导数与微分的定义

1、第二章导数与微分微积分学的创始人: 德国数学家 Leibniz 微分学导数导数 描述函数变化快慢微分微分 描述函数变化程度都是描述物质运动的工具 (从微观上研究函数)导数思想最早由法国数学家 Ferma 在研究极值问题中提出.英国数学家 Newton第一节1.导数和微分的定义一、导数的定义一、导数的定义四、导数的几何意义四、导数的几何意义三、函数的可导性与连续性的关系三、函数的可导性与连续性的关系二、单侧导数二、单侧导数五、微分五、微分一、一、 引例引例1. 变速直线运动的速度变速直线运动的速度设描述质点运动位置的函数为)(tfs 0t则 到 的平均速度为0tt v)()(0tftf0tt 而

2、在 时刻的瞬时速度为0t lim0ttv)()(0tftf0tt 221tgs so)(0tf)(tft自由落体运动 xyo)(xfy C2. 曲线的切线斜率曲线的切线斜率曲线)(:xfyC NT0 xM在 M 点处的切线x割线 M N 的极限位置 M T(当 时)割线 M N 的斜率tan)()(0 xfxf0 xx 切线 MT 的斜率tanktanlim lim0 xxk)()(0 xfxf0 xx 两个问题的共性共性:so0t)(0tf)(tft瞬时速度 lim0ttv)()(0tftf0tt 切线斜率xyo)(xfy C NT0 xMx lim0 xxk)()(0 xfxf0 xx 所

3、求量为函数增量与自变量增量之比的极限 .类似问题还有:加速度角速度线密度电流强度是速度增量与时间增量之比的极限是转角增量与时间增量之比的极限是质量增量与长度增量之比的极限是电量增量与时间增量之比的极限变化率问题变化率问题二、导数的定义二、导数的定义定义定义1 . 设函数)(xfy 在点0 x0limxx00)()(xxxfxfxyx0lim)()(0 xfxfy0 xxx存在,)(xf并称此极限为)(xfy 记作:;0 xxy; )(0 xf ;dd0 xxxy0d)(dxxxxf即0 xxy)(0 xf xyx0limxxfxxfx)()(lim000hxfhxfh)()(lim000则称函

4、数若的某邻域内有定义 , 在点0 x处可导可导, 在点0 x的导数导数. 运动质点的位置函数)(tfs so0t)(0tf)(tft在 时刻的瞬时速度0t lim0ttv)()(0tftf0tt 曲线)(:xfyC在 M 点处的切线斜率xyo)(xfy CNT0 xMx lim0 xxk)()(0 xfxf0 xx )(0tf )(0 xf 0limxx00)()(xxxfxfxyx0lim)()(0 xfxfy0 xxx若上述极限不存在 ,在点 不可导. 0 x若,lim0 xyx也称)(xf在0 x若函数在开区间 I 内每点都可导,此时导数值构成的新函数称为导函数.记作:;y;)(xf ;

5、ddxy.d)(dxxf注意注意:)(0 xf 0)(xxxfxxfd)(d0就说函数就称函数在 I 内可导. 的导数为无穷大 .由定义求导数的步骤);()() 1 (xfxxfy 求求增增量量;)()()2(xxfxxfxy 算比值算比值.lim)3(0 xyyx 求极限求极限一些基本初等函数的导数 常数函数的导数 幂函数的导数 正（余）弦函数的导数 对数函数的导数 指数函数的导数常数函数的导数常数函数的导数.)()(的导数的导数为常数为常数求函数求函数CCxf 解解0()( )( )limxf xxf xfxx 0limxCCx . 0 ( )0.C 注注：.)()(, 0) )(000处

6、处的的导导数数值值在在点点表表示示函函数数而而xxxfxfxf 例例2.正弦函数的导数正弦函数的导数.)(sin)(sin,sin)(4 xxxxxf及及求求设函数设函数解解0sin()sin(sin )limxxxxxx 0sin2lim cos()22xxxxx .cos x (sin )cos .xx 44cos)(sin xxxx.22 所以所以(cos )sin .xx 同理可得同理可得例例1.例例3. 求函数)N()(nxxfn解解:()( )f xxf xx ( )fx limnnxaxxxx 0lim(x 21()nxxx 32()nxxx 1)nx1nnx幂函数的导数0lim

7、x 10()nxxx 的导数1()nnxnx 更一般地更一般地1()()xxR说明：说明：对一般幂函数xy ( 为常数) 1)(xx例如，例如，)(x)(21 x2121xx21x1)(1x11x21x)1(xx)(43x4743x（以后将证明）对数函数的导数.),(log的的导导数数求求函函数数10aaxya解解0log ()loglimaaxxxxyx 1(ln).xx 0log (1)1limaxxxxxx 01lim log (1)xxaxxxx 11 1log.lnaexxa1(log)lnaxxa例例4.指数函数的导数.)1, 0()(的的导导数数求求函函数数 aaaxfx解解0(

8、)limxxxxxaaax 01limxxxaax ln .xaa()ln .xxaaa ().xxee 例例5.（见（见1-4函数连续性的例函数连续性的例3 ）01limlnxxaax在点0 x的某个右右 邻域内五、五、 单侧导数单侧导数)(xfy 若极限xxfxxfxyxx)()(limlim0000则称此极限值为)(xf在 处的右右 导数导数,0 x记作)(0 xf即)(0 xfxxfxxfx)()(lim000(左)(左左)0( x)0( x)(0 xf0 x例如例如,xxf)(在 x = 0 处有,1)0(f1)0(fxyoxy 定义定义2 . 设函数有定义,存在,0 xx0 xx定

9、理定理2. 函数在点0 x)(xfy ,)()(00存在与xfxf且)(0 xf. )(0 xf)(0 xf 存在)(0 xf)(0 xf简写为若函数)(xf)(af)(bf与都存在 , 则称)(xf在开区间 内可导,),(ba在闭区间 上可导.,ba可导的充分必要条件是且处可导在点xxf)(四、四、 函数的可导性与连续性的关系函数的可导性与连续性的关系定理定理1.处连续在点xxf)(证证: 设)(xfy 在点 x 处可导,)(lim0 xfxyx存在 , 因此必有,)(xfxy其中0lim0 x故xxxfy)(0 x0所以函数)(xfy 在点 x 连续 .即1sin, 0,( )0, 0.x

10、xf xxx0 x 在处的连续但不可导。注意注意: 函数在点 x 连续未必可导连续未必可导.证31lim10(1),xxf 例例1:, 1)(3 xxf1x 处连续但不可导在试证1x 处连续。在0(1)(1)limxfxfx 又300limxxx 1x 处不可导。在例例2:01/1xy31yx yx01分段函数在分段点的可导性.,),(),()(000可可导导性性的的讨讨论论在在点点设设函函数数xxxxxxxxf 000()()limxf xxf xx 000()()limxxxxx 0()fx0()fx000()()limxf xxf xx 000()()limxxxxx ,)()( )(

11、, )( axfxfxfxf0000都都存存在在且且若若.)( , )( axfxxf00且且可导可导在点在点则则解解yx xyo(0)(0),xfxfxx 00(0)(0)limlimxhfxfxxx , 1 00(0)(0)limlimxxfxfxxx . 1 ),0()0( ff即即.0)(点不可导点不可导在在函数函数 xxfy例例6.0)(处的可导性处的可导性在在讨论函数讨论函数 xxxf7. 设0,0,sin)(xxaxxxf, 问 a 取何值时,)(xf 在),(都存在 , 并求出. )(xf 解解:)0(f0sin(0)0limhhh1)0(f0(0)0limhahha故1a时,

12、1)0( f此时)(xf 在),(都存在, )(xf0,cosxx0,1x显然该函数在 x = 0 连续 .三、三、 导数的几何意义导数的几何意义xyo)(xfy CT0 xM曲线)(xfy 在点),(00yx的切线斜率为)(tan0 xf 若,0)(0 xf曲线过上升;若,0)(0 xf曲线过下降;xyo0 x),(00yx若,0)(0 xf切线与 x 轴平行,称为驻点驻点;),(00yx),(00yx0 x若,)(0 xf切线与 x 轴垂直 .xyo0 x0 xyox曲线在点处的),(00yx切线方程切线方程:)(000 xxxfyy法线方程法线方程:)()(1000 xxxfyy)0)(

13、0 xf,)(0时 xfo( )yf x 0()Tfx 0 x切线切线法线法线xy例8， 求曲线1yx 在1(,2)2处的切线方程和法线方程。解：21211( )42xfx 切线方程：124()2yx 法线方程：112()42yx一、微分的概念一、微分的概念 引例引例: 一块正方形金属薄片受温度变化的影响,问此薄片面积改变了多少? 设薄片边长为 x , 面积为 A , 则,2xA 0 xx面积的增量为2200()Axxx 20)(2xxxxx 020 xA xx 02)( x关于x 的线性主部高阶无穷小0 x时为故xxA02称为函数在 的微分0 x当 x 在0 x取得增量x时,0 x变到,0

14、xx边长由其的微分微分,定义定义: 若函数)(xfy 在点 的增量可表示为0 x)()(00 xfxxfy( A 为不依赖于x 的常数)则称函数)(xfy 而 称为xA在)(xf0 x点记作yd,df或即xAyd定理定理: 可微的充要条件充要条件是处可导，在点0)(xxfy )( xoxA则xxfy)(d0在点0 x可微可微,定理定理 : 函数证证: “必要性必要性” 已知)(xfy 在点 可微 ,0 x则)()(00 xfxxfy)(limlim00 xxoAxyxxA故Axf)(0)( xoxA)(xfy 在点 的可导,0 x且)(xfy 在点 可微的充要条件充要条件是0 x)(xfy 在

15、点 处可导,0 x且, )(0 xfA即xxfy)(d0定理定理 : 函数)(xfy 在点 可微的充要条件充要条件是0 x)(xfy 在点 处可导,0 x且, )(0 xfA即xxfy)(d0“充分性充分性”已知)(lim00 xfxyx)(xfy )(0 xfxy)0lim(0 xxxxfy)(0故)()(0 xoxxf 线性主部 即xxfy)(d0在点 的可导,0 x)0)(0时 xf则说明说明:0)(0 xf时 ,xxfy)(d0)()(0 xoxxfyyyxdlim0 xxfyx)(lim00 xyxfx00lim)(11所以0 x时yyd很小时, 有近似公式xyyd与是等价无穷小,当

16、故当微分的几何意义xxfy)(d0 xx0 xyo)(xfy 0 xydyxtan当 很小时,xyyd时，当xy 则有xxfyd)(d从而)(ddxfxy导数也叫作微商切线纵坐标的增量自变量的微分自变量的微分,为称 x记作xddyx xd记例如例如,3xy yd02. 0d2xx23xxd02. 0d2xx24. 0,arctanxy ydxxd112基本初等函数的微分公式 (见 P66表)又如又如,内容小结内容小结1. 导数的实质:3. 导数的几何意义:4. 可导必连续, 但连续不一定可导;5. 已学求导公式 :6. 判断可导性不连续, 一定不可导.直接用导数定义;看左右导数是否存在且相等. )(C )(x )(sin x )(cosxaxf)(02. axfxf)()(00 )(ln x;0;1x;cosx;sin xx1增量比的极限;切线的斜率;思考与练习思考与练习1. 函数 在某点 处的导数)(xf0 x)(0 xf )(xf 区别:)(xf 是函数 ,)(0 x