理论力学07第五章点运动学

1、理论力学理论力学运运 动动 学学学习目的：学习目的： 解决工程实际问题解决工程实际问题 为动力学及后继课程的学习打好基础为动力学及后继课程的学习打好基础1、位置位置（运动方程、轨迹方程）运动方程、轨迹方程）2、速度速度3、加速度加速度参考系参考系：与参考体固连的坐标系（运动具有相对性）：与参考体固连的坐标系（运动具有相对性）定参考系定参考系：与地球固连的坐标系：与地球固连的坐标系运动学的运动学的任务任务研究物体运动的研究物体运动的几何规律几何规律（性质性质）几何性质：几何性质：运运 动动 学学内容内容：第五章第五章 点的运动学点的运动学第六章第六章 刚体的简单运动刚体的简单运动第七章第七章 点

2、的合成运动点的合成运动第八章第八章 刚体的平面运动刚体的平面运动一、一、描述点运动的描述点运动的矢量法矢量法二、二、描述点运动的描述点运动的直角坐标法直角坐标法三、三、描述点运动的描述点运动的自然法自然法（弧坐标法弧坐标法）第五章第五章 点的运动学点的运动学描述点运动的描述点运动的矢量法矢量法矢量法矢量法主要用于理论推导。主要用于理论推导。运动方程（轨迹方程）运动方程（轨迹方程） 速度速度 加速度加速度5-1 5-1 矢量法矢量法运动方程运动方程在矢量法中，运动方程用点在任意瞬时在矢量法中，运动方程用点在任意瞬时t 的位置矢量的位置矢量 r(t) 表示，表示，r(t) 简称为简称为位矢位矢，即

3、：，即：rrrPPP轨迹方程为轨迹方程为矢端曲线矢端曲线（s=PPP）xzyO 矢量法矢量法运动方程运动方程r tr(t t)PPrv在在 t 瞬时：瞬时： 矢径矢径 r (t) r t r(t t)r t点在点在 t 瞬时的速度：瞬时的速度：rrrvtttddlim0在在t 时间间隔内矢径的改变量：时间间隔内矢径的改变量：在在 t t 瞬时：瞬时：矢径矢径 r(t t) 或或 r(t) r(t)xzyO速速 度度描述点在描述点在 t 瞬时运动快慢和方向的力学量。速度瞬时运动快慢和方向的力学量。速度的方向沿着运动轨迹的切线，指向与点的运动方向一致，速度的方向沿着运动轨迹的切线，指向与点的运动方

4、向一致，速度的大小等于矢量的大小等于矢量 v 的模。的模。矢量法矢量法速度速度矢量法矢量法加速度加速度vtvtvat ddlim0rPvPrv在在t 瞬时：速度瞬时：速度 v(t)tt tt点在点在 t 瞬时的加速度：瞬时的加速度：在在t 时间间隔内速度的改变量时间间隔内速度的改变量:rtra 22ddv在在t t 瞬时：瞬时：速度速度 v(t t) （记做（记做 v）yO加速度加速度描述点在描述点在 t 瞬时速度大小和方向变化率的力学量。瞬时速度大小和方向变化率的力学量。加速度的方向为加速度的方向为 v 的极限方向的极限方向( (指向与轨迹曲线的凹向一致指向与轨迹曲线的凹向一致),), 加速

5、度大小等于矢量加速度大小等于矢量 a 的模。的模。点的运动学点的运动学直角坐标法直角坐标法 直角坐标法直角坐标法主要用于实际计主要用于实际计算，特别是点的运动轨迹未知算，特别是点的运动轨迹未知的情况。的情况。运动方程（轨迹方程）运动方程（轨迹方程） 速度速度 加速度加速度5-2 5-2 直角坐标法直角坐标法xzyOyxzjikravP不受约束的点在空间有不受约束的点在空间有 3个自由度，在直角坐标系中，点在个自由度，在直角坐标系中，点在空间的位置由空间的位置由 3个方程确定，即个方程确定，即运动方程运动方程：x = f1(t)y = f2(t)z = f3(t)直角坐标法直角坐标法运动方程运动

6、方程从从运动方程运动方程中消去时间中消去时间 t，就得到就得到轨迹方程轨迹方程。将矢径表示成将矢径表示成zkyjxir )( )(kjikjirvzyxzyx由于由于(Oxyz)为定参考系，所以为定参考系，所以0kji直角坐标法直角坐标法速度速度kjikjirvzyxvvvzyxzvyvxvzyx ,点的点的速度速度矢量在直角坐标轴上的投影等于点的相应坐标矢量在直角坐标轴上的投影等于点的相应坐标对时间的一阶导数。对时间的一阶导数。xzyOyxzjikravPkjikjivazyxaaazyx zayaxazyx ,点的点的加速度加速度矢量在直角坐标轴上的投影等于点的相应坐标矢量在直角坐标轴上的

7、投影等于点的相应坐标对时间的二阶导数。对时间的二阶导数。直角坐标法直角坐标法加速度加速度kzj yi xrvxzyOyxzjikravP求：求： M 点的运动方程；点的运动方程； 轨迹；轨迹； 速度；速度； 加速度。加速度。 已知：椭圆规的曲柄已知：椭圆规的曲柄OC 可绕定轴可绕定轴O 转动，其端点转动，其端点C 与规与规尺尺AB 的中点以铰链相连接，而规尺的中点以铰链相连接，而规尺A，B 两端分别在相互两端分别在相互垂直的滑槽中运动，垂直的滑槽中运动，taMClBCACOC, 例例 5-15-1 椭圆规机构椭圆规机构点点M作曲线运动，取坐标系作曲线运动，取坐标系Oxy如图所示。如图所示。运动

8、方程运动方程()cos()cosxOCCMlattalAMysin)(sin消去消去t, 得轨迹得轨迹1)(2222alyalx）解：解：速度速度talxvxsin talyvycos)( 22() sincos( , )2cos 2xvlatv ivlaalt 22() coscos( ,)2cos 2yvlatvjvlaalt2222222222()sin()cos2cos2xyvvvlatlatlaalt加速度加速度talxvaxxcos2 talyvayysin2 taltalaaayx 24224222sin(cos） 2222cos 2laalt22() coscos(,)2cos

9、 2xalata ialaalt 22() sincos(,)2cos 2yalatajalaalt 椭圆规机构椭圆规机构已知：已知：正弦机构如图所示。曲柄正弦机构如图所示。曲柄OM长为长为r，绕，绕O轴匀速转动，轴匀速转动，它与水平线间的夹角为它与水平线间的夹角为其中其中 为为t = 0时的夹角，时的夹角， 为一常数。动杆上为一常数。动杆上A，B两点间距离为两点间距离为b。,t例例5-25-2求：点求：点A和和B的运动方程及点的运动方程及点B B的速度和加速度。的速度和加速度。 A，B点都作直线运动，取点都作直线运动，取Ox轴如图所示。轴如图所示。 运动方程运动方程)sin(sintrbrb

10、xA)sin(sintrrxBB点的速度和加速度点的速度和加速度trxvBBcos22sinBBBaxrtx 周期运动周期运动 ()x tTx t频率频率Tf1解：解：已知：如图所示，当液压减振器工作时，它的活塞在套已知：如图所示，当液压减振器工作时，它的活塞在套筒内作直线往复运动。设活塞的加速度筒内作直线往复运动。设活塞的加速度 （ 为活塞的速度，为活塞的速度， 为比例常数为比例常数) )，初速度为，初速度为 。akv v0vk例例5-35-3求：活塞的运动规律。求：活塞的运动规律。活塞作直线运动，取坐标轴活塞作直线运动，取坐标轴Ox如图所示如图所示ddvakvt 由00ddvtvvktv

11、得00ln,ektvktvvv 0dedktxvvt由000dedxtktxxvt得001 ektvxxk解：解： 自然法自然法主要用于实际计算，先主要用于实际计算，先决条件是点的运动轨迹已知。决条件是点的运动轨迹已知。弧坐标要素与运动方程弧坐标要素与运动方程 密切面与自然轴系密切面与自然轴系 速度速度 加速度加速度 5-3 5-3 自然法自然法如果点沿着已知的轨迹运动，如果点沿着已知的轨迹运动，则点的运动方程，可用点在已则点的运动方程，可用点在已知轨迹上所走过的弧长随时间知轨迹上所走过的弧长随时间变化的规律来描述。变化的规律来描述。自然法自然法弧坐标要素与运动方程弧坐标要素与运动方程弧坐标具

12、有以下弧坐标具有以下要素：要素：1、有、有坐标原点坐标原点( (一般在轨迹上一般在轨迹上任选一参考点作为坐标原点任选一参考点作为坐标原点) )2、有、有正、负方向正、负方向( (一般以点的一般以点的运动方向作为正向运动方向作为正向) )3、有相应的、有相应的坐标系坐标系( (自然轴系自然轴系) )(tfs 弧坐标运动方程：弧坐标运动方程：（动点沿轨迹的运动方程）（动点沿轨迹的运动方程）( )sf t1.1.弧坐标弧坐标副法线单位矢量副法线单位矢量bn切向单位矢量切向单位矢量n主法线单位矢量主法线单位矢量2.2.自然轴系自然轴系 ssM （n（主法线（主法线b（副法线（副法线自然轴系（自然轴系（

13、M- nb）基矢量（基矢量（ 、n、b）自然轴系的自然轴系的特点特点： 跟随动点在轨迹上作跟随动点在轨迹上作空间曲线运动。空间曲线运动。自然轴系是随着动点位置的改变而自然轴系是随着动点位置的改变而变动的轴系变动的轴系nb 自然坐标轴的几何性质自然坐标轴的几何性质dtdssv vv已知已知运动方程：运动方程：)(tfs dsrddtdsdtrdvsrdsrdt0lim其中其中自然法自然法速度速度弧坐标中的速度表示弧坐标中的速度表示所以速度矢量：所以速度矢量：速度大小速度大小速度方向速度方向沿轨迹切线方向（沿轨迹切线方向（ ）rxyzssMrrMvso自然法自然法速度速度vvdtdssv 0s 0

14、v，则则，即点沿着即点沿着s+ 的方向运动；的方向运动；反之，点沿着反之，点沿着s-的方向运动。的方向运动。v 分别表示速度的大小与方向。分别表示速度的大小与方向。vvrxyzssMrrMvso曲率半径 定义：曲线切线的转角对弧长一阶导数的绝对值为曲率。曲率的倒数称为曲率半径。sssddlim 01根据加速度的定义以及弧坐标中速度的表达式根据加速度的定义以及弧坐标中速度的表达式 ：自然法自然法加速度加速度弧坐标中的弧坐标中的加速度加速度表示表示 vdtdva vv?dtd vva我们有：我们有：dtdsdsddddtd令：令：其中：其中：, vdtds,1dsdnddnvvndtd 1所以：所

15、以： 下面进行证明下面进行证明ss自然法自然法加速度加速度MMs ) vnndd lim0 ddn 2/ sin 2 lim0 nn2/ 2/ sin lim0 当当 0时，时，MM， 和和 以以及及 同处于过同处于过M点的密切面内，这点的密切面内，这时时 的极限方向垂直于的极限方向垂直于，亦即法，亦即法线线 n 方向，因此：方向，因此：n lim0 自然法自然法加速度加速度ssM vnana 可以得到：可以得到：a nvvndtd1以及：以及：vva由前面得结果：由前面得结果：naannvdtdv 2 naaa切向加速度切向加速度：sva 速度矢量的速度矢量的大小大小随时间的变化率随时间的变

16、化率2van法向加速度法向加速度：速度矢量的速度矢量的方向方向随时间的变化率随时间的变化率22naaaa全加速度的大小全加速度的大小naaarctan全加速度的方向全加速度的方向切向加速度切向加速度 是是速度矢量的速度矢量的大小大小随时间的变化率随时间的变化率sva 2van法向加速度法向加速度 是是速度矢量的速度矢量的方向方向随时间的变化率随时间的变化率速度矢量速度矢量 v 和加速度矢量和加速度矢量 a 都位于都位于密切面密切面内，加速度矢量内，加速度矢量在副法线方向上没有分量。在副法线方向上没有分量。自然法自然法讨讨 论论讨讨 论论（1）点作直线运动时，）点作直线运动时， ， an=0，点

17、只有切向加速度。，点只有切向加速度。自然法自然法讨讨 论论几种特殊情况：几种特殊情况：（2）点作匀速运动时，）点作匀速运动时， v =const.，a =0，点只有法向加速度。，点只有法向加速度。（4）点作匀变速运动时，）点作匀变速运动时， a =const.，以下公式成立：，以下公式成立：v = v0 + a ts = s0+ v0 t + a t 2（3）点作匀速直线运动时，）点作匀速直线运动时， a =0， an=0。切向加速度切向加速度法向加速度法向加速度曲线匀变速运动曲线匀变速运动22tddddtstva22n)dd(1tsvan2t2aaa曲线匀速运动曲线匀速运动常数常数tvssv

18、va000t,0常数常数2t00t0t21,tatvsstavvaABC拐点DGE拐点Fvvvvaaaaaaav = 0v = 0vA点：E点：B点：C点：D点：F点：G点：可能可能可能不可能不可能不可能可能思考：动点各瞬时的速度v和加速度a的方向如图。指出哪些情况是可能的？哪些情况是不可能的？说明理由。已知：已知：列车沿半径为列车沿半径为R=800m的圆弧轨道作匀加速的圆弧轨道作匀加速运动。如初速度为零，经过运动。如初速度为零，经过2min后，速度到达后，速度到达54km/h。例例5-45-4求：列车起点和未点的加速度。求：列车起点和未点的加速度。列车作曲线加速运动，取弧坐标如上图。列车作曲

19、线加速运动，取弧坐标如上图。120smin2t2n2t2m/s308.0aaa222nm/s281.0800mm/s)15(Rva0, 0nat2tm/s125.0 aa2tm/s125.0120sm/s15tvatavt有有0,0tva由由 常数常数解：解：由点由点M的运动方程，得的运动方程，得 txatxvxx4sin32,4cos8 tyatyvyy4cos32,4sin8 4,0zzvzaz222222280m s,32m sxyzxyzvvvvaaaa从而2n2.5mva故已知点的运动方程为已知点的运动方程为x=2sin 4t m，y=2cos 4t m，z=4t m。 求：点运动轨

20、迹的曲率半径求：点运动轨迹的曲率半径 。2ntm/s32,0ddaatva例例5-55-5 解：解： 已知：半径为已知：半径为r的轮子沿直线轨道无滑动地滚动的轮子沿直线轨道无滑动地滚动（称为纯滚动），设轮子转角（称为纯滚动），设轮子转角 为常值），为常值），如图所示。求用直角坐标和弧坐标表示的轮缘上任一如图所示。求用直角坐标和弧坐标表示的轮缘上任一点点M的运动方程，并求该点的速度、切向加速度及法的运动方程，并求该点的速度、切向加速度及法向加速度。向加速度。( t 例例5-65-6 M点作曲线运动，取点作曲线运动，取 直角坐标系如图所示。直角坐标系如图所示。OCMCrr t由纯滚动条件由纯滚动条

21、件)sin(sin1ttrMOOCxtrMOCOycos1cos11从而从而解：解：1cos,sinxyvxrtvyrt)202sin2)cos1 (222ttrtrvvvyx（22sin,cosxyaxrtayrt222raaayx00d2sind4 (1cos)(02)22ttttsv trtrt又点又点M的切向加速度为的切向加速度为2cos2ttrva 2sin22t2ntraaa摇杆机构的滑杆摇杆机构的滑杆AB以匀速以匀速u向上运动，试分别用直角坐标法与自向上运动，试分别用直角坐标法与自然坐标法建立摇杆上然坐标法建立摇杆上C点的运动方程，并求点的运动方程，并求 = /4时时C点的速度。

22、点的速度。设初瞬时设初瞬时 =0，摇杆，摇杆OC= b。例例摇杆机构摇杆机构OBAC(xC, yC)uC0S( ) yxLb1、直角坐标法直角坐标法，C点的运动方程：点的运动方程： 22)( ,utLOAutAB2222)(sin ,)(cosutLututLL2222)(sin)(cosutLbutbyutLbLbxcc例例摇杆机构摇杆机构OBAC(xC,yC)uC0S( ) yxLb2、自然坐标法自然坐标法，C点的运动方程：点的运动方程： 3、 C点的速度为：点的速度为： 222222/1/tuLbLuLtuLubdtdbdtdsvcLbuvc2当当 = /4时，时，t =L/u，所以：，所以：,tanLutLutbbsarctan例例摆杆摆杆 圆弧滑道圆弧滑道销钉销钉B在半径为在半径为R 的固定圆弧滑道的固定圆弧滑道DE和摆杆的直槽中滑动，求和摆杆的直槽中滑动，求销钉在销钉在t1=1/4 s和和t2=1 s 时的加