第1章随机事件与概率12,13

1、概率是随机事件概率是随机事件发生可能性大小发生可能性大小的度量的度量 事件发生的可能性事件发生的可能性越大，概率就越大，概率就越大！越大！事件在一次试验中是否发生具有随机性，它发事件在一次试验中是否发生具有随机性，它发生的可能性大小是其本身所固有的性质，概率生的可能性大小是其本身所固有的性质，概率是度量某事件发生可能性大小的一种数量指标是度量某事件发生可能性大小的一种数量指标. .它介于它介于0与与1之间之间. . 了解事件发生的可能性即概率的大了解事件发生的可能性即概率的大小，对人们的生活有什么意义呢？小，对人们的生活有什么意义呢？ 我先给大家举几个例子，也希望你我先给大家举几个例子，也希望

2、你们再补充几个例子们再补充几个例子. 例如，了解发生意外人身事故的可能性例如，了解发生意外人身事故的可能性大小大小,确定保险金额确定保险金额. . 了解来商场购物的顾客人数的各种可能了解来商场购物的顾客人数的各种可能性大小，合理配置服务人员性大小，合理配置服务人员. . 了解每年最大洪水超警戒线可能性大了解每年最大洪水超警戒线可能性大小，合理确定堤坝高度小，合理确定堤坝高度. . 概率论的肇始是在17世纪中叶,但它的起源之一解决与赌博有关的问题可追溯到15世纪末.15世纪末至16世纪中期,几位意大利数学家研究了这类问题,1494 年,巴乔利提出了关于在某种条件下如何分配赌本的问题,后来,卡尔达

3、诺和塔尔塔利亚也做过类似的计算,不过都未得到正确结果.早期寻求随机事件的概率,除了与赌博问题有关外,还涉及人寿保险、人口出生性别比例等. 在16世纪，数学家卡丹诺（Cardano)首先察觉到，赌博输赢虽然是偶然的，但较大的赌博次数会呈现一定的规律性，卡丹诺为此还写了一本论赌博的小册子，书中计算了掷两颗骰子或三颗骰子时，在一切可能方法中有多少方法得到某一点数。 到17世纪中叶,由于法国数学家帕斯卡、费马和荷兰数学家惠更斯的加入,使得对上述分配赌本问题的研究成为数学史上一个著名的问题.法国的一位名叫梅累的狂热赌徒向帕斯卡提出了一个困扰他很久（但却对他很有实用价值的）问题. 梅累的问题如下:两个赌徒

4、相约赌若干局,谁先赢 局就算是谁赢.可是当一个赌徒赢 a局（as ）,而另一个赌徒赢 b局（bs ）时,赌博因故终止了,问赌本应如何分配？这正是巴乔利当年考虑过的问题,他认为应该由已赢得局数的比例来分配赌本.卡尔达诺则指出这样完全不考虑赌徒可能再赢的局数的算法是错误的,但是他却找不到正确的解法.这个问题引起帕斯卡和费马在1654 年7月至10月间的通信讨论,数学史上称这些通信为最早的概率论文献. 他们研究的问题是:两个赌徒各出32个金币,约定先赢三局为胜.如果甲赢了二局,乙赢了一局时赌博中断,问赌金如何分配;如果甲赢了一局,乙一局未赢,赌金又如何分配.帕斯卡用纯算术的方法,费马用组合方法都得到

5、了正确答案.费马还区分了独立概率事件和条件概率事件,讨论了某一赌徒在第一次轮到他掷骰子时不掷而让出时应该得到的赌金比例,甚至应用了 n 重伯努利实验的思想. 帕斯卡则进一步提出了三个赌徒间分配赌金的问题.惠更斯在此基础上又潜心研究,于1657年出版论赌博中的计算一书,成为概率论的早期著作.书中首次明确提出数学期望的概念.在他们所有的算法中,都遵循了按赢得整局赌博的概率的比例来分赌金这个原则. 这一时期的概率计算仅限于解决一些具体的问题,虽然一些基本概念（如等可能性、古典概率、数学期望等）,基本算律（如加法定律、条件概率和全概率公式等）,基本方法（如组合法、递推法、方程分析法等）和计算概率的某些

6、技巧,都已逐步建立,但并未都以一般形式给出,缺乏系统的整理和建立严密的理论体系.因此总地说来,此时的概率论还处于萌芽时期或发展的初期.直观定义直观定义 事件事件A 出现的可能性大小出现的可能性大小. .统计定义统计定义 事件事件A 在大量重复试验下出现在大量重复试验下出现 的频率的的频率的稳定值稳定值称为该事件的概率称为该事件的概率. .古典古典定义定义；几何定义几何定义. .非负性公理： P(A)0;正则性公理： P()=1;可列可加性公理：若A1, A2, , An 互不相容，则11()iiiiPAP AFAFFP(A)设为样本空间， 为的某些子集组成的一个事件域。如果对任一事件，定义在

7、上的一个实值函数满足：从从 n 个元素中任取个元素中任取 r 个，求取法数个，求取法数. .排列讲次序，组合不讲次序排列讲次序，组合不讲次序. .全排列全排列：Pn= n! 0! = 1.重复排列重复排列：nr选排列选排列：!(1).(1)()!rnnPn nnrnr 组合组合：!()!rrnnnPnCrr nrr 11rn rnrCr 重复组合重复组合： 求排列、组合时，要掌握和注意：求排列、组合时，要掌握和注意：加法原则加法原则、乘法原则乘法原则. .加法原理加法原理 完成某件事情有完成某件事情有 n 类途径，类途径， 在第一类途径中有在第一类途径中有m1种方种方法，在第二类途径中有法，在

8、第二类途径中有m2种方法，依次类推，在第种方法，依次类推，在第 n 类类途径中有途径中有mn种方法，则完成这件事共有种方法，则完成这件事共有 m1+m2+mn种种不同的方法不同的方法.乘法原理乘法原理 完成某件事情需先后分成完成某件事情需先后分成 n 个步骤，做第一步有个步骤，做第一步有m1种种方法，第二步有方法，第二步有 m2 种方法，依次类推，第种方法，依次类推，第 n 步有步有mn种方种方法，则完成这件事共有法，则完成这件事共有 m1m2mn种不同的方法种不同的方法.随机试验可大量重复进行随机试验可大量重复进行. .( )( )nn AfAn进行进行n次重复试验，记次重复试验，记 n(A

9、) 为事件为事件A的频数，的频数， 称称 为事件为事件A的的频率频率. : 频率所具有的三个性质频率所具有的三个性质 1 01 ; nfA 123 , , , kAAA设是两两互斥事件则1212()()()()nknnnkfAAAfAfAfA(2)( )1;nf 试验者试验者抛币次数抛币次数n“正面向上正面向上”次数次数 频率频率De Morgan208410610.518Bufen404020480.5069Pearson1200060190.5016Pearson24000120120.5005An( )nf A抛掷钱币试验记录抛掷钱币试验记录 n , fA从上表中可以看出 出现 正面向上

10、 的频率 , n虽然随的不同而变动 但总的趋势是随着试验次 0.5 . 数的增加而逐渐稳定在这个数值上 定义定义 , 在不变的一组条件下进行大量的重复试验 AnAn随机事件出现的频率会稳定地在某个固定的 , pp的数值的附近摆动 我们称这个稳定值为随机 , A事件 的概率 即 . P Ap 这 个 定 义 也 称 为 .概 率 的 统 计 定 义 可见可见, 在大量重复的试验中在大量重复的试验中,随机事件出现的频率具随机事件出现的频率具 有稳定性有稳定性.即通常所说的统计规律性即通常所说的统计规律性. 古典概型 若一个随机试验(,F, P )具有以下两个特征： (1) 有限性。样本空间的元素(

11、基本事件)只有为有限个，即=1，2，n； (2) 等可能性。每个基本事件发生的可能性是相等的，即 P(1)=P(2)=P(n)。 则称这类随机试验的数学模型为古典概型古典概型。 则事件A的概率为:P(A) = A中样本点的个数 / 样本点总数假定某个试验有有限个可能的结果假定某个试验有有限个可能的结果 假定从该试验的条件及实施方法上去分析，假定从该试验的条件及实施方法上去分析，我们找不到任何理由认为其中某一结果例如我们找不到任何理由认为其中某一结果例如 ，比任一其它结果，例如比任一其它结果，例如 更有优势，则我们只好更有优势，则我们只好认为所有结果在试验中有同等可能的出现机会，认为所有结果在试

12、验中有同等可能的出现机会，即即1/N的出现机会的出现机会.12,n iiij常常把这样的试验结果称为常常把这样的试验结果称为“等可能的等可能的”.试验结果试验结果你认为哪个你认为哪个结果出现的结果出现的可能性大？可能性大？12,n 2 3479108615 例如，一个袋子中装有例如，一个袋子中装有10 个大小、形状完全相同的球个大小、形状完全相同的球 . 将球编号为将球编号为110 .把球搅匀，把球搅匀，蒙上眼睛，从中任取一球蒙上眼睛，从中任取一球. 因为抽取时这些球是完因为抽取时这些球是完全平等的，我们没有理由认全平等的，我们没有理由认为为10个球中的某一个会比另个球中的某一个会比另一个更容

13、易取得一个更容易取得 . 也就是说，也就是说，10个球中的任一个被取出的个球中的任一个被取出的机会是相等的，均为机会是相等的，均为1/10. 1324 5 6 7 8 9 1010个球中的任一个被取个球中的任一个被取出的机会都是出的机会都是1/102 3479108615 我们用我们用 i 表示取到表示取到 i号球，号球， i =1,2,10 . 称这样一类随机试验为称这样一类随机试验为古典概型古典概型.34791086152且每个样本点且每个样本点(或者说基本或者说基本事件事件)出现的可能性相同出现的可能性相同 .则该试验的样本空间则该试验的样本空间 如如i =21,2,10 抛一枚硬币三次

14、抛一枚硬币三次 抛三枚硬币一次抛三枚硬币一次 1=(正正正正正正), (反正正反正正), (正反正正反正), (正正反正正反), (正反反正反反), (反正反反正反), (反反正反反正), (反反反反反反) 此样本空间中的样本点此样本空间中的样本点等可能等可能.2=(三正三正), (二正一反二正一反), (二反一正二反一正), (三反三反) 此样本空间中的样本点此样本空间中的样本点不等可能不等可能. 称这种试验为等可能随机试验或古典概型称这种试验为等可能随机试验或古典概型. 若随机试验满足下述两个条件：若随机试验满足下述两个条件： (1) 它的样本空间只有有限多个样本点；它的样本空间只有有限多

15、个样本点； (2) 每个样本点出现的可能性相同每个样本点出现的可能性相同. , 由于在试验中每个基本事件发生的可能性相同即 . 又由于基本事件是两两互不相容的 于是 所以12 , , , . nE 设古典概率的样本空间为12 nPPP12121()()()()()()nniPPPPPnP 1 , 1,2, . iPinn P A 21kiiiA 21kiiiPPP , Ak若事件包含个基本事件即 则有 P A kn AS包含的基本事件数中的基本事件总数12 kiiiA12 AkiiiPPPn 个人围一圆桌坐，个人围一圆桌坐，求甲、乙两人相邻而坐的概率求甲、乙两人相邻而坐的概率. 解：考虑甲先坐

16、好，则乙有解：考虑甲先坐好，则乙有n-1-1个位置可坐，个位置可坐， 而而“甲乙相邻甲乙相邻”只有两种情况，所以只有两种情况，所以P(A) = 2/(n-1-1)。n个人坐成个人坐成一排一排，求甲、乙两人相邻而坐的概率求甲、乙两人相邻而坐的概率. .( (注意：请与上一题作比较注意：请与上一题作比较) )解：解：1) 先考虑样本空间的样本点数：先考虑样本空间的样本点数： 甲先坐、乙后坐，则共有甲先坐、乙后坐，则共有n(n 1) 种可能种可能. 2) 甲在两端，则乙与甲相邻共有甲在两端，则乙与甲相邻共有2种可能种可能. 3) 甲在中间甲在中间(n 2)个位置上，则乙左右都可坐，个位置上，则乙左右

17、都可坐， 所以共有所以共有2(n 2)种可能。由此得所求概率为：种可能。由此得所求概率为：22(2)2(1)nn nn1.2.3 5 , 4 , 例有双不同型号的鞋子 从中任取只 求 1 4 ;取出的只鞋恰好为两双 : 下列各事件的概率 2 4 ; 取出的只鞋都是不同型号的 3 4 . 取出的只鞋恰好有两只配成一双 解 A 4 , 设取出的只鞋恰好为两双B 4 , 取出的只鞋都是不同型号的C 4 . 取出的只鞋恰好有两只配成一双 5 10 4 , 从双鞋子只 中任取只 取法总数为410 . C A中所含有的基本事件数为25 . C B中 所 含 有 的 基 本 事 件 数 为411115222

18、2 . C C C C C C 中所含有的基本事件数为1221152422 . C C C C C 于是可得 1 P A25410 CC5 42 1 10 9 8 74 3 2 1 1 . 21 2 P B4111152222410 C C C C CC80 2108 . 21 3 P C1221152422410 C C C C CC120 2104 . 7 1.2.4 15 , 15 3 . i ; 3 . ii例将名新生随机地平均分配到三个班级中去这名新生中有名是优秀生求每一个班级各分配到一名优秀生的概率名优秀生分配在同一班级的概率 解15 名新生平均分到三个班级的分法总数为15105

19、555 15!10! 10!5!5!5!15! . 5!5!5! i 2每一个班级各分到一名优秀生的分法为12843! 444 12!3! . 4!4!4! 于是所求概率为112!3! 4!4!4! 15! 5!5!5!p25 . 97 ii 三名优秀生分到同一个班级的分法为121053 255 12!3 . 2!5!5! 于是所求概率为212!3 2!5!5! 15! 5!5!5!p6 . 91 1.2.5 12 , 12 . . 例某接待站在某一周曾接待过次来访已知所有这次接待都是在周二和周四进行的 问是否可以推断接待时间是有规定的 解 , 假设接待站的接待时间没有规定 而各来访者 . 在

20、一周的任一天中去接待站是等可能的 12 则次接 待 来 访 者 都 在 周 二 周 四 的 概 率 为 p1212270.0000003 . . 这是小概率事件 . 所以认为接待时间是有规定的几何概型若 。样本空间充满某个区域， 其度量(长度、面 积、体积)为S； 。落在中的任一子区域A的概率，只与子区域的度量SA有关， 而与子区域的位置无关 则事件A的概率为: P(A)= SA /S 设设 分别为甲、乙两人到达的时刻分别为甲、乙两人到达的时刻,y,x那末那末0,0.xTyT两人会面的充要条件为两人会面的充要条件为,xyt例例1.2.6 (会面问题会面问题) 甲、乙两人相约在甲、乙两人相约在

21、0到到T 这段这段时间内时间内, 在预定地点会面在预定地点会面. 先到的人等候另一个人先到的人等候另一个人 , 经过时间经过时间 t ( t 乙乙正正) )= P(n+1-(n+1-甲甲反反 n- n-乙乙反反) )= P( (甲甲反反-1-1 乙乙正正) () (对称性对称性) )所以所以 2P( (甲甲正正 乙乙正正) )=1,1, 由此得由此得 P( (甲甲正正 乙乙正正) )=1/2N 个产品，其中个产品，其中M个不合格品、个不合格品、N M个合格品个合格品. (口袋中有口袋中有M 个白球，个白球， N M 个黑球个黑球)MNMmnmNn从中不返回任取从中不返回任取n 个个, 则此则此

22、 n 个中有个中有 m 个不合格个不合格品的概率为：品的概率为：此模型又称此模型又称 超几何模型超几何模型. n N, m M, n m N M.口袋中有口袋中有5 个白球、个白球、7个黑球、个黑球、4个红球个红球.从中不返回任取从中不返回任取3 个个.求取出的求取出的 3 个球为不同颜色的球的概率个球为不同颜色的球的概率.57411114011656043 购买购买：从从01，35 中选中选7个号码个号码.开奖开奖：7个基本号码，个基本号码，1个特殊号码个特殊号码. 1) 7个基本号码个基本号码 2) 6个基本号码个基本号码 + + 1个特殊号码个特殊号码 3) 6个基本号码个基本号码 4)

23、 5个基本号码个基本号码 + + 1个特殊号码个特殊号码 5) 5个基本号码个基本号码 6) 4个基本号码个基本号码 + + 1个特殊号码个特殊号码 7) 4个基本号码，或个基本号码，或 3个基本号码个基本号码 + + 1个特殊号码个特殊号码 中所含样本点个数：中所含样本点个数：735C1270061077127127773535,ppC C CC C CCC将将35个号分成三类：个号分成三类： 7个基本号码个基本号码、 1个特殊号码个特殊号码、 27个无用号码个无用号码记记 pi 为中为中i 等奖的概率。利用抽样模型得：等奖的概率。利用抽样模型得： 中奖概率如下中奖概率如下：12317189

24、,67245206724520672452012ppp456567737112285,672452067245206724520ppp72047506724520,p 64993500.966515.6724520不中奖的概率为不中奖的概率为： p0=1p1p2p3p4p5p6 p7 N 个产品，其中个产品，其中M个不合格品、个不合格品、N M个合格品个合格品. 从中有返回地任取从中有返回地任取n 个个.则此则此 n 个中有个中有 m 个不合格品的概率为：个不合格品的概率为：()mn mmn mnnnMNMMNMmmNNN 条件：条件： m n , 即即 m = 0, 1, 2, , n.,(

25、1),mn mmmn mMNMnNNNnNNM nC CMC pppCN在实际问题中 对于较大的 和不会很大可采用近似公式其中.,没有本质的差异不放回抽样和放回抽样充分多时当Nn 个不同球放入个不同球放入 N 个不同的盒子中个不同的盒子中. .每个盒子中所放球数不限每个盒子中所放球数不限. .求恰有求恰有n 个盒子中各有一球的概率个盒子中各有一球的概率( (n N) !()!nNnnPNNNNn求求n 个人中至少有两人生日相同的概率个人中至少有两人生日相同的概率. .看成看成 n 个球放入个球放入 N=365个盒子中个盒子中.P(至少两人生日相同至少两人生日相同)=1 P(生日全不相同生日全不相同)用盒子模型得：用盒子模型得：pn= P(至少两人生日相同至少两人生日相同)=365!1365 (365)!nnp20=0.4058, p30=0.6963, p50=0.9651, p60=0.9922 n 个人、个人、n 顶帽子，任意取，至少一个人拿对自己帽子的顶帽子，任意取，至少一个人拿对自己帽子的概率概率. .记记 Ai = “第第 i 个人拿对自己的帽