数字信号处理(第三版)课后习题答案全

1、时域离散信号和时域离散系统第 1 章3 判断下面的序列是否是周期的; 若是周期的， 确定其周期。 是常数AnAnx 873cos)()81( je)(nnx(1)(2)解解： （1） 因为=, 所以, 这是有理数， 因此是周期序列， 周期T=14。（2） 因为=, 所以=16, 这是无理数， 因此是非周期序列。738123142时域离散信号和时域离散系统第 1 章5 设系统分别用下面的差分方程描述， x(n)与y(n)分别表示系统输入和输出， 判断系统是否是线性非时变的。 （1）y(n)=x(n)+2x(n1)+3x(n2) （2）y(n)=2x(n)+3 （5）y(n)=x2(n)解解： （

2、1） 令输入为x(nn0)输出为 y(n)=x(nn0)+2x(nn01)+3x(nn02) y(nn0)=x(nn0)+2x(nn01)+3(nn02) =y(n)时域离散信号和时域离散系统第 1 章故该系统是非时变系统。 因为 y(n)=Tax1(n)+bx2(n) =ax1(n)+bx2(n)+2ax1(n1)+bx2(n1) +3ax1(n2)+bx2(n2) Tax1(n)=ax1(n)+2ax1(n1)+3ax1(n2) Tbx2(n)=bx2(n)+2bx2(n1)+3bx2(n2)所以 Tax1(n)+bx2(n)=aTx1(n)+bTx2(n)故该系统是线性系统。时域离散信号

3、和时域离散系统第 1 章（2） 令输入为x(nn0)输出为y(n)=2x(nn0)+3y(nn0)=2x(nn0)+3=y(n)故该系统是非时变的。 由于Tax1(n)+bx2(n)=2ax1(n)+2bx2(n)+3Tax1(n)=2ax1(n)+3Tbx2(n)=2bx2(n)+3Tax1(n)+bx2(n)aTx1(n)+bTx2(n)故该系统是非线性系统。时域离散信号和时域离散系统第 1 章（5） y(n)=x2(n)令输入为 x(nn0)输出为y(n)=x2(nn0)y(nn0)=x2(nn0)=y(n)故系统是非时变系统。 由于 Tax1(n)+bx2(n)=ax1(n)+bx2(

4、n)2 aTx1(n)+bTx2(n) =ax21(n)+bx22(n)因此系统是非线性系统。时域离散信号和时域离散系统第 1 章6 给定下述系统的差分方程， 试判定系统是否是因果稳定系统， 并说明理由。 （2） y(n)=x(n)+x(n+1) （4） y(n)=x(nn0) （5） y(n)=ex(n)解解：（2） 该系统是非因果系统， 因为n时间的输出还和n时间以后（n+1）时间）的输入有关。如果|x(n)|M, 则|y(n)|x(n)|+|x(n+1)|2M, 因此系统是稳定系统。 （4）假设n00， 系统是因果系统， 因为n时刻输出只和n时刻以后的输入有关。 如果|x(n)|M, 则

5、|y(n)|M， 因此系统是稳定的。（5） 系统是因果系统， 因为系统的输出不取决于x(n)的未来值。 如果|x(n)|M, 则|y(n)|=|ex(n)|e|x(n)|eM， 因此系统是稳定的。时域离散信号和系统的频域分析第章2.5习题与上机题解答习题与上机题解答1 设X(ej)和Y(ej)分别是x(n)和y(n)的傅里叶变换， 试求下面序列的傅里叶变换： (1) x(nn0) (2) x*(n) (6) nx(n)解解：（1）nnnnxnnxj00e )()(FT令n=nn0, 即n=n+n0， 则)e (e )()(FTjj)(j000Xenxnnxnnnn时域离散信号和系统的频域分析第

6、章 （2）)e (e )(e )()(FTjjjXnxnxnxnnnn（6） 因为nnnxXjje )()e (对该式两边求导， 得到)(jFTe )(jd)e (dnnxnnxXnnjj因此d)e (dj)(FTjXnnx时域离散信号和系统的频域分析第章6 试求如下序列的傅里叶变换：(1) x1(n)=(n3)(2) 1(21)() 1(21)(2nnnnx(4) x4(n)=u(n+3)u(n4)解解(1)3jjj1ee)3()e (nnnX时域离散信号和系统的频域分析第章(2)cos1)ee (211 e211e21e )()e (jjjjj2j2nnnxX(4)33jjj4ee )4(

7、)3()e (nnnnnunuXjj3 jj4j31j30j31j30jee1e1e1e1eeeennnnnnnn)21sin()27sin(e)ee (e)ee (eee1e1e1eee1e1e1e13j21j21j21j27j27j27j3 jj7 jj4 j3 jj3jj4 j时域离散信号和系统的频域分析第章14 求出以下序列的Z变换及收敛域:(1) 2nu(n)(2) 2nu(n1)(5) (n1)解(1)21 2112)(2)(2ZT110zzzznununnnnnnn(2)21 21121222) 1(2)1(2ZT1111zzzzzzznununnnnnnnnnn(5) ZT(n

8、1)=z10|z|时域离散信号和系统的频域分析第章16 已知112122113)(zzzX求出对应X(z)的各种可能的序列表达式。 解解： X(z)有两个极点： z1=0.5, z2=2， 因为收敛域总是以极点为界， 因此收敛域有三种情况： |z|0.5，0.5|z|2， 2|z|。 三种收敛域对应三种不同的原序列。 （1）收敛域|z|0.5： 时域离散信号和系统的频域分析第章zzzXjnxcnd)(21)(1令nnnzzzzzzzzzzXzF)2)(5 . 0(75 )21)(5 . 01 (75)()(11111n0时， 因为c内无极点，x(n)=0;n1时， c内有极点 0 ， 但z=0

9、是一个n阶极点， 改为求圆外极点留数， 圆外极点有z1=0.5, z2=2， 那么时域离散信号和系统的频域分析第章) 1(22)21(3)2()2)(5 . 0()75()5 . 0()2)(5 . 0()75(2),(sRe5 . 0),( sRe)(25 . 0nuzzzzzzzzzzzFzFnxnnznzn(2)收敛域0.5|z|2:)2)(5 . 0()75()( zzzzzFn时域离散信号和系统的频域分析第章n0时， c内有极点0.5，nzFnx)21(35 . 0 ),( sRe)( n0时， c内有极点 0.5、 0 ， 但 0 是一个n阶极点， 改成求c外极点留数， c外极点只

10、有一个， 即2，x(n)=ResF(z), 2=2 2nu(n1)最后得到) 1(22)()21(3)(nununxnn时域离散信号和系统的频域分析第章（3）收敛域|z|2: )2)(5 . 0()75()( zzzzzFnn0时， c内有极点 0.5、 2，nnzFzFnx222132 ),( sRe5 . 0),( sRe)( n0时， 由收敛域判断， 这是一个因果序列， 因此x(n)=0； 或者这样分析， c内有极点0.5、 2、 0， 但0是一个n阶极点， 改求c外极点留数，c外无极点， 所以x(n)=0。 最后得到)(22213)( nunxnn时域离散信号和系统的频域分析第章18

11、已知2112523)(zzzzX分别求： （1） 收敛域0.5|z|2对应的原序列x(n)。 时域离散信号和系统的频域分析第章解解：cnzzzXnxd)(j21)(1)2)(5 . 0(232523)()(12111zzzzzzzzzXzFnnn（1） 收敛域0.5|z|2:n0时，c内有极点0.5，x(n)=ResF(z), 0.5=0.5n=2nn0时， c内有极点0.5、 0， 但0是一个n阶极点， 改求c外极点留数， c外极点只有2， x(n)=ResF(z), 2=2n时域离散信号和系统的频域分析第章最后得到 x(n)=2nu(n)+2nu(n1)=2|n|n2:n0时， c内有极点

12、0.5、 2，nnznnzzzzzFzFnx25 . 0)2()2)(5 . 0(235 . 02),(sRe5 . 0),( sRe)( 2n0时， c内有极点0.5、 2、 0， 但极点0是一个n阶极点， 改成求c外极点留数， 可是c外没有极点， 因此x(n)=0最后得到 x(n)=(0.5n2n)u(n)时域离散信号和系统的频域分析第章19 用部分分式法求以下X(z)的反变换：21|,252311)(211zzzzzX(1)21|,41121)(21zzzzX(2)21z 411311)(21zzzX解解： (1) 4131)(22zzzzX时域离散信号和系统的频域分析第章2165216

13、1 )21)(21(31 4131)(2zzzzzzzzzX)(2165)21(61)(2116521161)(11nunxzzzXnn时域离散信号和系统的频域分析第章(2)21z 41121)(21zzzX 21252123 2121z2z 412)(2zzzzzzzX112112521123)(zzzX) 1()21(25)21(23)(nunxnn时域离散信号和系统的频域分析第章23 设系统由下面差分方程描述： y(n)=y(n1)+y(n2)+x(n1)（1） 求系统的系统函数H(z)， 并画出极零点分布图；（2） 限定系统是因果的， 写出H(z)的收敛域， 并求出其单位脉冲响应h(n

14、)；（3） 限定系统是稳定性的， 写出H(z)的收敛域， 并求出其单位脉冲响应h(n)。 解： （1） y(n)=y(n1)+y(n2)+x(n1)将上式进行Z变换， 得到 Y(z)=Y(z)z1+Y(z)z2+X(z)z1时域离散信号和系统的频域分析第章因此2111)(zzzzH11)(2211zzzzzzzH零点为z=0。 令z2z1=0， 求出极点： 2511z2512z极零点分布图如题23解图所示。 时域离散信号和系统的频域分析第章(2) 由于限定系统是因果的， 收敛域需选包含点在内的收敛域， 即。 求系统的单位脉冲响应可以用两种方法， 一种是令输入等于单位脉冲序列， 通过解差分方程，

15、 其零状态输入解便是系统的单位脉冲响应； 另一种方法是求H(z)的逆Z变换。 我们采用第二种方法。 2/ )51 ( zzzzHzHTZnhcnd)(j21)()(11式中时域离散信号和系统的频域分析第章 1)(212zzzzzzzzzH2511z2512z，令211)()(zzzzzzzHzFnn时域离散信号和系统的频域分析第章n0时， h(n)=ResF(z), z1+ResF(z), z2nnnnzznzznzzzzzzzzzzzzzzzzzz25125151zz12221122112121因为h(n)是因果序列, n0时， h(n)=0， 故)(25125151)( nunhnn时域离

16、散信号和系统的频域分析第章(3) 由于限定系统是稳定的， 收敛域需选包含单位圆在内的收敛域， 即|z2|z|z1|, 211)()(zzzzzzzHzFnnn0时， c内只有极点z2， 只需求z2点的留数， nzzFnh)251(51),( sRe)(2时域离散信号和系统的频域分析第章n0时， c内只有两个极点： z2和z=0， 因为z=0是一个n阶极点， 改成求圆外极点留数， 圆外极点只有一个， 即z1, 那么nzzFnh25151),( sRe)(1最后得到) 1(25151)(25151)(nununynn时域离散信号和系统的频域分析第章24 已知线性因果网络用下面差分方程描述： y(n

17、)=0.9y(n1)+x(n)+0.9x(n1)（1） 求网络的系统函数H(z)及单位脉冲响应h(n)； （2） 写出网络频率响应函数H(ej)的表达式， 并定性画出其幅频特性曲线； （3） 设输入x(n)=ej0n， 求输出y(n)。 解： （1） y(n)=0.9y(n1)+x(n)+0.9x(n1)Y(z)=0.9Y(z)z1+X(z)+0.9X(z)z1时域离散信号和系统的频域分析第章119 . 019 . 01)(zzzHcnzzzHnhd)(j21)(1令119 . 09 . 0)()(nnzzzzzHzFn1时，c内有极点0.9，nznzzzzzFnh9 . 02)9 . 0(9

18、 . 09 . 09 . 0),( sRe)( 9 . 01时域离散信号和系统的频域分析第章n=0时， c内有极点0.9 ， 0，0),( sRe9 . 0),( sRe)( ZFzFnh2)9 . 0()9 . 0(9 . 09 . 0),( sRe9 . 0zzzzzzF1)9 . 0(9 . 00),(sRe0zzzzzzF最后得到 h(n)=2 0.9nu(n1)+(n)时域离散信号和系统的频域分析第章（2） jje11e9 . 01e9 . 019 . 019 . 01)(FT)e (jzzznhH极点为z1=0.9, 零点为z2=0.9。 极零点图如题24解图(a)所示。 按照极零

19、点图定性画出的幅度特性如题24解图(b)所示。 （3）nnx0je)(00000jjjje9 . 01e9 . 01e)(e)(njneHny时域离散信号和系统的频域分析第章题24解图离散傅里叶变换(DFT)及其快速算法(FFT)第章18 用微处理机对实数序列作谱分析， 要求谱分辨率F50 Hz， 信号最高频率为 1 kHz， 试确定以下各参数： (1) 最小记录时间Tp min； (2) 最大取样间隔Tmax； (3) 最少采样点数Nmin； (4) 在频带宽度不变的情况下， 使频率分辨率提高1倍（即F缩小一半）的N值。 s02. 05011minpFT解解: （1） 已知F=50 Hz，

20、因而ms5 . 010212113maxminsmaxffT（2）pminmin3max0.02s400.5 10TNT（3）（4） 频带宽度不变就意味着采样间隔T不变， 应该使记录时间扩大1倍， 即为0.04 s， 实现频率分辨率提高1倍（F变为原来的1/2）。80ms0.5s04. 0minN时域离散系统的网络结构及数字信号处理的实现第 4 章 教材第教材第5章习题与上机题解答章习题与上机题解答1. 已知系统用下面差分方程描述:) 1(31)()2(81) 1(43)(nxnxnynyny试分别画出系统的直接型、 级联型和并联型结构。 式中x(n)和y(n)分别表示系统的输入和输出信号。

21、时域离散系统的网络结构及数字信号处理的实现第 4 章解解： 将原式移项得) 1(31)()2(81) 1(43)(nxnxnynyny将上式进行Z变换， 得到121)(31)()(81)(43)(zzXzXzzYzzYzY21181431311)(zzzzH时域离散系统的网络结构及数字信号处理的实现第 4 章 (1) 按照系统函数H(z)， 根据Masson公式， 画出直接型结构如题1解图（一）所示。题1解图（一）时域离散系统的网络结构及数字信号处理的实现第 4 章(2) 将H(z)的分母进行因式分解： )411)(211 (31181431311)(111211zzzzzzzH按照上式可以有

22、两种级联型结构: 1114111 211311)(zzzzH时域离散系统的网络结构及数字信号处理的实现第 4 章画出级联型结构如题1解图（二）（a)所示。 111411311 2111)(zzzzH画出级联型结构如题1解图（二）（b)所示。 时域离散系统的网络结构及数字信号处理的实现第 4 章(3) 将H(z)进行部分分式展开： )411)(211 (311)(111zzzzH4121)41)(21(31)(zBzAzzzzzH时域离散系统的网络结构及数字信号处理的实现第 4 章310)21()41)(21(3121zzzzzA37)41()41)(21(3141zzzzzB413721310

23、)(zzzzH时域离散系统的网络结构及数字信号处理的实现第 4 章11411372113104137)21(310)(zzzzzzzH根据上式画出并联型结构如题1解图（三）所示。题1解图（三）时域离散系统的网络结构及数字信号处理的实现第 4 章2 设数字滤波器的差分方程为)2(41) 1(31) 1()()(nynynxnxny试画出系统的直接型结构。 解解： 由差分方程得到滤波器的系统函数为211413111)(zzzzH画出其直接型结构如题2解图所示。 时域离散系统的网络结构及数字信号处理的实现第 4 章3. 设系统的差分方程为y(n)=(a+b)y(n1)aby(n2)+x(n2)+(a

24、+b)x(n1)+ab式中, |a|1， |b|1/2， 对上式进行逆Z变换， 得到) 1(215319)(6) 1(212)(21) 1(313)(5)(11nunnunununnhnnnnn时域离散系统的网络结构及数字信号处理的实现第 4 章16. 画出题15图中系统的转置结构， 并验证两者具有相同的系统函数。 解解： 按照题15图， 将支路方向翻转， 维持支路增益不变， 并交换输入输出的位置， 则形成对应的转置结构， 画出题15图系统的转置结构如题16解图所示。 将题16解图和题15图对照， 它们的直通通路和反馈回路情况完全一样， 写出它们的系统函数完全一样， 这里用Masson公式最能

25、说明问题。 时域离散系统的网络结构及数字信号处理的实现第 4 章题16解图时域离散系统的网络结构及数字信号处理的实现第 4 章题17图17. 用b1和b2确定a1、 a2、 c1和c0， 使题17图中的两个系统等效。 时域离散系统的网络结构及数字信号处理的实现第 4 章解解： 题17图 （a）的系统函数为)1)(1 ()(21111)(12111211211zbzbzbbzbzbzH题16图（b）的系统函数为1211011111)(zazcczazH对比式和式， 当两个系统等效时， 系数关系为a1=b1, a2=b2c0=2, c1=(b1+b2)时域离散系统的网络结构及数字信号处理的实现第

26、4 章18. 对于题18图中的系统， 要求：（1） 确定它的系统函数；（2） 如果系统参数为 b0=b2=1, b1=2, a1=1.5, a2=0.9 b0=b2=1, b1=2, a1=1, a2=2画出系统的零极点分布图， 并检验系统的稳定性。解解： （1） 2211221101)(zazazbzbbzH时域离散系统的网络结构及数字信号处理的实现第 4 章（2） b0=b2=1, b1=2, a1=1.5, a2=0.921219 . 05 . 1121)(zzzzzH零点为z=1(二阶)， 极点为 p1, 2=0.750.58j, |p1, 2|=0.773极零点分布如题18 解图(a

27、)所示。 由于极点的模小于1， 可知系统稳定。 时域离散系统的网络结构及数字信号处理的实现第 4 章题18图时域离散系统的网络结构及数字信号处理的实现第 4 章题18解图时域离散系统的网络结构及数字信号处理的实现第 4 章 b0=b2=1, b1=2, a1=1, a2=221212121)(zzzzzH零点为z=1(二阶)， 极点为 p1, 2=0.51.323j, |p1, 2|=1.414极零点分布如题18解图(b)所示。 这里极点的模大于1，或者说极点在单位圆外， 如果系统因果可实现， 收敛域为|z|1.414， 收敛域并不包含单位圆， 因此系统不稳定。 无限脉冲响应(IIR)数字滤波

28、器的设计第章第第6章无限脉冲响应数字滤波器的设计章无限脉冲响应数字滤波器的设计 习题解答习题解答1 设计一个巴特沃斯低通滤波器， 要求通带截止频率fp=6 kHz，通带最大衰减ap=3 dB， 阻带截止频率fs=12kHz， 阻带最小衰减as=25 dB。 求出滤波器归一化系统函数G(p)以及实际滤波器的Ha(s)。 解解: （1） 求阶数N。spspsp0.12.5sp0.10.3lglg10110117.794101101aakNpks无限脉冲响应(IIR)数字滤波器的设计第章3ssp3p2 12 10226 10 将ksp和sp值代入N的计算公式, 得lg17.7944.15lg2N 所

29、以取N=5（实际应用中， 根据具体要求， 也可能取N=4， 指标稍微差一点， 但阶数低一阶， 使系统实现电路得到简化）。 无限脉冲响应(IIR)数字滤波器的设计第章（2） 求归一化系统函数G(p)。 由阶数N=5直接查教材第157页表6.2.1, 得到五阶巴特沃斯归一化低通滤波器系统函数G(p)为54321( )3.2365.23615.23613.23611G pppppp或221( )(0.6181)(1.6181)(1)G pppppp当然， 也可以先按教材（6.2.13）式计算出极点： 无限脉冲响应(IIR)数字滤波器的设计第章121j22e 0,1,2,3,4kNkpk再由教材（6.

30、2.12）式写出G(p)表达式为401( )()kkG ppp最后代入pk值并进行分母展开， 便可得到与查表相同的结果。（3） 去归一化（即LP-LP频率变换）， 由归一化系统函数G(p)得到实际滤波器系统函数Ha(s)。无限脉冲响应(IIR)数字滤波器的设计第章由于本题中ap=3 dB， 即c=p=26103 rad/s， 因此caa5c54233245ccccc( )( )|3.23615.23615.23613.2361spHsHpsssss对分母因式形式， 则有caa52222ccccc( )( )|(0.6180)(1.6180)()spcHsHpsssss无限脉冲响应(IIR)数字

31、滤波器的设计第章如上结果中，c的值未代入相乘， 这样使读者能清楚地看到去归一化后，3 dB截止频率对归一化系统函数的改变作用。 2 设计一个切比雪夫低通滤波器， 要求通带截止频率fp=3 kHz，通带最大衰减p=0.2 dB，阻带截止频率fs=12 kHz, 阻带最小衰减s=50 dB。 求出滤波器归一化系统函数G(p)和实际的Ha(s)。 解解: （1） 确定滤波器技术指标。 p=0.2 dB, p=2fp=6103 rad/ss=50 dB,s=2fs=24103 rad/s p=1,ssp4无限脉冲响应(IIR)数字滤波器的设计第章(4) 求阶数N和。sp1s0.110.1arch ar

32、ch 1011456.65101arch 1456.653.8659arch 4aakNkN为了满足指标要求， 取N=4。 p0.11010.2171a 无限脉冲响应(IIR)数字滤波器的设计第章 (3) 求归一化系统函数G(p)411111( )2()1.7368()NNkkkkQ ppppp其中， 极点pk由教材（6.2.46）式求出如下： (21)(21)ch sinjch cos1,2,3,4221111arsharsh0.558040.2171kkkpkNNN 无限脉冲响应(IIR)数字滤波器的设计第章1234ch0.5580sinj ch0.5580cos0.4438j1.0715

33、8833ch0.5580sinj ch0.5580cos1.0715j0.44388855ch0.5580sinj ch0.5580cos1.0715j0.44388877ch0.5580sinj ch0.5580cos0.4438j1.0788pppp 15无限脉冲响应(IIR)数字滤波器的设计第章(4) 将G(p)去归一化， 求得实际滤波器系统函数Ha(s)： pa44p44p11( )( )|1.7368()1.7368()sppkkkkHsQ pspss其中， sk=ppk=6103pk, k=1, 2, 3, 4。 因为p4=p1*, p3=p2*, 所以， s4=s1*, s3=s

34、2*。 将两对共轭极点对应的因子相乘， 得到分母为二阶因子的形式， 其系数全为实数。 无限脉冲响应(IIR)数字滤波器的设计第章16222211222482487.2687 10( )(2Re | )(2Re| )7.2687 1016(1.6731 104.7791 10 )(4.0394 104.7790 10 )aHsss ssss ssssss也可得到分母多项式形式， 请读者自己计算。 3 设计一个巴特沃斯高通滤波器， 要求其通带截止频率fp=20 kHz， 阻带截止频率fs=10 kHz， fp处最大衰减为3 dB， 阻带最小衰减as=15 dB。 求出该高通滤波器的系统函数Ha(s

35、)。无限脉冲响应(IIR)数字滤波器的设计第章解解: (1) 确定高通滤波器技术指标要求： p=20 kHz, ap=3 dB fs=10 kHz, as=15 dB (2) 求相应的归一化低通滤波器技术指标要求： 套用图5.1.5中高通到低通频率转换公式， p=1, s=p/s， 得到 p=1, ap=3 dB , 2spsas=15 dB无限脉冲响应(IIR)数字滤波器的设计第章(3) 设计相应的归一化低通G(p)。 题目要求采用巴特沃斯类型， 故ps0.1sp0.1ssppspsp1010.181012lglg0.182.47lglg2aakkN 无限脉冲响应(IIR)数字滤波器的设计第

36、章所以， 取N=3， 查教材中表6.2.1， 得到三阶巴特沃斯归一化低通G(p)为321( )221G pppp(4) 频率变换。 将G(p)变换成实际高通滤波器系统函数H(s)： c33223ccc( )( )|22pssH sG psss式中c=2fc=220103=4104 rad/s 无限脉冲响应(IIR)数字滤波器的设计第章 4. 已知模拟滤波器的系统函数Ha(s)如下： a22( )()saHssab(1)(2)a22( )()bHssab式中a、 b为常数， 设Ha(s)因果稳定， 试采用脉冲响应不变法将其转换成数字滤波器H(z)。 无限脉冲响应(IIR)数字滤波器的设计第章解解

37、: 该题所给Ha(s)正是模拟滤波器二阶基本节的两种典型形式。 所以， 求解该题具有代表性， 解该题的过程， 就是导出这两种典型形式的Ha(s)的脉冲响应不变法转换公式。 设采样周期为T。 (1)a22( )()saHssabHa(s)的极点为s1=a+jb, s2=ajb将Ha(s)部分分式展开（用待定系数法）： 无限脉冲响应(IIR)数字滤波器的设计第章12a2212122122121 22 122( )()()()()()()AAsaHssabssssA ssA sssabAA sAsA ssab比较分子各项系数可知， A1、 A2应满足方程： 121 22 11AAAsA sa无限脉冲

38、响应(IIR)数字滤波器的设计第章解之得， A1=1/2， A2=1/2， 所以a1/21/2( )(j )(j )Hssabsab 套用教材（6.3.4）式， 得到21(j )1(j )111/21/2( )1 e1 e1 ekkTsab Tab TkAH zzzz 按照题目要求， 上面的H(z)表达式就可作为该题的答案。 但在工程实际中， 一般用无复数乘法器的二阶基本节结构来实现。 由于两个极点共轭对称， 所以将H(z)的两项通分并化简整理， 可得无限脉冲响应(IIR)数字滤波器的设计第章11221ecos()( )1 2ecos()eaTaTaTzbTH zbT zz这样， 如果遇到将a

39、22( )()saHssab用脉冲响应不变法转换成数字滤波器时， 直接套用上面的公式即可， 且对应结构图中无复数乘法器， 便于工程实际中实现。 无限脉冲响应(IIR)数字滤波器的设计第章a22( )()bHssab(2)Ha(s)的极点为 s1=a+jb, s2=ajb将Ha(s)部分分式展开： ajj22( )(j )(j )Hssabsab 无限脉冲响应(IIR)数字滤波器的设计第章套用教材（6.3.4）式， 得到 (j )1(j )1jj22( )1 e1 eab Tab TH zzz 通分并化简整理， 得到1122esin()( )1 2ecos()eaTaTaTzbTH zbT zz

40、无限脉冲响应(IIR)数字滤波器的设计第章5 已知模拟滤波器的系统函数如下： a21( )1Hsss (1)(2)a21( )231Hsss试采用脉冲响应不变法和双线性变换法将其转换为数字滤波器。 设T=2 s。 解解: . 用脉冲响应不变法(1)a21( )1Hsss 无限脉冲响应(IIR)数字滤波器的设计第章方法一 直接按脉冲响应不变法设计公式， Ha(s)的极点为121313j,j2222ss a1313jj22221133jj33( )1313jj232233jj33( )1 e1 eTTHsssH zzz 无限脉冲响应(IIR)数字滤波器的设计第章将T=2代入上式， 得1 j 311

41、 j 3111112233jj33( )1 e1 e2 3e sin331 2ecos 3eH zzzzzz 方法二 直接套用4题（2）所得公式。 为了套用公式， 先对Ha(s)的分母配方， 将Ha(s)化成4题中的标准形式： 无限脉冲响应(IIR)数字滤波器的设计第章a22( )()bHscsabc为一常数由于2222131312422ssss 所以a222312 32( )131322Hssss 无限脉冲响应(IIR)数字滤波器的设计第章对比可知， ， 套用公式， 得13,22ab112221111222 3esin()( )312ecos()e2 3esin3312ecos3eaTaTa

42、TTzbTH zzbTzzzz(2)a2111( )123112Hsssss无限脉冲响应(IIR)数字滤波器的设计第章21112112111( )|1 e1 e111 e1 eTTTH zzzzz或通分合并两项得12112132(ee )( )1 (ee )ezH zzz无限脉冲响应(IIR)数字滤波器的设计第章 用双线性变换法（1） 11a22111,21111 21 2111 21221( )( )|11111(1) (1)(1)(1)(1)12 3zsTTzH zHszzzzzzzzzzzz无限脉冲响应(IIR)数字滤波器的设计第章(2)11a21111111 21 221 21211(

43、 )( )|1123111(1)2(1)3(1)(1) 12 62zszH zHszzzzzzzzzzz无限脉冲响应(IIR)数字滤波器的设计第章6 设ha(t)表示一模拟滤波器的单位冲激响应， 即0.9ae 0( )0 0tth tt用脉冲响应不变法， 将此模拟滤波器转换成数字滤波器（用h(n)表示单位脉冲响应， 即 h(n)=ha(nT)）。 确定系统函数H(z)， 并把T作为参数， 证明： T为任何值时， 数字滤波器是稳定的， 并说明数字滤波器近似为低通滤波器还是高通滤波器。 无限脉冲响应(IIR)数字滤波器的设计第章解解: 模拟滤波器系统函数为0.9a01( )eed0.9tstHst

44、sHa(s)的极点s1=0.9， 故数字滤波器的系统函数应为110.9111( )1 e1 es TTH zzzH(z)的极点为z1=e0.9T, |z1|=e0.9T无限脉冲响应(IIR)数字滤波器的设计第章题6解图所以， T0时， |z1|slsu， 所以不满足教材（6.2.56）式。 按照教材（6.2.57）式, 增大sl， 则plpuslsu0.3538=0.30221.1708 无限脉冲响应(IIR)数字滤波器的设计第章采用修正后的设计巴特沃斯模拟带通滤波器。 (3) 将带通指标转换成归一化低通指标。 套用图5.1.5中带通到低通频率转换公式， sl220slpsslW1, B求归一

45、化低通边界频率： p1,2220slssl0.35380.30221.97440.3022 0.4399WBps3 dB,15 dBaa无限脉冲响应(IIR)数字滤波器的设计第章(4) 设计模拟归一化低通G(p)：ps0.10.3sp0.11.5ssppspsp101101 09744lglg 0.18032.5183lglg1.9744kkNaa 取N=3。 无限脉冲响应(IIR)数字滤波器的设计第章查教材表6.2.1， 得到归一化低通系统函数G(p)：321( )221G pppp(5) 频率变换， 将G(p)转换成模拟带通Ha(s)： 220wa33w22 32

46、2222223300w0ww365432( )( )|()2()2()0.0850.87981.44840.70760.51240.11010.0443spsBHsG pB ssssBss Bs Bsssssss无限脉冲响应(IIR)数字滤波器的设计第章(6) 用双线性变换公式将Ha(s)转换成H(z)： 11a21115123415561234561( )( )|(0.0181 1.7764 100.05434.44090.05432.7756 100.0181)(12.2723.51513.26852.31290.96280.278)zsTzH zHszzzzzzzzzzzz以上繁杂的设计

47、过程和计算， 可以用下面几行程序ex612.m实现。 程序运行结果如题12解图所示。 得到的系统函数系数为无限脉冲响应(IIR)数字滤波器的设计第章B = 0.0234 0 0.0703 0 0.0703 0 0.0234A= 1.0000 2.2100 3.2972 2.9932 2.0758 0.8495 0.2406与手算结果有差别， 这一般是由手算过程中可能产生的计算误差造成的。无限脉冲响应(IIR)数字滤波器的设计第章%程序ex612.m wp=0.25， 0.45； ws=0.15， 0.55； Rp=3； As=15； %设置带通数字滤波器指标参数N， wc=buttord(wp

48、， ws， Rp， As)； %计算带通滤波器阶数N和3 dB截止频率WcB， A=butter(N， wc)； %计算带通滤波器系统函数分子分母多项式系数向量A和Bmyplot(B， A)； %调用自编绘图函数myplot绘制带通滤波器的损耗函数曲线无限脉冲响应(IIR)数字滤波器的设计第章题12解图有限脉冲响应(FIR)数字滤波器的设计第章 教材第教材第7章习题与上机题解答章习题与上机题解答1 已知FIR滤波器的单位脉冲响应为： （1） h(n)长度N=6 h(0)=h(5)=1.5 h(1)=h(4)=2 h(2)=h(3)=3（2） h(n)长度N=7 h(0)= h(6)=3 h(1

49、)= h(5)= 2 h(2)=h(4)=1 h(3)=0试分别说明它们的幅度特性和相位特性各有什么特点。 有限脉冲响应(FIR)数字滤波器的设计第章解解： （1） 由所给h(n)的取值可知，h(n)满足h(n)=h(N1n)， 所以FIR滤波器具有A类线性相位特性： 5 . 221)(N由于N=6为偶数(情况2)， 所以幅度特性关于=点奇对称。 （2） 由题中h(n)值可知， h(n)满足h(n)=h(N1n)， 所以FIR滤波器具有B类线性相位特性： 32212)(N由于7为奇数(情况3)， 所以幅度特性关于=0, , 2三点奇对称。有限脉冲响应(FIR)数字滤波器的设计第章2 已知第一类

50、线性相位FIR滤波器的单位脉冲响应长度为16， 其16个频域幅度采样值中的前9个为： Hg(0)=12， Hg(1)=8.34， Hg(2)=3.79， Hg(3)Hg(8)=0 根据第一类线性相位FIR滤波器幅度特性Hg()的特点， 求其余7个频域幅度采样值。 解解： 因为N=16是偶数（情况2）， 所以FIR滤波器幅度特性Hg()关于=点奇对称， 即Hg(2)=Hg()。 其N点采样关于k=N/2点奇对称， 即Hg(Nk)=Hg(k) k=1, 2, , 15综上所述, 可知其余7个频域幅度采样值： Hg(15)=Hg(1)=8.34， Hg(14)=Hg(2)=3.79， Hg(13)H

51、g(9)=0有限脉冲响应(FIR)数字滤波器的设计第章3 设FIR滤波器的系统函数为)9 . 01 . 29 . 01 (101)(4321zzzzzH求出该滤波器的单位脉冲响应h(n)， 判断是否具有线性相位， 求出其幅度特性函数和相位特性函数。解解: 对FIR数字滤波器， 其系统函数为104321)9 . 01 . 29 . 01 (101)()(NnnzzzzZnhzH有限脉冲响应(FIR)数字滤波器的设计第章1( )1, 0,9, 2.1, 0.9,110h n 由h(n)的取值可知h(n)满足： h(n)=h(N1n) N=5所以， 该FIR滤波器具有第一类线性相位特性。 频率响应函

52、数H(ej)为所以其单位脉冲响应为有限脉冲响应(FIR)数字滤波器的设计第章10j)(jgje )(e )()e (NnmnhHHee9 . 0e1 . 2e9 . 01 1014 j3 j2 jj2 j2 jjj2 je )ee9 . 01 . 2e9 . 0e (1012 je )2cos2cos8 . 11 . 2(101有限脉冲响应(FIR)数字滤波器的设计第章幅度特性函数为 102cos2cos8 . 11 . 2)(gH相位特性函数为221)(N4 用矩形窗设计线性相位低通FIR滤波器， 要求过渡带宽度不超过/8 rad。 希望逼近的理想低通滤波器频率响应函数Hd(ej)为有限脉冲

53、响应(FIR)数字滤波器的设计第章 |0 | 0e)e (cjjdcaH（1） 求出理想低通滤波器的单位脉冲响应hd(n)；（2） 求出加矩形窗设计的低通FIR滤波器的单位脉冲响应h(n)表达式， 确定与N之间的关系； （3） 简述N取奇数或偶数对滤波特性的影响。解: （1）ccjjjjddc11( )(e)edeed22sin() ()nnh nHnnaaa有限脉冲响应(FIR)数字滤波器的设计第章（2） 为了满足线性相位条件， 要求， N为矩形窗函数长度。 因为要求过渡带宽度rad, 所以要求, 求解得到N32。 加矩形窗函数, 得到h(n)： 21Na8N48)()()(sin)()()

54、(cdnRanannRnhnhNNnNaNnanan其它021, 1 0)()(sinc有限脉冲响应(FIR)数字滤波器的设计第章（3） N取奇数时， 幅度特性函数Hg()关于=0, , 2三点偶对称， 可实现各类幅频特性； N取偶数时， Hg()关于=奇对称， 即Hg()=0， 所以不能实现高通、 带阻和点阻滤波特性。 5 用矩形窗设计一线性相位高通滤波器， 要求过渡带宽度不超过/10 rad。 希望逼近的理想高通滤波器频率响应函数Hd(ej)为其它0 | e)e (jjdcaH有限脉冲响应(FIR)数字滤波器的设计第章（1） 求出该理想高通的单位脉冲响应hd(n)； （2） 求出加矩形窗设

55、计的高通FIR滤波器的单位脉冲响应h(n)表达式， 确定与N的关系； （3） N的取值有什么限制？为什么？解解: （1） 直接用IFTHd(ej)计算： jjdd1( )(e ) ed2nh nHccjjjj1eedeed2nnaa有限脉冲响应(FIR)数字滤波器的设计第章ccj()()1eded2njnaaccj()j()j()j()1eeee2()nnnnnaaaaa)(sin)(sin)(1cananan)()(sin)(cananan有限脉冲响应(FIR)数字滤波器的设计第章hd(n)表达式中第2项正好是截止频率为c的理想低通滤波器的单位脉冲响应。 而(n)对应于一个线性相位全通滤波器

56、： Hdap(ej)=ej即高通滤波器可由全通滤波器减去低通滤波器实现。 （2） 用N表示h(n)的长度， 则h(n)=hd(n)RN(n)=)()()(sin)(cnRnnnNaaa)()(sincanan有限脉冲响应(FIR)数字滤波器的设计第章为了满足线性相位条件： h(n)=h(N1n)要求满足12Na（3） N必须取奇数。 因为N为偶数时（情况2）， H(ej)=0， 不能实现高通。 根据题中对过渡带宽度的要求， N应满足：, 即N40。 取N=41。N4106 理想带通特性为 | |0 | e)e (cccjjdBBHa有限脉冲响应(FIR)数字滤波器的设计第章（1） 求出该理想带

57、通的单位脉冲响应hd(n)； （2） 写出用升余弦窗设计的滤波器的h(n)表达式， 确定N与之间的关系； （3） 要求过渡带宽度不超过/16 rad。 N的取值是否有限制？为什么？解解: （1）jjdd1( )()ed2nh nHeccccjjjj()1eedeed2BamanB)()(sin)()(sin(ccananananB有限脉冲响应(FIR)数字滤波器的设计第章上式第一项和第二项分别为截止频率c+B和c的理想低通滤波器的单位脉冲响应。 所以， 上面hd(n)的表达式说明， 带通滤波器可由两个低通滤波器相减实现。 （2） h(n)=hd(n)w(n)ccsin()()sin()20.5

58、40.46 cos( )()()1NB nananRnnanaN为了满足线性相位条件， 与N应满足12Na有限脉冲响应(FIR)数字滤波器的设计第章实质上， 即使不要求具有线性相位， 与N也应满足该关系， 只有这样， 才能截取hd(n)的主要能量部分， 使引起的逼近误差最小。 （3） N取奇数和偶数时， 均可实现带通滤波器。 但升余弦窗设计的滤波器过渡带为8/N ， 所以， 要求， 即要求N128。 7 试完成下面两题：试完成下面两题： （1） 设低通滤波器的单位脉冲响应与频率响应函数分别为h(n)和H(ej)， 另一个滤波器的单位脉冲响应为h1(n)， 它与h(n)的关系是h1(n)=(1)

59、nh(n)。 试证明滤波器h1(n)是一个高通滤波器。 N816有限脉冲响应(FIR)数字滤波器的设计第章（2） 设低通滤波器的单位脉冲响应与频率响应函数分别为h(n)和H(ej)， 截止频率为c, 另一个滤波器的单位脉冲响应为h2(n)， 它与h(n)的关系是h2(n)=2h(n)cos0n， 且c0(c)。 试证明滤波器h2(n)是一个带通滤波器。解解: （1） 由题意可知)(ee 21)()cos()() 1()(jj1nhnhnnhnhnnn对h1(n)进行傅里叶变换, 得到有限脉冲响应(FIR)数字滤波器的设计第章mnnnnmnhhHjjjj1j1e ee )(21e )e (e )

60、(e )(21)( j)( jnnnnnhnh)e ()e (21)( j)( jnHH上式说明H1(ej)就是H(ej)平移的结果。 由于H(ej)为低通滤波器， 通带位于以=0为中心的附近邻域， 因而H1(ej)的通带位于以=为中心的附近， 即h1(n)是一个高通滤波器。有限脉冲响应(FIR)数字滤波器的设计第章这一证明结论又为我们提供了一种设计高通滤波器的方法（设高通滤波器通带为c, ）： 设计一个截止频率为c的低通滤波器hLp(n)。 对hLp(n)乘以cos(n)即可得到高通滤波器hHp(n) cos(n)=(1)nhLp(n)。 (2) 与(1)同样道理， 代入h2(n)=2h(n