第三章函数第三节反比例函数

1、 第三章第三章 函函 数数 第三节第三节 反比例函数反比例函数 考点精讲反反比比例例函函数数反比例函数的图象及性质反比例函数的图象及性质反比例函数中比例系数反比例函数中比例系数k的几何意义的几何意义反比例函数解析式的确定反比例函数解析式的确定反反比比例例函函数数的的图图象象及及性性质质表达式表达式y= （k为常数，为常数，k0 ），也可以表示），也可以表示 xy=k 函数函数图象图象k _0k _0反比例函数的图象是一条双曲线，且关于原点成中心对称反比例函数的图象是一条双曲线，且关于原点成中心对称所在象限所在象限第第 _象限（象限（x、y同号）同号）第第_象限（象限（x、y异号）异号）增减性增

2、减性在每一象限内，在每一象限内，y 随随x的增大的增大而而_ 在每一象限内，在每一象限内，y 随随x的增大的增大而而_对称性对称性关于直线关于直线y=x，y=-x成轴对称，关于成轴对称，关于_成中心对称成中心对称kx二、四二、四增大增大减小减小一、三一、三原点原点反比例函反比例函数中比例数中比例系数系数k的的几何意义几何意义1.k的几何意义：如图，过反比例函数图象上的几何意义：如图，过反比例函数图象上 任一点任一点P（x,y）作）作x轴、轴、y轴轴 的垂线的垂线PM、PN,所得矩形所得矩形 PMON的面积的面积S= _ =|x| |y|=|xy|=_. 2.常见的反比例函数图象中有关面积的类型

3、常见的反比例函数图象中有关面积的类型PMPN|k|2.常见的反比例函数图象中有关面积的类型常见的反比例函数图象中有关面积的类型 SAOP_ SBOP SAPB= _； S矩形矩形OAPB=k _（P、P1关于原关于原点对称）点对称）2k2|k|2k2k11 11 12 12 1A AP PP PS S 反比例函数反比例函数解析式的确立解析式的确立待定系数法待定系数法（2011版课标新增内容）版课标新增内容）利用利用k的几何意义求解的几何意义求解待待定定系系数数法法1.设出反比例函数解析式设出反比例函数解析式 y= ；2.找出满足反比例函数解析式的点找出满足反比例函数解析式的点P（a，b）；）；

4、3.将点将点P（a，b）代入解析式得）代入解析式得k= _；4.将将k的值代入的值代入y= 确定反比例函数解析式确定反比例函数解析式kxkxab13 13 利用利用k 的的几何意义几何意义 求解求解若已知某点到坐标轴的垂线与坐标轴所围成若已知某点到坐标轴的垂线与坐标轴所围成图形为矩形或三角形的面积，根据函数图象图形为矩形或三角形的面积，根据函数图象所在象限确定所在象限确定k的符号，从而确定的符号，从而确定k值，求得值，求得过该点的反比例函数解析式；若所围图形为过该点的反比例函数解析式；若所围图形为一般图形，可将其转化为矩形或三角形的和一般图形，可将其转化为矩形或三角形的和或差，确定或差，确定k

5、值，求得反比例函数的解析式值，求得反比例函数的解析式 重难点突破反比例函数与一次函数综合题（难点）反比例函数与一次函数综合题（难点）例例（2015舟山舟山）如图，直线）如图，直线y=2x与反比例函数与反比例函数y= (k0，x0）的图象交于点）的图象交于点A（1，a），），B是反比例函数图象上一是反比例函数图象上一点，直线点，直线OB与与x轴的夹角为轴的夹角为 ，tan = .（1）求）求k的值；的值；（2）求点）求点B的坐标；的坐标；（3）设点）设点P（m，0），使），使PAB的面积的面积 为为2，求，求m的值的值.kx12例题图例题图 【思维教练思维教练】（1）要求反比例函数系数）要求反比

6、例函数系数k的值，的值，只需找到经过反比例函数图象的点坐标，根据只需找到经过反比例函数图象的点坐标，根据横、纵坐标之积即可求解；横、纵坐标之积即可求解；（2）要求点）要求点B的坐标，观察图象点的坐标，观察图象点B在反比例在反比例函数的图象上，结合已知函数的图象上，结合已知tan ，可得其横、纵坐标的关系，可得其横、纵坐标的关系，再结合反比例函数解析式，点再结合反比例函数解析式，点B的坐标即可求解；的坐标即可求解；12例题图例题图（3）已知）已知P（m,0）和）和PAB的面积，求的面积，求m的值，观察图形的值，观察图形PAB的三边均不在坐标轴上，故考虑将其面积转化为一边在坐标轴上的三边均不在坐标

7、轴上，故考虑将其面积转化为一边在坐标轴上（或一边平行于坐标轴）的两个三角形的面积和差来求解（或一边平行于坐标轴）的两个三角形的面积和差来求解.由由(1)(2)知知A、B两点的坐标，设直线两点的坐标，设直线AB与与x轴交于点轴交于点D，PAB的面积就的面积就可转化为可转化为SPABSPAD -SPBD，m的值即可求解的值即可求解. 解解：（：（1）把点）把点A（1，a）代入）代入y=2x，得，得a=2，点点A坐标为（坐标为（1，2），），把点把点A（1，2）代入）代入y= ，得，得k=12=2；kx（2）如解图，过点）如解图，过点B作作BCx轴于点轴于点C，在在Rt BOC中，中，tan = ，

8、可设点可设点B（2h，h）.点点B（2h，h）在反比例函数）在反比例函数y= 的图象上，的图象上，2h2=2，解得，解得h=1，h0，h=1，点点B的坐标为（的坐标为（2，1）；）；例题解图例题解图2x12 （3）设直线）设直线AB的解析式为的解析式为y=nx+t，将点将点A（1，2）,B（2，1）代入）代入ynx+t，得，得 直线直线AB的解析式为的解析式为y=-x+3.如解图，设直线如解图，设直线AB与与x轴交于点轴交于点D，则，则D（3，0），），SPAB =SPAD -SPBD =2，P（m，0），）， 3-m（2-1）=2，解得解得m1=-1，m2=7，点点P的坐标为（的坐标为（-1

9、，0）或（）或（7，0）.n+t=22n+t=1,n=-1t=312解得解得,例题解图例题解图满满 分分 技技 法法对于一次函数与反比例函数综合题，设问常有：求函数解对于一次函数与反比例函数综合题，设问常有：求函数解析式，求交点坐标，判断两函数值大小时自变量的取值范析式，求交点坐标，判断两函数值大小时自变量的取值范围，与线段有关的问题，与图形面积有关的问题，解决这围，与线段有关的问题，与图形面积有关的问题，解决这些问题的一般方法为：些问题的一般方法为：1.求函数解析式：一般先通过一个已知点求得反比例函数求函数解析式：一般先通过一个已知点求得反比例函数 解析式，若已知一次函数与反比例函数的两个交

10、点坐标，解析式，若已知一次函数与反比例函数的两个交点坐标， 求一次函数解析式只需将交点坐标代入一次函数解析式，求一次函数解析式只需将交点坐标代入一次函数解析式， 利用待定系数法求解；利用待定系数法求解；2.求交点坐标：已知函数求交点坐标：已知函数y=ax+b及及y= 的解析式，求它们的解析式，求它们 图象的交点图象的交点A、B的坐标时，根据函数与方程的关系联立的坐标时，根据函数与方程的关系联立 两个函数关系式，求解方程组即可；对于正比例函数与两个函数关系式，求解方程组即可；对于正比例函数与 反比例函数的交点问题，利用正比例函数与反比例函数反比例函数的交点问题，利用正比例函数与反比例函数 均关于

11、原点对称，只要知道一个交点坐标，然后求其关均关于原点对称，只要知道一个交点坐标，然后求其关 于原点对称的点坐标即可求得另一交点坐标；于原点对称的点坐标即可求得另一交点坐标；kx3.判断两函数值的大小时自变量的取值范围：判断两函数值的大小时自变量的取值范围：（1）分区：过两函数图象的交点分别做）分区：过两函数图象的交点分别做 y轴的平行线，连轴的平行线，连 同同 y 轴，将平面分为四部分，如图，即轴，将平面分为四部分，如图，即， ；（2）观察函数图象找答案：根据函数图象上方的值总）观察函数图象找答案：根据函数图象上方的值总 比函数图象下方的值大，在各区域内找相应的比函数图象下方的值大，在各区域内

12、找相应的x的的 取值范围取值范围: ，区域内：区域内： ax+b，自变量的，自变量的 取值范围为取值范围为xxB 或或0 xxA； ，区域内：区域内：ax+b ,自变量的自变量的 取值范围为取值范围为xBx0或或xxA.kxkx4.与线段有关的问题，主要是将线段两端点的坐标表示与线段有关的问题，主要是将线段两端点的坐标表示 出来出来.例：已知例：已知A（x1，y1），），B（x2，y2），则），则AB长为长为 .涉及线段之和最小，一般已知涉及线段之和最小，一般已知 一条直线（或坐标轴）和直线（或坐标轴）同旁的两一条直线（或坐标轴）和直线（或坐标轴）同旁的两 个点，要求直线（或坐标轴）上一动点使

13、得两条线段个点，要求直线（或坐标轴）上一动点使得两条线段 之和最小，通过作其中一个已知点关于已知直线（或之和最小，通过作其中一个已知点关于已知直线（或 坐标轴）的对称点，利用两点之间线段最短求解；坐标轴）的对称点，利用两点之间线段最短求解； 221212xxyy 5.求几何图形的面积：求几何图形的面积：（1）当所求图形有一边在坐标轴上或与坐标轴平行时，）当所求图形有一边在坐标轴上或与坐标轴平行时， 可可将该边作为底边，利用点的坐标求得底边上的将该边作为底边，利用点的坐标求得底边上的 高，然后利用面积公式求解；高，然后利用面积公式求解；（2）当三边均不在坐标轴上时，一般可采用割补法将其）当三边均

14、不在坐标轴上时，一般可采用割补法将其 转化为一边在坐标轴上（或一边平行于坐标轴）的转化为一边在坐标轴上（或一边平行于坐标轴）的 两个三角形面积的和或差来求解两个三角形面积的和或差来求解. 此外，求面积时要充分利用此外，求面积时要充分利用“数形结合数形结合”的思想，即用的思想，即用“坐坐 标标”求求“线段线段”，用，用“线段线段”求求“坐标坐标”.【拓展拓展】如图，直线如图，直线y1=x+2与双曲线与双曲线y2= 交于交于A（m，4）,B（-4，n）.（1）求）求k值；值；（2）当）当y1y2时请直接写出时请直接写出x的取值范围；的取值范围；（3）P为为x轴上任意一点，当轴上任意一点，当ABP为

15、直角三角形时，求为直角三角形时，求 P点坐标点坐标.拓展题图拓展题图kx解解：（：（1）根据题意可将点）根据题意可将点A（m,4），），B（-4,n）代入直线）代入直线y1=x+2，得，得m+2=4,-4+2=n,解得解得m=2,n=-2,点点A坐标为（坐标为（2,4）,点点B坐标为（坐标为（-4,-2）.将点将点A（2，4）代入双曲线）代入双曲线y2= ，可得可得k=8; kx（2）观察图象可得）观察图象可得:y1y2时，时，-4x0或或x2；（3）设）设 x 轴上的点轴上的点P坐标为（坐标为（a，0）,点点A坐标为（坐标为（2，4），点），点B坐标为（坐标为（-4，-2），），PA2(2-a)2+42=(a-2)2+16,PB2=(-4-a)2+(-2)2=(a+4)2+4,AB2(-4-2)2+(-2-4)2=72.当当BAP=90时时,AB2+PA2=PB2，即即72+(a-2)2+16=(a+4)2+4，解得解得a=6，则点则点P坐标为（坐标为（6，0）；）；当当ABP=90时，时，AB2+PB2PA2，即即72+(a+4)2+4=(a-2)2+16,解得解得a=-6,则点则点P坐标为（坐标为（-6，0）；）；当当APB=90，PA2+PB2=AB2,即即(a-2)2+16+(a+4)2+4=72，解得解得a= 或或a= ，则点则点P的坐标为（的坐标为（ ，0