第2(3)章拉压杆超静定(7)

1、2-9 2-9 拉（压）超静定问题拉（压）超静定问题一一. . 静定与超静定的概念静定与超静定的概念引例引例: : 在日常生活中乃至在工程中我们常常遇到仅靠静力平在日常生活中乃至在工程中我们常常遇到仅靠静力平衡方程无法求得约束反力的例子。衡方程无法求得约束反力的例子。“两个和尚抬水吃，两个和尚抬水吃，没水吃没水吃”，恐怕是最早说到超静定问题的例子了。，恐怕是最早说到超静定问题的例子了。17741774年，欧拉在研究桌子四条腿的受力问题时才真正开始研究超年，欧拉在研究桌子四条腿的受力问题时才真正开始研究超静定问题。静定问题。DABC刚体静定问题：静定问题：若未知力（外力或内力）的个数等于独立的平

2、若未知力（外力或内力）的个数等于独立的平衡方程的个数，仅用静力平衡方程即可解出全部未知力，衡方程的个数，仅用静力平衡方程即可解出全部未知力，这类问题称为静定问题，相应的结构称静定结构。这类问题称为静定问题，相应的结构称静定结构。平面力系：平面力系： 共线力系共线力系 汇交力系汇交力系 平行力系平行力系平衡方程数：平衡方程数： 未知力数：未知力数： FFFA12211 2 21 2 2超静定问题：超静定问题：若未知力（外力或内力）的个数多于独立的若未知力（外力或内力）的个数多于独立的平衡方程的个数，仅用静力平衡方程便无法确定全部未知平衡方程的个数，仅用静力平衡方程便无法确定全部未知力，这类问题称

3、为超静定问题或静不定问题力，这类问题称为超静定问题或静不定问题. .FFFA1221B334平面力系：平面力系： 共线力系共线力系 汇交力系汇交力系 平行力系平行力系平衡方程数：平衡方程数： 未知力数：未知力数： 1 2 22 3 4超静定次数：超静定次数：未知力个数与独立平衡方程数之差，也未知力个数与独立平衡方程数之差，也等于多余约束（多余约束力）个数或等于解超静定结等于多余约束（多余约束力）个数或等于解超静定结构所需补充方程个数。构所需补充方程个数。多余约束：多余约束：在静定结构上在静定结构上再再加上的一个或几个约束，加上的一个或几个约束，对对于维持结构平衡来说是多余于维持结构平衡来说是多

4、余的约束的约束（但对于特定地工程（但对于特定地工程要求是必要的）称要求是必要的）称多余约束多余约束。对应的约束力称对应的约束力称多余约束反多余约束反力（多余约束力）。力（多余约束力）。由于超静定结构能有效降低结构的内由于超静定结构能有效降低结构的内力及变形，在工程上（如力及变形，在工程上（如等）应等）应用非常广泛。用非常广泛。相应的结构称超静定结构或静不定结构。相应的结构称超静定结构或静不定结构。（1）超静定问题解法的思路超静定问题解法的思路解题思路要考虑平衡方程（静力平衡方面）、变形相容解题思路要考虑平衡方程（静力平衡方面）、变形相容方程（几何变形方面）和物理方程（物理关系）。关键方程（几何

5、变形方面）和物理方程（物理关系）。关键在于寻找变形协调关系作为补充方程。在于寻找变形协调关系作为补充方程。平衡方程平衡方程物理方程物理方程几何方程几何方程联立求解联立求解二、解超静定结构的方法二、解超静定结构的方法（2）解超静定结构的方法）解超静定结构的方法解超静定的方法解超静定的方法：有很多种：有很多种,这里只介绍两种方法这里只介绍两种方法:比较变形法和比较变形法和几何分析法几何分析法 （一）比较变形法（一）比较变形法步骤步骤: （1）选取静定基本结构）选取静定基本结构(静定基静定基):即去掉超静定结构多余约束即去掉超静定结构多余约束,用用多余约束力来代替多余约束力来代替,得到超静定结构的基

6、本结构（得到超静定结构的基本结构（静定结构静定结构）；）；（2）计算静定基在原有外力和多余约束力作用下在解除约束处的）计算静定基在原有外力和多余约束力作用下在解除约束处的位移（变形）（位移（变形）（物理关系物理关系）；）；（3）根据变形与约束相协调列出变形协调条件，即多余约束处的）根据变形与约束相协调列出变形协调条件，即多余约束处的位移（变形）必须满足该处的实际情况（位移（变形）必须满足该处的实际情况（几何方面几何方面）；）；（4）将（）将（2）算得的位移代入变形协调条件得到补充方程；）算得的位移代入变形协调条件得到补充方程；（5）联立）联立静力平衡方程静力平衡方程和补充方程最后求出全部未知力

7、。和补充方程最后求出全部未知力。（二）几何分析法（二）几何分析法步骤：步骤：（1）根据静力平衡条件列出独立的静力平衡方程。）根据静力平衡条件列出独立的静力平衡方程。（2）根据变形与约束相协调列出变形协调条件，即各杆）根据变形与约束相协调列出变形协调条件，即各杆在约束处的变形满足一定的已知条件（在约束处的变形满足一定的已知条件（几何方面几何方面）。）。（3）应用胡克定律列出内力与变形的）应用胡克定律列出内力与变形的物理关系物理关系。（4）由（）由（2）（）（3）联立得到补充方程。）联立得到补充方程。（5）联立求解）联立求解静力平衡方程静力平衡方程和补充方程，即可求出全部和补充方程，即可求出全部未

8、知力。未知力。1.1.比较变形法比较变形法三、三、 拉（压）杆超静定问题的解法举例：拉（压）杆超静定问题的解法举例：把超静定问题转化为静定问题解，但必须把超静定问题转化为静定问题解，但必须满足原结构的变形约束条件。满足原结构的变形约束条件。（1 1）选取基本静定结构（静定基如图），）选取基本静定结构（静定基如图），B B端解除多端解除多余约束，代之以约束反力余约束，代之以约束反力R RB B解解：例例19 杆上段为铜，下段为钢杆，杆上段为铜，下段为钢杆，222,EA 弹性模量截面积下段长杆的两端为固支杆的两端为固支,求两段的轴力。求两段的轴力。111,EA 弹性模量截面积上段长12FC11AE

9、22AEBABR（2 2）求静定基仅在原有外力作用下以及仅在代）求静定基仅在原有外力作用下以及仅在代替约束的约束反力作用下于解除约束处的位移替约束的约束反力作用下于解除约束处的位移（3 3）比较两次计算的变形量，其值应该满足）比较两次计算的变形量，其值应该满足变形相容条件，建立方程求解。变形相容条件，建立方程求解。0BCBAC111BACAE)R(F)AE(R222BCB)122211122211122211AEAEFAERAEAEFAERBA例例 20 图示两端固定直杆，已知：图示两端固定直杆，已知：F， l1，E1，A1，l2， E2， A2，求：，求：FA，FB。 解：为一次超静定问题解

10、：为一次超静定问题1静力平衡方程静力平衡方程2变形几何方程变形几何方程0 :0FFFFBAy21ll ( (1) )( (2) )3物理方程物理方程( (3) ) ,1111111N1AElFAElFlA2222222N2AElFAElFlBABlll12CFFAB1F2FAFN1FBFN22 2. 几何分析法几何分析法4联立求解，得到联立求解，得到讨论：当讨论：当E1=E2，A1=A2时时FllFlllFFllFlllFBA12112212 ,1222112111221 ,1lAElAEFFlAElAEFFBA解解: 画画A结点受力图，建立平衡方程结点受力图，建立平衡方程F未知力未知力2 2

11、个，平衡方程个，平衡方程1 1个，为一次超静定。个，为一次超静定。例例21 21 ，F1NF2NF3NF解超静定问题的关键是找出求解所有未知解超静定问题的关键是找出求解所有未知约束反力所缺少的补充方程。结构变形后约束反力所缺少的补充方程。结构变形后各部分间必须象原来一样完整、连续、满各部分间必须象原来一样完整、连续、满足约束条件足约束条件-即满足即满足变形相容条件变形相容条件。A123A,3,3311AEAE杆为在在F力作用下，力作用下，求各杆内力。求各杆内力。1、2杆抗拉刚度为杆抗拉刚度为x21:0NNxFFFyFFFFNNy31cos2:0A213213）代入物理关系，建立补充方程）代入物

12、理关系，建立补充方程21cos313333333311111111cosAEFAEFAEFAEFNNNNA32）如图三杆铰结，画）如图三杆铰结，画A节点位移图节点位移图,列出变形相容条件。要注意所设的列出变形相容条件。要注意所设的变形性质必须和受力分析所中设定变形性质必须和受力分析所中设定的力的性质一致。由对称性知的力的性质一致。由对称性知4）联立、求解：）联立、求解：33311321133!cos21coscos2AEAEFFAEAEFFNNcoscos:333111AELFAELFNN得得121）变形相容条件）变形相容条件： 例例22 22 图示结构，各杆图示结构，各杆EA不同列出求解该结

13、构杆静力平衡方不同列出求解该结构杆静力平衡方程和相容方程。程和相容方程。ABCDPL123解解：本题为一次超静定本题为一次超静定用几何法分析变形用几何法分析变形Acb设设A A点横移（左、右任选）、点横移（左、右任选）、设右移设右移23a图中几何关系：图中几何关系：AcAa+ac且：且： ac=2bctan2sinsin231l即：即：2）物理方程）物理方程3）平衡方程：）平衡方程：把物理方程代入变形把物理方程代入变形相容方程相容方程333332222211111,AELFAELFAELFNNN可求得用内力表示的可求得用内力表示的相容方程相容方程。须注意各杆内力应与所设变形一致须注意各杆内力应

14、与所设变形一致取节点取节点A研究研究：ABCDPL123Ab213a图中图中1 1，2 2杆伸长，对应为拉力，杆伸长，对应为拉力，3 3杆缩短，应对应为压力。杆缩短，应对应为压力。xyAPFN1FN2 FN30coscos:0sinsin:021331NNNxNNyFFFFPFFF例例2323(1)(1)建立坐标系建立坐标系DABC刚体xyz桌腿下部四个端点坐标是桌腿下部四个端点坐标是(2)(2)平衡方程平衡方程)., 2/,(), 2/,(), 2/,(), 2/,(4321haaDhaaChaaBhaaA(3)(3)变形相容方程变形相容方程-四点共平面四点共平面FFFFFFFFFCBABD

15、CA2210ACM0BDM0zFFFAFBFCFD 桌腿间距桌腿间距2a2aa a，高为，高为h h的长方桌，在对角线的的长方桌，在对角线的1/41/4处处受力受力F F作用作用( (如图如图),),求出桌腿所受的力。求出桌腿所受的力。展开后得几何方程展开后得几何方程1+ 3=2+ 40022012/12/12/12/4131214321aaaahaahaahaahaa(4) (4) 物理方程物理方程.;4321EAhFEAhFEAhFEAhFDCBA、式联立求解：、式联立求解：FA=FC=F/4, FB=0, FD=F/2例例24 24 刚性梁刚性梁AD由由1 1、2 2、3 3杆悬挂，已知

16、三杆材料相同，许用杆悬挂，已知三杆材料相同，许用应力为应力为 ，材料的弹性模量为，材料的弹性模量为 E，杆长均为，杆长均为l，横截面面积，横截面面积均为均为A，试求结构的许可载荷，试求结构的许可载荷 P 解：静力平衡条件：解：静力平衡条件：变形协调条件：变形协调条件：) 1 ( 3323N2N1NPFFFllll213123,代入物理方程：代入物理方程：AElFAElFAElFAElFNNNN13123,2 ) 2( 3,21312NNNNFFFFaallaall3213121NF3NF2NF将（将（2）代入（）代入（1）求出）求出FN1，并，并由（由（2）求出）求出FN2、FN3，根据所，根

17、据所求得三个轴力，最后由正应力求得三个轴力，最后由正应力强度条件确定许用荷载强度条件确定许用荷载P。此此项工作同学们自己完成。项工作同学们自己完成。四、四、 装配应力和温度应力装配应力和温度应力（1） 装配应力装配应力 超静定杆系超静定杆系(结构结构)由由于存在于存在“多余多余”约束，约束，因此如果各杆件在制造因此如果各杆件在制造时长度不相匹配，则组时长度不相匹配，则组装后各杆中将产生附加装后各杆中将产生附加内力内力装配内力装配内力，以，以及相应的及相应的装配应力装配应力。 图图a中所示杆系中所示杆系( (E1A1=E2A2) )中杆中杆3的长度较的长度较应有长度短了应有长度短了 e，装配后各

18、杆的位置将如图中虚，装配后各杆的位置将如图中虚线所示。此时，杆线所示。此时，杆3在结点在结点 A 处受到装配力处受到装配力FN3作用作用( (图图b) )，而杆，而杆1, ,2在汇交点在汇交点A 处共同承受与处共同承受与杆杆3相同的装配力相同的装配力FN3作用作用( (图图b) )。(a)求算求算FN3需利用位移需利用位移( (变形变形) )相容相容条件条件( (图图a) )列出补充方程列出补充方程由此可得装配力由此可得装配力FN3，亦即杆，亦即杆3中的装配内力为中的装配内力为eAAAA eAElFAElF 21113N333N3cos2 21113333Ncos2AElAEleF ( (拉力

19、）拉力）(a) 至于各杆横截面上的装配应力只需将装配内至于各杆横截面上的装配应力只需将装配内力力( (轴力轴力) )除以杆的横截面面积即得。除以杆的横截面面积即得。 由此可见，计算超静定杆系由此可见，计算超静定杆系( (结构结构) )中的装配中的装配力和装配应力的关键力和装配应力的关键, ,仍在于根据位移仍在于根据位移( (变形变形) )相容相容条件并利用物理关系列出补充方程。条件并利用物理关系列出补充方程。而杆而杆1和杆和杆2中的装配内力利用图中的装配内力利用图b中右侧的图可知为中右侧的图可知为 压压力力 21113333N2N1Ncos2cos2cos2AElAEleFFF 两根相同的钢杆

20、两根相同的钢杆1、 2，其其长度长度l =200 mm，直径，直径d =10 mm。两端用刚性块连接在一。两端用刚性块连接在一起如图起如图a所示。将长度为所示。将长度为200.11 mm，亦即，亦即 e=0.11 mm的铜杆的铜杆3（图图b）装配在与杆装配在与杆1和杆和杆2对对称的位置称的位置( (图图c) )，求各杆横截面，求各杆横截面上的应力。已知：铜杆上的应力。已知：铜杆3的横的横截面为截面为20 mm30 mm的矩形，的矩形，钢的弹性模量钢的弹性模量E=210 GPa，铜，铜的弹性模量的弹性模量E3=100 GPa。例例 251. 装配后有三个未知的装配内力装配后有三个未知的装配内力F

21、N1, FN2 , FN3，如，如图图d所示。但平行力系只有二个独立的平衡方程，所示。但平行力系只有二个独立的平衡方程，故为一次静不定问题。也许有人认为，根据对称关故为一次静不定问题。也许有人认为，根据对称关系可判明系可判明FN1=FN2，故未知内力只有二个，但要注，故未知内力只有二个，但要注意此时就只能利用一个独立的静力平衡方程：意此时就只能利用一个独立的静力平衡方程：)1(0201NN3 FFFx(d)所以这仍然是一次静不定问题。所以这仍然是一次静不定问题。例例 25解：解：2. 变形相容条件变形相容条件( (图图c) )为为这里的这里的 l3是指杆是指杆3在装配后的缩短值，不带负号。在装

22、配后的缩短值，不带负号。)2(31ell 例例 253. 利用胡克定律由利用胡克定律由(2)式得补充方程式得补充方程)3(33N3N1eAElFEAlF 例例 254. 联立求解联立求解(1)和和(3)式得式得 所得结果为正，所得结果为正，说明原先假定杆说明原先假定杆1、2的装配内力为拉力和的装配内力为拉力和杆杆3的装配内力为压的装配内力为压力是正确的。力是正确的。 EAAElAeEFAEEAleEAFF21121133333N332NN1例例 255. 各杆横截面上的装配应力如下：各杆横截面上的装配应力如下：MPa51.19MPa53.743N331N21 AFAF （拉应力）（拉应力）（压

23、应力）（压应力）例例 25求装配内力也是求解静不定问题，其关键仍是求装配内力也是求解静不定问题，其关键仍是根据相容条件建立变形几何方程。根据相容条件建立变形几何方程。以上计算结果表明，很小的制造误差，却产生以上计算结果表明，很小的制造误差，却产生较大的装配应力，从而使构件的承载能力降低。较大的装配应力，从而使构件的承载能力降低。因此，要尽量提高加工精度，减小装配应力的因此，要尽量提高加工精度，减小装配应力的不利影响。不利影响。例例 25（2） 温度应力温度应力 也是由于超静定杆系存在也是由于超静定杆系存在“多余多余”约束，杆约束，杆件会因温度变化产生的变形受到限制而产生温度件会因温度变化产生的

24、变形受到限制而产生温度内力及温度应力。铁路上无缝线路的长钢轨在温内力及温度应力。铁路上无缝线路的长钢轨在温度变化时由于不能自由伸缩，其横截面上会产生度变化时由于不能自由伸缩，其横截面上会产生相当可观的温度应力。相当可观的温度应力。线膨胀系数：温度每变化线膨胀系数：温度每变化1度，材料长度变化的百分率，单度，材料长度变化的百分率，单位位1/开开,即即1/(。C)。杆原长。杆原长。温度变化，温度变化，线膨胀系数，线膨胀系数，式中：式中：温度变化杆的变形：温度变化杆的变形：-l-t-tllllt 两端与刚性支承连接的等截面杆如图两端与刚性支承连接的等截面杆如图a所示。所示。试求当温度升高试求当温度升

25、高 t 时横截面上的温度应力。杆的时横截面上的温度应力。杆的横截面面积为横截面面积为A，材料的弹性模量为，材料的弹性模量为E，线膨胀系，线膨胀系数为数为 l。例例 261. 若若AB杆仅杆仅A端固定，端固定，B端无约束，当温度升高端无约束，当温度升高时，只会产生纵向伸长时，只会产生纵向伸长 lt，而不会产生内力。当，而不会产生内力。当A、B均为固定端时，均为固定端时， lt受到约束不能自由伸长，受到约束不能自由伸长，杆端产生约束力杆端产生约束力FA和和FB。两个未知力，一个平衡。两个未知力，一个平衡方程，为一次静不定问题。方程，为一次静不定问题。(b)例例 26解：解： 2. 以刚性支撑以刚性

26、支撑B为为“多余多余”约束，约束，FB为多余约为多余约束未知力，设基本静定系由于温度升高产生的伸束未知力，设基本静定系由于温度升高产生的伸长变形长变形 lt，由，由“多余多余”未知力未知力FB产生的缩短变产生的缩短变形形 lF分别如图分别如图c、d所示。所示。(c)(d)例例 263. 变形相容条件是杆的总长度保持不变，即变形相容条件是杆的总长度保持不变，即(1)0 Ftll(c)(d)例例 264. 将将(2)式代入式代入(1)，得，得EAlFEAlFltllBFltN, (2)0N EAlFltl 补充方程为补充方程为(3)(c)(d)例例 265. 由由(3)式解得式解得tEAFlN (c)(d)例例 266. 杆的横截面上的温度应力为杆的横截面上的温度应力为tEAFlN (c)(d)例例 26说明：原先认为杆受轴向压力是对的，该杆的温度说明：原先认为杆受轴向压力是对的，该杆的温度应力为压应力。应力为压应力。 若该杆为钢杆。若该杆为钢杆。 l =1.210- -5/( (C)，E=210 109Pa，则当温度升高则当温度升