复变函数积分

1、第三章第三章 复变函数的积分复变函数的积分-2-工程数学-复变函数1 复变函数积分的概念复变函数积分的概念1. 积分的定义积分的定义定义定义和在局部弧段上任意取点和在局部弧段上任意取点, 极限极限为为A终点为终点为B的一条的一条光滑的有向曲线光滑的有向曲线.设函数设函数w =f (z)定义在区域定义在区域D内内, ()kkfznk 10lim都都存在存在且且唯一唯一，则称此极限为函数则称此极限为函数Cf zz( )d记作记作沿沿曲线弧曲线弧C的积分的积分.( )f zABCkkz1kzkz若对若对C 的任意分割的任意分割C为在区域为在区域D内起点内起点xyo-3-工程数学-复变函数关于定义的说

2、明关于定义的说明:( )dCf zz( )dbaf zz(4) 一般不能把一般不能把写成写成的形式的形式.( )f z( )dCf zz(1) 用用表示表示沿着曲线沿着曲线C的负向的积分的负向的积分.( )d . Cf zz( )f z(2) 沿着闭曲线沿着闭曲线C的积分记作的积分记作( )( ),f zu x(3) 如果如果C是是 x 轴上的区间轴上的区间, axb而而则则( )d( )d .bCaf zzu xx-4-工程数学-复变函数2.积分的性质积分的性质CCzzfzzfd)(d)() iMzfCzfLC | )(|)(,)iv上满足在长度为设曲线CCCzzgzzfzzgzfd)(d)

3、(d)()()iii)( ;d)(d)()ii为常数kzzfkzzfkCCLMszfzzfCCd| )(|d)(则-5-工程数学-复变函数例例1. 1d8 ,1Czzz证证证明证明其中其中 C 为正向圆周：为正向圆周：12z 利用积分估值性质，有利用积分估值性质，有1d1Czzz1d1Czsz1 2d2Czs 12d2Czs 2dCs8-6-工程数学-复变函数3.积分存在的条件及计算法积分存在的条件及计算法定理定理:C 的参数方程为的参数方程为zz tx ty t( )( )i ( ),:t则曲线积分则曲线积分存在存在, 且有且有连续连续,( )wf z在有向光滑弧在有向光滑弧 C 上有定义且

4、上有定义且设函数设函数Cf zz( )dddddCCu xv yv xu yif z t z tt ( ) ( )du x ty tv x ty t ( ), ( )i ( ), ( )dx ty tt ( )i( )ddCuvxy(i )(i)-7-工程数学-复变函数例例2. n 1C0dz(zz )解解计算计算oyxi0:02C zzre的正向圆周，的正向圆周， 为整数为整数.n0zr10d()nCzzzi21 i(1)0idnnrere2i0idnner其中其中 C 为以为以 中心，为半径中心，为半径0zr0,n 2 i,0,0.n i0zzrez-8-工程数学-复变函数例例3. 解解

5、Re d , Cz z(1) 积分路径的参数方程为积分路径的参数方程为( )i(01),z tttt Re, d(1 i)d ,ztzt于是Re dCz z1(1 i);2计算计算其中其中C为为:(1) 从原点到点从原点到点1+i的直线段的直线段;(2) 从原点沿从原点沿 x 轴到点轴到点1,再到点再到点1+i的折线段的折线段;i1y=xoyx110(1 i)dtt-9-工程数学-复变函数1 iy=x(2) 积分路径由两段直线段构成积分路径由两段直线段构成x 轴上直线段的参数方程为轴上直线段的参数方程为( )(01),z ttt 1 1到到1+1+i直线段的参数方程为直线段的参数方程为( )1

6、 i(01),z ttt Re, dd ,ztzt于是 Re1, did ,zzt于是Re dCz z10d t t101 idt1i.2oyx1-10-工程数学-复变函数例例4. . 解解: d , Cz z(1) 积分路径的参数方程为积分路径的参数方程为( )i(01),z tttt d(1)d ,zit于是dCz z10(i )(1 i)dttti计算计算其中其中C为为:(1) 从原点到点从原点到点1+i的直线段的直线段;(2) 从原点沿从原点沿 x 轴到点轴到点1,再到点再到点1+i的折线段的折线段;1 iy=xoyx1-11-工程数学-复变函数i1y=x(2) 积分路径由两段直线段构

7、成积分路径由两段直线段构成x 轴上直线段的参数方程为轴上直线段的参数方程为( )(01),z ttt 1 1到到1+1+i直线段的参数方程为直线段的参数方程为( )1 i(01),z ttt dd ,zt于是 did ,zt于是dCz z10d t t10(1 i ) idtt12oyx11i2 i-12-工程数学-复变函数2 柯西定理柯西定理. 0d)(CzzfB 内内处处解析处处解析, 定理定理1任何一条封闭曲线任何一条封闭曲线 C 的积分的积分则则 f (z) 在在B内内(黎曼证明，把条件加强：假设黎曼证明，把条件加强：假设 连续连续 .)( )fz 证证假设在单连通域假设在单连通域 B

8、 内内, ( )if zuv解析解析,( )fz连续连续.BC1. 柯西定理柯西定理如果函数如果函数 f (z) 在在单连通域单连通域为零为零:-13-工程数学-复变函数因为因为( )ii,xxyyfzuvvu所以所以,xyxyuuvv,在在B 内连续，内连续， 且满足且满足C-R条件条件.任取任取B内闭曲线内闭曲线C, 则则( )dCf zz ddiddCCuxvyvxuy由由格林公式格林公式得得dd()d0 xyCDuxvyvudd()d0 xyCDvxuyuv所以所以. 0d)(Czzf-14-工程数学-复变函数解解11d .23z zz123 z 由柯西定理由柯西定理, 有有11d0.

9、23zzz1 z 计算积分计算积分例例1.因为函数因为函数在在内解析，内解析，-15-工程数学-复变函数21i21d .(1)zzz z 211111,(1)2iiz zzzz1 z21i21d(1)zzz z 1i211111d2i2izzzzz 1i2z 解解由柯西定理由柯西定理, 有有计算积分计算积分因为函数因为函数都在都在上解析，上解析，例例2.和和1i z -16-工程数学-复变函数111iii22211111ddd2i2izzzzzzzzz 01i211d2izzz 12 i2 i. -17-工程数学-复变函数. 0d)(Czzf函数函数 f (z)处处解析处处解析定理定理2在在单

10、连通域单连通域 B 内，内，( )dABf zz与路径无关与路径无关.BC函数函数 f (z)在在B内内解析解析，定理定理3的内部，的内部，C 为一条封闭曲线为一条封闭曲线, 在在 上连续上连续BBC则则. 0d)(Czzf B为为C-18-工程数学-复变函数Bxyo2. 原函数与不定积分原函数与不定积分如果函数如果函数 f (z)在单连通域在单连通域定理定理4与路径无关与路径无关.B 内处处解析内处处解析, Czzfd)(则积分则积分定理定理5处处解析处处解析,如果如果 f (z)在单连通域在单连通域B内内则函数则函数F (z) = f (z)必为必为B内的一个内的一个解析函数解析函数, 并

11、且并且0z( )zF zf zz( )d0zz-19-工程数学-复变函数利用导数的定义来证.B zK证证为中心以z.KB内的小圆作一含于充分取 z)()(zFzzFzzzzzff00d)(d)( , )( 的定义由zF , 内在小使Kzz由于由于积分与路线无关积分与路线无关, ,0( )d zzzf0 zz先先取取到到 ，的积分路线可, zzz沿直线到然后从于是zz 0z, 内任一点为设Bz-20-工程数学-复变函数0( )dd(zzzzzff()( )F zzF z0( )dzzf,d)(zzzf zzzzfd)( 因为 zzzzfd)(,)(zzf)()()( zfzzFzzF所以)(d)

12、(1zffzzzzd)()(1zffzzzz-21-工程数学-复变函数 ( ) , f zD因为在内解析 ( ) , f zD所所以以在在内内连连续续, 0, 0 故 的一切使得满足 z , 时即z,)()( zff总有由积分的估值性质, , 内都在 K)()()( zfzzFzzFd)()(1zffzzzz-22-工程数学-复变函数)()()( zfzzFzzFd)()(1zffzzzzszffzzzzd| )()(|1.1zz, 0)()()(lim 0zfzzFzzFz于是).()( zfzF即 证毕证毕 -23-工程数学-复变函数定义定义1 如果在区域如果在区域 B 内内在区域在区域

13、B 内的内的原函数原函数.F (z) = f (z) ,则称则称 F(z) 为为 f (z)f z( )在区域在区域 B上的原函数全体上的原函数全体不定积分不定积分, 记作记作定义定义2F zC( )f zz( )df z( )在在 B上的上的称为称为定理定理610zzf zz( )d如果如果 f (z) 在单连通域在单连通域 B 内处处解析内处处解析, 的一个原函数的一个原函数, 则则这里这里z0, z1为域为域 B 内的两点内的两点.G(z)为为 f (z)10G zG z()(),-24-工程数学-复变函数例例3. 解解计算积分i20(1)cosdzzz1 i1(2)dzzezi20(1

14、)cosdzzzi2201cosd()2zz2i2011sinsin22z 1 i1(2)dzzez1 i1 i11dzzzeez1 i1 i1(1 i)zeee1 iie-25-工程数学-复变函数3.复合闭路定理复合闭路定理定理定理71( )d( )d ,;knkkCCf zzf zzCCi)与均取正方向是在是在 C 内部的内部的简单闭曲线简单闭曲线, 且且 设设C为为多连通域多连通域 D 内的内的互不包含互不包含也也互不相交互不相交, 另外以另外以C, C1, C2, . , Cn 为边界的区域为边界的区域iid0f zz)( ),如果如果 f (z) 在在D内内解析解析, 则则一条一条简

15、单闭曲线简单闭曲线, C1, C2, . , CnD1CC2C1nCCC .全含于全含于D.-26-工程数学-复变函数证证这样区域这样区域D就被分为就被分为D1和和D2两两考虑只有两条围线考虑只有两条围线C0, C1 的情况的情况.区域，区域，作辅助线段作辅助线段L1和和L2连接连接 C0,和和C1，D0C1C域域, 而且而且 f (z) 在在 内内解析解析, 12DD和由柯西积分定理，有由柯西积分定理，有,1( )d0,Df zz2( )d0,Df zz所以所以12( )d0,DDf zz1L2L2D1D显然显然D1和和D2都是单连通都是单连通-27-工程数学-复变函数12011212DDC

16、CLLLL而+，所以所以12( )dDDf zz01( )d( )dCCf zzf zz11( )d( )dLLf zzf zz即即01( )d( )d0,CCf zzf zz或或01( )d( )d .CCf zzf zz22( )d( )d0LLf zzf zzD0C1C1L2L2D1D-28-工程数学-复变函数xyo121C2C解解 , 21围成一个圆环域和CC, 处处解析在此圆环域和其边界上函数zez圆环域的边界构成一条复合闭路,根据闭路复合定理,dzzez例例4.计算积分计算积分其中其中 为正向圆周为正向圆周2z和负向圆周和负向圆周 组成组成.1z. 0d zzez得得-29-工程数

17、学-复变函数例例5. 10d()nCzzz解解计算计算oyx简单闭曲线，简单闭曲线， n 为整数为整数.0z110d()nCzzz其中其中 C 为包围为包围 z0 的任意正向的任意正向0,n 2 i,0,0.n 在在C内部作以内部作以z0为圆心的圆周为圆心的圆周C1，取正向取正向. 由复合闭路定理，得由复合闭路定理，得10d()nCzzz-30-工程数学-复变函数C例例6. 221d ,Czzzz解解:计算计算oyx0,1zz的正向简单闭曲线的正向简单闭曲线.包含圆周包含圆周1z 11C2C为奇点为奇点.在在C内作互不相交，互不包含的内作互不相交，互不包含的12,C C1C只包含只包含0,z

18、1,z 2C只包含只包含其中其中 C 为为圆周圆周由复合闭路定理，得由复合闭路定理，得221dCzzzz12222121ddCCzzzzzzzz-31-工程数学-复变函数C11C2Coyx221dCzzzz12222121ddCCzzzzzzzz11221111dddd11CCCCzzzzzzzz4 i2 i02 i0121111dd11CCzzzzzz-32-工程数学-复变函数例例7. 2d,(1)Czz z 解解:计算计算其中其中 C 为为正向圆周：正向圆周：3i2z iCi1C2C0,i,zz 在在C内作互不相交，互不包含的内作互不相交，互不包含的12,;C C1C只包含只包含0,z i

19、.z 2C只包含只包含圆周圆周得得21d(1)Czz z 122211dd(1)(1)CCzzz zz zC内包含奇点内包含奇点由复合闭路定理，由复合闭路定理，oyx-33-工程数学-复变函数21d(1)Czz z 122211dd(1)(1)CCzzz zz z111111d2i2iCzzzz211111d2i2iCzzzz2 i12 i2iiCi1C2Coyx-34-工程数学-复变函数3 柯西公式柯西公式定理定理1 如果如果 f (z) 在区域在区域 D 内处处解析内处处解析, C 为为 D 内的任何一条正向简单内的任何一条正向简单闭曲线闭曲线,它的内部完全含于它的内部完全含于 D, z0

20、为为 C 内的任一点内的任一点, 则则0012Cf zf zzzz( )()diDC0z1.柯西公式柯西公式-35-工程数学-复变函数证：证：0( )().f zf z0,0, 当当00zz时，时，由于由于f (z) 在在 连续，连续，0z所以所以 在在C内部作圆周内部作圆周0:,KzzR 那么那么00( )( )ddCKf zf zzzzzzz0000()( )()ddKKf zf zf zzzzzzz000( )()2 i()dKf zf zf zzzzDC0zR-36-工程数学-复变函数0000( )()( )()ddKKf zf zf zf zzszzzz而而d2KsR即即00( )(

21、)d0Kf zf zzzz001( )()d2 iCf zf zzzz所以所以-37-工程数学-复变函数注：注：1）柯西公式常写作）柯西公式常写作00( )d2 i()Cf zzf zzz2）i0:,C zzRe若若则则2i0001()()d2f zf zRe平均值公式平均值公式-38-工程数学-复变函数例例1.(2 例例6. )221d ,Czzzz的正向简单闭曲线.包含圆周1z 其中 C 为221dCzzzz12222121ddCCzzzzzzzz解解:121111dd11CCzzzzzz1221 1211dd11CCzzzzzzzz2 i212 i1zzz212 i01zzz2 i4 i

22、C11C2Coyx-39-工程数学-复变函数2d,(1)Czz z 解解:其中其中 C 为为正向圆周：正向圆周：3i2z Coyxii1C2C21d(1)Czz z 122211dd(1)(1)CCzzz zz z1221111dd1(i)iCCzzzzz zz212 i01 zz12 ii(i) zz z 2 iii例例2. (2 例例7.)-40-工程数学-复变函数例例3. 42sind ,1CzIzz解解:计算计算其中其中 C 为为(1) 正向圆周：正向圆周：11 2z (3) 正向圆周：正向圆周：2z (2) 正向圆周：正向圆周：11 2z 44sinsin11dd2121CCzzIz

23、zzz(1)1122 i (sin)i242zIz -41-工程数学-复变函数解解:44sinsin11dd2121CCzzIzzzz(2)1122 i ( sin)i242zIz(3)11112 i ( sinsin2 i2424zzIzz例例3. 42sind ,1CzIzz计算计算其中其中 C 为为(3)正向圆周：正向圆周：2z (2)正向圆周：正向圆周：11 2z -42-工程数学-复变函数i(1)d , :i1;izCezCzz2| | 2(2)d(5)(i)zzzzz求下列积分的值求下列积分的值. .ii 1(1)dizzezz 解：解：ii2 i2izzee例例4.-43-工程数

24、学-复变函数2( )5zf zz22d(5)(i)zzzzz(2) 注意到函数注意到函数2z 在在内解析，而内解析，而i2z 在在内，由柯西积分公式得内，由柯西积分公式得i22i5zzz2| 25dizzzzz13 2| | 2(2)d(5)(i)zzzzz-44-工程数学-复变函数2| 5371( )dzf zz 故得到故得到 ( )2i(67)fzz1 i( )|( 1 i)zfzf 2| 5371( )dzf zz 1 i( )|zfz 设设 例例5.根据柯西积分公式，得到根据柯西积分公式，得到22 i(371)|z22i(371)zz解：解：求求2i6( 1 i)7=122 i -45

25、-工程数学-复变函数2. 解析函数的高阶导数解析函数的高阶导数0101 22nnCnf zfzznzz( )!( )()d(, ,)i()解析函数解析函数 f (z)的导数为解析函数的导数为解析函数, 其中其中 C 为在为在 f (z) 的解析区域的解析区域D内围绕内围绕 z0 的任何一条正向的任何一条正向简单曲线简单曲线, 而且它的内部全含于而且它的内部全含于D.定理定理2它的它的n阶导数为阶导数为:注注：高阶导数公式常写成如下形式高阶导数公式常写成如下形式01021 2nnCf zzfznzzn( )( )id()(, ,)()!-46-工程数学-复变函数例例6. 3cosd ,(i)Cz

26、zz 解解:计算计算的正向闭曲线的正向闭曲线.iz 其中其中 C 为绕为绕3cosd(i)Czzz 22zziicos!zzii( cos )12eei() -47-工程数学-复变函数例例7. 324cosd .(1)zzIzzz解解:计算计算在在 内有奇点：内有奇点：4z 0,1zz作圆周作圆周1211:,:1,23CzCz于是于是123232coscosdd(1)(1)CCzzIzzzzzz12II-48-工程数学-复变函数20221zzzicos!()6i()1123cos1d(1)CzIzzz6 i2232cos1d(1)CzIzzz312zzzcosi所以所以12(12) iIII

27、1211:,:1,23CzCz-49-工程数学-复变函数4 解析函数与调和函数的关系解析函数与调和函数的关系22220 xy定义定义1在区域在区域D内具有二阶连续偏内具有二阶连续偏若二元函数若二元函数x y( , )导数，且满足拉普拉斯（导数，且满足拉普拉斯（Laplace）方程）方程则称则称为区域为区域 D内的内的调和函数调和函数.x y( , )若若 为解析函数，为解析函数，f zu x yv x y( )( , )i ( , )定理定理1则其实部则其实部 u和虚部和虚部 v 都是都是调和函数调和函数.设设 f (z)=u+iv 在区域在区域D内解析内解析, 则由则由C.-R.条件条件证：

28、证：-50-工程数学-复变函数,xvyuyvxu 得得222222,uvuvxx yyy x 22220uuxy同理同理,22220vvxy即即u及及v都是都是D内的调和函数内的调和函数.2vx y 2uy x 因因 与与 D内连续，内连续，它们它们 必定相等，必定相等， 故在故在D内有内有-51-工程数学-复变函数定义定义2定理定理2设设f zu x yv x y( )( , )i ( , )则则 v(x,y)必为必为 u(x,y)的的共轭调和函数共轭调和函数.u(x,y),v(x,y)是是D内的内的调和函数调和函数，且满足，且满足C.-R.条件：条件：,xvyuyvxu 则称则称 v(x,

29、y) 为为 u(x,y)的的共轭调和函数共轭调和函数.是区域是区域 D 的解析函数，的解析函数，-52-工程数学-复变函数例例1. 解解:已知已知arctan(0)yvxx是右半复平面的调和函数，是右半复平面的调和函数，求调和函数求调和函数 u，使使 u 的共轭调和函数是的共轭调和函数是 v.22,yxyuvxy 由由C.-R.条件，得条件，得22,xyxuvxy( , )(1,0)ddx yxyuuxuy22101ddxyyxyxxy221ln()2xyddd ,xyuuxuy-53-工程数学-复变函数例例2. 解解:已知已知323,uxxy验证验证 u 是调和函数，是调和函数， 并求以并求

30、以 u为为实部实部的解析函数的解析函数 f (z), 使使 f (0) = i .2233,xuxy因为因为6,yuxy 6( 6 )0,xxyyuuxx 所以所以 u 是调和函数是调和函数.( )iuufzxy22(33)i6xyxy23z33( )( )d3df zfzzzzzC又又 f (0) = i ，所以所以3i,( )iCf zz-54-工程数学-复变函数作业作业P31 1. (1)(3); 2. ;4.(1)(3)(4)(5)(6)(8)(9)(12);5. 6. 9. 10.-55-工程数学-复变函数 ch3 复变函数积分复变函数积分一、知识要点一、知识要点Cf zz( )dC

31、Cuxvyivxuyddddf z t z tt ( ) ( )dCuivxiy()(dd )1. 复积分基本计算法复积分基本计算法曲线曲线C:( )( )( )zz tx tiy t,:t-56-工程数学-复变函数2. 柯西柯西-古萨基本定理古萨基本定理, 0d)(Czzf函数函数 f (z)在在单连通域单连通域 B 内，内，( )ABf z dz与路径无关与路径无关.1) 其中其中C是是 B 任意一条简单封闭曲线任意一条简单封闭曲线.2)解析解析, 并且并且0z( )zF zf z dz( )3)F zf z( )( ).1100z10( )zzzf z dzG zG zG z( )()(

32、)4)-57-工程数学-复变函数3.复合闭路定理复合闭路定理1ii)( )d( )d ,;knkkCCf zzf zzCC与均取正方向iii0f z dz)( ),1nCCC i)( )d( )dCCf zzf zz-58-工程数学-复变函数4. 柯西积分公式柯西积分公式00112Cf zf zzizz( )()d01021 22nnCnf zfzdznizz( )!( )()(, ,)()-59-工程数学-复变函数5. 调和函数调和函数22220 xy1) 调和函数调和函数2) 共轭调和函数共轭调和函数xvyuyvxu,若若 为解析函数，为解析函数，f zu x yiv x y( )( ,

33、)( , )3)则其虚部则其虚部 v是实部是实部 u 的的共轭调和函数共轭调和函数.-60-工程数学-复变函数 二、典型例题二、典型例题.10,d)1 (3的光滑闭曲线与是不经过其中计算CzzzeCz解解: 分以下四种情况讨论：分以下四种情况讨论：则也不包含既不包含若封闭曲线, 10) 1C,)1 ()(3内解析在Czzezfz. 0d)1 (3Czzzze由柯西定理得例例1.-61-工程数学-复变函数则而不包含包含若封闭曲线, 10)2C由柯西积分公式得内解析在,)1 ()(3CzezfzxyOC 1zzzezzzeCCzzd)1 (d)1 (3303)1 (2zzzei.2 i-62-工程数学-复变函数则而不包含包含若封闭曲线, 01)3C,)(内解析在Czezfz由高阶导数公式得zzzezzzeCCzzd)1 (d)1 (33zzzeCzd) 1(3) 1 (! 22fi 132)22(zzzezzi. ie-63-工程数学-复变函数, 01)4又包含既包含若封闭曲线C,0,1 , 021CC为半径作圆以为圆心则分别以据复合闭路定理有Czzzzed)1 (321d)1 (d)1 (33CzCzzzzezzzexyOC 11C2C,2121互不