第四章拉普拉斯变换

1、1第四章第四章 拉普拉斯变换拉普拉斯变换 本章要点本章要点拉氏变换的定义拉氏变换的定义从傅立叶变换到拉氏从傅立叶变换到拉氏变换变换拉氏变换的性质，收敛域拉氏变换的性质，收敛域卷积定理卷积定理(S域域)周期和抽样信号的拉氏变换周期和抽样信号的拉氏变换系统函数和单位冲激响应系统函数和单位冲激响应拉氏变换与傅氏变换的关系拉氏变换与傅氏变换的关系2拉氏变换的定义拉氏变换的定义从傅氏变换到拉从傅氏变换到拉氏变换氏变换有几种情况不满足狄里赫利条件： u(t) 增长信号 周期信号) 0( aeat 若乘一衰减因子 为任意实数，则 收敛，于满足狄里赫利条件tetetf).(tetu)()(.aeetattet

2、1cost1cos3tetftf)()(1dtetfFtj0)(1)()(因果0)()(dtetfsFstjs象函数正LTdsesFjtfjjst)(21)(原函数逆LTFT: 实频率 是振荡频率LT: 复频率S 是振荡频率， 控制衰减速度4拉氏变换已考虑了初始条件拉氏变换已考虑了初始条件)()()()()(ofsSFdttdfLTsFtfLT)()0()()()()(000sSFfefdtetfetfdtetfsststst终值初值，若有跳变则为 )(of5)(0)(lim0ttetf收敛域 有始有终信号和能量有限信号 或等幅振荡信号和增长信号 不收敛信号除非00a0a0)0(,22 tte

3、ettjj整个平面以 为界0)0(Tt 6常用信号的拉氏变换)(tuS1tatu)(as 1nt1!nsn)(t1)(0tt 0ste7拉氏变换的基本性质（1）线性)(1tfkinii)(.1tfLTkniidttdf)(微分)0()( fsSF积分tdf)(sfssF)0()(时移)()(00ttuttf)(0sFest频移atetf)()(asF8拉氏变换的基本性质（2）尺度变换)(atfasFa1)(lim)0()(lim0sSFftfst终值定理)(lim)()(lim0sSFftfst卷积定理)(*)(21tftf)().(21sFsF初值定理)().(21tftf)(*)(2121

4、sFsFj9例：周期信号的拉氏变换)()(11sFtfLT)()(11sFenTtfsnTLTSTnSnTLTnesFesFnTtf1)()()(1010第一周期的拉氏变换利用时移特性利用无穷级数求和10例：例： 单边正弦、余弦信号的拉氏变换单边正弦、余弦信号的拉氏变换2)()(tjtjeetutf2221)11()(SSjSjSSFjeetutftjtj2)()(2221)11()(SjjSjSSFttucos)(ttusin)(11例：衰减余弦的拉氏变换例：衰减余弦的拉氏变换cos)()(ttuetft220cos)()(SSttuLTSF22)()(SSSF频移特性12矩形周期信号拉氏变

5、换矩形周期信号拉氏变换)2()()(1tututf)1(11)()(21STSSTeSeesFsF)1 (1)(21SeSsF第一周期的信号第一周期的拉氏变换利用时移特性利用无穷技术求和1314例2)(tf 单对称方波 周期对称方波 乘衰减指数)21 (12sseesssees2211)1 (1包络函数te12) 2() 1(2)(tututu)1 ()1 () 1(1) 1() 1(SSees15抽样信号的拉氏变换0)()(nTnTttSTnSnTTees11)(0)()()(ttftfTs00.0)()()()(nSnTnSTTsenTfdtenTtnTfsF抽样序列抽样序列的拉氏变换时域

6、抽样信号抽样信号的拉氏变换16双边拉氏变换收敛域)()()(tuetutft0)1 (0)()()(dtetudtetudtetfttt01sstfLT111)(0110j)( tuet)(tu0110001171)()()(2tuetutftsssstfLT111111)(20)()()(3tuetutftsssstfLT111111)(3不同原函数，收敛域不同，也可得到相同的象函数。18)()()(tuetuetfbtat0)(0)()(dtedtedtetftatbtbabaab,ab收敛，存在双边拉氏变换没有收敛域。不存在双边拉氏变换19拉氏变换与傅氏变换的关系拉氏变换与傅氏变换的关系

7、dtetftj)(因果 0乘衰减因子tedtetftj0)()(js0)(dtetfstdtetfst)(jsdtetftj)()(00)(0tft20从单边拉氏变换到傅氏变换从单边拉氏变换到傅氏变换有始信号有始信号0)(0tft)(tueataat)(tf0) 1 (0assF1)(傅氏变换不存在，拉氏变换存在j21从单边拉氏变换到傅氏变换从单边拉氏变换到傅氏变换有始信号有始信号0)(0tft0)2(0)(tft)(tueataajassF1)(ajjF1)(js 22从单边拉氏变换到傅氏变换从单边拉氏变换到傅氏变换有始信号有始信号0)(0tft0)3(0存在傅氏变换，但收敛于虚轴，不能简单

8、用 ，要包含奇异函数项。)(tussF1)()(1)(jjFnnnjsksFjF)()()(js K1=123从 的单边拉氏变换求它的傅氏变换)(.sin0tut)(.sin)(0tuttfLT2020)(ssFnnnjsksFjF)()()(00202022)(jsjjsjssF)()(2)(002200jjF2020)()(jjFK2K124系统的时域特征系统的时域特征 以单位冲激信号以单位冲激信号 作为激励时，系统作为激励时，系统产生的零状态响应，记作产生的零状态响应，记作 。 任意时域信号激励时系统的响应任意时域信号激励时系统的响应)(t)(th)(t)(th)(*)()(thttr)

9、(th)(te)(*)()(thtetr25求求 的经典方法和步骤的经典方法和步骤 列系统微分方程 求微分方程的特征根 得齐次解 求各阶导数 代入微分方程 两边奇异函数的系数平衡，可求出系数)(thi)()(11tueAthnitiiA26系统的复频域特征系统的复频域特征系统函数系统函数 是 的拉氏变换 是系统输出和输入各自拉氏变换的比)(sH)(sH)(th)()()(sEsRsH)(te)(sE)(tr)(sR)(th)(sH)(sHLTLTLT27 系统函数 的定义： 定义：系统零状态响应的拉氏变换与激励的拉氏变换之比叫系统函数或网络函数。)(sH)()()(sEsRsH28本章作业 4-1(4),(8),(12),(16), 4-1(20)*,(24)*,