补充拉氏变换知识

1、Friday, June 10, 20221拉普拉斯变换拉普拉斯变换（补充内容）Friday, June 10, 202220)(dtetfst)()(1sFLtf一个函数可以进行拉氏变换的充分条件是：t0，那么下式称为函数f(t)的拉普拉斯变换式： ,式中s为复数。记作拉普拉斯变换拉普拉斯变换:Friday, June 10, 20223复习拉氏变换复习拉氏变换例1：阶跃函数： ,A为常数。F(s)=当A=1时，称单位阶跃函数。即 。)0(0)0()(ttAtfysAesAdtAestst00s1)t ( 1 LA0yt)( 11)(1tstfL反变换：Friday, June 10, 20

2、224复习拉氏变换复习拉氏变换例2：指数函数y=f(t)= ，A，为常数，)0t (0)0t (AetsAseAdteAdteAetstsstt0)(0)(0F(s)=eLatastf1)(1反变换：Friday, June 10, 20225复习拉氏变换复习拉氏变换例3：斜坡函数f(t)=At,F(s)=当A=1时，称单位斜坡函数。即20sAdtAtest2s1tL0f(ttf(t)ttfsL1)(21反变换：Friday, June 10, 20226复习拉氏变换复习拉氏变换例4： 正弦函数f(t)=Asint , A、为常数。00)(2sin)(dteeejAdtetAsFsttjtjs

3、t002dteedteejAsttjsttjjseLjseLseLtjtjt1,1,1因为22222)11(2sinsAsjsjsjAjsjsjAtAL所以22cossstL同理Friday, June 10, 20227复习拉氏变换复习拉氏变换欧拉公式： tjtetjsincos)ee(j21tsintjtj)(21costjtjeetFriday, June 10, 20228复习拉氏变换复习拉氏变换ssFttf1)(),( 1)(1)()(tLsF21)(,)(ssFttf321)(,21)(ssFttf22)(,sin)(ssFttf常用函数的拉氏变换：常用函数的拉氏变换： 单位阶跃函

4、数： 单位脉冲函数： 单位斜坡函数： 单位抛物线函数： 正弦函数： 其他函数可以查阅相关表格获得。Friday, June 10, 20229)()()()(2121sFsFtftfL则线性定理：复习拉氏变换复习拉氏变换性质：性质：)()()()(2211sFtfLsFtfL，若时而当0) 0 () 0 () 0 ()(nfff)0()()(fssFtfL则)0()0()()(2fsfsFstfL )0(.)0()0()()()1(21)(nnnnnffsfssFstfL微分定理：)()(sFtfL若)()(, )()(, )()()()(2sFstfLsFstfLssFtfLnn Frida

5、y, June 10, 202210复习拉氏变换复习拉氏变换0)(1)()(则tdttfsssFdttfL积分定理：)()(sFtfL若0)(0而若tdttfssFdttfL)()(则)(lim)(lim0ssFtfst则有初值定理： 存在，且极限若)(lim)()(ssFsFtfLs)(lim)(lim0ssFtfst则有终值定理：存在，且极限若)(lim)()(0ssFsFtfLsFriday, June 10, 202211)()()()()()(2121021sFsFtftfLdftfLt则卷积定理：)()()()(2211sFtfLsFtfL，若)()()()()()()()(212

6、120121tftftftfdftftftft的卷积，记为和称为，积分式和卷积：两个函数复习拉氏变换复习拉氏变换Friday, June 10, 202212线性方程的求解：线性方程的求解： 研究控制系统在一定的输入作用下，输出量的变化情况。方法有经典法，拉氏变换法和数字求解。在自动控制系统理论中主要使用拉氏变换法。拉氏变换求微分方程解的步骤：对微分方程两端进行拉氏变换，将时域方程转换为s域的代数方程。求拉氏反变换，求得输出函数的时域解。线性方程的求解线性方程的求解Friday, June 10, 202213线性方程的求解（例子）线性方程的求解（例子）例：5x(t)2yy3y 利用拉普拉斯变

7、换解线性常微分方程利用拉普拉斯变换解线性常微分方程 已知：已知：解：方程两边作拉氏变换，解：方程两边作拉氏变换，4 (0)y1,1(t), y(0)x(t)2)(1(1)2)(1(5231)23(5)(15345)(Y)23(5)0(3)0()0()(Y)23(5)(Y2)0()(Y 3)0()0()(Y22222sssssssssssssYssssssssyysysssssyssysyssFriday, June 10, 2022142312)2(251525)(Yssssss)0(213253225525)()(2221teeeeeesyLtytttttt线性方程的求解（例子）线性方程的求解（例子）25)2()2)(1(55) 1()2)(1(525)2)(1(521)2)(1(5231201321sssssssAssssAssssAsAsAsAsss部分分式法3)2()2)(1(12)1()2)(1(121)2)(1(1221121ssssssBssssBsBsBsssFriday, June 10, 202215例：的拉氏反变换。求函数)2)