窗函数数字频带变换

1、窗函数法设计高通滤波器（数字频带变换）摘要：所谓数字滤波器，是指输入、输出均为数字信号，通过数值运算处理改变输入信号所含频率成分的相对比例，或者滤除某些频率成分的数字器件或程序。数字滤波器处理精度高、稳定、体积小、重量轻、灵活、不存在阻抗匹配问题，可以实现模拟滤波器无法实现的特殊滤波功能。常用的数字滤波器课分为无限长滤波器和有限长滤波器。这里我们主要介绍有限长数字滤波器的类型以及其窗函数设计方法的基本原理思路。本设计介绍的是用窗函数设计方法设计数字频带变换的高通滤波器。简单介绍了几种典型窗函数的基本参数。再设计过程中根据给定的数字高通滤波器的参数我们选定的窗函数是汉宁窗。基本思路是：首先将高通

2、滤波器的参数根据公式转换成低通数字滤波器，求出低通数字滤波器的系统函数，再根据低通与高通之间的映射关系转换成高通数字滤波器的系统函数。得到高通数字滤波器的实现结构，并进行结构及有限字长的分析。确定最适合的滤波器的结构及字长。但是在设计过程中由于没有找到相关的数字低通与数字高通在数字频带内的转化关系式，所以采用的是直接设计，没有进行频带变换；而且由于高通数字滤波器参数设置不是很符合理想状态，求出的N为31，得到的数字滤波器阶数太高，得不出滤波器系统函数H（z）的闭合函数，所以该滤波器的结构只能以直接型实现，没有进行结构对比分析。关键字：高通滤波器、窗函数、数字频带变换一、 设计要求与目的 了解和

3、掌握设计FIR滤波器的原理和窗函数法设计FIR滤波器的方法原理。用窗函数法设计线性相位高通滤波器，要求通带截至频率wp=,阻带截止频率ws=，通带最大衰减,阻带最小衰减。二、 FIR滤波器简介 FIR滤波器（有限脉冲响应滤波器）是一种既能够保证幅度特性满足技术要求，又能够做到有严格的线性相位特性。其系统函数为： H(Z)= H(Z)是的N-1 的多次项，他在Z平面内有N-1个零点，在原点有一个N-1重极点。因此H(Z)永远稳定。稳定和线性相位是FIR滤波器最突出的特点。四种线性相位FIR滤波器的关键点概要1、h(n)正对称，N为奇数 单位脉冲响应： h(n)=h(N-1-n)频率响应 ： H(

4、w)=这种类型可以低通和带通的滤波器，但是不能设计高通和带阻滤波器 2、h(n)为正对称，N为偶数 单位脉冲响应：h(n)=h(N-1-n)频率响应： H(w)=这种类型可以设计低通、高通、带通、带阻四种滤波器。 3、h(n)为负对称，N为奇数单位脉冲响应：h(n)= -h(N-1-n)频率响应： H（w）=这种类型的可以设计高通和带阻的滤波器 4、h(n)为负对称，N为偶数 单位脉冲响应：h(n)= -h(N-1-n) 频率响应： H(w)=这种类型可以设计带通滤波器三、 窗函数计算法简介 1、窗函数法设计的原理 设希望逼近的滤波器频率响应函数为H(w)，其单位脉冲响应是hd(n). 由已知

5、的求出，经过Z变换可以得到滤波器的系统函数。通常以理想滤波器作为，其幅频特性逐段恒定，在边界频率处有不连续的点，因而是无限时宽的，且是非因果序列的某为了构造一个长度为N的线性相位滤波器，只有将截取一段，设截取的那段用h(n)表示即：h(n)= 式中是一个矩形序列，长度为N 。我们实际设计的滤波器的单位脉冲响应为h(n)。长度为N，其系统函数为H(Z)= 。这样用一个有限长的序列h(n)去代替，肯定会引起误差，表现在频域就是通常所说的吉布斯效应。该效应引起过度加宽以及通带和阻带内的波动，尤其使阻带的衰减小，从而满足不了技术上的要求。吉布斯效应是由于将直接截断引起的，称为截断效应，窗函数法设计FI

6、E滤波器就是构造一个窗函数w(n)来减少截断效应。2、典型窗函数的基本参数 典型窗函数基本参数窗函数类型旁瓣峰值an/dB过渡带宽度阻带最小衰减as/dB近似值精确值矩形窗-13-21三角窗-25-25汉宁窗-31-44哈明窗-41-53布莱克曼窗-57-74凯赛窗-57-80（1）矩形窗： 幅度函数 （2）三角窗： 幅度函数 频谱函数 （3） 汉宁窗 ： （4）哈明窗： 频谱函数 幅度函数 （5）贝塞尔窗： 幅度函数 四、设计过程 （1）设置高通滤波器性能参数（2）转化成低通滤波器性能参数（3）选择窗函数（4）设计低通数字滤波器（5）转换成数字高通滤波器（6）滤波器的实现结构分析（8）确定实

7、现滤波器的最佳结构和字长（7）有限字长分析设计流程图在设计过程中，由于没有找到关于FIR滤波器数字频带转换的公式及方法所以没有进行频带转换，第（2）（4）（5）步骤没有设计，直接用窗函数设计高通滤波器了。后面又由于求出的N=31，H（z）的闭合表达式无法求出，所以在实现结构时只能用直接型结构。无法用手工计算进行结构对比分析，只能借助FDATool工具进行分析。 1、设计用窗函数法设计线性相位高通滤波器，要求截至频率wp=,阻带截止频率ws=，通带最大衰减,阻带最小衰减。有如下公式计算高通滤波器的通带截止频率以及阻带截止频率： (1) (2) (3) (4) 根据设计要求给出的高通滤波器的性能指

8、标以及(1) (2) (3) (4)公式计算得出该高通滤波器性能指标的另一种表示为：通带偏差 0.0292 阻带偏差 0.0032 通带边沿频率 1000 KHZ 阻带边沿频率 600 KHZ2、选择窗函数W(n),计算窗函数长度N，由已知条件知：阻带最小衰减参照表（1）可知汉宁窗和哈明窗都满足要求。我选择的窗函数是汉宁窗。过渡带宽度汉宁窗的精确过度带宽故要求，解得：又根据前面分析的四种类型的FIR滤波器的可知，对于高通滤波器，N必须取奇数， 故 N=31又与汉宁窗函数的可以得知 3、构造 式中 4、求出： 将代入上式得：对应全通滤波器，是截止频率为的理想低通滤波器的单位脉冲响应，二者之差就是

9、理想高通滤波器的单位脉冲响应，即求高通滤波器的单位脉冲滤波器的另一个公式。 5、加窗： h(n)= =6、计算结果： h(0)0.000222h(11)-0.000015h(21)-0.000036h(1)-0.000026h(12)0.097228h(22)0.027240h(2)0.002142h(13)-0.000016h(23)-0.000018h(3)-0.000028h(14)-0.315328h(24)-0.014226h(4)0.006420h(15)0.500008h(25)-0.000018h(5)-0.000049h(16)-0.315309h(26)0.006435h(

10、6)-0.014233h(17)-0.000029h(27)-0.000028h(7)-0.000005h(18)0.097233h(28)-0.002131h(8)0.027208h(19)-0.000042h(29)-0.000012h(9)-0.000009h(20)-0.049503h(30)0.000201h(10)-0.049514根据计算得到的高通滤波器的的系统函数为： H(Z)= ，将计算得到的h(n)值代入上式即可得到H（Z）的具体表达式：H(Z)=0.000222-0.000026+0.002142-0.000028+0.006420-0.000049-0.014233-0

11、.000005+0.027208-0.000009-0.049514-0.000015+0.097228-0.000016-0.315328+0.500008-0.315309-0.000029+0.097233-0.000042-0.049503-0.000036+0.027240-0.000018-0.014226+0.006435+-0.000028-0.002131-0.000012+0.000201五、运用MATLAB对设计的高通滤波器进行验证1、运用MATLAB设计该滤波器的程序如下： clear all;wp=0.6*pi;ws=0.4*pi;tr_width=wp-ws;N=c

12、eil(6.2*pi/tr_width)n=0:1:N-1;wc=(ws+wp)/2;hd=ideal_hp1(wc,N);w_han=(hanning(N)'h=hd.*w_han;db,mag,pha,w=freqz_m2(h,1);delta_w=2*pi/1000;Ap=-(min(db(wp/delta_w+1:1:501)As=-round(max(db(1:1:ws/delta_w+1)subplot(2,2,1),stem(n,hd)title('理想单位脉冲响应hd(n)')subplot(2,2,2)stem(n,w_han)title('汉

13、宁窗w(n)')subplot(2,2,3)stem(n,h)title('实际单位脉冲响应h(n)')subplot(2,2,4)plot(w/pi,db)title('幅度相应（db）')axis(0,1,-100,10)计算求得的参数值为：N=31， As=0.0887, Ap=44计算求得的h(n)值为： 该高通滤波器的理想脉冲相应、窗函数、实际脉冲响应、以及通带脉冲响应的波形如下表：六、滤波器性能分析 1、分析滤波器结构对其性能指标的影响（1）、FIR滤波器的实现结构由于设计的高通滤波器的系数h(n)有31个，无法写出该滤波器的闭合的系统函数H

14、（z）的表达式所以只能够直接型。故没有相比较的结构进行比较。a直接型网络结构： 将H（Z）或者卷积直接画出结构，结构滤波器的输入的系统函数为：H(Z)=0.000222-0.000026+0.002142-0.000028+0.006420-0.000049-0.014233-0.000005+0.027208-0.000009-0.049514-0.000015+0.097228-0.000016-0.315328+0.500008-0.315309-0.000029+0.097233-0.000042-0.049503-0.000036+0.027240-0.000018-0.014226

15、+0.006435+-0.000028-0.002131-0.000012+0.000201故该设计的直接型网络结构如下图所示：x(n)h(0)h(1)h(2)h(4)h(N-2)h(N-2)y(n)b、级联型网络结构： 将H（Z）进行因式分解，并将其共轭成对的零点放在一起，形成一个系数为实属的二阶形式，这样级联网络结构就是由一阶或者二阶因子构成的即级联结构，其中每一个因式都用直接型实现。 运用MATLAB软件中S,G=tf2sos函数求出将设计的高通滤波器的的结构由直接型转换成级联型时H(Z)的表达式。程序如下：wp=0.6*pi;ws=0.4*pi;Bt=wp-ws;N0=ceil(6.2

16、*pi/Bt);N=N0+mod(N0+1,2);wc=(wp+ws)/2/pi;hn=fir1(N-1,wc,'high',hanning(N)a=1;S,G=tf2sos(hn,a)运行后结果如下：S是二阶级联结构的系数矩阵，G是增益函数。故设计的滤波器级联型H(Z)的表达式如下：H(Z)=2.0384 X（1+0.0074-6.5866）（1-0.0011-0.1518）（1+3.5826+3.4092）（1+2.6723+2.9450）（1+1.3704+2.4029）（1 -1.7720+1.0000）（1 -1.9907+1.0000）（1 -1.2932+1.00

17、00 ）（1 -0.6454+1.0000）（1 -0.9812+1.0000）（1 -1.5611+1.0000）（1 -1.9170+1.0000）（1 +0.5703+0.4162）（1 +0.9074+0.3396）（1 +1.0510+ 0.2933）级联结构如下：x（n）.0.0074G-0.0011G-6.586G6-0.1518G1.0510G0.2933Gy(n)GGG运用MATLAB对该滤波器的结构进行分析如下：a、 滤波器的结构转换会相应的引起滤波器系统函数的的幅度大小的改变，在MATLAB仿真中，我运用的从结构直接型 转换成 级联型，在阻带频域内其幅度比通带内增大的多，

18、即该结构的变换是阻带的抑制增益减少了。b、结构转换后，相应的零极点也发生了改变，结构从直接型转换成 级联型后原来离单位圆远的点都往单位圆靠近了。说明结构转换后系统更稳定了。滤波器的结构构从直接型 转换成 级联型时其幅频响应，零极点分布的变化如下图所示：A、幅频响应转换前 转化后 B零极点分布 转换前 转化后 2、分析滤波器参数的字长对其性能指标的影响 在进行计算时系数都要存储在有限位的寄存器中，因此存在系数的的量化效应。系数的量化误差直接影响系统函数的零、极点的位置，如果发生偏移会使系统的频率响应偏离理论设计的频率响应不满足实际需要。量化误差严重时，极点移到单位圆上或者单位圆外。数字滤波器的系

19、统函数用下式表示： （1）则经过对系数ar和br量化后实际系统的系统函数的表达式如下： （2） 量化后的系数: 为量化误差 为量化误差根据上述量化的公式分析：a、量化时，高通滤波器系统函数的幅度会发生变化，即量化会改变原来设计的频率响应特性。在阻带频率内随着量化的进行，系统函数的幅度会在原有基础上增大，且根据计算可知量化的位数越大，其幅度变化越大即失真越大。造成阻带的抑制增益减少，通过的频率增大。b、量化时系统函数零极点的也相应发生变化，由计算可知随着量化的进行零极点会偏移原来的位置。这种偏移与系统的量化误差大小有关；在分母多项式中如果极点密集在一起，极点间距小则极点对系数误差的敏感度就越高，相应极点的极点的偏差就越大；系统函数的阶数越大，极点灵敏度越高，极点偏差也越大。零极点发生改变后其系统的稳定性也发生改变。下面对上面设计的高通滤波器进行两种不同的量化，其幅频响应、零极点图量化前后的变化如下图所示.（1）选择滤波