力，离心惯性力一、流动分类一、流动分类均匀流：流线平行的流动均匀流：流线平行的流动不均匀流：不均匀流：缓变流急变流缓变流急变流缓变流急变流缓变流急变流缓变流急变流均匀流均匀流缓变流：流线近于平行的流动缓变流：流线近于平行的流动急变流：流向变化显著的流动急变流：流向变化显著的流动渐变流过流断面的压强分布渐变流过流断面的

9、压强分布Cgpz例例2 水在倾斜管中流动，用水在倾斜管中流动，用U形水银压力计测量形水银压力计测量A点压强，点压强，压力计所指示的读数如图，求压力计所指示的读数如图，求A点压强。点压强。EAD30cm60cm解：解：kPa 1 .348 . 96 . 08 . 96 .133 . 06 . 03 . 0水水银ApE、A、D在同一水平面上，分析其压强关系？在同一水平面上，分析其压强关系？DAEppp不计水头损失时：不计水头损失时：DAEppp恒定总流的伯努利方程恒定总流的伯努利方程元流：元流：whgupzgupz2222222111总流：总流：dQhgupzdQgupzAwA12)2()2(22

10、222111缓变流截面缓变流截面常数gpzQgpzdQpzA)()(QgvdAgvdAgudQguAAA222223321133dAuAvAwhgvpzgvpz2222222211111 1、2 2两断面间平均单位重量流体能量损失两断面间平均单位重量流体能量损失QhdQhwAw总流伯努利（能量方程）总流伯努利（能量方程）动能修正系数动能修正系数gvpzH2 2定义表示断面单位重量流体的平均机械能表示断面单位重量流体的平均机械能whgvpzgvpz222222221111应用条件应用条件1恒定流恒定流2不可压缩流体不可压缩流体31、2断面为渐变流断面断面为渐变流断面4 无能量输入或输出无能量输入

11、或输出注意注意：断面上的压强：断面上的压强 p 和位置高度和位置高度 z 必须取同一点的值，必须取同一点的值， 该点可以在断面上任取该点可以在断面上任取三、三、总流伯努利方程的物理意义和几何意义总流伯努利方程的物理意义和几何意义方程中各项均有物理意义和几何意义，如下表：方程中各项均有物理意义和几何意义，如下表：2v断面上某点（计算点）单位断面上某点（计算点）单位重量流体的位能重量流体的位能断面上所取计算点单位重量断面上所取计算点单位重量流体的压能流体的压能总流过流断面上单位重量总流过流断面上单位重量流体的平均势能流体的平均势能,位置高度位置高度,测压管高度测压管高度,平均流速高度平均流速高度总

12、流过流断面上单位重量总流过流断面上单位重量流体的平均动能流体的平均动能总流过流断面上单位重量总流过流断面上单位重量流体的平均机械能流体的平均机械能2vwh总流两过流断面间单位重量总流两过流断面间单位重量流体平均的机械能损失流体平均的机械能损失水头损失水头损失几种工况：几种工况：1、有能量输入、有能量输入wihgvpzHgvpz222222221111有能量输出有能量输出wohHgvpzgvpz2222222211112、有分流、有分流21222222111122whgvpzgvpz31233332111122whgvpzgvpz112233伯努利方程的应用伯努利方程的应用连续性方程连续性方程伯

13、努利方程伯努利方程解决流速、压强的计算问题解决流速、压强的计算问题1、解题步骤：分析流动，划分断面，选择计算点，、解题步骤：分析流动，划分断面，选择计算点， 选择基准面，列出方程选择基准面，列出方程例例3 如图用直径如图用直径d=100mm的管道从水箱中引水。如水箱中的的管道从水箱中引水。如水箱中的水面恒定，水面高出管道出口中心的高度水面恒定，水面高出管道出口中心的高度H=4m，管道的损失，管道的损失假设沿管长均匀发生，假设沿管长均匀发生， 。求（。求（1）通过管道的流速）通过管道的流速v和流量和流量（2）管道中点）管道中点M的压强的压强pMgvh2321M1m4m221100解：分析的关键是

14、解：分析的关键是“三选三选”（1）列）列1-1、2-2断面间的伯努利方程断面间的伯努利方程whgvpzgvpz222222221111gvgv23200004221 取122gv流量、水头问题流量、水头问题m/s 43. 4vm/s 0.03541 . 014. 343. 42 vAQM1m4m221100（2）列）列M、2-2断面间的伯努利方程断面间的伯努利方程gvgvgvpM22320021222122gv5 . 0MpkPa 9 . 4Mp2、文丘里流量计文丘里流量计原理：文丘里管由渐缩段、喉管和渐扩段组成，在入口前原理：文丘里管由渐缩段、喉管和渐扩段组成，在入口前直管段上的截面直管段上

15、的截面1 1和喉部截面和喉部截面2 2两处测量静压差，根据此静两处测量静压差，根据此静压差和两截面的截面积可计算管道流量。压差和两截面的截面积可计算管道流量。由由1 1至至2 2建立伯努利方程建立伯努利方程gvpzgvpz22222221112211AvAv12h/hz zhpzpz)()(2211hgvgv222122流速：流速：1)(21)(24212211ddhgAAhgv体积流量：体积流量：1)(244212111ddhgdAvQ定义常数：定义常数：1)(2442121ddgdKhKQ文丘里流量系数文丘里流量系数0.950.950.980.98hKQ) 1(例例4 设文丘里的两管直径为

16、设文丘里的两管直径为d1=200mm, d2=100mm，测得两断面，测得两断面的压强差的压强差h=0.5m，流量系数，流量系数=0.98，求流量。，求流量。解：解：sddgdK/m 036. 0128 . 922 . 0414. 31)(240.25442121L/s 25/sm 025. 05 . 0036. 098. 03hKQ例例5 如图大气压强为如图大气压强为97kN/m2，收缩段的直径应当限制在什么，收缩段的直径应当限制在什么数值以上，才能保证不出现空化。不考虑损失，水温为数值以上，才能保证不出现空化。不考虑损失，水温为40 C ，此温时此温时=9.73kN/m3，气化压强，气化压

17、强p/ /=7.38 kPa。解：解：7m10md=150mmdc?d=150mm列水面和收缩断面的伯努利方程列水面和收缩断面的伯努利方程gvc273. 938. 70073. 99772m 21.1622gvc列水面和出口断面的伯努利方程列水面和出口断面的伯努利方程gv200001021022gv根据连续方程得根据连续方程得22ccdvvdmm 13321.16/101504ccvvdd故直径应大于故直径应大于133mm才能保证不出现空化才能保证不出现空化 【例【例6】 有一贮水装置如图所示，贮水池足够大，当阀有一贮水装置如图所示，贮水池足够大，当阀门关闭时，压强计读数为门关闭时，压强计读数

18、为2.8个大气压强。而当将阀门全开，个大气压强。而当将阀门全开，水从管中流出时，压强计读数是水从管中流出时，压强计读数是0.6个大气压强，试求当水个大气压强，试求当水管直径管直径d=12cm时，通过出口的体积流量时，通过出口的体积流量(不计流动损失不计流动损失)。gvpHa26 . 000022【解】【解】 当阀门全开时，列当阀门全开时，列1-l、2-2截面的伯努利方程截面的伯努利方程 当阀门关闭时，根据压强计当阀门关闭时，根据压强计的读数，应用流体静力学基本方程求出的读数，应用流体静力学基本方程求出值值apH8 . 2O)(mH 288 . 9988 . 28 . 22apH则：则：m/s

19、77.208 . 9986 . 0288 . 926 . 022gpHgva/sm 235. 077.2012. 0414. 343222vdQ 【例【例7】 水流通过如图所示水流通过如图所示管路流入大气，已知：形测压管路流入大气，已知：形测压管中水银柱高差管中水银柱高差h=0.2m，h1=0.72m H2O，管径，管径d1=0.1m，管嘴出口直径管嘴出口直径d2=0.05m，不计管，不计管中水头损失，试求管中流量中水头损失，试求管中流量Q。【解】【解】 首先计算首先计算1-1断面管路中心的压强。断面管路中心的压强。因为因为A-B为等压面，列等压面方程得：为等压面，列等压面方程得：11Hghp

20、hOmH 272. 02 . 06 .1321Hg1hhpgvpzgvpz2222222111列列1-1和和2-2断面的伯努利方程断面的伯努利方程2215m 由连续性方程：由连续性方程：22122141vddvvgvgv201521612202222m/s 1 .12151676 .192v/sm 024. 01 .1205. 04432222vdQ将已知数据代入伯努利，得：将已知数据代入伯努利，得：管中流量：管中流量：2215m作业：作业：7，8，11，12线和测压管水头线和测压管水头1、总水头线：、总水头线：gvpzH2 2定义总水头沿流向由各断面总水头连成的线，就是总水头线。沿流向由各断

21、面总水头连成的线，就是总水头线。特点：沿程降低特点：沿程降低2112lhHH水头损失（能量损失）水头损失（能量损失）沿程损失沿程损失局部损失局部损失绘法绘法沿管线均匀发生沿管线均匀发生铅直下降铅直下降2、测压管水头线：、测压管水头线：gvHpzHp2 2测压管水头沿流向将各断面测压管水头连成的线，就是测压管水头线。沿流向将各断面测压管水头连成的线，就是测压管水头线。特点：沿程可能升高，也可能降低，与流速的沿程变化有关。特点：沿程可能升高，也可能降低，与流速的沿程变化有关。 4条有能量意义的线：总水头线，测压管水头线，水流轴线条有能量意义的线：总水头线，测压管水头线，水流轴线 基准面线。基准面线

22、。dA测压管水头线测压管水头线总水头线总水头线gv22111p1zgv22222p2z21lh水流轴线水流轴线(1)水流轴线到基准面线之间的铅水流轴线到基准面线之间的铅 直距离是断面的位置水头直距离是断面的位置水头(2)测压管水头线到水流轴线之间测压管水头线到水流轴线之间 的铅直距离是断面的压强水头的铅直距离是断面的压强水头(3)总水头线到测压管水头线之间总水头线到测压管水头线之间 的铅直距离是断面的流速水头的铅直距离是断面的流速水头基准面线基准面线8.2m21211mMgv2/5 . 021入口损失gv2/5 . 321沿程损失gv2/1 . 022大小头损失gv2/222沿程损失例例8 水

23、流由水箱经前后相接的两管流出大气中。大小管断面的水流由水箱经前后相接的两管流出大气中。大小管断面的比例为比例为2:1。全部水头损失的计算式参见图。（。全部水头损失的计算式参见图。（1）求出口流速；）求出口流速；（2）绘总水头线和测压管水头线；（）绘总水头线和测压管水头线；（3）根据水头线求细管中点）根据水头线求细管中点M的压强的压强pM。解解：（：（1）列水面列水面1-1和出口和出口2-2断面断面的伯努利方程的伯努利方程2122200002 . 8lhgvgvgvgvgvhl2221 . 025 . 325 . 02222212121根据连续方程得根据连续方程得22112AAvv由上述三式解得

24、：由上述三式解得：, 2222gv, 5 . 0221gvm/s 26. 62v（2）m 25. 02/5 . 021gv入口损失m 75. 12/5 . 321gv粗管沿程损失m 2 . 02/1 . 022gv大小头损失m 42/222gv细管沿程损失28.2m2111mM绘水头线图如右：绘水头线图如右：（3）求）求pM422 . 075. 125. 02 . 84mm 1124MpkPa 8 . 9Mp从例题可以看出，水头线为直线从例题可以看出，水头线为直线段之间的连线，绘图的关键在于段之间的连线，绘图的关键在于确定端点数值。确定端点数值。, 2222gv, 5 . 0221gv伯努利方

25、程伯努利方程21222222111122lhgvpzgvpz总流伯努利方程：总流伯努利方程：气体一般用压强气体一般用压强因次表示：因次表示：212222211122lpvpzvpz212121, 1llhp 式中压强是式中压强是绝对压强还是绝对压强还是相对压强？相对压强？1122az1z2 对于液体流动，伯努利方程中的压强用对于液体流动，伯努利方程中的压强用相对压强也可。相对压强也可。为什么？为什么？ 对于气体流动，用相对压强必须考虑对于气体流动，用相对压强必须考虑不同高度大气压的不同。推导如下：不同高度大气压的不同。推导如下：11pppa2122)(pzzppaa2122212221112)

26、(2lapvpzzzvpz21222122112)(2lapvpzzvp 绝对压强绝对压强!21222122112)(2lapvpzzvp相对压强表示的伯努利方程（能量方程）相对压强表示的伯努利方程（能量方程）简化为很小时当,)(12zza2122221122lpvpvp物理意义物理意义：p 静压静压。不能理解为静止流体的压强。不能理解为静止流体的压强。22v 动压动压)(12zza 位压位压。是以。是以2断面为基准量度的断面为基准量度的1断面的单位体积断面的单位体积 位能。可正可负。位能。可正可负。21lp 1-2断面间的压强损失断面间的压强损失定义：定义：势压势压 ps：静压与位压之和。：

27、静压与位压之和。)(12zzppas全压全压 pq：静压与动压之和。：静压与动压之和。2q21vpp总压总压 pz：静压、动压与位压之和。：静压、动压与位压之和。)(21122zzvppaz【例【例9】气体由压强为】气体由压强为12mmH2O的静压箱的静压箱A，经过直径为，经过直径为10cm，长度为长度为100m的管的管B流出大气中，高差为流出大气中，高差为40m，如图。沿程均匀作用，如图。沿程均匀作用的压强损失为的压强损失为 。当。当(1)气体为与大气温度相同的空气气体为与大气温度相同的空气(=1.2kg/m3)时；时；(2)气体为气体为=0.8kg/m3的燃气时。分别求管中流的燃气时。分别

28、求管中流速，流量，及管长一半处速，流量，及管长一半处B点的压强。点的压强。292vpl【解】【解】 伯努利方程为：伯努利方程为：100m40mABC12mm21222122112)(2lapvpzzvp（1）对）对A、C断面断面22 . 1922 . 1000128 . 922vvm/s 43. 46 .19v/sm 0.0350.1443. 432Q对对A、B断面断面22 . 12922 . 10128 . 922vvpBPa 92.526 .196 . 05 . 5128 . 9Bp（2）对）对A、C断面断面28 . 0928 . 0040)8 . 02 . 1 (8 . 90128 .

29、922vvm/s 28. 878 . 9v/sm 0.0650.1428. 832vAQ对对B、C断面断面28 . 02928 . 0020)8 . 02 . 1 (8 . 928 . 0222BvvvpPa 08.4588 . 978 . 94 . 05 . 4Bp【例【例10】如图所示，空气由炉口】如图所示，空气由炉口a流入，通过燃烧后，废气经流入，通过燃烧后，废气经b、c、d由烟囱流出。烟气由烟囱流出。烟气=0.6kg/m3 ，空气，空气=1.2kg/m3)，由，由a到到c的压强损失换算为出口动压为的压强损失换算为出口动压为 ，由，由c到到d的压强损失的压强损失为为 。求。求 (1)出口

30、流速；出口流速； (2) c处静压处静压pc。292v【解】【解】 对对a、d列伯努利方程列伯努利方程2202v26 . 0)209(26 . 0050)6 . 02 . 1 (8 . 90022vvm/s 72. 53/108 . 9v 对对c、d列伯努利方程列伯努利方程26 . 02026 . 00)550()6 . 02 . 1 (8 . 926 . 0222vvvpcPa 6 .6878 . 9cpabcdv50m5m0m作业：作业：13，14恒定总流的伯努利方程恒定总流的伯努利方程方程方程动量定理动量定理：11/1 1/222/2/)(ddvmtF取取1-1,2-2断面间为断面间为控

31、制体控制体(是根据问题是根据问题需要所选择的固定空间体积需要所选择的固定空间体积)任取元流，可得：任取元流，可得：11112222dddd)(duAtuuAtuvm条件条件：恒定总流，：恒定总流，1、2断面为渐变流断面断面为渐变流断面(流速方向近于平行，流速方向近于平行， 也是平均流速方向也是平均流速方向)，因此：，因此：tvvQtvQvQAtvvAtvvAtuuAtuuvmAAAAd)(d)(dddddddd)(d1122111122221111122222111122221212平均化平均化不可压缩不可压缩)(1122vvQF1 ,05. 102. 1 22常取AvdAuA直角坐标系中的分

32、量式：直角坐标系中的分量式：)()()(112211221122zzzyyyxxxvvQFvvQFvvQF求解步骤求解步骤: (1)建立坐标系建立坐标系, 标出控制体标出控制体 (2)分析控制体所受到的力分析控制体所受到的力 (3)分析动量的变化分析动量的变化 (流出减流进流出减流进, 速度投影有正负速度投影有正负) (4)注意作用力是谁施予谁注意作用力是谁施予谁(可利用牛顿第三定律可利用牛顿第三定律)恒定总流动量方程恒定总流动量方程例例11 水平弯管，水平弯管，p1=98kPa ，v1=4m/s，d1=200mm，d2=100mm =450 不计水头损失不计水头损失求求: 水流作用于弯管上的

33、力水流作用于弯管上的力 解解: 设弯管壁对水流的作用设弯管壁对水流的作用 力为力为Rx，Ry 由连续性方程由连续性方程 , 得得/sm 126.02.044m/s 16444321112222121AvQvvvdvd列列1-2伯努利方程伯努利方程kPa 95.21m 24.28 .92168 .92410008 .998000222222222211ppgvpgvpRyxp102p2yv2v1211Rx列列x方向动量方程方向动量方程)cos(cos11222211vvQRApApxRyxp102p2yv2v1211RxkN 28. 245cos05. 014. 3)95.21(1 . 014. 398)445cos16(126. 01cos)cos(22221112ApApvvQRx列列y方向动量方程方向动量方程)0sin(sin2222vQRApy利用牛顿第三定律利用牛顿第三定律, 可得到水流对管壁的作用力可得到水流对管壁的作用力, R/x=2.28kN R/y=- -1.30kN，并可求得合力，并可求得合力R/=2.62kN，合力与，合力与x方向夹角方向夹角为为- - 29.7。kN 30.145sin05.014.395.2145sin16126.01sinsin2222ApQvRyhcP0PcHR0 0 xccz0例例12