机械工程控制基础(时间响应分析

1、第三章第三章 时间响应分析时间响应分析机械工程控制基础机械工程控制基础第三章第三章 时间响应分析时间响应分析第三章第三章 时间响应分析时间响应分析一、时间响应及其组成一、时间响应及其组成1 1、时间响应、时间响应 定义：在输入作用下，系统的输出（响应）定义：在输入作用下，系统的输出（响应）在时域的表现形式，在数学上，就是系统的在时域的表现形式，在数学上，就是系统的动力学方程在一定初始条件下的解。时间响动力学方程在一定初始条件下的解。时间响应能完全反映应能完全反映系统本身的固有特性系统本身的固有特性与系统在与系统在输入作用下的动态历程。输入作用下的动态历程。 2 2、时域分析的目的、时域分析的目

2、的 第三章第三章 时间响应分析时间响应分析2 2、典型示例分析、典型示例分析 tFtkytymcos)()(动力学方程： 在时间域，研究在一定的输入信号作用在时间域，研究在一定的输入信号作用下，系统输出随时间变化的情况，以分析和下，系统输出随时间变化的情况，以分析和研究系统的控制性能。研究系统的控制性能。优点优点：直观、简便：直观、简便 第三章第三章 时间响应分析时间响应分析21( )sincoscos1nnFy tAw tBttk根据微分方程解的结构理论，该方程的解为：21sincoscos,/1/nnnnFAw twBw twtkwk mw是系统的通解，的特解，为系统的无阻尼固有频率211

3、)0(,)0()0()(),0()(0kFyBwyAytyytytn故时，设则有则有：wtkFtwkFtwytwwytynnnncos11cos11cos)0(sin)0()(22第三章第三章 时间响应分析时间响应分析其解可分解为：其解可分解为：3 3、一般情况、一般情况 时，：当系统的动力学方程为)()()()()(0111txtyatyatyatyannnn为方程的特征根方程解的一般形式为：initsinitsistBeAeAtyii),()(1211其解可分解为：其解可分解为：第三章第三章 时间响应分析时间响应分析结论：结论：1)1)系统的阶次系统的阶次n n和和s si i取决于系统的

4、固有特性，与系统的取决于系统的固有特性，与系统的初态无关。初态无关。0)()()()21入为决于系统的初态的零输态为零，故取数时，已指明系统的初因在定义系统的传递函零状态响应，所求得的输出是系统的由sXsGLty)()()()()3tytxtytx的输出为引起，则引起的输出为对于线性定常系统，若第三章第三章 时间响应分析时间响应分析4 4、瞬态响应和稳态响应、瞬态响应和稳态响应 系统的特征根影响系统自由响应的收敛性和振荡。系统的特征根影响系统自由响应的收敛性和振荡。 若所有的若所有的ResSResS000，则自由响应逐渐增大，当，则自由响应逐渐增大，当t t+无穷时无穷时, ,自由响应趋于无穷

5、，自由响应不称为瞬态响应。自由响应趋于无穷，自由响应不称为瞬态响应。稳态响应一稳态响应一般就是指强迫响应般就是指强迫响应。p85p85第三章第三章 时间响应分析时间响应分析 特征根的虚部影响自由响应项的振荡情况，虚特征根的虚部影响自由响应项的振荡情况，虚部绝对值越大，则自由响应项的振荡越剧烈。部绝对值越大，则自由响应项的振荡越剧烈。二、典型输入信号二、典型输入信号1 1、定义、定义: : 一般，系统可能受到的外加作用有控制输入和一般，系统可能受到的外加作用有控制输入和扰动，扰动通常是随机的，即使对控制输入，有时扰动，扰动通常是随机的，即使对控制输入，有时其函数形式也不可能事先获得。在时间域进行

6、分析其函数形式也不可能事先获得。在时间域进行分析时，为了比较不同系统的控制性能，需要规定一些时，为了比较不同系统的控制性能，需要规定一些具有典型意义的输入信号建立分析比较的基础。这具有典型意义的输入信号建立分析比较的基础。这些信号称为控制系统的些信号称为控制系统的典型输入信号典型输入信号。第三章第三章 时间响应分析时间响应分析2 2、作用、作用: : 在实际中，输入信号很少是典型输入信号，但由于在系在实际中，输入信号很少是典型输入信号，但由于在系统对典型输入信号的时间响应和系统对任意输入信号的时间统对典型输入信号的时间响应和系统对任意输入信号的时间响应之间存在一定的关系，所以，只要知道系统对典

7、型输入响应之间存在一定的关系，所以，只要知道系统对典型输入信号的响应，再利用关系式：信号的响应，再利用关系式：121( )2( )( )( )( )ooisisXsXsG sXX就能求出系统对任何输入的响应。就能求出系统对任何输入的响应。3 3、对典型输入信号的要求、对典型输入信号的要求q 形式简单，便于解析分析；形式简单，便于解析分析；q 能够使系统工作在最不利的情形下；能够使系统工作在最不利的情形下；q 实际中可以实现或近似实现。实际中可以实现或近似实现。第三章第三章 时间响应分析时间响应分析4 4、常用的典型输入信号、常用的典型输入信号AsinAsin t t 正弦信号正弦信号 1 1

8、( (t t) )，t t=0 =0 单位脉冲信号单位脉冲信号 单位加速度信号单位加速度信号 t t， t t 0 0 单位速度单位速度( (斜坡斜坡) )信信号号 1(1(t t) )，t t 0 0 单位阶跃信号单位阶跃信号 复数域表达式复数域表达式 时域表达式时域表达式 名名 称称 s121s31s22sA0,212tt第三章第三章 时间响应分析时间响应分析 能反映系统在工作过程中的大部分实际情况；能反映系统在工作过程中的大部分实际情况；5 5、典型输入信号的选择原则、典型输入信号的选择原则如：若实际系统的输入具有突变性质，则可选阶如：若实际系统的输入具有突变性质，则可选阶跃信号；若实际

9、系统的输入随时间逐渐变化，则跃信号；若实际系统的输入随时间逐渐变化，则可选速度信号。可选速度信号。 注意：对于同一系统，无论采用哪种输入信注意：对于同一系统，无论采用哪种输入信号，由时域分析法所表示的系统本身的性能不号，由时域分析法所表示的系统本身的性能不会改变。会改变。第三章第三章 时间响应分析时间响应分析三、一阶系统的时间响应三、一阶系统的时间响应1 1、 一阶系统（惯性环节）一阶系统（惯性环节） 11)(TssG极点（特征根）：极点（特征根）：-1/-1/T T时间常数，微分方程：:)()()(TtxtxdttdxTiooTsTsGsXo111)()(0,1)(teTtxTto 2 2、

10、一阶系统的单位脉冲响应、一阶系统的单位脉冲响应1)(sXix xo o( (t t) )1/T1/T0 0t t0.3680.368 1 1T T斜率斜率x xo o( (t t) )T T21T第三章第三章 时间响应分析时间响应分析 一阶系统单位脉冲响应的特点一阶系统单位脉冲响应的特点q 瞬态响应瞬态响应：(1/(1/T T )e )e t t / /T T ；稳态响应稳态响应：0 0；q x xo o(0)=1/(0)=1/T T, ,随时间的推移，随时间的推移，x xo o( (t t) )指数衰减；指数衰减；q 对于实际系统，通常应用具有较小脉冲宽对于实际系统，通常应用具有较小脉冲宽

11、度（脉冲宽度小于度（脉冲宽度小于0.10.1T T）和有限幅值的脉）和有限幅值的脉 冲代替理想脉冲信号。冲代替理想脉冲信号。 201)(Tdttdxtoq 第三章第三章 时间响应分析时间响应分析3 3、一阶系统的单位阶跃响应、一阶系统的单位阶跃响应ssXi1)(TsssTssXsGsXio111111)()()(0,1)(tetxTto1 10.6320.6321 1T TA A0 0B B斜率斜率=1/=1/T T2 2T T3 3T T4 4T T5 5T Tx xo o( (t t) )t tTtoetx/1)(63.2%63.2%86.5%86.5%95%95%98.2%98.2%99

12、.3%99.3%99.8%99.8%6 6T T第三章第三章 时间响应分析时间响应分析 一阶系统单位阶跃响应的特点一阶系统单位阶跃响应的特点q 响应分为两部分响应分为两部分 瞬态响应瞬态响应：Tte表示系统输出量从初态到终态的变化过程表示系统输出量从初态到终态的变化过程（动态（动态/ /过渡过程）过渡过程） 稳态响应稳态响应：1 1表示表示t t时，系统的输出状态时，系统的输出状态q x xo o(0) = 0(0) = 0，随时间的推移，随时间的推移， x xo o( (t t) ) 指数增指数增大，且无振荡。大，且无振荡。 x xo o( ( ) = 1) = 1，无稳态误差；，无稳态误差

13、；q x xo o( (T T) = 1 - e) = 1 - e-1 -1 = 0.632= 0.632，即经过时间，即经过时间T T，系统，系统 响应达到其稳态输出值的响应达到其稳态输出值的63.2%63.2%，从而可以，从而可以 通过实验测量惯性环节的时间常数通过实验测量惯性环节的时间常数T T；第三章第三章 时间响应分析时间响应分析Tdttdxto1)(0q q 时间常数时间常数T T反映了系统响应的快慢。通常工反映了系统响应的快慢。通常工 程中当响应曲线达到并保持在稳态值的程中当响应曲线达到并保持在稳态值的95%95% 98%98%时，认为系统响应过程基本结束。从时，认为系统响应过程

14、基本结束。从 而惯性环节的过渡过程时间为而惯性环节的过渡过程时间为3 3T T4 4T T。q 将一阶系统的单位阶跃响应式改写为：将一阶系统的单位阶跃响应式改写为：即即ln1-ln1-x xo o( (t t)与时间与时间t t成线性关系。成线性关系。该性质可用于判别系统是该性质可用于判别系统是否为惯性环节，以及测量否为惯性环节，以及测量惯性环节的时间常数。惯性环节的时间常数。)(1txeoTt)(1ln1txtTot tln1-ln1-x xo o( (t t)0 0第三章第三章 时间响应分析时间响应分析时间响应的概念时间响应的概念 描述系统的微分方程的解就是该系统时间响应的描述系统的微分方

15、程的解就是该系统时间响应的数学表达式。任一系统的时间响应都是由瞬态响应数学表达式。任一系统的时间响应都是由瞬态响应和和稳态响应稳态响应组成。组成。 瞬态响应瞬态响应 系统在某一输入信号的作用下，系统的输出系统在某一输入信号的作用下，系统的输出量从初始状态到稳定状态的响应过程称为瞬态量从初始状态到稳定状态的响应过程称为瞬态(或称暂态或称暂态)响应，也称过渡过程。响应，也称过渡过程。 稳态响应稳态响应 在某一输入信号的作用后，时间趋于无在某一输入信号的作用后，时间趋于无穷大时系统的输出状态称为稳态响应。穷大时系统的输出状态称为稳态响应。 第三章第三章 时间响应分析时间响应分析s0tt ( )c t

16、下图表示某系统在单位阶跃信号作用下的时间响下图表示某系统在单位阶跃信号作用下的时间响应。系统的输出量在应。系统的输出量在t ts s时刻达到稳定状态，在时刻达到稳定状态，在时间内的响应过程称为瞬态响应；当时间内的响应过程称为瞬态响应；当时，系统的时，系统的即为稳态响应即为稳态响应 当当 t( )c t收敛于某一稳态值，则系统是稳定的；收敛于某一稳态值，则系统是稳定的； 若若 ( )c t呈等幅振荡或发散，则系统不稳定。呈等幅振荡或发散，则系统不稳定。 注意：瞬态响应直接反应了系统的动态特性，注意：瞬态响应直接反应了系统的动态特性， 输出输出第三章第三章 时间响应分析时间响应分析表示性能指标的阶

17、跃响应曲线表示性能指标的阶跃响应曲线第三章第三章 时间响应分析时间响应分析5 5、线性定常系统时间响应的性质、线性定常系统时间响应的性质 系统时域响应通常由稳态分量和瞬态分量系统时域响应通常由稳态分量和瞬态分量 共同组成，前者反映系统的稳态特性，后共同组成，前者反映系统的稳态特性，后 者反映系统的动态特性。者反映系统的动态特性。 注意到：注意到： tdtdttdtdt)(1)(1)(TtotTtoTtoTeTttxetxeTtx)(1)(1)(1对一阶系统：对一阶系统：)()()()(11txdtdtxtxdtdtxotooo第三章第三章 时间响应分析时间响应分析 即：即：系统对输入信号系统对

18、输入信号导数的响应导数的响应等于系统等于系统对该输入信号对该输入信号响应的导数响应的导数。 同样可知，同样可知，系统对输入信号系统对输入信号积分的响应积分的响应等等于系统对该输入信号于系统对该输入信号响应的积分响应的积分，其积分常数，其积分常数由初始条件确定由初始条件确定。 这种这种输入输出间的积分微分性质对输入输出间的积分微分性质对任何线性定常系统均成立任何线性定常系统均成立。第三章第三章 时间响应分析时间响应分析6 6、不同时间常数下的响应情况、不同时间常数下的响应情况由上图可知，由上图可知，T T越大，惯性越大。越大，惯性越大。 一阶系统的性能指标：一阶系统的性能指标：Ts,Ts,它是一

19、阶系统在阶跃它是一阶系统在阶跃输入作用下，达到稳态值的输入作用下，达到稳态值的(1-(1-) )所需的时间所需的时间( (为为容许误差容许误差) )。第三章第三章 时间响应分析时间响应分析 =2%,t=2%,ts s=4T, =4T, =5%,t=5%,ts s=3T=3T，调整时间反映系统，调整时间反映系统响应的快速性，响应的快速性，T T越大，系统的惯性越大，调整时间越大，系统的惯性越大，调整时间越长，响应越慢。越长，响应越慢。第三章第三章 时间响应分析时间响应分析四、二阶系统的时间响应四、二阶系统的时间响应1 1、二阶系统、二阶系统 222222121)(nnnssTssTsG其中，其中

20、，T T为时间常数，也称为无阻尼自由振荡为时间常数，也称为无阻尼自由振荡周期，周期， 为为阻尼比阻尼比； n n1/T1/T为系统的为系统的无阻尼固有频率无阻尼固有频率。二阶系统的特征方程：二阶系统的特征方程：0222nnss极点（特征根）：极点（特征根）：122 , 1nnp第三章第三章 时间响应分析时间响应分析 欠阻尼二阶系统（振荡环节）：欠阻尼二阶系统（振荡环节）： 00 1 1 1具有两个不相等的具有两个不相等的负实数极点负实数极点：122 , 1nnp系统包含两类瞬态衰减分量：系统包含两类瞬态衰减分量：tnn1exp2第三章第三章 时间响应分析时间响应分析 零阻尼二阶系统：零阻尼二阶

21、系统： 0 0具有具有一对共轭虚极点一对共轭虚极点：njp2 , 1 负阻尼二阶系统：负阻尼二阶系统： 0 0极点实部大于零极点实部大于零，响应发散，系统不稳定。，响应发散，系统不稳定。第三章第三章 时间响应分析时间响应分析2 2、二阶系统的单位脉冲响应、二阶系统的单位脉冲响应 00 1 1 1：012)(11222teetxttnonn3 3、二阶系统的单位阶跃响应、二阶系统的单位阶跃响应 ssXi1)()2()()()(222nnniossssXsGsX第三章第三章 时间响应分析时间响应分析 欠阻尼（欠阻尼（00 11）状态）状态 0),sin(11)(2ttetxdton其中，其中，21

22、ndarccos12 arctg欠阻尼二阶系统单位阶跃响应曲线欠阻尼二阶系统单位阶跃响应曲线5 5101015150 00.20.20.40.40.60.60.80.81 11.21.21.41.41.61.61.81.82 2t tp px xo o( (t t) ) =0.2=0.2 =0.4=0.4 =0.6=0.6 =0.8=0.8t t第三章第三章 时间响应分析时间响应分析q 欠阻尼二阶系统单位阶跃响应的特点欠阻尼二阶系统单位阶跃响应的特点 x xo o( ( ) = 1) = 1，无稳态误差；，无稳态误差； 瞬态分量为振幅等于瞬态分量为振幅等于 的阻尼的阻尼 正弦振荡，其振幅衰减的

23、快慢由正弦振荡，其振幅衰减的快慢由 和和 n n决决定。定。 阻尼振荡频率阻尼振荡频率 ；21tne21nd 振荡幅值随振荡幅值随 减小而加大。减小而加大。 第三章第三章 时间响应分析时间响应分析 几点结论几点结论 q 二阶系统的二阶系统的阻尼比阻尼比 决定了其振荡特性决定了其振荡特性： 0 0 时，阶跃响应发散，系统不稳定；时，阶跃响应发散，系统不稳定； 1 1 时，无振荡、无超调，过渡过程长；时，无振荡、无超调，过渡过程长；00 11时，有振荡，时，有振荡， 愈小，振荡愈严重，愈小，振荡愈严重，但响应愈快，但响应愈快， = 0 = 0时，出现等幅振荡。时，出现等幅振荡。 q 工程中除了一些

24、不允许产生振荡的应用，如指示工程中除了一些不允许产生振荡的应用，如指示和记录仪表系统等，通常采用欠阻尼系统，和记录仪表系统等，通常采用欠阻尼系统，且阻尼且阻尼比通常选择在比通常选择在0.40.40.80.8之间之间，以保证系统的快速性同，以保证系统的快速性同时又不至于产生过大的振荡。时又不至于产生过大的振荡。第三章第三章 时间响应分析时间响应分析q 一定时，一定时， n n越大，瞬态响应分量衰越大，瞬态响应分量衰减越迅速，即系统能够更快达到稳态值，减越迅速，即系统能够更快达到稳态值，响应的快速性越好。响应的快速性越好。 第三章第三章 时间响应分析时间响应分析5 5、例题、例题 例例1 1单位脉

25、冲信号输入时，系统的响应为：单位脉冲信号输入时，系统的响应为：求系统的传递函数。求系统的传递函数。 toetx657)(解：由题意解：由题意X Xi i( (s s)=1)=1，所以：，所以： 57)()()()()(6tooioeLtxLsXsXsXsG)6(422657sssss第三章第三章 时间响应分析时间响应分析 例例2 2解：解：1 1）单位阶跃输入时）单位阶跃输入时 已知系统传递函数：已知系统传递函数：求系统的单位阶跃响应和单位脉冲响应。求系统的单位阶跃响应和单位脉冲响应。2) 1(12)(sssG11) 1(11) 1(12)()()(22sssssssXsGsXio从而：从而：

26、 ttooetesXLtx1)()(2 2）单位脉冲输入时，由于）单位脉冲输入时，由于)( 1 )(tdtdt 因此：因此：ttooteetxdtdtx2)()(1第三章第三章 时间响应分析时间响应分析6 6、 二阶系统的性能指标二阶系统的性能指标 控制系统的时域性能指标控制系统的时域性能指标 控制系统的性能指标是评价系统动态品控制系统的性能指标是评价系统动态品质的定量指标，是定量分析的基础。质的定量指标，是定量分析的基础。 系统的时域性能指标通常通过系统的单系统的时域性能指标通常通过系统的单位阶跃响应进行定义。常见的性能指标有：位阶跃响应进行定义。常见的性能指标有：上升时间上升时间t tr

27、r、峰值时间峰值时间t tp p、调整时间调整时间t ts s、最最大超调量大超调量M Mp p、振荡次数振荡次数N N。 第三章第三章 时间响应分析时间响应分析1 10 0t tM Mp p允许误差允许误差=0.05=0.05或或0.020.02t tr rt tp pt ts s0.10.10.90.9x xo o( (t t) )控制系统的时域性能指标控制系统的时域性能指标第三章第三章 时间响应分析时间响应分析q 评价系统快速性的性能指标评价系统快速性的性能指标 上升时间上升时间t tr r响应曲线从零时刻出发响应曲线从零时刻出发首次到达稳态值首次到达稳态值所需所需时间。对无超调系统，上

28、升时间一般定义为时间。对无超调系统，上升时间一般定义为响应曲线响应曲线从稳态值的从稳态值的10%10%上升到上升到90%90%所需所需的时间的时间。 峰值时间峰值时间t tp p响应曲线从零上升到响应曲线从零上升到第一个峰值第一个峰值所需时间。所需时间。 调整时间调整时间t ts s响应曲线到达并保持在允许误差范围（稳态响应曲线到达并保持在允许误差范围（稳态值的值的 2%2%或或 5%5%）内所需的时间。）内所需的时间。 第三章第三章 时间响应分析时间响应分析 最大超调量最大超调量M Mp p响应曲线的最大峰值与稳态值之差。通常用响应曲线的最大峰值与稳态值之差。通常用百分数表示：百分数表示：

29、q 评价系统平稳性的性能指标评价系统平稳性的性能指标 %100)()()(oopopxxtxM若若x xo o( (t tp p) ) x xo o( ( ) )，则响应无超调。，则响应无超调。 振荡次数振荡次数N N在调整时间在调整时间t ts s内系统响应曲线的振荡次数。内系统响应曲线的振荡次数。实测时，可按响应曲线穿越稳态值次数的一实测时，可按响应曲线穿越稳态值次数的一半计数。半计数。第三章第三章 时间响应分析时间响应分析 欠阻尼二阶系统的时域性能指标欠阻尼二阶系统的时域性能指标 上升时间上升时间t tr r1sin11)(2rdtrotetxrn根据上升时间的定义有：根据上升时间的定义

30、有：欠阻尼二阶系统的阶跃响应为：欠阻尼二阶系统的阶跃响应为：0),sin(11)(2ttetxdton2221arccos11nndrarctgt从而：从而：即：即：0sinrdt, 2, 1, 0,kktrd显然，显然， 一定时，一定时， n n越大，越大，t tr r越小；越小； n n一定时，一定时， 越大，越大，t tr r 越大。越大。第三章第三章 时间响应分析时间响应分析 峰值时间峰值时间t tp p，并将，并将t t = = t tp p代入可得：代入可得： 0)(dttdxo令令0)cos(1)sin(122pdtdpdtntetepnpn即：即： tgttgpd21)(, 2

31、, 1, 0,kktpd根据根据t tp p的定义解上方程可得：的定义解上方程可得： 21ndpt 可见，峰值时间等于阻尼振荡周期可见，峰值时间等于阻尼振荡周期T Td d2 2 / / d d的一半。且的一半。且 一定，一定， n n越大，越大，t tp p越小；越小； n n一定，一定， 越大，越大，t tp p 越大。越大。第三章第三章 时间响应分析时间响应分析 最大超调量最大超调量 M Mp p%100%100)()()(21exxtxMoopop 显然，显然，M Mp p仅与阻尼比仅与阻尼比 有关。最大超调量直接说明有关。最大超调量直接说明了系统的阻尼特性。了系统的阻尼特性。 越大，

32、越大， M Mp p 越小，系统的平稳越小，系统的平稳性越好，当性越好，当 = 0.40.8= 0.40.8时，可以求得相应的时，可以求得相应的 M Mp p = = 25.4%25.4%1.5%1.5%。0 00.10.10.20.20.30.30.40.40.50.50.60.60.70.70.80.80.90.9 1 10 0101020203030404050506060707080809090100100M Mp p 二阶系统二阶系统M Mp p 图图第三章第三章 时间响应分析时间响应分析 调整时间调整时间t ts s对于欠阻尼二对于欠阻尼二阶系统，其单阶系统，其单位阶跃响应的位阶跃

33、响应的包络线为一对包络线为一对对称于响应稳对称于响应稳态分量态分量 1 1 的的指数曲线：指数曲线： 211tnet t0 01 1x xo o( (t t) )211tne211tnenT121112111T T2 2T T3 3T T4 4T TT2arccos21dt第三章第三章 时间响应分析时间响应分析 当包络线进入允许误差范围之内时，阶跃响当包络线进入允许误差范围之内时，阶跃响应曲线必然也处于允许误差范围内。因此利用：应曲线必然也处于允许误差范围内。因此利用： 1112tnenst21lnln可以求得：可以求得：由上式求得的由上式求得的t ts s包通常偏保守。包通常偏保守。当当 一

34、定时，一定时， n n越大，越大，t ts s越小，系统响应越快。越小，系统响应越快。05. 0,302. 0,41lnln2nnnst当当00 0.70.7时，时， 第三章第三章 时间响应分析时间响应分析 振荡次数振荡次数N N N N 仅与仅与 有关。与有关。与M Mp p 一样直接说明了系统的一样直接说明了系统的阻尼特性。阻尼特性。 越大，越大，N N越小，系统平稳性越好。越小，系统平稳性越好。2122nddT对欠阻尼二阶系统，振荡周期对欠阻尼二阶系统，振荡周期02. 0,1205. 0,15 . 122dsTtN则则第三章第三章 时间响应分析时间响应分析 二阶系统的动态性能由二阶系统的

35、动态性能由 n n和和 决定。决定。 结论结论 通常根据允许的最大超调量来确定通常根据允许的最大超调量来确定 。 一般一般选择在选择在0.40.40.80.8之间，然后再调整之间，然后再调整 n n以获得合以获得合适的瞬态响应时间。适的瞬态响应时间。 一定，一定， n n越大，系统响应快速性越好，越大，系统响应快速性越好，t tr r、t tp p、t ts s越小。越小。 增加增加 可以降低振荡，减小超调量可以降低振荡，减小超调量M Mp p 和振荡和振荡 次数次数N N ，但系统快速性降低，但系统快速性降低，t tr r、t tp p增加；增加；第三章第三章 时间响应分析时间响应分析 例题

36、例题1 1 图图a)a)所示机械系统，当在质量块所示机械系统，当在质量块M M上施加上施加f f( (t t)=8.9)=8.9N N的阶跃力后，的阶跃力后，M M的位移时间响应如图的位移时间响应如图b)b)。试求系统的质量。试求系统的质量M M、弹性系数、弹性系数K K和粘性阻尼和粘性阻尼系数系数C C的值。的值。 m mf f( (t t) )K KC Cx xo o( (t t) )a)a)0 00.030.030.00290.00292 2t t / /s s1 13 3x xo o( (t t)/)/m mt tp pb)b)第三章第三章 时间响应分析时间响应分析解：根据牛顿第二定律

37、：解：根据牛顿第二定律： 22)()()()(dttxdMdttdxCtKxtfooo2222211)()()(nnnossKKCsMssFsXsGKMCMKn2,其中，其中，系统的传递函数为：系统的传递函数为：第三章第三章 时间响应分析时间响应分析sKCsMssXsGsXio9 . 81)()()(2由于由于F F( (s s)=L)=Lf f( (t t)=L8.9=8.9/s)=L8.9=8.9/s，因此，因此根据拉氏变换的终值定理：根据拉氏变换的终值定理：KKCsMsssXxsoso9 . 89 . 8lim)(lim)(200由图由图b)b)知知 x xo o( ( ) = 0.03

38、) = 0.03m m，因此：，因此：K K=8.9/0.03=297=8.9/0.03=297N N/ /m m第三章第三章 时间响应分析时间响应分析又由图又由图b)b)知：知：%7 . 9%10003. 00029. 0%10021eMp解得：解得： = 0.6= 0.6212npt又由：又由：代入代入 ，可得，可得 n n=1.96=1.96radrad/ /s sKMCMKn2,根据根据解得解得 M M = 77.3= 77.3KgKg，C C = 181.8= 181.8NmNm/ /s s 第三章第三章 时间响应分析时间响应分析 例题例题2 2已知单位反馈系统的开环传递函数为：已知

39、单位反馈系统的开环传递函数为： 求求K K=200=200时，系统单位阶跃响应的动态性时，系统单位阶跃响应的动态性能指标。若能指标。若K K 增大到增大到15001500或减小到或减小到13.513.5，试，试分析动态性能指标的变化情况。分析动态性能指标的变化情况。 )5 .34(5)(ssKsG解：系统闭环传递函数为：解：系统闭环传递函数为： KssKsGsGs55 .345)(1)()(2第三章第三章 时间响应分析时间响应分析1 1）K K = 200= 200时时 10005 .341000)(2sss n n=31.6=31.6radrad/ /s s， =0.545=0.545stn

40、r081. 01arccos2)05. 0(174. 03stns%13%10021eMp)05. 0(73. 015 . 12Nstnp12. 012222( )2nnnwssw sw第三章第三章 时间响应分析时间响应分析2 2）K K = 1500= 1500时时 n n=86.2=86.2radrad/ /s s， =0.2=0.2，同样可计算得：，同样可计算得： t tr r=0.021=0.021s s，t tp p=0.037=0.037s s，M Mp p=52.7%=52.7%t ts s=0.174=0.174s s，N=N=2.342.34可见，增大可见，增大K K， 减小

41、，减小， n n提高，引起提高，引起t tp p减小，减小，M Mp p增大，而增大，而t ts s无变化无变化 即系统可以视为由两个时间常数不同的一阶系统即系统可以视为由两个时间常数不同的一阶系统串联组成，其中串联组成，其中 T T1 1=0.481=0.481s s, ,T T2 2=0.0308=0.0308s s3 3）K K = 13.5= 13.5时时 n n=8.22=8.22radrad/ /s s， =2.1 =2.1 ，系统工作于过，系统工作于过阻尼状态，传递函数可以改写为：阻尼状态，传递函数可以改写为： ) 10308. 0)(1481. 0(15 .675 .345 .

42、67)(2sssssG第三章第三章 时间响应分析时间响应分析 对于过阻尼系统，对于过阻尼系统，t tp p，M Mp p，N N已无意义，而调整已无意义，而调整时间时间t ts s间可以通过其中时间常数大的一阶系统进行间可以通过其中时间常数大的一阶系统进行估算，即：估算，即： t ts s=3=3T T1 1=1.443=1.443s s ( ( =0.05)=0.05) 显然，显然，t ts s比前两种情形要大得多，虽然系统无比前两种情形要大得多，虽然系统无超调，但过渡过程缓慢。超调，但过渡过程缓慢。第三章第三章 时间响应分析时间响应分析六、误差分析和计算六、误差分析和计算1 1、控制系统的

43、偏差与误差、控制系统的偏差与误差考虑图示反馈控制系统考虑图示反馈控制系统H(s)H(s) X Xi i( (s s) )X Xo o( (s s) )B B( (s s) ) ( (s s) )G(s)G(s) 偏差信号偏差信号 ( (s s) ) ( (s s)= )= X Xi i( (s s) )B B( (s s) ) X Xi i( (s s) )H H( (s s) ) X Xo o( (s s) )偏差信号偏差信号 ( (s s) )定义为系统输入定义为系统输入X Xi i( (s s) )与系统与系统主反馈主反馈信号信号B B( (s s) )之差，即：之差，即：第三章第三章

44、时间响应分析时间响应分析 误差信号误差信号E E( (s s) ) 误差信号误差信号e(s)定义为系统期望输出定义为系统期望输出Xor(s)与系统实与系统实际输出际输出Xo(s)之差，即：之差，即：E E( (s s)= )= X Xoror( (s s) ) X Xo o( (s s) ) 控制系统的期望输出控制系统的期望输出X Xoror( (s s) ) 为偏差信号为偏差信号 ( (s s) )0 0时的实际输出值，即此时控制系统无控制作用，实时的实际输出值，即此时控制系统无控制作用，实际输出等于期望输出际输出等于期望输出: :X Xo o( (s s) )X Xoror( (s s)

45、)由：由： ( (s s)=)=X Xi i( (s s) )H H( (s s) )X Xoror( (s s) )0 0可得：可得：X Xoror( (s s) )X Xi i( (s s)/)/H H( (s s) ) 对于单位反馈系统，对于单位反馈系统，H H( (s s) )1 1，X Xoror( (s s) )X Xi i( (s s) ) 偏差信号偏差信号 ( (s s) )与误差信号与误差信号E E( (s s) )的关系的关系)()()()()()()()(sHssXsHsXsXsXsEoioor对单位反馈系统：对单位反馈系统：E E( (s s) ) ( (s s) )

46、第三章第三章 时间响应分析时间响应分析2 2、稳态误差及其计算、稳态误差及其计算 稳态误差稳态误差e essss稳态误差稳态误差：系统的期望输出与实际输出在稳定：系统的期望输出与实际输出在稳定状态（状态（t t）下的差值，即误差信号）下的差值，即误差信号e e( (t t) ) 的的稳态分量：稳态分量：)(limteetss 当当sEsE( (s s) )的极点均位于的极点均位于s s平面左半平面（包括平面左半平面（包括坐标原点）时坐标原点）时，根据拉氏变换的终值定理，有：，根据拉氏变换的终值定理，有：)(lim)(lim0ssEteestss第三章第三章 时间响应分析时间响应分析 稳态误差的

47、计算稳态误差的计算系统在输入作用下的偏差传递函数为：系统在输入作用下的偏差传递函数为： )()(11)()()(sHsGsXssiii)()()(11)(sXsHsGsii即：即：)()()(11lim)(lim)(lim00sXsHsGssstisstss利用拉氏变换的终值定理，系统稳态偏差为：利用拉氏变换的终值定理，系统稳态偏差为：稳态误差稳态误差：)0()(1lim)()()(11)(1lim)()(lim)(lim)(lim0000HsHsXsHsGsHssHssssEteesssssissstss第三章第三章 时间响应分析时间响应分析)()(11lim0sXsGseisssss对于单

48、位反馈系统：对于单位反馈系统： 显然，系统稳态偏差显然，系统稳态偏差( (误差误差) )决定于输入决定于输入X Xi i( (s s) )和开环传递函数和开环传递函数G G( (s s) )H H( (s s) )，即决定于输入信号的，即决定于输入信号的特性及系统的结构和参数。特性及系统的结构和参数。 例题例题已知单位反馈系统的开环传递函数为：已知单位反馈系统的开环传递函数为： G G( (s s)=1/)=1/TsTs 求其在单位阶跃输入、单位单位速度输求其在单位阶跃输入、单位单位速度输入、单位加速度输入以及正弦信号入、单位加速度输入以及正弦信号sinsin t t输入输入下的稳态误差。下的

49、稳态误差。第三章第三章 时间响应分析时间响应分析解：该单位反馈系统在输入作用下的误解：该单位反馈系统在输入作用下的误差传递函数为：差传递函数为：1)(11)(TsTssGse在单位阶跃输入下的稳态误差为：在单位阶跃输入下的稳态误差为：011lim)()(11lim00sTsTsssXsGsesisss在单位速度输入下的稳态误差为：在单位速度输入下的稳态误差为：TsTsTsssXsGsesisss20011lim)()(11lim在单位加速度输入下的稳态误差为：在单位加速度输入下的稳态误差为：30011lim)()(11limsTsTsssXsGsesisss第三章第三章 时间响应分析时间响应分

50、析sinsin t t输入时：输入时：)(1()()(11)(22sTsssXsGsEi 由于上式在虚轴上有一对共轭极点，不能由于上式在虚轴上有一对共轭极点，不能利用拉氏变换的终值定理求稳态误差。利用拉氏变换的终值定理求稳态误差。tTTtTTeTTteTtsin1cos11)(22222222对上式拉氏变换后得：对上式拉氏变换后得：tTTtTTtesssin1cos1)(222222稳态输出为：稳态输出为：第三章第三章 时间响应分析时间响应分析而如果采用拉氏变换的终值定理求解，将而如果采用拉氏变换的终值定理求解，将得到错误得结论：得到错误得结论：01lim220sTsTssesss此例表明，输

51、入信号不同，系统的稳态误差也不相此例表明，输入信号不同，系统的稳态误差也不相同。同。3 3、稳态误差系数、稳态误差系数 稳态误差系数的概念稳态误差系数的概念q 稳态位置误差（偏差）系数稳态位置误差（偏差）系数psisssKsHsGsXsHsGs11)()(11lim)()()(11lim00单位阶跃输入时系统的稳态偏差单位阶跃输入时系统的稳态偏差称为称为稳态位置误差（偏差）系数稳态位置误差（偏差）系数。)0()0()()(lim0HGsHsGKsp其中，其中，第三章第三章 时间响应分析时间响应分析q 稳态速度误差（偏差）系数稳态速度误差（偏差）系数vsisssKsHssGssXsHsGs1)(

52、)(1lim)()()(11lim00单位速度输入时系统的稳态偏差单位速度输入时系统的稳态偏差称为称为稳态速度误差（偏差）系数稳态速度误差（偏差）系数。)()(lim0sHssGKsv其中，其中，)0(,11GKKeppssss对于单位反馈系统，对于单位反馈系统，pssKHe11)0(1易知：易知：)(lim,10ssGKKesvvssss对于单位反馈系统，对于单位反馈系统，vssKHe1)0(1易知：易知：第三章第三章 时间响应分析时间响应分析q 稳态加速度误差（偏差）系数稳态加速度误差（偏差）系数asisssKsHsGsssXsHsGs1)()(1lim)()()(11lim2200单位加

53、速度输入时系统的稳态偏差单位加速度输入时系统的稳态偏差称为称为稳态加速度误差（偏差）系数稳态加速度误差（偏差）系数。)()(lim20sHsGsKsa其中，其中，q 结论结论当输入信号形式一定后，系统是否存在稳态误差取当输入信号形式一定后，系统是否存在稳态误差取决于系统的开环传递函数。决于系统的开环传递函数。 )(lim,120sGsKKesaassss对于单位反馈系统，对于单位反馈系统，assKHe1)0(1易知：易知：第三章第三章 时间响应分析时间响应分析 系统类型系统类型将系统的开环传递函数写成如下形式：将系统的开环传递函数写成如下形式： )() 1() 1)(1() 1() 1)(1(

54、)()(2121sGsKsTsTsTssssKsHsGvvnvm)()(1)(lim)(lim)(lim00sHsGssXsstisstss则：则： )()(lim0sXsGKsssivvsKssXsvsivs010lim)(lim即系统的稳态偏差（误差）取决于系统的开环增益、输入信号即系统的稳态偏差（误差）取决于系统的开环增益、输入信号以及开环传递函数中积分环节的个数以及开环传递函数中积分环节的个数v v。第三章第三章 时间响应分析时间响应分析 根据系统开环传递函数中积分环节的多根据系统开环传递函数中积分环节的多少，当少，当 v v = 0, 1, 2, = 0, 1, 2, 时，系统分别称

55、为时，系统分别称为0 0型型、I I型型、型型、系统。系统。 不同类型系统的稳态误差系数及稳态误差不同类型系统的稳态误差系数及稳态误差q 0 0型系统型系统) 1() 1)(1() 1() 1)(1()()(2121sTsTsTsssKsHsGvnmKsHsGKsp)()(lim0KKpss11110)()(lim0sHssGKsvvssK10)()(lim20sHsGsKsaassK1第三章第三章 时间响应分析时间响应分析q I I型系统型系统) 1() 1)(1() 1() 1)(1()()(2121sTsTsTssssKsHsGvnm)()(lim0sHsGKsp011pssKKsHss

56、GKsv)()(lim0KKvss110)()(lim20sHsGsKsaassK1q 型系统型系统) 1() 1)(1() 1() 1)(1()()(21221sTsTsTssssKsHsGvnm)()(lim0sHsGKsp011pssK)()(lim0sHssGKsv01vssKKsHsGsKsa)()(lim20KKass11第三章第三章 时间响应分析时间响应分析表表1 1、系统的稳态误差系数及稳态偏差、系统的稳态误差系数及稳态偏差0 00 0K K IIII型型 0 00 0K K I I型型 0 00 0K K0 0型型单位加速单位加速度输入度输入单位速单位速度输入度输入单位阶单位

57、阶跃输入跃输入K Ka aK Kv vK Kp p稳态偏差稳态偏差稳态误差系数稳态误差系数系统系统类型类型K11K1K1第三章第三章 时间响应分析时间响应分析q 几点结论几点结论 不同类型的输入信号作用于同一控制系统，其稳态误不同类型的输入信号作用于同一控制系统，其稳态误差不同；相同的输入信号作用于不同类型的控制系统，差不同；相同的输入信号作用于不同类型的控制系统，其稳态误差也不同。其稳态误差也不同。 系统的稳态误差与其开环增益有关，开环增益越大，系统的稳态误差与其开环增益有关，开环增益越大，稳态误差越小。稳态误差越小。 在阶跃输入作用下，在阶跃输入作用下， 0 0型系统的稳态误差为定值，常型

58、系统的稳态误差为定值，常称为称为有差系统有差系统； I I型系统的稳态误差为型系统的稳态误差为0 0，常称为，常称为一阶一阶无差系统无差系统； 在速度输入作用下，在速度输入作用下，II II 型系统的稳态误差型系统的稳态误差 为为 0 0，常称为，常称为二阶无差系统二阶无差系统。 第三章第三章 时间响应分析时间响应分析 令令 为输入信号拉氏变换后为输入信号拉氏变换后s s的阶次，当的阶次，当 v v时，时，无稳态偏差（误差）；无稳态偏差（误差）； - -v v=1=1时，偏差误差）为常时，偏差误差）为常数；数； - -v v=2=2时，偏差（误差）为无穷大；时，偏差（误差）为无穷大； 系统在多

59、个信号共同作用下总的稳态偏差误差）等系统在多个信号共同作用下总的稳态偏差误差）等于多个信号单独作用下的稳态偏差（误差）之和。于多个信号单独作用下的稳态偏差（误差）之和。 221)(CtBtAtxi如：如：avpssKCKBKA1总的稳态偏差：总的稳态偏差： 如果输入量非单位量时，其稳态偏差（误差）按如果输入量非单位量时，其稳态偏差（误差）按比例增加。比例增加。 第三章第三章 时间响应分析时间响应分析第三章第三章 例题讲解例题讲解例例3.1 3.1 已知系统的单位阶跃响应为：已知系统的单位阶跃响应为：ttoeetx10602 . 12 . 01)(求：求：1 1）系统的闭环传递函数；）系统的闭环

60、传递函数； 2 2）系统阻尼比）系统阻尼比 和无阻尼固有频率和无阻尼固有频率 n n。解：解：1 1） ssXi1)()10)(60(600102 . 1602 . 01)()(sssssstxLsXoo第三章第三章 时间响应分析时间响应分析60070600)10)(60(600)()()(2sssssXsXsio2 2）对比二阶系统的标准形式：）对比二阶系统的标准形式： 2222)(nnnsss7026002nn429. 1/5 .24sradn有：有： 第三章第三章 时间响应分析时间响应分析例例3.2 3.2 已知系统方框图如下：已知系统方框图如下： 图中虚线方框称为图中虚线方框称为“比例