D110连续函数性质(1)

1、上节回顾上节回顾0lim,0, )0(C,1,0lim Ck1. 无穷小的比较设 , 对同一自变量的变化过程为无穷小, 且 是 的高阶无穷小 是 的低阶无穷小 是 的同阶无穷小 是 的等价无穷小 是 的 k 阶无穷小机动 目录 上页 下页 返回 结束 2. 等价无穷小替换定理,0时当 xxsinxtanxarcsin,x,x,xxcos1,221x11nxxn1Th 2常用等价无穷小 :第八节 目录 上页 下页 返回 结束 上节回顾上节回顾)()(lim00 xfxfxx0)()(lim000 xfxxfx)()()(000 xfxfxf左连续右连续)(. 2xf0 x第一类间断点可去间断点跳

2、跃间断点左右极限都存在 第二类间断点无穷间断点振荡间断点左右极限至少有一个不存在在点间断的类型)(. 1xf0 x在点连续的等价形式机动 目录 上页 下页 返回 结束 上节回顾上节回顾基本初等函数在定义区间内在定义区间内连续连续函数的四则运算四则运算的结果连续连续函数的反函数反函数连续连续函数的复合函数复合函数连续初等函数在定义区间内连续说明说明: 分段函数在界点处是否连续需讨论其 左、右连续性.机动 目录 上页 下页 返回 结束 第十节一一、最值定理、最值定理 二、介值定理二、介值定理 *三、一致连续性三、一致连续性 机动 目录 上页 下页 返回 结束 闭区间上连续函数的性质 第一章 注意注

3、意: 若函数在开区间上连续,结论不一定成立 .一一、最值定理、最值定理定理定理1.1.在闭区间上连续的函数即: 设, ,)(baCxfxoyab)(xfy 12则, ,21ba使)(min)(1xffbxa)(max)(2xffbxa值和最小值.或在闭区间内有间断 在该区间上一定有最大(证明略)点 ,机动 目录 上页 下页 返回 结束 例如例如,)1,0(,xxy无最大值和最小值 xoy1121,31,110,1)(xxxxxxfxoy1122也无最大值和最小值 又如又如, 机动 目录 上页 下页 返回 结束 ,)(baxf在因此bxoya)(xfy 12mM推论推论. 由定理 1 可知有,

4、)(max,xfMbax)(min,xfmbax, ,bax故证证: 设, ,)(baCxf,)(Mxfm有上有界 .二、介值定理二、介值定理定理定理2. ( 零点定理 ), ,)(baCxf至少有一点, ),(ba且使xyoab)(xfy .0)(f0)()(bfaf机动 目录 上页 下页 返回 结束 ( 证明略 )在闭区间上连续的函数在该区间上有界. 定理定理3. ( 介值定理 ) 设 , ,)(baCxf且,)(Aaf,)(BABbf则对 A 与 B 之间的任一数 C ,一点, ),(ba证证: 作辅助函数Cxfx)()(则,)(baCx 且)()(ba)(CBCA0故由零点定理知, 至

5、少有一点, ),(ba使,0)(即.)(Cf推论推论:Abxoya)(xfy BC使.)(Cf至少有在闭区间上的连续函数 必取得介于最小值与最大值之间的任何值 .机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例1. 证明方程01423 xx一个根 .证证: 显然, 1 ,014)(23Cxxxf又,01)0(f02) 1 (f故据零点定理, 至少存在一点, ) 1 ,0(使,0)(f即01423说明说明:,21x,0)(8121f内必有方程的根 ;) 1 ,(21取 1 ,21的中点,43x,0)(43f内必有方程的根 ;),(4321可用此法求近似根.二分法二分法4321x01在区间)1 ,0(的中

6、点取1 ,0内至少有机动 目录 上页 下页 返回 结束 则则0)()()(212xfxff上连续 , 且恒为正 ,例例2. 设)(xf在,ba对任意的, ),(,2121xxbaxx必存在一点证证:, ,21xx使. )()()(21xfxff令)()()()(212xfxfxfxF, 则,)(baCxF)()(21xFxF)()()(2112xfxfxf)()()(2122xfxfxf)()(21xfxf221)()(xfxf0使,)()(21时当xfxf,0)(xf,0)()(21xFxF故由零点定理知 , 存在, ),(21xx,0)(F即. )()()(21xfxff当)()(21xf

7、xf时, 取1x或2x, 则有)()()(21xfxff证明:小结 目录 上页 下页 返回 结束 *三三. 一致连续性一致连续性已知函数)(xf在区间 I 上连续, 即:,0Ix ,0,0,0时当 xx)()(0 xfxf一般情形,.,0都有关与x,0无关时与若x就引出了一致连续的概念 .定义定义:, I, )(xxf对,0若,0存在, I,21xx对任意的都有,)()(21xfxf)(xf则称在在 I 上一致连续上一致连续 .显然:上一致连续在区间 I)(xf上连续在区间 I)(xf机动 目录 上页 下页 返回 结束 ,21时当 xx例如例如,xxf1)(, 1,0(C但不一致连续 .因为,

8、 ) 10(0取点, )N(,11211nxxnn则 21xx 111nn) 1(1nn可以任意小但)()(21xfxf) 1( nn1这说明xxf1)(在 ( 0 , 1 上不一致连续 .定理定理., ,)(baCxf若,)(baxf在则上一致连续.(证明略)思考思考: P73 题 6提示提示:设)(, )(bfaf存在, 作辅助函数)(xFaxaf, )(bxaxf, )(bxbf, )(,)(baCxF显然机动 目录 上页 下页 返回 结束 内容小结内容小结则设, ,)(baCxf在)(. 1xf上达到最大值与最小值;上可取最大与最小值之间的任何值;4. 当0)()(bfaf时, ),(

9、ba使. 0)(f必存在,ba上有界;在)(. 2xf,ba在)(. 3xf,ba机动 目录 上页 下页 返回 结束 1. 任给一张面积为 A 的纸片(如图), 证明必可将它思考与练习思考与练习一刀剪为面积相等的两片.提示提示: 建立坐标系如图.xoy则面积函数,)(CS因,0)(SAS)(故由介值定理可知:, ),(0.2)(0AS使机动 目录 上页 下页 返回 结束 )(S则, 2,0)(aCxf, )2()0(aff证明至少存在, ,0a使. )()(aff提示提示: 令, )()()(xfaxfx则, ,0)(aCx 易证0)()0(a2. 设作业作业P73 题 2 ; 3; 4一点习题课 目录 上页 下页 返回 结束