概率统计重要知识点

1、概率论与数理统计重要知识点1七个概率公式（1）加法公式 ，特别，若互斥，则若两两互斥，则（2）减法公式 （3）逆概公式 （4）乘法公式 特别，若相互独立，则（5）全概率公式 设为完备事件组（即：， ），且，则（6）贝叶斯（逆概）公式 设为完备事件组，且，则（7）二项概率公式（二项分布的背景）伯努利概型：在相同的条件下，重复做次试验，这次试验是相互独立的，每次试验的结果只有两个：或，且在每次试验中发生的概率不变，这样的次试验称为Bernoulli概型若，则在这次试验中事件恰好发生次的概率为2分布函数定义 随机变量（r.v.）的分布函数定义为3离散型r.v.及其分布律定义 r.v.的可能取值为，称

2、为的概率分布或分布律也可用表格表示为4连续型r.v.及其概率密度定义 设r.v.的分布函数为，若存在非负函数，使得，有，则称为连续型r.v.，是的概率密度或密度函数性质（1）；（2）；（3）；（4）若在处连续，则5r.v.函数的分布r.v.，的概率密度，单调可导，则其中，6数学期望（工具：无穷级数、广义积分）定义 性质（1）；（2）（独立）；（3）工具箱（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）（8）7方差（工具：无穷级数、广义积分）定义 （定义式）（计算式）性质（1）若，则；（2）（独立）8常见分布名称分布律或概率密度期望方差0-1分布，二项分布，泊松分布，超几何分布，几何分布，

3、均匀分布正态分布指数分布9正态分布标准正态分布：概率密度，分布函数性质（1）若，则，故；（2）若，相互独立，为任意常数，则 （再生性）；10联合分布与边缘分布r.v.：，：称为二维r.v.或二维随机向量与的联合分布函数的分布函数称为关于的边缘分布：的分布函数称为关于的边缘分布：性质（1）；（2）11联合分布律定义 设的可能取值为，称即 为的分布律或与的联合分布律称为离散型二维r.v.12边缘分布律， 113联合概率密度定义 设的联合分布函数为，若，s.t.，都有，则称为二维连续型r.v.，称为与的联合概率密度性质（1）；（2）若在处连续，则；（3）14边缘概率密度，15r.v.的独立性与相互独

4、立：，有等价地，16卷积公式，若与相互独立，则17二维r.v.的数字特征、的协方差 性质（1）；（2），其中为常数；（3）；（4）若独立，则；（5），特别地，若独立，则；和的相关系数 性质（1）与概率为1地正（负）线性相关，即存在常数和，使得（2）与相互独立与不相关（3）若服从二维正态分布，则“与相互独立与不相关”18常见二维分布（1）均匀分布其中为平面区域的面积；（2）二维正态分布 19r.v.序列依概率收敛定义 设是r.v.序列，若存在r.v.，使对任意，恒有，或等价地则称r.v.序列依概率收敛于，记作 或 20r.v.序列服从大数定律定义 设是r.v.序列，数学期望存在，若，则称r.v.

5、序列服从大数定律21切比雪夫不等式 ，有22切比雪夫大数定律设r.v.相互独立，且有相同的数学期望和方差：则，有23辛钦大数定律设r.v.相互独立，服从同一分布，且则，有24列维-林德伯格中心极限定理（独立同分布的中心极限定理）设r.v.相互独立，服从同一分布，且，则，有25德莫佛-拉普拉斯中心极限定理设r.v.，则，有26总体与样本总体：研究对象的某个数量指标的全体称为总体，记作（r.v.），总体中的每个元素称为个体样本：设是取自总体的样本，若它们相互独立，且与有相同分布，则称为来自总体的简单随机样本，简称样本称为样本容量在一次试验中，样本的观测值称为样本值27统计量统计量：设是取自总体的一

6、个样本，若r.v.的函数中不含任何未知参数，则称是一个统计量常见统计量：样本均值 样本方差 样本标准差 样本二阶中心矩 样本阶（原点）矩 （重点：）样本阶中心矩 （重点：）定理1 28统计量的重要分布定义1 设是取自总体的样本，则称统计量所服从的分布是自由度为的分布，记为若，则称为分布的上分位数性质（1）若，且独立，则；（2）若，则；（3）当时，定义2 设，并且独立，则称r.v.所服从的分布是自由度为的分布，记为若，则称为分布的上分位数，性质（1）；（2）定义3 设，并且独立，则称r.v.所服从的分布是自由度为的分布，记为若，则称为分布的上分位数性质 定理2 设是来自正态总体的样本，则（1）；

7、（2）；（3）与独立，且定理3 设和分别是来自正态总体和的样本，且这两个样本相互独立，记，.则（1）；（2）；29点估计（1）点估计 设是总体的未知参数，用统计量来估计，称为的估计量求参数的估计量称为点估计（2）无偏性 若，则是的无偏估计量（3）有效性 设和都是的无偏估计量，若，则称比有效（4）一致性若，有，则称是的一致（相合）估计量30求估计量的常用方法（1）矩估计设总体的分布形式已知，为未知参数，且的前阶矩存在是来自的一个样本，求的矩估计量的步骤如下：第一步，求总体的前阶矩第二步，解（1）中的个方程得未知参数第三步，用样本矩代替相应的总体阶矩，得到的矩估计量（2）最大似然估计法设总体的分布形式已知，为未知参数，是样本的观测值，求的最大似然估计量的步骤如下：第一步，求似然函数若总体属离散型，其分布律为，则若总体属连续型，其概率密度为，则第二步，求似然函数的最大值点若似然函数是关于的可微函数，则解以下对数似然方程组若的驻点惟一，又能验证它是极大值点，则它必是的最大值点，即为待估参数的最大似然估计值但若驻点不惟一