大学物理(光学、热学四)

1、热学、光学热学、光学主讲刘秉安主讲刘秉安一、教学内容：一、教学内容：热学、波动与光学、量子物理热学、波动与光学、量子物理二、教学考核：二、教学考核：期末考试成绩平时成绩期末总成绩期末考试成绩平时成绩期末总成绩 (平时成绩平时成绩20%)热学热学（Thermology） 研究与热现象有关的规律研究与热现象有关的规律研究方法：研究方法：宏观法：宏观法：以实验为基础，研究系统与外界以实验为基础，研究系统与外界的相互作用规律。的相互作用规律。微观法：微观法：对大量分子的行为作统计分析，对大量分子的行为作统计分析，建立宏观量与微观量的联系。建立宏观量与微观量的联系。热现象：热现象：大量分子无规则运动大量

2、分子无规则运动(热运动热运动)的集的集 体表现体表现热力学系统：热力学系统：由大量分子组成的系统由大量分子组成的系统第一章第一章 气体动理论气体动理论(Kinetic Theory of Gases)主要内容：主要内容：压强公式压强公式温度的微观解释温度的微观解释能量均分定理能量均分定理理想气体的内能理想气体的内能麦克斯韦速率分布率麦克斯韦速率分布率*玻尔兹曼分布率玻尔兹曼分布率*分子的平均碰撞频率与平均自由程分子的平均碰撞频率与平均自由程1.1 平衡态平衡态 (Equilibrium State)在不受外界影响的条件下，系统的宏在不受外界影响的条件下，系统的宏观性质不随时间改变的状态。观性质

3、不随时间改变的状态。状态参量状态参量(描述平衡态的宏观量描述平衡态的宏观量)e.g. P、V、T、E(内能内能)、S(熵熵) P (pressure)SI单位：单位：Pa (1 Pa=1 N/m2)其它单位：其它单位：1 mmHg=1.333 102 Pa 1 atm=1.013 105 Pa V (volume)SI单位：单位：m3其它单位：其它单位：1 l=10-3 m3 1 cm3= 10-6 m3T (temperature)摄氏温标摄氏温标(Celsius scale)单位：单位：开氏温标开氏温标(Kelvin scale)单位：单位：KTc=Tk-273.15目前，目前，Tmin=

4、2.4 10 11K (激光冷却法激光冷却法) P-V图图ABPV0点点平衡态平衡态线线准静态过程准静态过程(过程过程中的每一时刻，系统都中的每一时刻，系统都几乎处于平衡态几乎处于平衡态)两个系统的热平衡两个系统的热平衡AB导热板导热板由导热板隔开的两个系由导热板隔开的两个系统共同达到平衡态时统共同达到平衡态时 热平衡热平衡此时此时 TA=TBAB绝热板绝热板导热板导热板C与第三个系统达到热平衡的两个系统，互相与第三个系统达到热平衡的两个系统，互相之间也达到热平衡。之间也达到热平衡。此时此时 TA=TC=TB热力学第零定律热力学第零定律1.2 理想气体状态方程理想气体状态方程（Ideal Ga

5、s Equation of State）RTMMPVmol理想气体状态方程理想气体状态方程(Clapeyron s equation)M气体质量气体质量(kg)R=8.31 J/mol KMmol摩尔质量摩尔质量(kg/mol)普适气体常量普适气体常量or摩尔气体常量摩尔气体常量状态方程的另一形式：状态方程的另一形式： P=nkTn分子数密度分子数密度(m-3)k=R/NA=1.38 10-23J/K来历来历RTMMVPmol1kTNMMVAmol1nkT 玻尔兹曼玻尔兹曼(Boltzmann)常量常量1.3 压强公式（压强公式（Expression for Pressure）推导：理想气体分

6、子模型统计方法推导：理想气体分子模型统计方法理想气体分子模型理想气体分子模型分子的行为犹如粒子；分子的行为犹如粒子；(分子线度分子线度(1)分子间距分子间距(10)除碰撞外，分子之间以及分子与器壁之除碰撞外，分子之间以及分子与器壁之间无相互作用；间无相互作用；碰撞是弹性的；碰撞是弹性的；分子的运动服从经典力学规律。分子的运动服从经典力学规律。(分子速率分子速率(102m/s)光速光速)统计方法统计方法揭示大量偶然事件的整体规律揭示大量偶然事件的整体规律概率概率(probability)一种统计描述一种统计描述定义：定义：iiiNNppi 第第 i 种种事件发生的概率事件发生的概率Ni 各种事件

7、发生的总次数各种事件发生的总次数Ni 第第 i 种事件发生的次数种事件发生的次数对理想气体的统计假设：对理想气体的统计假设：平衡态下，分子的空间分布均匀平衡态下，分子的空间分布均匀) 3/, 0(2222vvvvvvvzyxzyx平衡是动态的，即整体分布不变，但单平衡是动态的，即整体分布不变，但单个分子的位置和速度是不断改变的。个分子的位置和速度是不断改变的。平衡态下，分子的速度分布是各向同性平衡态下，分子的速度分布是各向同性的；的；压强公式的推导压强公式的推导XYZL1L3L2Aoi设总分子数：设总分子数：N第第i分子的分子的速度的速度的x分量：分量：0ixv在在 t时间内时间内, 第第i分

8、子对器壁的平均作用力分子对器壁的平均作用力一次碰撞给予器壁的冲量：一次碰撞给予器壁的冲量：器壁侧面积：器壁侧面积：A 器壁器壁分子：分子：ixixixixmvmvmvI2)(分子分子器壁：器壁：ixixixmvII2在在 t时间内，碰撞的概率：时间内，碰撞的概率：1Ltvpix仅当分子距器壁仅当分子距器壁 vix t , 才才会与器壁碰撞会与器壁碰撞在在 t时间内，分子给器壁的平均冲量：时间内，分子给器壁的平均冲量：Iixp在在 t时间内，分子对器壁的平均作用力：时间内，分子对器壁的平均作用力：tpIFixix122Lmvix在在 t时间内，所有分子对器壁的总作用力时间内，所有分子对器壁的总作

9、用力0ixvixxFF气体的压强气体的压强AFPx分子的平均平动动能分子的平均平动动能213vLmN21xvNLmiixvLm212120212ixvixvLmtn3222132vmVN23vVmN32LLFxtnP32压强公式：压强公式：Note:压强是统计量压强是统计量1.4 温度的微观解释温度的微观解释 (The Microscopic Interpretation of Temperature)状态方程：状态方程： P=nkTkTt23温度是分子平均平动动能的标志温度是分子平均平动动能的标志(温度的微观解释温度的微观解释)Notes:温度也是统计量。温度也是统计量。tnP32压强公式：

10、压强公式：221vmtkTt23mkTv32e.g. 氮气氮气(N2) T=0,smv/4932T=100,smv/5762* *当当T0时，时， 不再成立。不再成立。kTt23近代物理：当近代物理：当T0时，时， 0tmolMRT3(方均根速率方均根速率)tnP32例例1-1 容积容积V=10l，气体质量，气体质量M=100g若分子方均根速率若分子方均根速率则压强则压强P= mmHgsmv/2002解：解：223310333. 11)200(1010310100)(100 . 13mmHgnkTP解法二：解法二：23vVM22132vmVN23vVM23v23vmnRTVMMPmol解法三：

11、解法三：23vVM1.5 能量的均分能量的均分 (Equipartition of Energy)自由度自由度 (degrees of freedom)确定一个物体的空间位置所必需的独立确定一个物体的空间位置所必需的独立坐标数坐标数e.g. 单原子分子：单原子分子： i=3刚性双原子分子：刚性双原子分子： i=5刚性多原子分子：刚性多原子分子： i=6 Notes:刚性分子只有平动和转动自由度，刚性分子只有平动和转动自由度，非刚性分子还有振动自由度。非刚性分子还有振动自由度。* *在低温下，分子的某些自由度可在低温下，分子的某些自由度可能被能被“冻结冻结”。(用量子理论解释用量子理论解释)e.

12、g. H2分子：分子：T102 K， i=3 (平动平动)102 K T 103 K， i=6 (+振动振动)e.g. 刚性双原子分子，刚性双原子分子，i=5，每个分子的平均，每个分子的平均动能为，其中，动能为，其中， . kT25kTkTrt,23能量均分定理能量均分定理在平衡态下，分子热运动的每个自由度在平衡态下，分子热运动的每个自由度的平均动能都相等，且等于的平均动能都相等，且等于 .kT21理想气体的内能理想气体的内能一般，一般，系统内能所有粒子热运动动能系统内能所有粒子热运动动能 粒子之间相互作用势能粒子之间相互作用势能理想气体内能分子热运动动能之和理想气体内能分子热运动动能之和RT

13、iMMEMMEmolmolmol2计算计算一个分子的平均动能一个分子的平均动能:kTi2一摩尔气体的内能一摩尔气体的内能:RTiNEAmol2一定量气体的内能一定量气体的内能:可见：可见：一定量理想气体的内能是温度的函一定量理想气体的内能是温度的函 数：数： E T, ET例例1-2 一瓶一瓶H2气和一瓶气和一瓶He气，气，P、V、T均相均相同，则同，则H2气的内能是气的内能是He气的气的 倍。倍。解：解：RTiMMEmol2eeHHHHiiEE22思考思考结果的微观解释？结果的微观解释？PVi235例例1-3 单原子气体，密度单原子气体，密度 ，压强，则分，压强，则分子方均根速率为子方均根速

14、率为，单位体积气，单位体积气体内能为体内能为。解：解：molMRTv32思考思考 其它解法？其它解法？单位质量气体内能？单位质量气体内能？P3MPV3P23)23(PRTiMMVEmolV21PVV231速率分布函数速率分布函数定义：定义：NdvdNvfv)(N：总分子数：总分子数 f(v)表示速率在表示速率在v附近单位速率区间的分子附近单位速率区间的分子数占总分子数的百分比。数占总分子数的百分比。性质：性质：1)(0dvvf归一化条件归一化条件1.6 分子速率的分布分子速率的分布 (Distribution of Molecular Speeds)dNv：速率在：速率在vv+dv区间的分子数

15、区间的分子数Note:说某一速率的分子数占总分子数的百说某一速率的分子数占总分子数的百分比分比, 无意义无意义.e.g.f(v)v0vv0v+dvv2v1NdNdvvfv)(21)(vvdvvf速率在速率在v1v2区间区间的分子数占总分子数的分子数占总分子数的百分比。的百分比。归一化归一化: 曲线下总面积等于曲线下总面积等于1麦克斯韦速率分布率麦克斯韦速率分布率1859年，年，Maxwell导出理想气体平衡态下导出理想气体平衡态下：其中其中kTmBkTmA2,)2(42/3m分子质量分子质量kBoltzmann常量常量T温度温度22)(BveAvvfMaxwellian f(v)1)(0dvv

16、f满足满足:302412BdvevBv曲线形状：曲线形状： f(v)v0T1 , m1T2 , m2对应于：对应于：m1=m2 , T2T1Note:f(v)中，中，v取取0 ，违背相对论。但当，违背相对论。但当vc时，时，f(v) 0，影响可忽略。，影响可忽略。or T1=T2 , m2vp的分子数占的分子数占总分子数的百分比。总分子数的百分比。， vvp的分子数。的分子数。，分子的平均速率。，分子的平均速率。，v=v1v2的分子的速率平方的平的分子的速率平方的平均值。均值。解释：解释：21212121)()()()(22vvvvvvvvdvvNfdvvNfvdvvfdvvfv该区间分该区间

17、分子速率平子速率平方之和方之和该区间分该区间分子数子数练习练习改变各式积分区间改变各式积分区间, 说明物理意义说明物理意义.写出有限区间分子的平动动能之和写出有限区间分子的平动动能之和及平均平动动能的表达式及平均平动动能的表达式. 分子速率的三个统计值分子速率的三个统计值最概然速率最概然速率(最可几速率最可几速率) vpf(v)v0vp由由0/ )(dvvdfmolpMRTmkTv22得得vp物理意义：物理意义：若将整个速率范围分成许多相等的小区若将整个速率范围分成许多相等的小区间，则间，则vp所在区间的所在区间的dNv / N最大。最大。平均速率平均速率v0)( dvvvfv203212Bd

18、vevBv用途：计算分子的平均自由程用途：计算分子的平均自由程方均根速率方均根速率2v022)( dvvfvvmolMRT8mkT8molMRT3mkT3504832BdvevBvNote:,2vvvp都都mT用途：计算分子的平均平动动能用途：计算分子的平均平动动能Boltzmann将将麦氏麦氏分布推广到有外场作用分布推广到有外场作用的情形，给出的情形，给出dxdydzdvdvdveCNdzyxkTEEpk* *1.7 玻尔兹曼分布玻尔兹曼分布(Boltzmann Distribution)dN ：速度在：速度在vxvx+dvx , vyvy+dvy , vz vz+dvz区间，位置在区间，位

19、置在x+dx , y+dy , z+dz区间的分子数区间的分子数C ：与速度和位置无关的比例系数：与速度和位置无关的比例系数Boltzmann分布分布由该分布可得分子数按位置的分布规律由该分布可得分子数按位置的分布规律e.g.重力场中：重力场中：kTmghenn0恒温气压公式：恒温气压公式：kTmghePP0称为称为 Boltzmann因子因子kTEEpke* *1.8 分子的平均自由程分子的平均自由程(The Mean Free Path of Molecules) 平均碰撞频率平均碰撞频率单位单位时间内一个分子与其它时间内一个分子与其它分子的平均碰撞次数分子的平均碰撞次数平均自由程平均自由

20、程一个分一个分子在连续两次碰撞之间子在连续两次碰撞之间平均通过的路程平均通过的路程平均碰撞频率平均碰撞频率z设想某一分子以平均相对速率运动，其设想某一分子以平均相对速率运动，其它分子静止。它分子静止。udddu碰撞截面：碰撞截面： = d2平均碰撞频率平均碰撞频率：nudz2统计理论统计理论vu2于是于是nvdz22Note:通常，通常，1910sz平均自由程平均自由程ndzv2211Note:通常，通常， 210SUMMARY理想气体状态方程理想气体状态方程RTMMPVmolor P=nkT压强的微观公式压强的微观公式tnP32温度的微观解释温度的微观解释kTt23能量的均分能量的均分分子每

21、个自由度的平均动能：分子每个自由度的平均动能：kT21一个分子的平均总动能：一个分子的平均总动能：kTi2理想气体内能：理想气体内能：RTiMMEmol2速率的分布速率的分布分布函数：分布函数：NdvdNvfv)(* *麦氏速率分布麦氏速率分布分子速率的三个统计值分子速率的三个统计值molpMRTmkTv22molMRTmkTv88molMRTmkTv332* * Boltzmann分布分布* *分子平均碰撞频率与平均自由程分子平均碰撞频率与平均自由程EXERCISES在相同的温度和压强下，各为单位体积的在相同的温度和压强下，各为单位体积的氢气与氦气的内能之比为氢气与氦气的内能之比为，各为单位

22、，各为单位质量的氢气与氦气的内能之比为质量的氢气与氦气的内能之比为。解：解：3522HeHHeHiiEERTiMMMEmolM21Pi2RTiMmol21RTiMMVEmolV21PViV213102435222HmolHemolHeHHeHMMiiEE思考思考 其它解法？其它解法？一定量氢气温度每升高一定量氢气温度每升高1K，内能增加，内能增加41.6J，则该氢气质量为则该氢气质量为。解：解：RTiMMEmol2TRiMMEmol2TiREMMmol2)(100 . 43kg在以速度运动的容器中，盛有分子质量在以速度运动的容器中，盛有分子质量为为m的单原子理想气体。若使容器突然停止的单原子理

23、想气体。若使容器突然停止运动，则气体状态达到平衡后，其运动，则气体状态达到平衡后，其 T= .u解：解：定向运动动能变为热运动动能定向运动动能变为热运动动能221mukmuT32思考思考 其它解法？其它解法？Tk23)23(kT答：答：已知已知f(v)为麦克斯韦速率分布函数，则为麦克斯韦速率分布函数，则 表示表示； 速率大于速率大于vp的分子的平均速率表达式为的分子的平均速率表达式为 .pvdvvf0)(理想气体平衡态下，速率小于理想气体平衡态下，速率小于vp的分的分子数占总分子数的百分比。子数占总分子数的百分比。ppvvdvvfdvvvf)()(三个容器三个容器A、B、C中装有同种理想气体，

24、中装有同种理想气体，其分子数密度其分子数密度n相同，方均根速率之比为相同，方均根速率之比为 ，则其压强之比，则其压强之比PA:PB:PC= 。4:2:1:222CBAvvv解：解：mkTv32222222)( :)( :)(:CBACBAvvvPPP16:4:1nmP3思考思考 TA: TB: TC=？单位体积气体内能之比？单位体积气体内能之比？单位质量气体内能之比？单位质量气体内能之比？若氧分子若氧分子O2气体离解为氧原子气体离解为氧原子O气体后，气体后，其热力学温度提高一倍，则氧原子其热力学温度提高一倍，则氧原子 是氧分是氧分子子 的的 倍。倍。vv解：解：mkTv8原分分原分原mmTTv

25、v思考思考气体内能是原来多少倍？气体内能是原来多少倍？ ?2vvp222第二章第二章 热力学第一定律热力学第一定律(The First Law of Thermodynamics)主要内容：主要内容：热力学第一定律热力学第一定律等体过程等体过程等压过程等压过程等温过程等温过程绝热过程绝热过程循环过程循环过程卡诺循环卡诺循环2.1 热力学第一定律热力学第一定律功和热量功和热量系统对外做的功系统对外做的功PSdl准静态过程中准静态过程中, VV+dV : 21VVPdVAV1V2 :适用于任何准静态过程适用于任何准静态过程dA=PSdl=PdVPV12AV2V1ONotes: 功是过程量功是过程量

26、, 其值依赖于过程其值依赖于过程.功还可通过热功还可通过热律计算。律计算。系统吸收的热量系统吸收的热量准静态过程中准静态过程中, TT+dT:CdTMMdQmolNotes: C是过程量是过程量, 其量值依赖于过程其量值依赖于过程.e.g.绝热压缩过程：绝热压缩过程：dQ=0, dT0等温膨胀过程：等温膨胀过程：dQ0, dT=0该过程中的摩尔热容该过程中的摩尔热容 C=0 C Q也也是过程量是过程量.若有限过程中若有限过程中C=const .，则有，则有)(12TTCMMQmole.g.等体过程：等体过程：)(12TTCMMQVmol等压过程：等压过程：)(12TTCMMQPmol Q还可通

27、过热还可通过热律计算。律计算。dQ系统吸收的热量系统吸收的热量Notes: E是状态量。是状态量。有限过程：有限过程：Q=（E2-E1）+A热力学第一定律热力学第一定律无限小过程：无限小过程：dQ=dE+dAdE系统内能的增量系统内能的增量dA系统对外做的功系统对外做的功热热律本质：能量守恒。它普遍适律本质：能量守恒。它普遍适用于任何系统用于任何系统(固、液、气固、液、气)的任何过的任何过程程(准静态或非准静态准静态或非准静态)。2.2 等体过程等体过程 (isochoric process)V=const . dA=0因因dTCMMdQVmolPV12O摩尔定体热容摩尔定体热容RdTiMMd

28、Emol2dQ=dE于是对有限等体过程有：于是对有限等体过程有：)(12TTCMMQVmol适用于任何过程适用于任何过程故故RiCV2常量常量)(21212TTRiMMEEmol另外有：另外有：)(12TTCMMVmol2.3 等压过程等压过程 (isobaric process)P=const.PV12O因因dTCMMdQPmol摩尔定压热容摩尔定压热容又又dTCMMdEVmol得得RCCVP迈耶迈耶(Mayer)公式公式RiCP22or常量常量由由 dQ=dE+dA,RTMMPVmolP=const .RdTMMPdVmolRdTMMdAmol于是对有限过程有：于是对有限过程有：)(12T

29、TCMMQPmol此外此外)(1212TTCMMEEVmol)()(1212TTRMMVVPAmol因此因此1:2:22: )( :12iiRCCAEEQVP(仅适用于等压过程仅适用于等压过程)2.4 等温过程等温过程 (isothermal process)T=const. dE=0PV12O12lnVVRTMMmol21lnPPRTMMmoldQ=dA21VVpdV21VVmolVdVRTMMAQ于是于是2.5 绝热过程绝热过程 (adiabatic process)dQ=0 dE+dA=00dAdERTMMPVmol绝热过程方程的推导绝热过程方程的推导PV12Oadiabatisothe

30、rm0PdVdTCMMVmolRdTMMVdPPdVmol对对积分，得积分，得1CPV泊松泊松(Poisson)公式公式或或21CTV31CTP绝热过程方程绝热过程方程VdVPdP比热容比比热容比VPCC其中其中(ratio of specific heat)(C1 , C2 , C3 是常量是常量)Note:过程方程是状态方程在特定过程中退过程方程是状态方程在特定过程中退化的结果化的结果.e.g.等体过程：等体过程：CTP等压过程：等压过程：CTV 等温过程：等温过程：CPV 绝热过程中功的计算绝热过程中功的计算21VVPdVA此外，还有此外，还有 A= (E2-E1)2111VVdVVVP

31、)(1 112111VVVP2.6 绝热自由膨胀绝热自由膨胀 (free expansion)P2, V2, T2P1, V1 T1不是准静态过程不是准静态过程, 但仍服从热但仍服从热律律.绝热绝热 Q=0于是于是 E2 E1=0T2=T1PV12Oisotherm自由膨胀自由膨胀 A=02.7 循环过程循环过程(Cyclic Process)系统经历一系列变化后又回到初态的整系统经历一系列变化后又回到初态的整个过程。个过程。PVOA热机热机致冷机致冷机正循环正循环(A0)逆循环逆循环(A12Q系统从系统从H2吸热量吸热量1Q向向H1放热量放热量A外界对系统做功外界对系统做功卡诺循环卡诺循环(

32、Carnot cycle)S. Carnot (17961832), French engineer1824年，提出年，提出Carnot cycle.由两条等温由两条等温线和两条绝热线线和两条绝热线构成构成正循环正循环卡诺热机卡诺热机PVT1T2Odabc逆循环逆循环卡诺致冷机卡诺致冷机卡诺热机卡诺热机(Carnot engine)的效率的效率推导推导abQQ 1cdQQ2又又1211cbVTVT1211daVTVTdcabVVVVabAabmolVVRTMMln1cdAdcmolVVRTMMln2于是于是121QQ121TT思考思考 在卡诺循环中，两条等温线下的面积在卡诺循环中，两条等温线下

33、的面积是否相等？两条绝热线下的面积是否是否相等？两条绝热线下的面积是否相等？相等？例例2-2 1mol理想气体作卡诺循环理想气体作卡诺循环, T1=400K，T2=300K，在，在400K的等温线上起始体积的等温线上起始体积V1=0.001m3，终止体积，终止体积V2=0.005m3，求气体，求气体在每一循环中在每一循环中从高温热源吸收的热量从高温热源吸收的热量Q1；所做净功所做净功A；传给低温热源的热量传给低温热源的热量Q2 .解：解：PVT1T2OdabcV1V2abQQ 1001. 0005. 0ln40031. 81)(1035. 53JabA121lnVVRTMMmol1QA1QA

34、J31034. 1AQQ21AQQ12J31001. 4)1 (121TTQ* *卡诺致冷机卡诺致冷机(Carnot refrigerator)的致冷的致冷系数系数212TTTw可证可证SUMMARYRiCV2系统对外做功系统对外做功21VVPdVA过程量过程量系统吸热系统吸热CdTMMdQmol过程量过程量理想气体内能增量理想气体内能增量)(12TTCMMEVmol取决于始末态取决于始末态热热律律:dQ=dE+dAQ=(E2-E1)+A等体过程等体过程: A=0Q= E等压过程等压过程)(12TTCMMQPmol)()(1212TTRMMVVPAmolRCCVP1:2:22:iiRCCAEQ

35、VP 等温过程等温过程 E=02112lnlnPPRTMMVVRTMMAQmolmol 绝热过程绝热过程Q=0 E+A=01CPV21CTV31CTP绝热过程方程绝热过程方程VPCC /绝热自由膨胀绝热自由膨胀非准静态过程非准静态过程Q=A= E=0T2=T1热机效率热机效率1211QQQA卡诺热机：卡诺热机：121TT循环过程循环过程 E=0Q=A* *致冷机的致冷系数致冷机的致冷系数2122QQQAQw* *卡诺致冷机：卡诺致冷机：212TTTwEXERCISES理想气体的状态变化遵从理想气体的状态变化遵从PV2=B的规律的规律(B为正常数为正常数)，则当体积由，则当体积由V1膨胀至膨胀至

36、2V1时，气时，气体对外做功体对外做功A= 。解：解：112VVPdVA思考思考设气体分子自由度为设气体分子自由度为i , 则则 E=? Q=?114) 2(,4VBiQViBE1122VVdVVB12VB解：解：KmolJRiCV/8 .202某理想气体的比热容比某理想气体的比热容比 7/5，处于温度，处于温度为为T的平衡态，则该气体的定容摩尔热容量的平衡态，则该气体的定容摩尔热容量CV= ；一个分子的平均转动动能；一个分子的平均转动动能= 。r分子的转动自由度为分子的转动自由度为5-3=2572iiCCVPkTkTr2125 i思考思考若已知一个分子的平均转动动能为若已知一个分子的平均转动

37、动能为 , 则则 =? Cv=?kT231mol的理想气体在等压过程中温度上升的理想气体在等压过程中温度上升1K，内能增加内能增加20.78J，则气体对外做功为，则气体对外做功为 ，气体吸收热量为气体吸收热量为 。解：解： )(12VVPAAEEQ)(12思考思考 其它解法？其它解法？若为等体过程，结果？若为等体过程，结果？若为绝热过程，结果？若为绝热过程，结果？)(12TTRMMmolRJ31. 8J09.29答：答：如图，如图，MT为等温线，为等温线，MQ为绝热线，则在为绝热线，则在AM,BM,CM三种准静态过程中，温度升高的三种准静态过程中，温度升高的是是 过程；气体吸热的是过程；气体吸

38、热的是 过程。过程。BM, CMCMPVACOBMTQ类似地，可判定类似地，可判定BM, AM是放热过程。是放热过程。理由理由: 考虑循环考虑循环CMQC. A0 吸热吸热. 但但Q=QCM+QQC ,而而QC放放热热, 故故CM吸热吸热 .理由：理由：(TB, TC)TT=TM思考思考 P-V图上等温线两侧的温度分布有图上等温线两侧的温度分布有何特点何特点？对本题对本题的其它分析方法？的其它分析方法？解：解：mkTv8一定量的氮气经绝热压缩一定量的氮气经绝热压缩,压强变为原来的压强变为原来的2倍倍,问气体分子平均速率变为原来的几倍？问气体分子平均速率变为原来的几倍？(A) (B) (C) (

39、D) 5/ 225/ 127/ 227/ 12111212TPTP11212)(PPTT7/ 1122vv1212TTvv)(D7/25/715/722思考思考 方均根速率是原来的几倍？方均根速率是原来的几倍？若为单原子或多原子气体若为单原子或多原子气体, 结果？结果？若氮气经绝热压缩若氮气经绝热压缩, 体积变为原来体积变为原来的的1/2, 结果？结果？理想气体初态为理想气体初态为(T,V)，绝热膨胀到，绝热膨胀到2V，再，再经等容过程使温度恢复为经等容过程使温度恢复为T，再经等温过程，再经等温过程压缩到原体积压缩到原体积V，则在此循环过程中，则在此循环过程中(A)气体向外界放热气体向外界放热

40、. (B)气体对外界做功气体对外界做功.(C)气体内能增加气体内能增加. (D)不确定不确定. 解：解：PVOV2V此为逆循环，此为逆循环，A0. 违背热违背热律。律。理由：理由：见见例例3-1答案：答案：(A)一绝热容器被隔板分成两半，一半是真空，一绝热容器被隔板分成两半，一半是真空，另一半是理想气体。若把隔板抽出，气体将另一半是理想气体。若把隔板抽出，气体将进行自由膨胀，达到平衡后进行自由膨胀，达到平衡后(A)温度不变，熵增加。温度不变，熵增加。(B)温度升高，熵增加。温度升高，熵增加。(C)温度降低，熵增加。温度降低，熵增加。(D)温度不变，熵不变。温度不变，熵不变。理由：理由：自由膨胀

41、后，自由膨胀后，E不变不变 T不变；不变；孤立系统内的不可逆过程孤立系统内的不可逆过程S增加。增加。波动与光学波动与光学(Waves and Optics)波动波动振动的传播振动的传播光的波动性光的波动性干涉、衍射、偏振干涉、衍射、偏振振动振动物理量物理量随时间的周期性变化随时间的周期性变化位移、电流强度、电场强度位移、电流强度、电场强度第一章第一章 振动振动(Oscillations)本章内容：本章内容：简谐振动运动学简谐振动运动学简谐振动动力学简谐振动动力学简谐振动的合成简谐振动的合成1.1 简谐振动运动学简谐振动运动学(Kinematics of Simple Harmonic Moti

42、on)振动的描述振动的描述定义定义)cos(0tAx简谐振动表达式简谐振动表达式 or振动方程振动方程 0= - /2oA-AtxTx位移位移(或其它物理量或其它物理量)t时间时间e.g.参量参量 角频率角频率(angular frequency)Tf22SI单位：单位：rad/s or s-1Note: 仅依赖于系统本身的性质，与初仅依赖于系统本身的性质，与初始条件无关。始条件无关。e.g.弹簧振子：弹簧振子：mk2单单 摆：摆：lg2并联：并联：21kkk串联：串联：21111kkk长：长：nl00nkk 关于弹簧的弹性系数：关于弹簧的弹性系数： A振幅振幅(amplitude)SI单位：

43、单位：mNotes:A依赖于振动的初始条件。依赖于振动的初始条件。)cos(0tAx)sin(/0tAdtdxv2222vxAA与振动的能量有关。与振动的能量有关。e.g.弹簧振子：弹簧振子：kpEEE221kA22020vx 0初相初相(initial phase)单位：单位：radNotes: 0依赖于振动的初始条件。依赖于振动的初始条件。 00cosAx 00sinAv)(000 xvarctg通常取通常取 0 = t+ 0相相(phase)单位：单位：radNotes: 对应于对应于t时刻振动的状态。时刻振动的状态。 cosAx sinAvvx,对于给定的简谐振动，对于给定的简谐振动，

44、A、 已知已知 可用来比较两个同频率简谐振动可用来比较两个同频率简谐振动的步调。的步调。若若 2- 1=其它值，则其它值，则取取k212(k为整数为整数) 12(12k(k为整数为整数) 12同相同相反相反相当当 时时, 称振动称振动2超前超前;120当当 时时, 称振动称振动2滞后滞后.012旋转矢量图旋转矢量图(phasor diagram) 0 AdtAd /OX旋转矢量旋转矢量A长度振幅长度振幅A角速度角速度角频率角频率 初始角初始角初相初相 0在在t时刻时刻jtAitAA)sin()cos(00itAdtAd)sin(/0旋矢在旋矢在X轴上的投影：轴上的投影：)cos(0tAAx振动

45、的位移振动的位移)sin(/0tAdtAdx振动的速度振动的速度Note: 旋矢图也用于交流电的表示中。旋矢图也用于交流电的表示中。例例1-1某简谐振动的振动曲线如图，则振动某简谐振动的振动曲线如图，则振动方程为方程为 。x(cm)t(s)-1-2O1解：解：设振动方程为设振动方程为)cos(0tAx则由振动曲线：则由振动曲线： A=2 cmt=0时旋矢图：时旋矢图：t0，负向位移应增大，负向位移应增大3/20t 又，又，t=1s时时, =2 于是于是cmtx)3/23/4cos(2)(3/413/221sX2 /3-2 /3-12例例1-2 质点的振动规律用余弦函数描述，其质点的振动规律用余

46、弦函数描述，其速度时间曲线如图，则其初位相应速度时间曲线如图，则其初位相应为为 。v(m/s)t(s)vmvm/2O解：解：)cos(0tAx设设)sin(/0tAdtdxv则则)sin(0tvm令令t=0, 有有0sin2/mmvv2/1sin0旋矢图：旋矢图：t0，正向速度应增大，正向速度应增大6/50XO6/56/0或1.2 简谐振动动力学简谐振动动力学(Dynamics of Simple Harmonic Motion)作用力、能量、动力学方程作用力、能量、动力学方程作用力作用力(沿振动方向的合力沿振动方向的合力)cos(0tAx由由xtAa202)cos(xmmaF2特点特点：F方

47、向：与位移方向相反方向：与位移方向相反 大小：与位移大小成正比大小：与位移大小成正比证：证：对任意闭合路径对任意闭合路径L: x1x2x1F是保守力。是保守力。212xxLxdxmFdx有有0122xxxdxmXx1x2O能量能量0 xpFdxE)(cos210222tAm2221AmEEkp守恒守恒设设x=0处处, Ep=0, 则有则有221mvEk又又2221xm02xxdxm)(sin210222tAmNote:若系统中有多个保守力作用，则若系统中有多个保守力作用，则Ep是这些力的势能之和是这些力的势能之和。e.g.竖直弹簧振子：竖直弹簧振子：OxX原长位置原长位置平衡位置平衡位置(Ep

48、=0)()(重弹pppEEE221kx平均动能与平均势能：平均动能与平均势能：2241AmEEpk例例1-3 弹簧振子总能量为弹簧振子总能量为E1，若其振幅增为，若其振幅增为原来的两倍，重物质量增为原来的四原来的两倍，重物质量增为原来的四倍，则振子总能量变为倍，则振子总能量变为 。解：解：2221AmE221kA14EE 例例1-4 系统作谐振动，周期为系统作谐振动，周期为T，以余弦函，以余弦函数表达振动时，初相为零，则在数表达振动时，初相为零，则在0 t T/2范围内，系统在范围内，系统在t= 时刻动时刻动能和势能相等。能和势能相等。解：解：按题意按题意tAxcos2221xmEp22Ax2

49、241Am4/34/或 t因此因此4/1t思考思考 其它解法其它解法？24T8T4/32t243T83T3 /4 /4X旋矢图：旋矢图：动力学方程动力学方程0222xdtxd简谐振动的动力学方程简谐振动的动力学方程特点：特点：零阶导数项系数决定角频率零阶导数项系数决定角频率 简谐振动：简谐振动：)cos(0tAxxdtxd222Note:方程的通解：方程的通解：tCtCxsincos21)cos(0tA这里这里2221CCA120/CCtg A、 0由由初始条件决定初始条件决定平衡条件：平衡条件：0sin0kxmg)(sin0 xxkmgF例例1-5 弹簧振子置于光滑斜面上弹簧振子置于光滑斜面

50、上(如图如图)，求，求动力学方程。动力学方程。OxXx0 km解：解：kx任意位置任意位置x处受力：处受力：022xmkdtxd)(2mk22dtxdmF 牛牛：特殊情形：特殊情形： =0水平水平 =90 竖直竖直动力学方程不变动力学方程不变角频率不变角频率不变例例1-6 竖直悬挂的弹簧振子，平衡时弹簧的竖直悬挂的弹簧振子，平衡时弹簧的伸长量为伸长量为x0，则此振子自由振动的周，则此振子自由振动的周期期T= . 解：解：2T平衡条件：平衡条件：00kxmggxkm0gxT02思考思考若置于倾角为若置于倾角为 的斜面上，平衡时伸长量为的斜面上，平衡时伸长量为x0，则，则T=？)sin/2(0gx

51、T km2( 很小很小)定轴转动定律：定轴转动定律：M=J sinmglM22/dtd例例1-7 求复摆求复摆(compound pendulum)(如图如图)的动力学方程。的动力学方程。解：解：(逆时针为正逆时针为正)mgl l质心质心022lgdtd)(2lg022Jmgldtd)(2Jmgl测测J的一种方法的一种方法特殊情形：特殊情形：单摆单摆(simple pendulum) lm)(2mlJ 例例1-8如图，细杆质量为如图，细杆质量为m，长为长为l，绕，绕O轴的转动轴的转动惯量为惯量为ml2/3，当杆竖，当杆竖直静止时，弹簧为原直静止时，弹簧为原长，求杆作微小振动长，求杆作微小振动的

52、周期。的周期。解：解：lkllmgM2定轴转动定律：定轴转动定律：M=J (逆时针为正逆时针为正)2(2klmglO k3/2mlJ 于是于是得得02)2(322mlklmgdtdmlklmg2)2(3)2(3222klmgmlT思考思考k=0与与g=0各对应于什么情形各对应于什么情形?22/dtd1.3 简谐振动的合成简谐振动的合成(Addition of Simple Harmonic Motions)同一直线上同频率振动的合成同一直线上同频率振动的合成两个振动的合成两个振动的合成)cos(1011tAx)cos(2022tAx)cos(021tAxxx 0 AOX1A2A旋矢图：旋矢图：

53、)cos(21020212221AAAAA2021012021010coscossinsinAAAAtgNotes: 若若 20- 10=2k (k=0, 1, 2, )则则A=A1 +A2 max.若若 20- 10=(2k+1) (k=0, 1, 2, )则则A= A1 -A2 min.多个振动的合成多个振动的合成), 2 , 1() 1(cosniitaxi)cos(01tAxxnii旋矢图：旋矢图： 0 AOX R2sin2nRA 2sin/2aR 2sin2sinnaA Notes:若若 =2k (k=0, 1, 2, )则则A=na max.XO若若2k (k=0, 1, 2, )

54、则则A=0 min.但但n =2k (k 为整数为整数) 规律：规律：当当时，两个相邻主极大之时，两个相邻主极大之间有间有(n-1)个极小。个极小。e.g. n=4 =0XOXO = OX =3 /2XO = /2 =2 XO例例1-9 两个简谐振动的振动曲线如图，则它两个简谐振动的振动曲线如图，则它们合成的余弦振动的初相为们合成的余弦振动的初相为 。 oA-A/2tx42x1x2解：解：旋矢图：旋矢图：1AXO2A21AA合振动：合振动： 0= - /2例例1-10两振动合成两振动合成,合振动振幅为合振动振幅为20cm, 它与它与振动振动1的相位差为的相位差为 - 1= /6 , 振动振动1

55、振振幅为幅为 cm, 则振动则振动2振幅为振幅为 cm, 振动振动1与与2的相位差为的相位差为 1- 2= .310解：解：旋矢图：旋矢图：)(10)cos(2112122cmAAAAA AOX1A2A 1 2/02cos2122221AAAAA02/)(21旋矢图：旋矢图： 1OX1A2A 2合振动不是简谐振动！合振动不是简谐振动！* *同一直线上不同频率简谐振动的合成同一直线上不同频率简谐振动的合成两个等幅振动：两个等幅振动：)cos(011tAx)cos(022tAxe.g.)2cos(2cos20121221ttAxx若若1212近似：振幅为近似：振幅为tA2cos212的简谐振动的简

56、谐振动现象：振动时强时弱现象：振动时强时弱拍拍(beats)xt合振动振幅变化的频率合振动振幅变化的频率拍频拍频 fb= f2-f1应用：应用：频率测量频率测量e.g.多普勒血流仪多普勒血流仪同频率情形同频率情形质点合振动轨迹是椭圆或直线质点合振动轨迹是椭圆或直线* *相互垂直的简谐振动的合成相互垂直的简谐振动的合成e.g. =0 = = /2 = /4 =3 /4不同频率情形不同频率情形若若频率为整数比频率为整数比李萨如李萨如(Lissajous)图形图形e.g.f2:f1=2:3yxA2A1o-A1- A2应用：应用：频率测量频率测量 SUMMARY简谐振动表达式简谐振动表达式(振动方程振

57、动方程)振动参量振动参量)cos(0tAxTf22依赖于系统本身的性质依赖于系统本身的性质22020222vxvxA)(000 xvarctg依赖于振动的依赖于振动的初始条件初始条件旋转矢量图旋转矢量图 = t+ 0 对应于对应于t时刻振动的状态时刻振动的状态xAxvdtAdx/ 0 AdtAd /OX振动中的作用力振动中的作用力xmF2保守力保守力振动系统的能量振动系统的能量2221AmEEkp守恒守恒动力学方程动力学方程2241AmEEpk0222xdtxd同一直线上同频率简谐振动的合成同一直线上同频率简谐振动的合成 n=2)cos(21020212221AAAAA 0 AOX1A2A 2

58、0- 10=2k Amax=A1 +A2 20- 10=(2k+1) Amin= A1 -A2 n22sin2sinnaA 0 AOX R =2k Amax =na2k , 但但n =2k Amin=0 若频率相近若频率相近拍拍拍频：拍频：fb= f2-f1 轨迹为椭圆或直线轨迹为椭圆或直线 * *同一直线上不同频率简谐振动的合成同一直线上不同频率简谐振动的合成非简谐振动非简谐振动* *相互垂直的同频率简谐振动的合成相互垂直的同频率简谐振动的合成* *相互垂直的不同频率简谐振动的合成相互垂直的不同频率简谐振动的合成若频率为若频率为整数比整数比李萨如图形李萨如图形EXERCISES质点沿质点沿X

59、轴以轴以x=0为平衡位置作谐振动，频为平衡位置作谐振动，频率为率为0.25Hz，t=0时，时，x= -0.37cm，v=0，则，则振幅为振幅为 ，振动的数值表达式为，振动的数值表达式为 .解：解：旋矢图：旋矢图：又又f2故故)()5 . 0cos(107 . 33SItx,107 . 33mA0XOAdtAd )(5 . 01s思考思考 若题中若题中x=0.37cm， v=0 ，结果，结果？若题中若题中x=0，v=1.57cm/s，结果，结果？)(5 . 0cos107 . 33SItx)()2/5 . 0cos(01. 0SItx解：解：两个谐振动的振动曲线如图所示，则两个谐振动的振动曲线如

60、图所示，则x1的的相位比相位比x2的相位超前的相位超前 .由图，由图，x1比比x2在时间上超前在时间上超前3T/8 .ox2x1tx43832因此，相位超前因此，相位超前:质量质量m=10g的小球与轻弹簧组成的振动系的小球与轻弹簧组成的振动系统，按统，按x=0.5cos(8 t+ /3)的规律作自由振动，的规律作自由振动，式中式中t以秒作单位，以秒作单位，x以厘米作单位，求以厘米作单位，求振动的圆频率、周期、振幅和初相振动的圆频率、周期、振幅和初相振动的速度、加速度的数值表达式振动的速度、加速度的数值表达式振动的能量振动的能量平均动能和平均势能平均动能和平均势能解：解： 由由x=0.005co