第5章特征值与特征向量

1、-2-矩阵的特征值与特征向量都有着广泛和重要的应用。如：矩阵的特征值与特征向量都有着广泛和重要的应用。如：工程技术中的振动问题工程技术中的振动问题;数值计算中的稳定性问题；数值计算中的稳定性问题；经济学中的主成分分析经济学中的主成分分析(PCA);微分方程组的求解微分方程组的求解;搜索引擎中的网页排序搜索引擎中的网页排序 .-3- 引例引例1 1 (物种繁衍问题物种繁衍问题) 假设刚出生的雌雄一对小兔过两个假设刚出生的雌雄一对小兔过两个月就能生下雌雄一对小兔月就能生下雌雄一对小兔, 此后每月生下一对雌雄小兔此后每月生下一对雌雄小兔. 如果如果养了初生的一对小兔养了初生的一对小兔, 问问 k 个

2、月后共可得多少对兔子个月后共可得多少对兔子. :1,1,2,3,5,8,13,21,kF它满足（令它满足（令 ）00F 11,1,2,kkkFFFk(1)解解 设第设第 个月共有个月共有 对兔子对兔子. 则数列则数列 为为kFkkF上述数列上述数列 称为称为斐波那契（斐波那契（Fibonacci）数列）数列 .方程方程(1)称称为为差分方程差分方程.kF如何求解差分方程如何求解差分方程(1)？-4-经计算得经计算得通过矩阵特征值与特征向量的知识可求得通过矩阵特征值与特征向量的知识可求得11515225kkkF12144F 182584F 1111,1,2,10kkkkFFkFF10111,01

3、0kkkFxxAF 由由记记1kkxAx0kkxA x则则-5-引例引例2 (条件极值问题条件极值问题) 设 n 元函数 12,1( ,)nnijiji jf x xxa x x这里这里 .求求 f 在单位球面在单位球面ijjiaa222121nxxx上的最大值与最小值上的最大值与最小值. 解解 记对称矩阵记对称矩阵 , ,向量向量 , ,则函数则函数 f 可写成可写成 ()ijn nAaT12,nxx xxT( )f xx Ax这种函数是我们下一章要重点学习的这种函数是我们下一章要重点学习的二次型二次型.-6-上述问题就归结为下面的条件极值问题上述问题就归结为下面的条件极值问题TTmin(m

4、ax)( ). .1f xx Axstx x用用Lagrange乘数法得乘数法得 T,1Axx x xTT( )f xx Axx x如何求出满足上式的数如何求出满足上式的数 , 这将归结矩阵的特征值问题这将归结矩阵的特征值问题.这时这时-7-把把(1)改写为改写为0(1)A 0()0(2)EA定义定义设设 , 如果存在数如果存在数 和和向量向量 满足满足n nAC0CnC则称数则称数 为为A的的特征值特征值, 称称非零向量非零向量 为为A的对应于的对应于( (或属于或属于) )特征特征值值 的的特征向量特征向量. .00由由(2)得得00EA 是是A的特征值的特征值 0 是是A的属于特征值的属

5、于特征值 的特征向量的特征向量0是齐次方程组是齐次方程组 的非零解的非零解0()0EA x-8-121121( 1)( 1)nnnnnnncccc 由代数基本定理，由代数基本定理，n次代数方程在复数域上恰有次代数方程在复数域上恰有 n 个根个根(重根重根按重数计算按重数计算)。因此，。因此，n 阶方阵在复数域上恰有阶方阵在复数域上恰有 n 个特征值个特征值. 关于特征值、特征向量的讨论在复数域上进行关于特征值、特征向量的讨论在复数域上进行.记记称称 为为 A 的的特征多项式特征多项式，称，称 为为 A 的的特征方特征方程程. 由前面的分析，特征方程的根即为由前面的分析，特征方程的根即为A的特征

6、值的特征值.( )0AfEA( )AfnnnnnnaaaaaaaaaAEf212222111211)(-9-nnnnnnaaaaaaaaaAEf212222111211)(nnnnnnncccc)1()1(112211 (注：注： 可以求得可以求得 ， )nnaaac 22111Acn 称为称为 A 的的特征多项式特征多项式，而，而 称为称为 A 的的特征方程特征方程。0)( AEf -10-解特征方程解特征方程例例1 1求矩阵求矩阵 的特征值的特征值0110A21( )11fEA12i ,ii1 解解 求特征多项式求特征多项式2( )10f 得特征值为得特征值为-11-例例2 2111212

7、22nnnnaaaaaAa求矩阵求矩阵 的特征值的特征值.得得 A 的的 n 个特征值为个特征值为111222,nnnaaa问问 对角矩阵对角矩阵,下三角矩阵的特征值等于什么？下三角矩阵的特征值等于什么？解解 由由1122()()()nnaaaEA22anna11a-12-例例3 3366636669A求矩阵求矩阵 的特征值和特征向量的特征值和特征向量.366636669EA解解3663636101366303600123336663630313rr 31cc -13-1233,3 A 的特征值为的特征值为对于对于 ，解方程组，解方程组131()0EA x1066101360601166120

8、00EAEA 1323xxxx 同解方程组为同解方程组为 ，令，令 ，得基础解系，得基础解系31x T11,1,1因此，对应于特征值因此，对应于特征值 的所有特征向量为的所有特征向量为1111(0)kk-14-对于特征值对于特征值 ，解方程组，解方程组233 2()0EA x26661113666000666000EAEA 同解方程组为同解方程组为 ，令，令123xxx 得基础解系得基础解系2310,01xx T21, 1,0 ,T31,0, 1因此，对应于特征值因此，对应于特征值 的所有特征向量为的所有特征向量为233 2233kk23(,)k k 不同时为零-15-(1) 向量向量 满足满

9、足 , 0A0是是 A 的特征向量吗？的特征向量吗？(2) 实矩阵的特征值与特征向量一定是实的吗实矩阵的特征值与特征向量一定是实的吗?(4) 矩阵矩阵 A 是可逆矩阵的充要条件是是可逆矩阵的充要条件是 A 的所有特征值的所有特征值_.(5)设设 ，A 必有一个特征值为必有一个特征值为_.0AE(3) 设设 ，A 有一个特征值为有一个特征值为_.0A 设设 可逆可逆, A 的特征值一定不等于的特征值一定不等于_.AE(6) A 的特征值与的特征值与 的特征值有什么关系？的特征值有什么关系？TA(7) 一个特征值对应于几个特征向量一个特征值对应于几个特征向量?其中线性无关的特征其中线性无关的特征

10、向量有几个？向量有几个？-16-例例4 4 证明：一个特征向量只能对应一个特征值证明：一个特征向量只能对应一个特征值. 证证 假设假设 是是 A 的一个特征向量，其对应的特征值有两个的一个特征向量，其对应的特征值有两个 和和 .12移项移项12A 12()0, 120则则例例5 5 设设 ，证明，证明 A 的特征值只能是的特征值只能是0 0或或1.1.2AA 证证 设设 是是 A 的一个特征向量，对应的特征向量为的一个特征向量，对应的特征向量为 .则则22,AAA 由由2220AAOAA 20001或再再-17-性质性质1 1 A 与与 有相同的特征值有相同的特征值.TA性质性质2 2 设设

11、n 阶矩阵阶矩阵 A 的的 n 个特征值为个特征值为 ，12,n 2012( )mmzcc zc zc z是一多项式，则是一多项式，则2012( )mmAc Ec Ac Ac A的的 n 个特征值为个特征值为 12(), (), ()n 且对应的特征向量相同且对应的特征向量相同. 例如：设例如：设2阶矩阵阶矩阵A的两个特征值为的两个特征值为 ，则，则 的两个的两个特征值为特征值为1, 11,12A-18-性质性质3 3 设设 n 阶可逆矩阵阶可逆矩阵 A 的的 n 个特征值为个特征值为 ，12,n 则则 的的 n 个特征值为个特征值为 且对应的特征且对应的特征向量相同向量相同.1A11112,

12、n性质性质4 4 设设 n 阶可逆矩阵阶可逆矩阵 的的 n 个特征值为个特征值为 ，12,n ijAa则则121122(1)tr( )nnnaaaA12(2)nA-19-例例6 6 设设3阶矩阵阶矩阵A的三个特征值为的三个特征值为 , 求求1, 1,232AAE解解112AA AA 1232,A 1( )32232AAAEAAE 的三个特征值为的三个特征值为1()232, (1,2,3)iiiii 计算得计算得1231,3,3 123329AAE 因此因此矩阵矩阵-20-123123tr( )AA 4xy解解 由7147144yAx例例7 7 已知矩阵已知矩阵 的的3个特征值为个特征值为 ，3

13、,3,12得得14184944940108xxyxy解之解之求求 x，y.-21-定义定义 设设A，B都是都是 n 阶矩阵，若存在可逆矩阵阶矩阵，若存在可逆矩阵 P，使得，使得1P APB则称则称A与与B相似相似 ，记为，记为AB. 特别地，如果矩阵特别地，如果矩阵 A 与对角矩阵相似，则称与对角矩阵相似，则称 A 是是可对角可对角化的化的. 对对 A 进行的矩阵变换进行的矩阵变换 称为相似变换，其中称为相似变换，其中 P 称称为相似变换矩阵为相似变换矩阵.1PAP-22-相似变换的性质相似变换的性质(1) 相似关系是一种等价关系相似关系是一种等价关系(满足三条满足三条);(2) 设设AB,

14、则则 ； (3) 设设AB, 则则 ;(4)设设AB，则则 A 与与 B 有相同的特征值有相同的特征值;(5)设设AB，则则 ;(6)设设AB，则则 ;(7)设设AB，则则 与与 相似，其中相似，其中 是一多项式是一多项式; (8)设设AB，且且 A 可逆可逆, 则则 与与 相似。相似。tr( )tr( )ABEAEBAB( )A( )B1A1B( ) zrankrankAB-23- 解解20022311Aa12Bb例例1 1 设设 与与 相似，相似，求求 a 与与 b , 以及以及 A 的特征值的特征值.32( )(tr)(4)AfEAAaA 32( )(tr)(2)BfEBBbB由由 ，比

15、较两多项式的系数得，比较两多项式的系数得( )( )ABff11,ab 242 ,ab 42ab 解得解得0,2ab A的特征值即为的特征值即为B的特征值，它们是：的特征值，它们是：1,2, 2.-24- 由相似变换的性质知，相似变换保留了原矩阵的很多信息由相似变换的性质知，相似变换保留了原矩阵的很多信息. 我们的目标是把一个矩阵用相似变换变为最简单形状，其中特别我们的目标是把一个矩阵用相似变换变为最简单形状，其中特别地变为对角矩阵地变为对角矩阵. 下面我们重点讨论下面我们重点讨论.-25-n 阶矩阵阶矩阵 A 可对角化的充要条件是可对角化的充要条件是 A 有有 n 个线性无个线性无关的特征向

16、量。关的特征向量。证证 先证必要性先证必要性. 设设A可对角化，即存在可逆矩阵可对角化，即存在可逆矩阵P使得使得12,nP 记记 ，则，则1212,nnA 12n于是于是(1, )iiiAin 112diag(,)nP AP 上式说明，上式说明， 就是对应于特征值就是对应于特征值 的特征向量的特征向量.由于由于P是可逆矩是可逆矩阵，故阵，故 线性无关线性无关.ii12,n 把上述证明过程倒推即得充分性的证明把上述证明过程倒推即得充分性的证明.-26-1233,3 可验证可验证 线性无关，故线性无关，故A可对角化可对角化.见后面注见后面注123, 233EA第第1步步求特征值求特征值 即求即求

17、的基础解系的基础解系第第2步步 求线性无关的特征向量，求线性无关的特征向量，()0iEA xT1(1,1, 1)13T2(1, 1,0) ,T3(1,0, 1)233 366636669A例例2 2 讨论矩阵讨论矩阵 是否可对角化是否可对角化.若可以，求若可以，求可逆矩阵可逆矩阵P使使 为对角矩阵为对角矩阵. 1P AP参见参见5.1例例3-27-第第3步步 把线性无关的特征向量拼成可逆矩阵把线性无关的特征向量拼成可逆矩阵P.123111,110101P 第第4步步 写出相似变换及对角矩阵写出相似变换及对角矩阵.1333PAP 下面的定理告诉我们，本题中下面的定理告诉我们，本题中 的线性无关性

18、不的线性无关性不需要验证需要验证.123, -28- 不同特征值对应的线性无关的特征向量合并后仍是不同特征值对应的线性无关的特征向量合并后仍是线性无关的。线性无关的。即设即设 是矩阵是矩阵A的不同的特征值，又设的不同的特征值，又设 12,t 对应的线性无关的特征向量为对应的线性无关的特征向量为11(1)(1)(1)12,s对应的线性无关的特征向量为对应的线性无关的特征向量为22(2)(2)(2)12,s对应的线性无关的特征向量为对应的线性无关的特征向量为t( )( )( )12,tttts12(1)(1)(2)(2)( )( )111,tttiii仍是线性无关的。仍是线性无关的。则把这些特征向

19、量合并得到的则把这些特征向量合并得到的 个向量个向量12tsss-29- (可对角化的充分条件可对角化的充分条件) n 阶矩阵阶矩阵 A 如有如有 n 个不同的特个不同的特征值，则它有征值，则它有 n 个线性无关的特征向量，从而个线性无关的特征向量，从而 A 可对角化可对角化.-30-特征值特征值 对应的线性无关的特征向量的最大个数为对应的线性无关的特征向量的最大个数为irank()iisnEA称称 为特征值为特征值 的的几何重数几何重数.isi设设n阶矩阵阶矩阵A的所有不同的特征值为的所有不同的特征值为 ，则，则12,t 1212( )() ()()tnnnAtfEA这里这里 . 称称 为特

20、征值为特征值 的的代数重数代数重数 . 12tnnnnini也称也称 是是A的的 重特征值重特征值.ini-31-1iisn 单重特征值对应的线性无关的单重特征值对应的线性无关的 特征向量有几个特征向量有几个? 矩阵矩阵A的任一特征值的任一特征值 的代数重数的代数重数 与几何重数与几何重数 有下面关系：有下面关系：isini 矩阵矩阵A可对角化的充要条件是可对角化的充要条件是A的每个不同特征值的的每个不同特征值的代数重数与几何重数相等代数重数与几何重数相等.-32-122113221A例例3 3 矩阵矩阵 是否可角化？是否可角化？2( )33AfEA解解 由由得得A的特征值为的特征值为1233

21、,3 只需考察二重特征值只需考察二重特征值 的几何重数是否等于的几何重数是否等于2. 易知易知23 2rank2EA23 故二重特征值故二重特征值 的几何重数为的几何重数为 223rank12sEA A不可对角化不可对角化.-33-00111100Ax例例4 4 设设 ，问，问 x 为何值时，为何值时，A 可角化？可角化？ 201111111110EAx 解解 由由得得A的不同的特征值为的不同的特征值为121(),1() 二重单重110110110001101000EAxx A可对角化的充要条件是可对角化的充要条件是 ，即，即 .1rank321EA1x -34- 例例5 5 设设 A 是是

22、n 阶的幂等矩阵（即阶的幂等矩阵（即 ），证明），证明 A 必可对必可对角化，并求出相应的对角矩阵角化，并求出相应的对角矩阵.AA 2 ()rrnAEA证证 由前面的结果知由前面的结果知 A 的特征值只可能为的特征值只可能为 0 或或 1，且，且特征值特征值 的几何重数为的几何重数为 ，特征值，特征值 的几何的几何重数为重数为 .101( )snr A2()snr EA21故故 A 有有个线性无关的特征向量个线性无关的特征向量. 从而从而 A 可对角化可对角化.且相应的对角矩阵为且相应的对角矩阵为12( )()ssnr Anr EAn()diag(1,1,0,0)r A-35-例例1 1（见（

23、见5.1引例引例1） 求解差分方程：求解差分方程：0110,1,2,kkkFFFFk10111,010kkkFxxAF 1,kkxAx0kkxA x则则解解 记记直接计算直接计算 比较困难比较困难, 先把先把 A 对角化对角化. 计算得计算得 A 的特征值与特征的特征值与特征向量为向量为kA1211221515,1122-36-1212,11P 21112111P令令 则则且且111122,P APAPP2121111122211111kkkkkAPP1111121212121212121kkkkkkkk -37-1212111515225kkkkkF12144F 182584F 10kkkk

24、FxA xF111112121212121212110kkkkkkkk 得得例如例如注注 它们确实都是正整数它们确实都是正整数!再由再由-38-例例2 2 求解下面微分程组：求解下面微分程组：解解 记记则微分方程组可写成则微分方程组可写成12233123( )( )( )6116x txx txx txxx 112233( )( )010d( )( ) ,( ) ,001d( )( )6116x tx txx tx tx tAtx tx t d ( )( )dx tAx tt -39-令令 则则矩阵矩阵A是可角化的，可求得是可角化的，可求得312123ddd,2,3dddyyyyyyttt 即

25、即解得解得111ddddyxPPAxPAPyDytt1PAPD xPy 23112233,tttyc eyc eyc e1111123 ,21493PD -40-由由 ，得，得xPy 2311232321232331232349tttttttttxc ec ec exc ec ec exc ec ec e 123,c c c为任意常数为任意常数.-41- 例例3 3（马尔可夫链）一个汽车商出租四种类型的汽车：四（马尔可夫链）一个汽车商出租四种类型的汽车：四门轿车、运动车、小货车、多功能车（门轿车、运动车、小货车、多功能车（SUV）. 出租的租期为出租的租期为2年年. 统计表明统计表明, 80%现在租用轿车的顾客将在下一个租期继续租现在租用轿车的顾客将在下一个租期继续租用它用它, 10%现在租用运动车的顾客将改租轿车现在租用运动车的顾客将改租轿车, 5%现在租用小现在租用小货车的顾客将改租轿车货车的顾客将改租轿车, 5%现在租用现在租用SUV的顾客将改租轿车的顾客将改租轿车. 这些结果汇总在下表的第一行这些结果汇总在下表的第一行. 表中每二行、第三行、第四行表中每二行、第三行、第四行分别给出下一次租用运动车、小货车、分别给出下一次租用运动车、小货车、SUV的百分比的百分比. 轿车轿车运动车运动车小货车小货车SUV轿车轿车0.800.100.050.05运动车运