第2章__随机变量及其分布

1、第二章第二章 随机变量及其分布随机变量及其分布1 随机变量随机变量随机变量的概念随机变量的概念(1)l随机试验的可能结果不止一个随机试验的可能结果不止一个. .例如：考察投掷两颗骰子的随机试验，假设这两颗骰子是例如：考察投掷两颗骰子的随机试验，假设这两颗骰子是可以分辨的，其样本空间为：可以分辨的，其样本空间为：S = (1,1), (1,2), , (1,6), (2,1), (2,2), , (6,6)l在某些情况下，人们主要感兴趣的不是试验结果本身在某些情况下，人们主要感兴趣的不是试验结果本身，而而是与试验结果有关的某个数是与试验结果有关的某个数. .例如：如果人们关心两颗骰子掷出的点数之

2、和是否等于例如：如果人们关心两颗骰子掷出的点数之和是否等于7,实际上就不会在乎其结果是实际上就不会在乎其结果是(1,6)还是还是(2,5). . 有些随机试验的结果本身是一个数，例如：有些随机试验的结果本身是一个数，例如： 某出租车公司的电话订车中心，一天之内接到订车电某出租车公司的电话订车中心，一天之内接到订车电话的次数；话的次数； 某射手对一活动靶进行射击，到击中目标为止，所进某射手对一活动靶进行射击，到击中目标为止，所进行的射击次数；行的射击次数； 从一批灯泡中，任取一只，测定这只灯泡的寿命从一批灯泡中，任取一只，测定这只灯泡的寿命. . 有些随机试验的结果看起来与数量无关，例如：有些随

3、机试验的结果看起来与数量无关，例如： 投掷一枚硬币，其基本事件为投掷一枚硬币，其基本事件为“正面向上正面向上”、“反面反面向上向上”； 在有两个孩子的家庭中在有两个孩子的家庭中, ,考虑孩子的性别，其基本事件考虑孩子的性别，其基本事件为为“男男男男”、“男女男女”、 “女男女男”、 “女女女女”. . 如果我们将随机试验的结果数量化，使之与实数对应起如果我们将随机试验的结果数量化，使之与实数对应起来，我们就有可能利用数学分析的方法对随机试验的结果进来，我们就有可能利用数学分析的方法对随机试验的结果进行深入广泛的研究行深入广泛的研究. .随机变量的概念随机变量的概念(2)定义：定义：随机变量随机

4、变量是定义在样本空间是定义在样本空间 S 上的实值函数上的实值函数. .SSAB00.51P(B)P(A)01e1()X e2()X e2e是定义在样本空间是定义在样本空间 S 上的函数上的函数 ( )X 附注：附注：随机变量与普通函数有着本质的区别随机变量与普通函数有着本质的区别. . 随机变量是一种因变量（而非自变量），它的取值依赖于随机变量是一种因变量（而非自变量），它的取值依赖于样本点，所以其定义域是抽象的样本空间样本点，所以其定义域是抽象的样本空间. . 随机变量的取值随试验的结果而定，而试验各个结果的出随机变量的取值随试验的结果而定，而试验各个结果的出现有一定的概率，因而随机变量的

5、取值也有一定的概率现有一定的概率，因而随机变量的取值也有一定的概率. . 随机变量常用大写字母随机变量常用大写字母X, Y, Z, 表示，而以小写字母表示，而以小写字母x, y, z, 表示实数表示实数. . 若若 L 是一个实数集合，则集合是一个实数集合，则集合e | X(e) L表示样本空间表示样本空间 S 中满足中满足X(e) L的所有样本点组成的子集（随机事件）的所有样本点组成的子集（随机事件）. .实例实例1 掷一个硬币掷一个硬币, ,观察出现的结果观察出现的结果, ,共有两种情况共有两种情况: :),(1反反面面朝朝上上 e),(2正面朝上正面朝上 e若用若用X 表示掷一个硬币出现

6、正面的次数表示掷一个硬币出现正面的次数, ,则有则有)(1反反面面朝朝上上 e)(2正正面面朝朝上上 e0 01 1)(eX0)(1 eX1)(2 eX即即X(e)是一个随机变量是一个随机变量. .2311,2P XP e e 实例实例2 在有两个孩子的家庭中在有两个孩子的家庭中, ,考虑其性别考虑其性别, ,共有共有4 4个样个样本点本点: :1234(,),(,),(,),(,).eeee 男男男男男男 女女女女 男男女女 女女若用若用X表示该家庭女孩的人数时，则有表示该家庭女孩的人数时，则有,0)(1 eX, 1)(2 eX, 1)(3 eX,2)(4 eX可得随机变量可得随机变量 .,

7、 2, 1, 0)(4321eeeeeeeeeX231,Xe e 若假设男孩和女孩的出生率相等，则若假设男孩和女孩的出生率相等，则 2 离散型随机变量及其分布律离散型随机变量及其分布律离散型随机变量离散型随机变量定义：定义：若随机变量只能取有限个或可列个数值，则称为若随机变量只能取有限个或可列个数值，则称为离散型随机变量离散型随机变量. .随机变量随机变量 离散型随机变量离散型随机变量 非离散型随机变量非离散型随机变量 附注：附注：随机变量与普通函数有着本质的区别随机变量与普通函数有着本质的区别. . 随机变量是一种因变量（而非自变量），它的取值依赖于随机变量是一种因变量（而非自变量），它的取

8、值依赖于样本点，所以其定义域是抽象的样本空间样本点，所以其定义域是抽象的样本空间. . 随机变量的取值随试验的结果而定，而试验各个结果的出随机变量的取值随试验的结果而定，而试验各个结果的出现有一定的概率，因而随机变量的取值也有一定的概率现有一定的概率，因而随机变量的取值也有一定的概率. . 随机变量常用大写字母随机变量常用大写字母X, Y, Z, 表示，而以小写字母表示，而以小写字母x, y, z, 表示实数表示实数. . 若若 L 是一个实数集合，则集合是一个实数集合，则集合e | X(e) L表示样本空间表示样本空间 S 中满足中满足X(e) L的所有样本点组成的子集（随机事件）的所有样本

9、点组成的子集（随机事件）. .设离散型随机变量设离散型随机变量 X 的所有可能取值为的所有可能取值为 ，且且, 1,2,kkP Xxpk离散型随机变量的分布离散型随机变量的分布(1,2,)kxk 分布律分布律 显然，下列两个条件必定成立：显然，下列两个条件必定成立：(1) (2) 0, 1,2,kpk1211kkppp 也可以用表格的形式来表示也可以用表格的形式来表示1212nknXxxxpppp例：例：l对技术熟练的射手甲对技术熟练的射手甲l对新手乙对新手乙X和和Y 是不同的随机变量是不同的随机变量. .01200.20.8kXp0120.60.30.1kYp结论：概率结论：概率1 1，以不

10、同的方式分布到各可能取值，就确，以不同的方式分布到各可能取值，就确定不同的随机变量定不同的随机变量. .游戏规则：游戏规则：落在落在e0区域得区域得0分；分；落在落在e1区域得区域得1分；分；落在落在e2区域得区域得2分分2e1e0e例：例：已知随机变量已知随机变量 X 的概率分布描述如下：的概率分布描述如下：试求出试求出 X 的分布的分布. .21012320.160.31010kXaapa 例：例：若随机变量若随机变量X 只取常数值只取常数值a ，即，即 ，则称则称X 服从服从退化分布退化分布或或单点分布单点分布. .附注：附注：其实其实X 并不随机，但有时将它看作是随机变量更并不随机，但

11、有时将它看作是随机变量更为方便，这是概率集中在一点为方便，这是概率集中在一点a 处的退化情形处的退化情形. .1P Xa独立试验序列独立试验序列定义：定义：若一个随机试验只有两种可能结果：若一个随机试验只有两种可能结果： A（称为（称为“成功成功”）与）与A（称为（称为“失败失败”）, ,两者发生的概率分别为：两者发生的概率分别为： （成功概率）（成功概率）, , （失败概率），（失败概率），则此类试验称为成功概率为则此类试验称为成功概率为 p 的的伯努利试验伯努利试验. . AA( )P Ap ()1P Apq 定义：定义：将一个伯努利试验独立重复进行将一个伯努利试验独立重复进行 n 次次，

12、得到的试验，得到的试验序列称为序列称为 n 重伯努利试验重伯努利试验. .附注：附注：所谓所谓独立重复进行一个伯努利试验，是指独立重复进行一个伯努利试验，是指 每一次试验都是伯努利实验，只能发生每一次试验都是伯努利实验，只能发生 或或 . . “重复重复”是指在每次试验中成功概率是指在每次试验中成功概率 P(A) = p 保持不变保持不变. .“独立独立”是指每一次试验的结果互不影响，即若以是指每一次试验的结果互不影响，即若以 Ci 表示表示第第 i 次试验的结果，则次试验的结果，则 P(C1C2 Cn) = P(C1) P(C2) P(Cn) . .AA两点分布两点分布 在成功概率在成功概率

13、 P(A) = p 的伯努利试验中，事件的伯努利试验中，事件 A 出现出现的次数的次数 X 只能等于只能等于0 或或 1，且它的分布律是，且它的分布律是1, 0,1kkP Xkp qk 即即 其中其中01kXpqp不难验证：不难验证：所以这是一个概率分布，称所以这是一个概率分布，称 X 服从服从两点分布两点分布. .0, 0,1P Xkk 101kP Xkpq 1pq 说明说明n对于一个随机试验，如果样本空间只包含两个元素，即对于一个随机试验，如果样本空间只包含两个元素，即S = e1, e2我们总能在我们总能在 S 上定义一个服从两点分布的随机变量上定义一个服从两点分布的随机变量来描述这个随

14、机试验的结果来描述这个随机试验的结果（课本（课本P.41）120,( )1,.eeXX eee 二项分布二项分布(Binomial Distribution ) 在成功概率在成功概率 P(A) = p 的的 n 重伯努利试验中，事件重伯努利试验中，事件 A 出现出现的次数的次数 X 可能等于可能等于 ，且它的分布律，且它的分布律0,1,2, , kn, 0,1,kkn knP XkC p qkn 不难验证：不难验证：所以这是一个概率分布，称为所以这是一个概率分布，称为二项分布二项分布，简记作，简记作 . .0, 0,1,P Xkkn 00()1nnkkn knnkkP XkC p qpq (

15、, )Xb n p特别的，当特别的，当 n = 1时，二项分布就是时，二项分布就是两点分布两点分布. .例：例：（产品抽样检验模型）（产品抽样检验模型）设设 N 件产品有件产品有 M 件次品，从中件次品，从中任取一件产品进行检验，则结果可能是：任取一件产品进行检验，则结果可能是：A（“次品次品”）或）或 A（“正品正品”），这是成功概率），这是成功概率 的伯努利试验的伯努利试验. . p 若采取若采取“放回抽样放回抽样”，接连抽取，接连抽取 n 次，那么这样的抽检形次，那么这样的抽检形成一个的成一个的 n 重伯努利试验重伯努利试验. .p 若采取若采取“不放回抽样不放回抽样”，接连抽取，接连抽

16、取 n（N）次，那么这）次，那么这样的抽检不能视作样的抽检不能视作 n 重伯努利试验重伯努利试验. .p 当产品总量当产品总量 N 很大时，抽出少数几件不致影响次品率，很大时，抽出少数几件不致影响次品率，故也可将不放回地接连抽取故也可将不放回地接连抽取 n（远小于（远小于 N）次的检验看成）次的检验看成 n 重伯努利试验重伯努利试验. . AAMpN 例：例：按规定，某种型号电子元件的使用寿命超过按规定，某种型号电子元件的使用寿命超过1500小时的小时的为一级品为一级品. 已知某一大批产品的一级品率为已知某一大批产品的一级品率为0.2，现在从中，现在从中随机地抽查随机地抽查20只，问只，问20

17、只元件中恰有只元件中恰有 k 只（只（k =0,1,20）为一级品的概率是多少？为一级品的概率是多少？解：解：记记20只元件中一级品的只数为只元件中一级品的只数为X，那么，那么X b(20, 0.2)，于是于是2020(0.2) (0.8), 0,1,20kkkP XkCk 分析：分析：这是不放回抽样这是不放回抽样当产品总量当产品总量 N 很大时，抽出少数几很大时，抽出少数几件不致影响件不致影响一级品一级品率，故也可将不放回地接连抽取率，故也可将不放回地接连抽取 n（远（远小于小于N）次的检验看成）次的检验看成 n 重伯努利试验重伯努利试验. . 例：例：某人进行射击，设每次射击的命中率为某人

18、进行射击，设每次射击的命中率为0.02，独立射击，独立射击400次，试求至少击中两次的概率次，试求至少击中两次的概率.解：解：记记400次射击中命中的次数为次射击中命中的次数为X，那么，那么X b(400, 0.02)，于是于是400400(0.02) (0.98), 0,1,400kkkP XkCk 结论：只要试验的次数足够多，而且试验是独立进行的，那结论：只要试验的次数足够多，而且试验是独立进行的，那么小概率事件几乎肯定发生，决不能忽视小概率事件么小概率事件几乎肯定发生，决不能忽视小概率事件.40040040022(0.02) (0.98)kkkkP XC 101P XP X 400139

19、94001(0.98)(0.02)(0.98)0.9972C 例：例：设有设有80台同类型的设备，各台工作是相互独立的，发生台同类型的设备，各台工作是相互独立的，发生故障的概率都是故障的概率都是0.01，且一台设备的故障能由一个人处理，且一台设备的故障能由一个人处理考虑两种配备维修工人的方法，其一是由考虑两种配备维修工人的方法，其一是由4人维修，每人负人维修，每人负责责20台；其二是由台；其二是由3人共同维护人共同维护80台试比较这两种方法在台试比较这两种方法在设备发生故障时不能得到及时维修的概率的大小设备发生故障时不能得到及时维修的概率的大小解：解：先讨论第二种方法设先讨论第二种方法设80台

20、设备同一时刻发生故障的台台设备同一时刻发生故障的台数为数为X，则，则X b(80, 0.01)，所求概率为，所求概率为80808044(0.01) (0.99)kkkkP XC 3808001(0.01) (0.99)0.0087kkkkC 再设第再设第 i 个人负责的个人负责的20台设备同一时刻发生故障的台数为台设备同一时刻发生故障的台数为X，则，则X b(20, 0.01)，于是，于是解：解：（续）（续）再再讨论第一种方法设讨论第一种方法设Ai表示事件表示事件“第第 i 个人负个人负责的责的20台设备发生故障不能得到及时维修台设备发生故障不能得到及时维修”，则所求概率，则所求概率为为41i

21、iPA 411()iiP A 411iiPA ()1iP AP X120200(0.01) (0.99)kkkkC 0.9831 444111()1(0.9831)0.0659iiiiPAP A 结论：尽管第二种方法尽管任务重了（每人平均维护约结论：尽管第二种方法尽管任务重了（每人平均维护约27台），但工作效率不仅没降低，反而提高了台），但工作效率不仅没降低，反而提高了.解：解：假设需要发射假设需要发射 n 枚导弹，则击中来犯敌机的导弹数是枚导弹，则击中来犯敌机的导弹数是随机变量随机变量X b(n, 0.96)，于是，于是又因为又因为所以所以从而从而取取 n = 3，即需要发射，即需要发射3枚

22、导弹枚导弹例：例：已知发生一枚地对空导弹击中来犯敌机的概率为已知发生一枚地对空导弹击中来犯敌机的概率为0.96，问需要在相同条件下发射多少枚导弹才能保证至少有一枚问需要在相同条件下发射多少枚导弹才能保证至少有一枚导弹击中来犯敌机的概率大于导弹击中来犯敌机的概率大于0.999?11(0.96) (0.04)0.999nkkn knkP XC 0.040.001n 1P X 10P X10.04nn lg0.001lg0.042.15 解：解：因为全是瞎蒙，所以每道题的任一因为全是瞎蒙，所以每道题的任一 个答案被选中的概个答案被选中的概率都是相等的，每做一道题就是进行一次成功概率为率都是相等的，每

23、做一道题就是进行一次成功概率为1/n 的的伯努利试验伯努利试验设答对的题目数量设答对的题目数量X b(5, 1/n)，于是这人考试及格的概率为，于是这人考试及格的概率为当当 n = 3 时，时，当当 n = 4 时，时，例：例：一个完全不懂英语的人去瞎蒙一次大学英语四级考试一个完全不懂英语的人去瞎蒙一次大学英语四级考试设此考试有设此考试有5道选择题，每题给出道选择题，每题给出 n 个答案以供选择，其中个答案以供选择，其中只有一个答案正确试问这人居然答对只有一个答案正确试问这人居然答对3题以上从而及格的题以上从而及格的概率概率55531131kkkkP XCnn 1730.2181P X 533

24、0.10512P X 泊松分布泊松分布(Poission Distribution) 若随机变量若随机变量 X 以以 作为其一切可能取值，且作为其一切可能取值，且其中常数其中常数 ，则称，则称 X 服从服从泊松分布泊松分布，简记作，简记作 . .0,1,2,0,1,2,!kP Xkekk 不难验证：不难验证：所以这是一个概率分布所以这是一个概率分布. .0 (0,1,2,)P Xkk 0kP Xk 0 ( )X 0!kkek 0!kkek 1 (0!1)ee 历史上，泊松分布是作为二项分布的近似，于历史上，泊松分布是作为二项分布的近似，于1837年由年由法国数学家泊松引入的法国数学家泊松引入的

25、 近数十年来，泊松分布日益显示其重要性，近数十年来，泊松分布日益显示其重要性，成为概率论中最重要的几个分布之一成为概率论中最重要的几个分布之一 在实际中，许多随机现象（近似）服从泊松在实际中，许多随机现象（近似）服从泊松分布分布 二十世纪初罗瑟福和盖克两位科学家在观察二十世纪初罗瑟福和盖克两位科学家在观察与分析放射性物质放出的与分析放射性物质放出的粒子个数的情况时，粒子个数的情况时，他们做了他们做了2608 次观察次观察( (每次时间为每次时间为7.5 秒秒) )发现放发现放射性物质在规定的一段时间内，其放射的粒子数射性物质在规定的一段时间内，其放射的粒子数X 服从泊松分布服从泊松分布. .泊

26、松分布的背景及应用泊松分布的背景及应用 在生物学、医学、工业统计、保险科学及公用事业的在生物学、医学、工业统计、保险科学及公用事业的排队等问题中排队等问题中, ,泊松分布是常见的泊松分布是常见的. .例如地震、火山爆发、特例如地震、火山爆发、特大洪水、交换台的电话呼唤次数等大洪水、交换台的电话呼唤次数等, ,都服从泊松分布都服从泊松分布. .地震地震 火山爆发火山爆发 特大洪水特大洪水 电话呼唤次数电话呼唤次数交通事故次数交通事故次数 商场接待的顾客数商场接待的顾客数二项分布二项分布 泊松分布泊松分布 n很大很大, p 很小很小 泊松分布与二项分布的关系泊松分布与二项分布的关系3 随机变量的分

27、布函数随机变量的分布函数l随机变量随机变量是定义在样本空间是定义在样本空间 S 上的实值单值函数上的实值单值函数. .l若若 L 是一个实数集合，则集合是一个实数集合，则集合 表示样本空表示样本空间间 S 中满足中满足 的所有样本点组成的随机事件的所有样本点组成的随机事件. .l若随机变量只能取有限个或可列个数值，则称为若随机变量只能取有限个或可列个数值，则称为离散型离散型随机变量随机变量.l离散型随机变量的分布律必满足：离散型随机变量的分布律必满足：(1)(2)0,1,2,kpk11kkp 知识点回顾知识点回顾 |( )e X eL ( )X eL 引言引言l非离散型随机变量，由于其可能取的

28、值不能一个一个地列非离散型随机变量，由于其可能取的值不能一个一个地列举出来，因而就不能像离散型随机变量那样用分布律来描举出来，因而就不能像离散型随机变量那样用分布律来描述述l在实际中，对于非离散型随机变量，如：误差在实际中，对于非离散型随机变量，如：误差，元件的，元件的寿命寿命 T 等，人们感兴趣的往往并不是误差等，人们感兴趣的往往并不是误差 =0.05(mm)， 寿命寿命T = 1251.3(h)的概率，而是考虑误差落在某个区间的的概率，而是考虑误差落在某个区间的概率，寿命大于某个数的概率概率，寿命大于某个数的概率随机变量的分布函数随机变量的分布函数l随机变量随机变量 X 与任意实数与任意实

29、数 x 的关系式的关系式 对应着随机事对应着随机事件件 l概率概率 与实数与实数 x 的值有关，是实数变量的值有关，是实数变量 x 的函数，的函数，即即 ，称为随机变量，称为随机变量 X 的的分布函数分布函数备注：分布函数的定义域是实数集备注：分布函数的定义域是实数集 RXx P Xx ( )F xP Xx 0 xX0 xXbaa( )P XaF a P bXaP XaP Xb ( )( )F aF b用数学分析的方用数学分析的方法研究随机变量法研究随机变量成为可能！成为可能！:( )eSX ex ( )F xP Xx 随机变量随机变量 X 的的分布函数分布函数0 x212XxXx Xx112

30、P XxP Xx 12()()F xF x 分布函数的性质分布函数的性质性质性质1 1： 单调不减，即若单调不减，即若 ，则必有，则必有 . .( )F x12xx 12()()F xF x 性质性质2 2： ，且，且 ， . .0( )1F x()0F ()1F x性质性质3 3： 在每一点在每一点 处均为右连续，即有处均为右连续，即有( )F x0 x0000()(0)lim( )xxx xF xF xF x 等价于等价于 例：例：设随机变量设随机变量 X 的分布律为：的分布律为： 求求 X 的分布函数的分布函数. . 解：解：当当 时，时， Xx 0 x ( )()0F xP XxP 0

31、12xX当当 时，时， Xx 01x 7( )015F xP XxP X0X 012Xx为不可能事件为不可能事件 ，故故 , , 故故012771151515kXp等价于等价于 当当 时，时， Xx 12x 14( )0115F xP XxP XP X 01XX 012X当当 时，时， 等价于等价于 Xx 2x ( )( )1F xP XxP S 012XXX x012xX，故，故例：例：设随机变量设随机变量 X 的分布律为：的分布律为： 求求 X 的分布函数的分布函数. . 012771151515kXp,S 故故0,07,0115( )14,12151,2xxF xxx 综上所述，分布函数

32、为综上所述，分布函数为01271514151141.5(1.5)15P XF 于是于是11221(2)(1)15PXP XP XFF 例：例：设随机变量设随机变量 X 的分布律为：的分布律为： 求求 X 的分布函数的分布函数. . 012771151515kXp12?PX 分布律与分布函数分布律与分布函数l任意随机变量都可用分布函数来刻画其概率分布任意随机变量都可用分布函数来刻画其概率分布. .l对于离散型随机变量，可经由分布律得到分布函数对于离散型随机变量，可经由分布律得到分布函数. .l反过来，离散型随机变量的分布函数只在以正概率取值的反过来，离散型随机变量的分布函数只在以正概率取值的点处

33、发生跳跃间断，其跃度正是随机变量取该值的概率，点处发生跳跃间断，其跃度正是随机变量取该值的概率，于是对于是对F(x) 的每个跳跃间断点的每个跳跃间断点xk，有，有( )kkxxF xP XxP Xx ()(0)()lim( ), 1,2,kkkkkkxxx xP XxF xF xF xF xk 例：例：已知离散型随机变量的分布律为已知离散型随机变量的分布律为1011/4ab 分布函数是分布函数是, -1, -10 ( )3/4, 01 , 1 cxdxF xxex 试确定其中的试确定其中的a, b, c, d, e的值的值解：解：由由F () = 0，F (+ ) =1得得 c =0, e =

34、1由由PX = 1=F (1)F (10)得得 13/4= b, b =1/4, 又由又由1/4+a+b=1 ，从而得，从而得 a =1/2由由PX = 0=F (0)F (00)得得 1/2=3/4d ， 从而从而 d =1/4即即a =1/2, b =1/4, c =0, d =1/4, e =1连续型随机变量连续型随机变量随机变量随机变量 离散型随机变量离散型随机变量（只能取有限个或可列个数值）（只能取有限个或可列个数值）非离散型随机变量非离散型随机变量连续型随机变量连续型随机变量（其可能取值布满某个区间）（其可能取值布满某个区间）其它其它 并称并称 y = f (x) 的图像为的图像为

35、 X 的的分布曲线分布曲线 称被积函数称被积函数 f (x)为为X 的的概率密度概率密度， 连续型随机变量连续型随机变量定义：定义：如果对于随机变量如果对于随机变量 X 的分布函数，存在非负函数的分布函数，存在非负函数 ， 使得对于任意实数使得对于任意实数 x ，有，有( )( )xF xP Xxf t dt 就称就称 X 为为连续型随机变量连续型随机变量， 0 xy = f (x)面面积积x0( )f x备注：连续型随机变量的分布函数是连续函数备注：连续型随机变量的分布函数是连续函数()( )F xxF x ( )( )xxxf t dtf t dt ( )xxxf t dt 0, (0)x

36、 课本课本P.51附注附注1概率密度的几何特征：概率密度的几何特征：概率密度的曲线总在概率密度的曲线总在x轴的上方，在整个实数轴有定义轴的上方，在整个实数轴有定义对任意连续型随机变量，概率密度与对任意连续型随机变量，概率密度与x轴所围成的面积总是轴所围成的面积总是1.1.概率密度的性质概率密度的性质(1)(1)(1)(2)(2)( )0f x ( )1f x dx y = f (x)面积面积=10 x(3) (3) 对任意实数对任意实数a、b，( )( ) ( )baP aXbF bF af x dx xy = f (x)b面面积积a0()( )FF xxF xxx (4) (4) 若若 f

37、(x) 在点在点 x 处处连续，则有连续，则有 （当（当 很小时）很小时）( )xxxP xXxxf t dt 概率密度的性质概率密度的性质(2)( )( )Fxf x 0y = f (x)x x+ xxyx f (x)不是不是 X 取值取值 x 时时的概率的概率, , 但它可以但它可以反映反映 X 在在 x 点点附近附近取值的概率的大小取值的概率的大小. .( )f xx( )fxx ( )xxxf t dtx ( )f x0,x x 对于连续型随机变量对于连续型随机变量X 来说来说，它取任一指定的实数值，它取任一指定的实数值 a 的概率均等于零，即的概率均等于零，即 PX = a= 0 （

38、课本（课本P.53）证明：证明： 因为因为 由此可得：由此可得： 不可能事件一定是零概率的事件，零概率事件不一定是不可能事件一定是零概率的事件，零概率事件不一定是不可能事件不可能事件. 必然事件一定是概率为必然事件一定是概率为1的事件，概率为的事件，概率为1的事件不一定的事件不一定是必然事件是必然事件. 连续型随机变量取值在某个区间的概率，可以不特别考连续型随机变量取值在某个区间的概率，可以不特别考虑区间的端点，即虑区间的端点，即P aXb P aXb P aXb P aXb 0P XaP aXaa ()( )F aaF a XaaXaa ，所以，所以 因为因为F (x) 是连续函数，是连续函

39、数，0a 令令 ，得，得PX = a= 0 例：例：向半径为向半径为R的圆形靶射击，假定不会发生脱靶的情况，弹的圆形靶射击，假定不会发生脱靶的情况，弹着点落在以靶心着点落在以靶心O为中心、为中心、r（r R）为半径的圆形区域的概率为半径的圆形区域的概率与该区域的面积成正比与该区域的面积成正比. .设随机变量设随机变量 X 表示弹着点与靶心的距表示弹着点与靶心的距离，试求离，试求 X 的分布函数及其密度函数的分布函数及其密度函数. .解：解： 1. 1.若若 x R, , 则则 是必然事件，于是是必然事件，于是( )1.F xP Xx xRXx 220,0,( ),0,1,.xxF xxRRxR

40、 0 R1F(x)x对分布函数求导，可得对分布函数求导，可得20, 0 ( )2, 0 xxRFxxxRR 及及( )( )xF xf t dt 综合得：综合得：于是于是20, 0 ( )2, 0 xxRf xxxRR 及及可认为概率密度函数为可认为概率密度函数为思考题思考题p连续型随机变量的分布函数连续型随机变量的分布函数F(x)一定是连续函数一定是连续函数p连续型随机变量的概率密度连续型随机变量的概率密度 f(x) 是连续函数吗？是连续函数吗？p0 f(x) 1成立吗？成立吗？称为区间称为区间(a, b)上的均匀分布，记作上的均匀分布，记作 . .最简单的连续型随机变量是概率密度在某个有限

41、区间最简单的连续型随机变量是概率密度在某个有限区间(a, b)上上取正的常数值，其余区间上皆为零的随机变量，即取正的常数值，其余区间上皆为零的随机变量，即,( )0, caxbf xxaxb或或 ( , )XU a b可以证明：可以证明：1cba 定义：定义：设连续型随机变量设连续型随机变量 X 具有概率密度具有概率密度则称则称 X 在区间在区间(a, b) 服从服从均匀分布均匀分布，记作，记作 . .1,( )0, axbf xbaxaxb 或或均匀分布（均匀分布（Uniform Distribution） ( , )XU a b0,( ),1,xaxaF xaxbbaxb 相应的分布函数为

42、相应的分布函数为y = f(x)1ba 0 xaby = F(x)0 xab1思考题思考题p连续型随机变量的分布函数连续型随机变量的分布函数F(x)一定是连续函数一定是连续函数p连续型随机变量的概率密度连续型随机变量的概率密度 f(x)是连续函数吗？是连续函数吗？p0 f(x) 1成立吗？成立吗？答：答：连续型随机变量的概率密度连续型随机变量的概率密度 f(x)不一定是连续函数；不一定是连续函数；0 f(x) 1一定成立一定成立说明说明类似地，我们可以定义类似地，我们可以定义l区间区间a, b上的均匀分布；上的均匀分布；l区间区间(a, b上的均匀分布；上的均匀分布；l区间区间a, b)上的均

43、匀分布上的均匀分布可以证明：若可以证明：若 ，设，设 ，则，则均匀分布（均匀分布（Uniform Distribution） ( )c lcP cXclf x dx ( , )XU a by = f (x)1ba 0 xablba ( ,)( , )c cla b 1c lcdxba 结论：服从均匀分布的随机变量落在结论：服从均匀分布的随机变量落在(a, b)的子区间内的概的子区间内的概率只依赖于子区间的长度而与子区间的位置无关率只依赖于子区间的长度而与子区间的位置无关.例：例：设随机变量设随机变量 X 在在2, 5上服从均匀分布，现对上服从均匀分布，现对 X 进行三次进行三次独立观测，试求至

44、少有两次观测值大于独立观测，试求至少有两次观测值大于3的概率的概率. .X 的分布密度函数为的分布密度函数为12530,( ) ,.xf x 其它其它令令A表示表示“X 的观测值大于的观测值大于3”,解：解：即即A =X 3.2P Y .2720 从而有从而有令令Y 表示表示3次独立观测中观测值大于次独立观测中观测值大于3的次数的次数,则则23,.3Yb 32132232033213233 3()P AP X 531233, dx 由于由于 定义：定义：设连续型随机变量设连续型随机变量 X 具有概率密度，具有概率密度， 则称则称 X 服从参数为服从参数为q q ( 0 0) 的的指数分布指数分

45、布. .1,0( )0,0 xexf xxq qq q 指数分布指数分布1,0( )0,0 xexF xxq q 相应的分布函数为相应的分布函数为123450.511.52a 1a 2123450.20.40.60.81a 1a 2其中其中a = 1/q q 某些元件或设备的寿命服从指数分布某些元件或设备的寿命服从指数分布. .例如无线电元件例如无线电元件的寿命的寿命 , , 电力设备的寿命电力设备的寿命, , 动物的寿命等都服从指数分布动物的寿命等都服从指数分布. .指数分布的重要性质指数分布的重要性质 : :“无记忆性无记忆性”. .对任意的正数对任意的正数s , t，考虑条件概率，考虑条

46、件概率()()()P XstXsP Xst XsP Xs 且且()()P XstP Xs 11-()-( )F stF s 1111()/()()s ttseeeq qq qq q 1( )F t ()()P Xst XsP Xt 即即如果将如果将 X 看作某类动物的寿命，则上式可解释为某动物已活到看作某类动物的寿命，则上式可解释为某动物已活到s岁岁（即（即X s），则它再活，则它再活 t 年以上的概率与已经活过的岁数无年以上的概率与已经活过的岁数无关所以指数分布又称为关所以指数分布又称为“永远年青永远年青”的分布的分布指数分布的无记忆性指数分布的无记忆性设设 X 服从某种概率分布，若服从某种

47、概率分布，若 ,则称这种概率分布具有无记忆性则称这种概率分布具有无记忆性.(|)()P Xst XsP Xt 指数分布是连续型随机变量中唯一具有无记忆性的分布指数分布是连续型随机变量中唯一具有无记忆性的分布.定义：设连续型随机变量定义：设连续型随机变量 X 具有概率密度具有概率密度则称则称 X 服从服从正态分布正态分布，记作，记作 .22()21( )2xf xe 正态分布（正态分布（Normal Distribution） 2( ,)XN 22()21( )2xxF xedx 相应的分布函数为相应的分布函数为（其中（其中 和和 是常数，是常数， ） 0 l曲线关于曲线关于 x = 对称对称.

48、 .l当当 x = 时取得最大值时取得最大值l在在 x = 处有拐点，以处有拐点，以 x 轴为渐近线轴为渐近线. .1( )2f 对于任意的对于任意的 ，有，有0h PhXPXh x 离离 越远，越远，f (x) 的值越小的值越小同样长度的区间，当区间离同样长度的区间，当区间离 越远，越远， X 落在这个区间上的概率越小落在这个区间上的概率越小正态分布的分布曲线正态分布的分布曲线22()21( )2xf xe 特别地，称特别地，称 为为标准正态分布标准正态分布，其密度函数及分，其密度函数及分布函数常记作布函数常记作(0,1)N222211( ), ( )22xxxxexedx l固定固定，改变

49、，改变 的值，则的值，则 图形沿图形沿 x 轴平移，不改变轴平移，不改变其形状其形状. .l固定固定 ，改变，改变的值，则的值，则 越小，图形越尖，越小，图形越尖， X 落落在在 附近的概率越大附近的概率越大. .正态分布的分布曲线正态分布的分布曲线xy022022标准正态分布的概率密度表示为标准正态分布的概率密度表示为标准正态分布的分布函数表示为标准正态分布的分布函数表示为221( ), 2xxex 221( ), 2xxxedxx 标准正态分布标准正态分布 正态分布是最常见最重要的一种分布，例如测量误差正态分布是最常见最重要的一种分布，例如测量误差; ; 人的生理特征尺寸如身高、体重等；正

50、常情况下生产的产品人的生理特征尺寸如身高、体重等；正常情况下生产的产品尺寸：直径、长度、重量高度等都近似服从正态分布尺寸：直径、长度、重量高度等都近似服从正态分布. .正态分布的应用与背景正态分布的应用与背景 正态分布的概率计算正态分布的概率计算(1)设设 ，则对任意的实数，则对任意的实数 x，有，有(0,1)XN221()( )2xxP Xxxedx 原函数不是初原函数不是初等函数，因此等函数，因此概率不能通过概率不能通过积分算出积分算出.锦囊锦囊1：利用标准正态分布表：利用标准正态分布表.解：解：1.252PX (2)(1.25) 0.97720.8944 0.0828 查表查表 例：例：

51、已知已知 ，试求，试求 . .(0,1)XN1.252PX 1.252PX (2)( 1.)25 ? ( 1.252)(2)( 1.25)?PX 锦囊锦囊2：利用：利用 .()1( )xx 1.252PX ( 1(2).25) 0.9772(10.8944)0.97720.1056 0.8666 查表查表 (1(1.)25(2 正态分布的概率计算正态分布的概率计算(2) ()P aXb aXbP abPZ ba 设设 ，则对任意的实数，则对任意的实数a、b，有，有2( ,)XN 22()21()( )( )2xbaP aXbF bF aedx 锦囊锦囊3：转换为标准正态分布：转换为标准正态分布

52、.若若 ，则对，则对 X 进行进行“标准化标准化”的变换的变换 ，可以证明可以证明 . .2( ,)XN 正态分布的概率计算正态分布的概率计算(3)XZ (0,1)ZN于是于是 3 法则法则若若 ，则，则2( ,)XN (|)2 (1)10.6826PX (| 2 )2 (2)10.9544PX (| 3 )2 (3)10.9973PX (|)2( )1PXkk 结论：尽管正态变量的取值范围是结论：尽管正态变量的取值范围是(, )，但它的值落，但它的值落在在( 3 , 3 )内几乎是肯定的事这就是人们所说的内几乎是肯定的事这就是人们所说的“3 法则法则”. .课本课本P.60图图2-16上上a

53、 a 分位点分位点定义：定义：设设 X N(0, 1)，若，若 za a 满足条件满足条件则称点则称点 za a 为标准正态分布的为标准正态分布的上上a a 分位点分位点(), 01,P Xza aa aa a 结论：结论： z1a a za a 5 随机变量的函数的分布随机变量的函数的分布l 离散型离散型l 连续型连续型l 定理及其应用定理及其应用引言引言在一些试验中，所关心的随机变量往往不能由直接测量得在一些试验中，所关心的随机变量往往不能由直接测量得到，而它却是某个能直接测量的随机变量的函数，例如：到，而它却是某个能直接测量的随机变量的函数，例如：我们关心圆轴截面的面积我们关心圆轴截面的

54、面积 A，虽然虽然 A不能直接测量得到，不能直接测量得到，但是可以通过测量圆轴截面的直径但是可以通过测量圆轴截面的直径d 计算得到，其中计算得到，其中214Ad 引言引言 设设 X 是一个随机变量，再设是一个随机变量，再设Y = g(X) 是是 X 的函数，的函数，则则 Y 也是一个随机变量当也是一个随机变量当 X 等于等于 x 时，时，Y 等于等于g(x)本节的任务是：本节的任务是： 已知随机变量已知随机变量 X 的概率分布以及的概率分布以及Y = g(X)，其中，其中g()是已知的连续函数，试求随机变量是已知的连续函数，试求随机变量Y 的概率分布的概率分布eS ( )X eR ()Yg X

55、 ( )g X e R Xg一、离散型随机变量的函数的分布一、离散型随机变量的函数的分布 设设 X 是离散型随机变量，其分布律为是离散型随机变量，其分布律为Y = g(X) 是是 X 的函数，则的函数，则 Y 也是离散型随机变量它的取值为也是离散型随机变量它的取值为其中其中1212nknXxxxpppp12,nyyy(), 1,2,kkyg xk 第一种情形第一种情形如果如果 y1, y2, , yn , 两两不同，即函数两两不同，即函数 g() 是单射，则是单射，则于是随机变量于是随机变量Y 的分布律为的分布律为或或 第二种情形第二种情形如果如果 y1, y2, , yn , 有相同的项，则

56、有相同的项，则 把这些相同的项合并（看作是一项）；把这些相同的项合并（看作是一项）；1. 把相应的概率相加，即可得到随机变量把相应的概率相加，即可得到随机变量Y 的分布律的分布律 ()kkP YyP g Xy kP Xx kp , 1,2,kkP Yypk 1212nknYyyyppppeS ( )X eR ()Yg X ( )g X e R Xg设随机变量设随机变量 X 具有以下的分布律具有以下的分布律试求试求 Y = (X1)2 的分布律的分布律. . 解解: Y 有可能取的值为有可能取的值为 0，1，4. .且且 Y = 0 对应于对应于 ( X1)2 = 0， 解得解得 X = 1，所

57、以所以PY = 0 = PX = 1 = 0.1,例例1： 10120.20.30.10.4kXp 同理，同理，PY = 1 = PX = 0+PX = 2 = 0.3+ 0.4 = 0.7,PY = 4 = PX =1 = 0.2,所以，所以，Y = (X1)2 的分布律为：的分布律为：Y = (X1)2 例例1（续）（续）10120.20.30.10.4kXp 0140.10.70.2kYp,04,()80,XxxfX 其其它它. .设随机变量设随机变量 X 具有具有概率密度：概率密度：试求试求 Y = 2X+8 的概率密度的概率密度.解：解：(1) 先求先求 Y = 2X+8 的分布函数

58、的分布函数 FY(y)：( )YFyP Yy例例2 ： 28PXy82yPX 82( ).yXfx dx 88( )22YXyyfyf 82( )( ).yYXFyfx dx ,04,()80,XxxfX 其其它它. .例例2（续）（续）1818,04,82220,.yy 其其它它(2) 对分布函数求导，得对分布函数求导，得：8,816,( )320,Yyyfy 其其它它. . 整理得整理得 Y=2X+8 的概率密度为：的概率密度为：本例用到变限的定积分的求导公式本例用到变限的定积分的求导公式( )( )( )( ),( ) ( )( ) ( )( ).xxF xf t dtFxfxxfxx

59、如如果果例例2（续）（续）二、连续型随机变量的函数的分布二、连续型随机变量的函数的分布 设设 X 是一个连续型随机变量，其概率密度为是一个连续型随机变量，其概率密度为 fX( x )，再设，再设 Y = g( X ) 是是 X 的函数假定的函数假定 Y 也是一个连续型随机变量，求也是一个连续型随机变量，求 Y = g( X ) 的概率密度的概率密度 fY( y )解题思路：解题思路： 先求出先求出 Y = g( X ) 的分布函数的分布函数 FY( y )： 再利用概率密度与分布函数之间的关系求出再利用概率密度与分布函数之间的关系求出 Y = g( X ) 的密的密度函数度函数 fY( y )：( )YFyP Yy ()P g Xy ( )( )Xg xyfx dx ( )( )YYfyFy ( )YFyP Yy2P Xy PyXy( ).yXyfx dx 设