第5章机械波A(完全版110)

1、1第第5章章 (Mechanical wave) (6)2波动波动振动状态的传播过程。振动状态的传播过程。 机械振动在弹性媒质中的传播过程称为机械波机械振动在弹性媒质中的传播过程称为机械波,如如声波、水波、地震波等。变化的电磁场在空间的传声波、水波、地震波等。变化的电磁场在空间的传播称为电磁波播称为电磁波,如无线电波、光波、如无线电波、光波、X射线等。射线等。 本章主要讨论机械波。本章主要讨论机械波。重点：重点：行波方程。行波方程。 行波行波振动状态沿一定方向传播的波。振动状态沿一定方向传播的波。核心：位相。核心：位相。3 在弹性媒质中，各质点之间是以弹性力相互联系在弹性媒质中，各质点之间是以

2、弹性力相互联系着的。着的。机械波的产生和传播机械波的产生和传播 产生机械波的条件：产生机械波的条件： 波源波源产生机械振动；产生机械振动； 弹性媒质弹性媒质传播振动状态。传播振动状态。 当媒质中的一个质点开始振动后当媒质中的一个质点开始振动后,在弹性力的在弹性力的作用下作用下,就会带动邻近质点振动就会带动邻近质点振动,邻近质点又带动更远邻近质点又带动更远质点振动。这样依次带动质点振动。这样依次带动,就把振动由近及远地传播就把振动由近及远地传播出去出去,形成了波动。形成了波动。u5.1 波动的基本概念波动的基本概念5.1.145678910惠更斯原理的不足：不能求出波的强度分布。惠更斯原理的不足

3、：不能求出波的强度分布。a 用惠更斯原理可以解释波的衍射现象。所谓用惠更斯原理可以解释波的衍射现象。所谓波的波的衍射衍射是指波在传播过程中遇到障碍物时是指波在传播过程中遇到障碍物时,其传播方向其传播方向发生改变发生改变,能绕过障碍物的边缘继续前进且强度重新能绕过障碍物的边缘继续前进且强度重新分布的现象分布的现象。1112 因为我们研究的是均匀无耗媒质中的平面波，所以因为我们研究的是均匀无耗媒质中的平面波，所以P点的振幅与原点的振幅相同，故仍是点的振幅与原点的振幅相同，故仍是A。原点原点o的振动方程为的振动方程为 y=Acos( t+ o) 要找出要找出P点的振动方程，只要找出点的振动方程，只要

4、找出P点的振幅和位点的振幅和位相就行了。相就行了。如前所述如前所述, P点的位相比点的位相比o点落后点落后 x/u, 写为等式有写为等式有 P点的位相点的位相 - o点位相点位相= - x/u即：即： P点的位相点的位相 - ( t+ o)= - x/uyxouxP13 P点的位相点的位相= (t- x/u)+ o )(cosouxtAy 则则P点的位相比点的位相比o点超前点超前 x/u，于是：于是：P点的位相点的位相 - ( t+ o)= + x/u, 这时波这时波动方程应为动方程应为)(cosouxtAy于是于是P点的振动方程点的振动方程(即波动方程即波动方程)为为yxouxP图17-6u

5、若若波沿波沿x轴负方向传播，轴负方向传播，14总结起来，总结起来，波动方程波动方程的标准形式应为的标准形式应为式中：式中：“ ”号表示波沿号表示波沿x轴正方向传播；轴正方向传播； “ ”号表示波沿号表示波沿x轴负方向传播。轴负方向传播。 o是是坐标原点坐标原点的的初相初相。 考虑到，考虑到， =2 /T， =uT , 波动方程还可写为波动方程还可写为)oxTtAy(2cosotAycos()2xtAy(cos)oux15 1.当当x=xo(确定值确定值)时，位移时，位移y只是时间只是时间t的余弦函数的余弦函数:)(cosoouxtAy这是这是xo处质点的振动方程。处质点的振动方程。 2.当当t

6、=to(确定值确定值)时，位移时，位移y只是时间只是时间x的余弦函数的余弦函数:)(cosoouxtAy 此式表示给定时刻此式表示给定时刻to各振动质点的位移分布情况各振动质点的位移分布情况,相相应的应的y-x的曲线就叫做的曲线就叫做波形曲线波形曲线，如图所示。，如图所示。讨论：讨论：tAy(cos)oux16)(cosouxtAytA(costx+utu)+ o上式表明，上式表明，t 时刻时刻x点的振动状态，经时间点的振动状态，经时间 t后传后传播到了播到了x+u t 处。即处。即经时间经时间 t波沿波沿x轴正方向传播了轴正方向传播了距离距离u t,如图所示如图所示。3.当当x,t 都变化时

7、，代表一列沿都变化时，代表一列沿x轴正方向传播的波。轴正方向传播的波。yxou 17)oxTtAy(2cosotAycos()2xtAy(cos)ouxt时刻时刻yxouu tt+ t时刻时刻18二、平面简谐波问题举例二、平面简谐波问题举例第一类：第一类： 已知波线上一点的振动方程和传播速度已知波线上一点的振动方程和传播速度u，写波动方程，写波动方程udMxPOxy)tcos(AyM已知：已知：M点的振动方程点的振动方程可以看出：可以看出： P点较点较M点点在时间在时间落后落后udxP点较点较M点点在位相上在位相上落后落后udx)tcos(AyP点的振动（即波动方程）：点的振动（即波动方程）：

8、udx 求波动方程求波动方程19uxPOxy)cos(tAym已知：已知：M点的振动方程点的振动方程可以看出：可以看出：P点较点较M点点在时间在时间超前超前uxd P点较点较M点点在位相上在位相上超前超前uxd )cos(uxdtAyP点的振动（即波动方程）：点的振动（即波动方程）：dM)cos(udxtAy20uOxPxy)cos(tAym已知：已知：M点的振动方程点的振动方程可以看出：可以看出： P点较点较M点点在时间在时间超前超前uxd P点较点较M点点在位相上在位相上超前超前uxd )cos(uxdtAyP点的振动（即波动方程）：点的振动（即波动方程）：dM)cos(udxtAy)co

9、s(uxdtA21 例题例题 一波动以一波动以u=20cm/s沿沿x轴负方向传播，轴负方向传播，A点的振动方程为点的振动方程为 yA=0.4cos4 t(cm), 求求波动方程：波动方程： (1)以以A为坐标原点；为坐标原点； (2)以以B为坐标原点。为坐标原点。x5cmABuyoPxu=20cm/s 解解 (1)以以A为坐标原点。为坐标原点。 已知已知A点的振动方程为点的振动方程为 yA=0.4cos4 t(cm)P(x)点比点比已知点已知点A时间时间超前：超前：波动方程：波动方程：y=0.4cos4(t20 x)cmuxt 20 xP(x)点比点比已知点已知点A位相位相超前：超前：204

10、xuxt22(2)以以B为坐标原点。为坐标原点。x5cmABuyopxu=20cm/s已知已知A点的振动方程为点的振动方程为 yA=0.4cos4 t(cm)P(x)点比点比已知点已知点A时间超前：时间超前：uxt5波动方程：波动方程：y=0.4cos4(t)205x即波动方程为即波动方程为 y=0.4cos4(t20 x)+ cmP(x)点比点比已知点已知点A位相位相超前：超前：20545xuxt23 例题例题 一波动以速度一波动以速度u沿沿x轴正方向传播，轴正方向传播，p点的振点的振动方程为动方程为 yp=Acos( t+ ), 求求: (1)坐标原点坐标原点o的振动的振动方程方程； (2

11、)波动方程。波动方程。xypluo解解 (1)原点原点o比比p点超前点超前 l /u,即即 o点位相点位相 - ( t+ )= l /u o点位相点位相= t+ + l /u坐标原点坐标原点o的振动方程为的振动方程为: y=Acos( t+ + l /u)ulxtcosAyxulx (2)x点与点与p点相距点相距 ,lx p点先振动，点先振动， x点后振动点后振动 , x点落后时间为点落后时间为 x点落后点落后p点位相为点位相为ulx 24图17-10axypluoxMM(x)点比点比已知点已知点p时间落后：时间落后：ulxt已知已知p点的振动方程为点的振动方程为 yp=Acos( t+ )波

12、动方程波动方程:ulxtAy(cos)令令x=0得坐标原点得坐标原点o的振动方程为的振动方程为:tAycos()ul另解：另解：25 例题例题 一平面简谐波沿一平面简谐波沿x轴正方向传播，振幅轴正方向传播，振幅A=10cm, 角频率角频率 =7 rad/s, 当当t=1s时，时，x=10cm处的处的a点的振动状态为点的振动状态为ya=0, a0。设波长。设波长 10cm, 求求该波的该波的波动方程。波动方程。解解 把已知条件写入波动方程：把已知条件写入波动方程： cmuxtyo)(7cos10当当t=1时时, 对对a点有：点有：)101 (7ou2对对b点有：点有：)201 (7ou3解得：解

13、得：u=84cm/s, o=-17 /3= /3波动方程为波动方程为cmxty3)84(7cos10oxt=1 a点点26 例题例题 已知波动方程：已知波动方程： ),)(212(cos5 . 0SIxty 求：求：(1)此波的传播方向，波的振幅、周期、频率、此波的传播方向，波的振幅、周期、频率、波长和波速，以及坐标原点的振动初相；波长和波速，以及坐标原点的振动初相； (2)x=2m处质点的振动方程，及处质点的振动方程，及t=1s时该质点的速时该质点的速度和加速度。度和加速度。 (3)x1=1m和和x2=2m两点的相差。两点的相差。 解解 (1)比较法比较法。2)42(2cos5 . 0 xt

14、yTtAy(2cos)ox 波沿波沿x轴正方向传播；轴正方向传播；A=0.5m, T=2s, =1/2Hz, =4m, u= /T=2m/s, 原点的振动初相原点的振动初相 o= /2。第二类：第二类：给出平面简谐波的波动式，求各特征量给出平面简谐波的波动式，求各特征量27 (2)将将x=2m代入波动方程就得该代入波动方程就得该处质点的振动方程：处质点的振动方程：)(212(cos5 . 0SIxtymty)2cos(5 . 0t=1s时该质点的速度和加速度为时该质点的速度和加速度为)2sin(5 . 0tdtdyt=1-0.5(m/s)2cos(5 . 02tdtdat=10(3)x1=1m

15、和和x2=2m两点的相差：两点的相差：)(212xx 2) 12(4228 例题例题 波速为波速为u=0.08m/s的一平面简谐波在的一平面简谐波在t=0时的时的波形如图所示，图中波形如图所示，图中p点此时正向点此时正向y轴正方向运动，求轴正方向运动，求该波的该波的波动方程。波动方程。 解解 由由p点此时正点此时正向向y轴正方向运动，轴正方向运动，可判定此波沿可判定此波沿x轴轴正方向传播。正方向传播。 波动方程为波动方程为 =2 =0.4 。 由图可知由图可知, =0.4,又已知又已知u=0.08，所，所以频率以频率 =u/ =0.2,ty(4 . 0cos12. 0m2)08. 0 xtAy(cos)oux第三类：第三类：给出某时刻的波形曲线和波速给出某时刻的波形曲线和波速u，写波动式，写波动式x(m)op0.20.12ut=02o29 例题例题17-6 沿沿x轴负方向轴负方向传播的一平面简谐波在传播的一平面简谐波在t=2s时的波形如图所示，设波时的波形如图所示，设波速速u=0.5m/s，求：，求：(1)图中图中p点的振动方程；点的振动方程；(2)该波的该波的波动方程。