数学分析第二章

1、第二章第二章 数列极限数列极限2.1 数列极限的概念2.2 收敛数列的性质2.3 数列极限存在的条件2.1 数列极限的概念一、概念的引入二、数列的定义三、数列的极限四 、应用数列极限的定义证明数列极限的方法一、概念的引入一、概念的引入引例 1 如何用渐近的方法求圆的面积S？ 用圆内接正多边形的面积近似圆的面积S.A1 A2 A3 A1表示圆内接正6边形面积,A2表示圆内接正12边形面积,A3表示圆内接正24边形面积,An表示圆内接正62n-1边形面积, , . 显然n越大, An越接近于S. 因此, 需要考虑当n时, An的变化趋势. 2 2、截丈问题：、截丈问题：“一尺之棰，日截其半，万世不

2、竭一尺之棰，日截其半，万世不竭”;211 X第一天截下的杖长为第一天截下的杖长为;212122 X为为第第二二天天截截下下的的杖杖长长总总和和;2121212nnXn 天天截截下下的的杖杖长长总总和和为为第第nnX211 1二、数列的定义例如例如;,2,8 ,4,2n;,21,81,41,21n2n21n注意：注意：1.数列对应着数轴上一个点列数列对应着数轴上一个点列.可看作一可看作一动点在数轴上依次取动点在数轴上依次取.,21nxxx1x2x3x4xnx2.数列是整标函数数列是整标函数).(nfxn ;,)1( , 1 , 1, 11 n1( 1) n;,)1(,34,21, 21nnn )

3、1(1nnn , 333, 33, 3 数列极限来自实践，它有丰富的实数列极限来自实践，它有丰富的实际背景际背景. .我们的祖我们的祖 先很早就对数列先很早就对数列进行了研究，早在战国时期就有了进行了研究，早在战国时期就有了极限的概念极限的概念 例例1 战国时代哲学家庄周所著的战国时代哲学家庄周所著的庄子庄子.天下篇天下篇引用引用过一句话：过一句话：“一尺之棰，日取其半，万世不竭。一尺之棰，日取其半，万世不竭。”也也就是说一根一尺就是说一根一尺 长的木棒，每天截去一半，这样的过长的木棒，每天截去一半，这样的过程可以一直无限制的进行下去。将每天截后的木棒排程可以一直无限制的进行下去。将每天截后的

4、木棒排成一列成一列, 如图所示如图所示, 三、数列的极限（c11(k)c11(k)） 其长度组成的数列为其长度组成的数列为 n21, 024681000.20.40.60.81随着随着n 无限的增加无限的增加, 木棒的长度无限的趋近于零。木棒的长度无限的趋近于零。 1nxn1n21031041051061071081091010101110nxO1n21031041051061071081091010101110nxOnxn11nnxOnnxOnxnnxnnx) 1(nO10111213141516171819202120212223242526272829303130313233343536

5、3738394041n11目标不惟一！.)1(11时的变化趋势时的变化趋势当当观察数列观察数列 nnn三、数列的极限.)1(11时的变化趋势时的变化趋势当当观察数列观察数列 nnn三、数列的极限.)1(11时的变化趋势时的变化趋势当当观察数列观察数列 nnn三、数列的极限.)1(11时的变化趋势时的变化趋势当当观察数列观察数列 nnn三、数列的极限.)1(11时的变化趋势时的变化趋势当当观察数列观察数列 nnn三、数列的极限.)1(11时的变化趋势时的变化趋势当当观察数列观察数列 nnn三、数列的极限.)1(11时的变化趋势时的变化趋势当当观察数列观察数列 nnn三、数列的极限.)1(11时的

6、变化趋势时的变化趋势当当观察数列观察数列 nnn三、数列的极限.)1(11时的变化趋势时的变化趋势当当观察数列观察数列 nnn三、数列的极限.)1(11时的变化趋势时的变化趋势当当观察数列观察数列 nnn三、数列的极限.)1(11时的变化趋势时的变化趋势当当观察数列观察数列 nnn三、数列的极限.)1(11时的变化趋势时的变化趋势当当观察数列观察数列 nnn三、数列的极限.)1(11时的变化趋势时的变化趋势当当观察数列观察数列 nnn三、数列的极限问题问题: 当当 无限增大时无限增大时, 是否无限接近于某一是否无限接近于某一确定的数值确定的数值?如果是如果是,如何确定如何确定?nxn. 1)1

7、(1,1无无限限接接近近于于无无限限增增大大时时当当nxnnn 问题问题: “无限接近无限接近”意味着什么意味着什么?如何用数学语言如何用数学语言刻划它刻划它.通过上面演示实验的观察通过上面演示实验的观察: 例如 当n无限增大时, 如果数列xn的一般项xn无限接近于常数a, 则常数a称为数列xn的极限, 或称数列xn收敛a, 记为axnnlim. v数列极限的通俗定义021limnn1) 1(lim1nnnn021limnn, 1) 1(lim1nnnn. 当n无限增大时, xn无限接近于a . 当n无限增大时, |xna|无限接近于0 . 当n无限增大时, |xna|可以任意小, 要多小就能

8、有多小. 当n增大到一定程度以后, |xna|能小于事先给定的任意小的正数.分析 因此, 如果 n 增大到一定程度以后, |xna|能小于事先给定的任意小的正数, 则当n无限增大时, xn无限接近于常数a. 当n无限增大时, 如果数列xn的一般项xn无限接近于常数a, 则数列xn收敛a. 下页v数列极限的精确定义 设xn为一数列, 如果存在常数a, 对于任意给定的正数e , 总存在正整数N, 使得当nN 时, 不等式 |xna |NeAAnxn目的：eeeAxANnNAxnnn ,0lim时，有使得自然数要找到一个NeAeAAe 越来越小，N越来越大！nxn例例1. 1)1(lim1 nnnn

9、证证明明证证1 nx1)1(1 nnnn1 , 0 e e任给任给,1e e nx要要,1e e n只要只要,1e e n或或所以所以,1e e N取取,时时则当则当Nn e e 1)1(1nnn就就有有. 1)1(lim1 nnnn即即分析: 例1例 1. 证明1) 1(lim1nnnn. 证明 |xn1|ennnn1| 1) 1(|1, 所以1) 1(lim1nnnn. 下页证证明明 因为e 0, 证证明明 因为e 0, 1eNN, 当 nN 时, 有 N, 当 nN 时, 有 axnnlime 0, NN, 当nN时, 有|xna|e . 对于e 0, 要使|xn1|e , 只要|xn1

10、|nnnn1| 1) 1(|1. e 0, 要使|xn1|e , 只要en1, 即e1n. 利用定义验证数列极限，有时遇到的不等式利用定义验证数列极限，有时遇到的不等式|xna|不易考虑，往往采用把不易考虑，往往采用把|xna|放大的方法。放大的方法。若能放大到较简单的式子，就较容易从一个比较简单若能放大到较简单的式子，就较容易从一个比较简单的不等式去寻找项数指标的不等式去寻找项数指标N放大的原则：放大的原则： 放大后的式子较简单放大后的式子较简单 放大后的式子以放大后的式子以0为极限为极限例例 2 证明证明1lim22 nann证明证明1|1|22 nanxn)(222nanna nan21

11、 )1(22 naan则则若若0 e e故故21max,Nae 则当则当n N时，有时，有nannan22211 e e n11lim22 nann例例3. 证证明明 分析，要使分析，要使 （为简为简化，限定化，限定 n只要只要 证证. 当当 n N 时有时有由定由定义义 适当予先限定适当予先限定 nn。是允。是允许许的！但最后取的！但最后取 N 时时要保要保证证nn。343lim22nnnennnn12412343222e12n33,12max, 0eeN取ennnn12412343222343lim22nnn. 例例4.证证明明 （K为为正正实实数）数）证证：由于：由于 所以对任意所以对任

12、意0，取，取N= , 当当 nN时时, 便有便有 01limknnkknn101k11ee 01kn01limknn例例5.lim),(CxCCxnnn 证证明明为为常常数数设设证证Cxn CC ,成成立立e e ,0 e e任任给给所以所以,0 ,n对于一切自然数对于一切自然数.limCxnn 说明说明:常数列的极限等于同一常数常数列的极限等于同一常数.小结小结: 用定义证数列极限存在时用定义证数列极限存在时,关键是任意给关键是任意给定定 寻找寻找N,但不必要求最小的但不必要求最小的N., 0 e e例例6. 1, 0lim qqnn其中其中证明证明证证, 0 e e任给任给,0e e nn

13、qx,lnlne e qn,lnlnqNe e 取取,时时则当则当Nn ,0e e nq就就有有. 0lim nnq, 0 q若若; 00limlim nnnq则则, 10 q若若,lnlnqne e 例例7.lim, 0lim, 0axaxxnnnnn 求求证证且且设设证证, 0 e e任给任给.limaxnn 故故,limaxnn ,nNnNxaae使得当时恒有axaxaxnnn 从从而而有有aaxn aaee e 数列极限的等价定数列极限的等价定义义: ) 0( , , , , 0 :1kkaaNnNneeD :2D对对0, ce 3:D 对对任正整数任正整数.1 , , ,maaNnNmn , , , nNn Naae 四四 收敛的否定收敛的否定: aannlim数列 na发散 000,0,naNaaee 0nN,有0000,nNaaee 0nN , 有P26 例7五、五、 无穷小数列无穷小数列: v定义 极限为0的数列称为无穷小量（无穷小量是指一个极限概念，趋向常数0）v nxnxn命题1. 的极限为n 是无穷小量. 0axyaxnnn)(nnyaxaa变量有极限的充要条件为它可分解为加一个无穷小量