椭圆的简单几何性质(~)

1、 如图，已知一个圆的圆心为坐标原点，半径为如图，已知一个圆的圆心为坐标原点，半径为2，从这，从这个圆上任意一点个圆上任意一点P向向x轴作垂线段轴作垂线段PP中点中点M的轨迹。的轨迹。 解：设M(x,y), P(x0,y0)00：,.2yxxy于是00（ ,)Pxy22由于在x +y =4上,2200所以x +y =4.00,2xxyy2200把代入x +y =4中,得x22+4y =4,4x22即:+y =1,所以所以M点的轨迹是一个椭圆。点的轨迹是一个椭圆。第二章第二章 圆锥曲线与方程圆锥曲线与方程 吴川一中吴川一中 陈智敏陈智敏高二高二【16、22】专用专用人教版人教版A 数学数学选修选修

2、2-1一个概念；一个概念；二个方程；二个方程；三种意识：三种意识：求美意识，求美意识， 求简意识，求简意识， 猜想的意识。猜想的意识。三个方法：三个方法：定义法、代人法、相关点法。定义法、代人法、相关点法。|MF1|+|MF2|=2a 1 1b by ya ax x2 22 22 22 20 0b ba a 1 1b bx xa ay y2 22 22 22 2复习练习复习练习P为椭圆为椭圆 + =1上一点上一点,F1、F2是其左、右焦点是其左、右焦点（1）若）若|PF1|=3,则则|PF2|=_252x162y（2）过左焦点）过左焦点F1任作一条弦任作一条弦AB， 则则ABF2的周长为的周长

3、为_（3）若点）若点P在椭圆上运动在椭圆上运动, 则则|PF1|PF2|的最大值为的最大值为_yx0F2F1PBAP72025第一课时第一课时 椭椭圆圆 简单的几何性质简单的几何性质22221xyab1、范围：、范围：, 122 ax得：得：122 by -axa, -byb 椭圆落在椭圆落在x=a,y= b组成的矩形中组成的矩形中 oyB2B1A1A2F1F2cab新课讲解新课讲解2、椭圆的顶点、椭圆的顶点22221(0)，xyabab在中令令 x=0，得，得 y=？，说明椭圆与？，说明椭圆与 y轴的交点（轴的交点（ ），）， 令令 y=0，得，得 x=？, 说明椭圆与说明椭圆与 x轴的交点

4、（轴的交点（ ）。）。*顶点顶点：椭圆与它的对称椭圆与它的对称轴的四个交点，叫做椭圆的轴的四个交点，叫做椭圆的顶点。顶点。 oxyB1(0,b)B2(0,-b)A1A2(a,0)0, ba, 0*长轴长轴、短轴短轴： 线段线段A1A2、B1B2分别叫做椭圆的分别叫做椭圆的长轴和短轴。长轴和短轴。a、b分别叫做椭圆的分别叫做椭圆的长半长半轴长轴长和和短半轴长短半轴长。焦点总在长轴上焦点总在长轴上! 3椭椭圆圆的的对对称称性性YXOP（x，y）P1（-x，y）P2（-x，-y）22221(0)，xyabab在之中 把把(X)换成换成(-X),方程不变方程不变,说明椭圆关于说明椭圆关于( )轴对称；

5、轴对称； 把把(Y)换成换成(-Y),方程不变方程不变,说明椭圆关于说明椭圆关于( )轴对称；轴对称； 把把(X)换成换成(-X), (Y)换成换成(-Y),方程还是不变方程还是不变,说明说明椭圆椭圆 关关于于( )对称；对称；中心：椭圆的对称中心叫做椭圆的中心。中心：椭圆的对称中心叫做椭圆的中心。oxy 所以，坐标轴是所以，坐标轴是椭圆的对称轴，原点椭圆的对称轴，原点是椭圆的对称中心。是椭圆的对称中心。Y X 原点原点 3.椭圆的对称性椭圆的对称性123-1-2-3-44y123-1-2-3-44y1 2 3 4 5-1-5-2-3-4x1 2 3 4 5-1-5-2-3-4x根据前面所学有

6、关知识画出下列图形根据前面所学有关知识画出下列图形1162522yx142522yx（1）（2）A1 B1 A2 B2 B2 A2 B1 A1 练一练练一练4、椭圆的离心率、椭圆的离心率ace 离心率：离心率：椭圆的焦距与长轴长的比：椭圆的焦距与长轴长的比：叫做椭圆的离心率。叫做椭圆的离心率。1离心率的取值范围：离心率的取值范围：1）e 越接近越接近 1，c 就越接近就越接近 a，从而从而 b就越小，椭圆就就越小，椭圆就越扁越扁因为因为 a c 0，所以所以0e babceaa2=b2+c222221(0)xyabba|x| b,|y| a同前同前(b,0)、(-b,0)、(0,a)、(0,-

7、a)(0 , c)、(0, -c)同前同前同前同前同前同前例例1 1、已知椭圆方程为、已知椭圆方程为16x16x2 2+25y+25y2 2=400=400，则，则它的长轴长是它的长轴长是： ；短轴长是短轴长是： ；焦距是焦距是： ；离心率等于离心率等于： ；焦点坐标是焦点坐标是： ；顶点坐标是顶点坐标是： ； 外切矩形的面积等于外切矩形的面积等于： ； 108635( 3,0)( 5,0)(0, 4)80 解解题步骤：题步骤：1、将椭圆方程转化为标准方程求、将椭圆方程转化为标准方程求a、b：1162522yx2、确定焦点的位置和长轴的位置、确定焦点的位置和长轴的位置.例例 求适合下列条件的椭

8、圆的标准方求适合下列条件的椭圆的标准方程程(1) a=6, e= , (1) a=6, e= , 焦点在焦点在x x轴上轴上(2) (2) 离心率离心率 e=0.8, e=0.8, 焦距为焦距为8 8(3) (3) 长轴是短轴的长轴是短轴的2 2倍倍, , 且过点且过点P(2,-6)P(2,-6)求椭圆的标准方程时求椭圆的标准方程时, 应应: 先定位先定位(焦点焦点), 再定量（再定量（a、b）当焦点位置不确定时，要讨论，此时有两个解！当焦点位置不确定时，要讨论，此时有两个解！31(4)在在x轴上的一个焦点与短轴两端点的连线互相垂直，轴上的一个焦点与短轴两端点的连线互相垂直，且焦距为且焦距为6

9、2213632xy222211259259xyyx或2222yy11148 3752 13xx或221189xy 练习：练习：过适合下列条件的椭圆的标准方程：过适合下列条件的椭圆的标准方程：（1 1）经过点）经过点 、 ；（2 2）长轴长等于）长轴长等于 , ,离心率等于离心率等于 ( 3,0)P (0, 2)Q2035解解: :（1 1）由题意，）由题意， , ,又又长轴在长轴在轴上，所以，椭圆的标准方程为轴上，所以，椭圆的标准方程为 3a 2b x22194xy（2 2）由已知，由已知， ， ， ， ，所以椭圆的标准方程为所以椭圆的标准方程为 或或 220a 35cea10a 6c 222

10、10664b 22110064xy22110064yx例例3.3.已知椭圆的中心在原点，焦点在坐标已知椭圆的中心在原点，焦点在坐标轴上，长轴是短轴的三倍，且椭圆经过点轴上，长轴是短轴的三倍，且椭圆经过点P P（3 3，0 0），），求椭圆的方程。求椭圆的方程。2222119819xyxy或 例例4 如图如图.一种电影放映灯泡的放射镜面是旋转椭圆一种电影放映灯泡的放射镜面是旋转椭圆面面(椭圆绕其对称轴旋转一周形成的曲面椭圆绕其对称轴旋转一周形成的曲面)的一部分的一部分.过过对称轴的截口对称轴的截口BAC是椭圆的一部分是椭圆的一部分,灯丝位于椭圆的一灯丝位于椭圆的一个焦点个焦点F1上上,片门位于另

11、一个焦点片门位于另一个焦点F2上上.由椭圆一个焦由椭圆一个焦点点F1发出的光线发出的光线,经过旋转椭圆面反射后集中到另一个经过旋转椭圆面反射后集中到另一个焦点焦点F2,已知已知 求截口求截口BAC所在椭圆的方程所在椭圆的方程.121122.8,4.5,BCFFFBCM FFCM，xyoF1F2ABC例例题题5 5求离求离心率心率 e. e.(1).若椭圆若椭圆 + =1的离心率为的离心率为 0.5，则：，则：k=_82kx92y(2).若某个椭圆的长轴、短轴、焦距依次成等差数列，若某个椭圆的长轴、短轴、焦距依次成等差数列， 则其离心率则其离心率e=_445或53第二课时第二课时例例6 6 已知

12、点已知点M M与点与点F(4F(4，0)0)的距离和它的距离和它到直线到直线l l： 的距离之比等于的距离之比等于 ，求点求点M M的轨迹方程的轨迹方程. . 254x 45221259xy+=M MO Ox xy yF FH Hl例例7 解：解：如图，设如图，设d是点是点M到直线到直线L的距离，根据题意，所求轨的距离，根据题意，所求轨迹的集合是：迹的集合是：由此得由此得 ：222,xcycaaxc22222222()().ac xa ya ac22221(0).xyabab 这是一个椭圆的标准方程，所以点这是一个椭圆的标准方程，所以点M的的轨迹是长轴、短轴分别是轨迹是长轴、短轴分别是2a、2

13、b的椭圆。的椭圆。点点M（x,y）与定点）与定点F（c,0）的距离）的距离 和它到定直线和它到定直线的距离比是常数的距离比是常数2:al xc(0).caca求求M点的轨迹。点的轨迹。|M FcPMda平方，化简得平方，化简得 ：222,:acb令可化得椭圆上的点椭圆上的点M(xM(x，y)y)到焦点到焦点F(cF(c，0)0)的距的距离与它到直线离与它到直线 的距离之比等于离的距离之比等于离心率心率. .2axc=新知探究新知探究O Ox xy yF FH HM Ml2axc=若点若点F F是定直线是定直线l l外一定点，动点外一定点，动点M M到点到点F F的距离的距离与它与它到直线到直线

14、l l的距离的距离之之比比等于等于常数常数e e(0(0e e1)1)，则点，则点M M的轨迹是椭圆的轨迹是椭圆. .M MF FH Hl新知探究新知探究动画动画 直线直线 叫做椭圆相应于焦叫做椭圆相应于焦点点F F2 2(c(c，0)0)的的准线准线，相应于焦点，相应于焦点F F1 1( (c c，0)0)的准线方程是的准线方程是2axc=2= -axcO Ox xy yF F2 2F F1 12axc=2.axc= -椭圆椭圆 的准线方程是的准线方程是222210 xyabbax xF F1 1F F2 2y yO O2=ayc2= -aycM MO Ox xy yF Fl椭圆的一个焦点到

15、它相应准线的距离是椭圆的一个焦点到它相应准线的距离是22|abFMccc=-= 例例8 8 若椭圆若椭圆 上一点上一点P P到到椭圆左准线的距离为椭圆左准线的距离为1010，求点，求点P P到椭到椭圆右焦点的距离圆右焦点的距离. .22110036xy12 12 练习练习 已知椭圆的两条准线方程为已知椭圆的两条准线方程为 y y9 9，离心率为，离心率为 ，求此椭圆的标准，求此椭圆的标准方程方程. .3119822yx 【练习练习】F F为椭圆为椭圆 的右焦点的右焦点, P, P为椭圆上一为椭圆上一动点动点, , 求求|PF|PF|的最大值和最小值的最大值和最小值12222byax1. 1.基

16、本量基本量: : a a、b b、c c、e e几何意义：几何意义：a a- -半长轴、半长轴、b b- -半短轴、半短轴、c c- -半焦距，半焦距，e e- -离心率；离心率；相互关系：相互关系： 椭圆中的基本元素椭圆中的基本元素2. 2.基本点：基本点：顶点、焦点、中心顶点、焦点、中心3. 3.基本线基本线: : 对称轴对称轴（共两条线）（共两条线）222bacace 焦点总在长轴上焦点总在长轴上!4.椭圆第二定义：椭圆第二定义：动点到定点的距离比到定直线的距离动点到定点的距离比到定直线的距离5.准线：准线：】【或caycax22第二章第二章 圆锥曲线与方程圆锥曲线与方程 吴川一中吴川一

17、中 陈智敏陈智敏高二高二【16、22】专用专用人教版人教版A 数学数学选修选修2-11. 1.基本量基本量: : a a、b b、c c、e e几何意义：几何意义：a a- -半长轴、半长轴、b b- -半短轴、半短轴、c c- -半焦距，半焦距，e e- -离心率；离心率；相互关系：相互关系： 椭圆中的基本元素椭圆中的基本元素2. 2.基本点：基本点：顶点、焦点、中心顶点、焦点、中心3. 3.基本线基本线: : 对称轴对称轴（共两条线）（共两条线）222cabcea焦点总在长轴上焦点总在长轴上!4.椭圆第二定义：椭圆第二定义：动点到定点的距离比到定直线的距离动点到定点的距离比到定直线的距离5

18、.准线：准线：】【或caycax22第三课时第三课时思维回顾思维回顾问题问题2：怎么判断它们之间的位置关系？：怎么判断它们之间的位置关系？问题问题1：直线与圆的位置关系有哪几种？：直线与圆的位置关系有哪几种？drd00直线与圆相交直线与圆相交有两个公共点；有两个公共点； (2)=0 直线与圆相切直线与圆相切有且只有一个公共点；有且只有一个公共点； (3)0- (1)所以，方程（）有两个根，所以，方程（）有两个根，则原方程组有两组解。则原方程组有两组解。直线与椭圆的位置关系直线与椭圆的位置关系【例例】练习练习1.K为何值时为何值时,直线直线y=kx+2和曲线和曲线2x2+3y2=6有有两个公共点

19、两个公共点?有一个公共点有一个公共点?没有公共点没有公共点?练习练习2.无论无论k为何值为何值,直线直线y=kx+2和曲线和曲线交点情况满足交点情况满足( )A.没有公共点没有公共点 B.一个公共点一个公共点C.两个公共点两个公共点 D.有公共点有公共点22194xy D直线与椭圆的位置关系直线与椭圆的位置关系【练练】6k366k k -3366-k 0因为因为所以，方程（）有两个根，所以，方程（）有两个根，如果相交，那么相交所得的弦的如果相交，那么相交所得的弦的弦长弦长是多少？是多少？则原方程组有两组解则原方程组有两组解.- (1)由韦达定理由韦达定理51542121xxxx22221212

20、1212126|()()2()2 ()425ABxxyyxxxxx x 直线与椭圆的位置关系直线与椭圆的位置关系【练练】第四课时第四课时设直线与椭圆交于设直线与椭圆交于P1(x1,y1)，P2(x2,y2)两点，直线两点，直线P1P2的斜率为的斜率为k弦长公式：弦长公式：221|1|1|ABABABkxxyyk弦长公式弦长公式可推广到任意二次曲线可推广到任意二次曲线例例1：已知斜率为：已知斜率为1的直线的直线L过椭圆过椭圆 的右焦点，的右焦点，交椭圆于交椭圆于A，B两点，求弦两点，求弦AB之长之长222:4,3.:1,abc由椭解圆方程知( 3,0).F右焦点:3.lyx直线 方程为22314

21、yxxy258 380yxx消 得：1122( ,), (,)A x yB xy设12128 38,55xxxx22212121211()4ABkxxkxxxx85弦长公式弦长公式【例例】1422 yx弦长公式弦长公式【例例】例例3 ：已知椭圆：已知椭圆 过点过点P(2，1)引一弦，使弦在这点被引一弦，使弦在这点被 平分，求此弦所在直线的方程平分，求此弦所在直线的方程.解：解：韦达定理韦达定理斜率斜率韦达定理法：利用韦达定理及中点坐标公式来构造韦达定理法：利用韦达定理及中点坐标公式来构造中点弦问题中点弦问题例例 3 已知椭圆已知椭圆 过点过点P(2，1)引一弦，使弦在这点被引一弦，使弦在这点被

22、 平分，求此弦所在直线的方程平分，求此弦所在直线的方程.点差法：点差法：利用端点在曲线上，坐标满足方程，作差构造利用端点在曲线上，坐标满足方程，作差构造 出中点坐标和斜率出中点坐标和斜率点点作差作差中点弦问题中点弦问题点差法：点差法：利用端点在曲线上，坐标满足方程，作利用端点在曲线上，坐标满足方程，作差构造出中点坐标和斜率差构造出中点坐标和斜率112200( ,), (,),(,)A x yB xyABM xy设中点，0120122,2xxxyyy则有：1212AByykxx又2211221xyab2222221xyab两式相减得：2222221211()()0bxxayy1122( ,),

23、(,)A x yB xy在椭圆上，中点弦问题中点弦问题2222221211()()0bxxayy由2221122212yybxxa 即2111221211AByyxxbkxxayy 2020 xbay 直线和椭圆相交有关弦的中点问题，常用设而不求的思想方法 中点弦问题中点弦问题例例3：已知椭圆已知椭圆 过点过点P(2，1)引一弦，使弦在这点被引一弦，使弦在这点被 平分，求此弦所在直线的方程平分，求此弦所在直线的方程.所以所以 x2+4y2=(4-x)2+4(2-y)2，整理得，整理得x+2y-4=0从而从而A ,B在直线在直线x+2y-4=0上上而过而过A,B两点的直线有且只有一条两点的直线有

24、且只有一条解后反思：解后反思：中点弦问题求解关键在于充分利用中点弦问题求解关键在于充分利用“中点中点”这一这一 条件，灵活运用中点坐标公式及韦达定理。条件，灵活运用中点坐标公式及韦达定理。中点弦问题中点弦问题例例4、如图，已知椭圆、如图，已知椭圆 与直线与直线x+y-1=0交交于于A、B两点，两点， AB的中点的中点M与椭圆中心连线的与椭圆中心连线的斜率是斜率是 ，试求，试求a、b的值。的值。221axby2 2,AB 22oxyABM22110axbyxy 解:2)210yab xbxb 消 得:(2)(1)0bab b =4-4(abab1122( ,), (,)A x yB x y设12

25、1221,bbxxx xabab(,)baABMab ab中点22121 21()4ABkxxx x又MOakb222ba 2212 22 ()4bbabab12,33ab 练习练习：1、如果椭圆被、如果椭圆被 的弦被（的弦被（4，2）平分，那）平分，那 么这弦所在直线方程为（么这弦所在直线方程为（ ）A、x-2y=0 B、x+2y- 4=0 C、2x+3y-12=0 D、x+2y-8=02、y=kx+1与椭圆与椭圆 恰有公共点，则恰有公共点，则m的范围的范围（ ） A、（、（0，1） B、（、（0，5 ） C、 1，5）（5，+ ） D、（、（1，+ ） 3、过椭圆、过椭圆 x2+2y2=4

26、 的左焦点作倾斜角为的左焦点作倾斜角为300的直线，的直线， 则弦长则弦长 |AB|= _ , DC193622yx1522myx165练习练习： 4.已知椭圆已知椭圆5x2+9y2=45，椭圆的右焦点为椭圆的右焦点为F，(1)求过点求过点F且斜率为且斜率为1的直线被椭圆截得的弦长的直线被椭圆截得的弦长.(2)判断点判断点A(1,1)与椭圆的位置关系与椭圆的位置关系,并求以并求以A为中点为中点椭圆的弦所在的直线方程椭圆的弦所在的直线方程.22(1)195:xy解椭圆(2,0)F2lyx直线 ：2225945yxxy由2143690 xx得：1212189,714xxxx2212126 111(

27、)47kxxxx弦长练习：练习： 已知椭圆已知椭圆5x2+9y2=45，椭圆的右焦点为椭圆的右焦点为F，(1)求过点求过点F且斜率为且斜率为1的直线被椭圆截得的弦长的直线被椭圆截得的弦长.(2)判断点判断点A(1,1)与椭圆的位置关系与椭圆的位置关系,并求以并求以A为中点为中点椭圆的弦所在的直线方程椭圆的弦所在的直线方程.22:(2)5 19 145 解(1,1)A在椭圆内。1122( ,),(,)AMNM x yN x y设以 为中点的弦为且12122,2xxyy22115945xy22225945xy22221212590 xxyy两式相减得： （） （）1212121259MNyyxxk

28、xxyy 59 51(1)9AMNyx 以 为中点的弦为方程为:59140 xy3、弦中点问题弦中点问题的两种处理方法：的两种处理方法： （1）联立方程组，消去一个未知数，利用韦达定理；）联立方程组，消去一个未知数，利用韦达定理； （2）设两端点坐标，代入曲线方程相减可求出弦的斜率。）设两端点坐标，代入曲线方程相减可求出弦的斜率。 1、直线与椭圆的三种位置关系及判断方法；、直线与椭圆的三种位置关系及判断方法；2、弦长的计算方法：、弦长的计算方法：弦长公式：弦长公式： |AB|= = （适用于任何曲线）（适用于任何曲线） 21212411yyyyk ）（21221241xxxxk ）（小小 结结

29、解方程组消去其中一元得一元二次型方程解方程组消去其中一元得一元二次型方程 0 相交相交巩固练习巩固练习课外作课外作业！业！巩固练习巩固练习课外作课外作业！业！12( 2,0),(2,0):FF椭圆的焦点为解200(2,0)60(,)FxyF xy设关于直线的对称点0000( 1)1226022yxxy 由0064xy解得：(6,4)F124 5FFa2 5a2c 4b 2212016所求椭圆方程为：xy课外作课外作业！业！122yxbyxm 存在直线与椭圆交与两点，且两交点的中点在直线分析：上。12AByxb 则两点的直线可设为：:2,yxmA B假设椭圆上存在关于直线对称的两点解课外作课外作

30、业！业！1122( ,), (,)A x yB xy设两对称点121213()222yyxxbb 3,)224bbAByxm中点(在直线上3242bbm4bm 242m 1122m2212143yxbxy 由22:30yxbxb消 得2224(3)3120bbb 22b 12xxb课外作课外作业！业！第五课时第五课时复习与应复习与应用！用！1. 1.基本量基本量: : a a、b b、c c、e e几何意义：几何意义：a a- -半长轴、半长轴、b b- -半短轴、半短轴、c c- -半焦距，半焦距，e e- -离心率；离心率；相互关系：相互关系： 椭圆中的基本元素椭圆中的基本元素2. 2.基

31、本点：基本点：顶点、焦点、中心顶点、焦点、中心3. 3.基本线基本线: : 对称轴对称轴（共两条线）（共两条线）222cabcea焦点总在长轴上焦点总在长轴上!4.椭圆第二定义：椭圆第二定义：动点到定点的距离比到定直线的距离动点到定点的距离比到定直线的距离5.准线：准线：】【或caycax223、弦中点问题弦中点问题的两种处理方法：的两种处理方法： （1）联立方程组，消去一个未知数，利用韦达定理；）联立方程组，消去一个未知数，利用韦达定理； （2）设两端点坐标，代入曲线方程相减可求出弦的斜率。）设两端点坐标，代入曲线方程相减可求出弦的斜率。 1、直线与椭圆的三种位置关系及判断方法；、直线与椭圆

32、的三种位置关系及判断方法；2、弦长的计算方法：、弦长的计算方法：弦长公式：弦长公式： |AB|= = （适用于任何曲线）（适用于任何曲线） 21212411yyyyk ）（21221241xxxxk ）（复习巩固复习巩固解方程组消去其中一元得一元二次型方程解方程组消去其中一元得一元二次型方程 0 相交相交222212211101,| |,.(.)xyababF FFP QPFPQPFPQ已已知知是是椭椭圆圆的的两两个个焦焦点点一一 求求椭椭圆圆的的离离心心率率过过的的直直线线交交椭椭圆圆于于两两点点且且求求椭椭圆圆的的离离心心率率例例xyF2O1F1PQ12121111221212122221

33、26322212242 2222226;:|,| |,| | |,:()|,:|,|():ePFPFaQFQFaPFPQPFPQQFPFQFPQPFPFPFPFPFaaaPFPFcPFPFceaL LL LL L解解 由由已已知知可可得得由由且且知知代代入入得得由由 解解得得由由解解得得答答案案322122212110(),.:xyabFabFFF椭椭圆圆的的两两个个焦焦点点为为以以为为边边作作正正三三角角形形 若若椭椭圆圆正正好好平平分分正正三三角角形形的的两两边边 求求椭椭练练圆圆的的离离心心率率习习1222233231|,|,|,:,:FFc BFcBFcccae 如如图图, ,由由椭椭

34、圆圆的的定定义义得得解解2212222102(),.:,xyabFabFPOPFe椭椭圆圆的的两两个个焦焦点点为为点点 在在椭椭圆圆上上 且且使使为为正正三三角角形形 求求练练习习1201290121331| | |,:,OFOFOPcF PFcae 解解 如如图图, ,设设则则22122212310(),.:xyabFabF A BPPFxPFABe椭椭圆圆的的两两个个焦焦点点为为是是椭椭圆圆的的顶顶点点是是椭椭圆圆上上一一点点 且且轴轴求求练练习习21122122112222222225445|,|,|,|,/ /,|,|:bPFFFcaOAb OBaPFABPFFAOBPFOAbbbcF

35、FOBacabcacceQ:解解 如如图图, ,2222010490(),:,.xyabAFabBABFe椭椭圆圆中中是是左左顶顶点点是是右右焦焦点点是是短短轴轴的的一一个个顶顶点点求求练练习习222222222220151522|,|,|,|,|:()():AOa OFcBFaABabAFacABBFAFabaacacacee 如如图图, ,由由得得或或解解即即舍舍去去22122011106025(),|,.:xyabFabA BAFF Be椭椭圆圆中中 过过左左焦焦点点且且倾倾斜斜角角为为的的直直线线交交椭椭圆圆于于两两点点 若若求求练练习习112212122220222022222222

36、2222 22602222120222212223|,|,|,|,()()()cos()()cos():()()BFmAFmAFam BFamAFFBFFammcmcammcmcacmacacmacaceac如如图图, ,设设则则在在和和中中由由余余弦弦定定理理 得得即即两两式式相相解解除除得得221222121211056(),:.xyabPFFabPFFPF Fe 椭椭圆圆中中是是以以为为直直径径的的圆圆与与椭椭圆圆的的一一个个交交点点 且且求求练练习习12121212121212121212121212121200112000227515907515:|sinsinsin|sinsins

37、in|sin|sinsin,sinn:sisinFFF PF PF PFFF PPFFFFF PF PF PFFF PPFFFFF PFcF PF PFF PPFFaPFFFF Pe Q如如图图, ,由由正正弦弦定定理理得得即即即即解解6322122212120.()xyabFabFPPFPF设设椭椭圆圆的的两两个个焦焦点点为为 ，若若在在椭椭圆圆上上存存在在一一点点 ，使使二二. .，求求求求椭椭圆圆的的离离心心率率的的取取值值范范椭椭圆圆的的离离心心率率围围例例的的取取值值范范围围。12121212122222222222212220090009000,( , )()()(),:,FcF

38、cF Pxcy F PxcyF PFF PF PF P F Pxcxcyxyca ca bxF PFxaabP x yuuu ruuuruuu ruuuruuu r uuur（， ）， （ ， ）则则， ，由由，知知，则则，即即得得与与椭椭圆圆方方程程联联立立 解解得得, ,由由利利用用曲曲线线解解法法椭椭圆圆范范的的围围及及知知范范1 1又又即即围围设设22222222222222221122,a ca bacbcaccaabcceeeaa可可得得，即即，且且从从而而得得，且且所所以以， ）22122212021().xyabFabFPPFPF设设椭椭圆圆的的两两个个焦焦点点为为 ，若若在在

39、椭椭圆圆上上存存在在一一点点 ，使使，求求椭椭圆圆的的离离心心率率的的例例取取值值范范围围。1222212121222221212221222212222222224904222012482202| |()|()(): PFPFaPFPFPFPFaF PFPFPFFFcPFPFacPFPFuauaccaaceea g又又由由，知知则则可可得得这这样样，与与是是方方解解利利用用二二次次方方程程有有实实根根由由椭椭程程的的两两个个实实根根，的的定定法法义义因因此此圆圆22122212021().xyabFabFPPFPF设设椭椭圆圆的的两两个个焦焦点点为为 ，若若在在椭椭圆圆上上存存在在一一点点

40、，使使，求求椭椭圆圆的的离离心心率率的的例例取取值值范范围围。12211212121212129022111222222090045232|sinsinsinsinsin|sinsinsincoscos|,:|PFFPF FPFPFFFPFPFFFPFPFaFFccea记记，由由正正弦弦利利用用三三角角函函数数的的有有界界定定理理有有又又，则则有有而而由由解解知知法法性性12212cos.e从从而而可可得得22122212021().xyabFabFPPFPF设设椭椭圆圆的的两两个个焦焦点点为为 ，若若在在椭椭圆圆上上存存在在一一点点 ，使使，求求椭椭圆圆的的离离心心率率的的例例取取值值范范围

41、围。122221212222222222222222222222224220221402|:|PFaexPFaexPFPFFFacxe xacxe xccaae xcxeP xyxaxacaaee 由由焦焦半半径径公公式式得得: :，又又由由，所所以以有有即即，又又点点（ ， ）在在利利用用焦焦半半椭椭圆圆上上，且且，则则知知，即即, ,得得解解径径，法法）22122212021().xyabFabFPPFPF设设椭椭圆圆的的两两个个焦焦点点为为 ，若若在在椭椭圆圆上上存存在在一一点点 ，使使，求求椭椭圆圆的的离离心心率率的的例例取取值值范范围围。12222121222221212222422

42、28121252:|,| |(| )|:,aPFPFaPFPFPFPFPFPFFFccea由由椭椭圆圆定定义义平平方方后后得得得得所所以以利利用用基基本本不不有有解解法法式式，等等）22122212021().xyabFabFPPFPF设设椭椭圆圆的的两两个个焦焦点点为为 ，若若在在椭椭圆圆上上存存在在一一点点 ，使使，求求椭椭圆圆的的离离心心率率的的例例取取值值范范围围。121222229026212,|,:F PFPFFcPPcbcbace由由知知点点 在在以以为为直直径径的的圆圆上上又又点点 在在椭椭圆圆上上可可知知该该圆圆与与椭椭圆圆有有公公共共点点故故有有由由此此可可利利用用图图形形

43、几几何何得得特特，征征解解法法22221212210412.(),cos.xyababF FPF PFe 已已知知椭椭圆圆方方程程为为两两焦焦点点为为点点例例为为椭椭圆圆上上一一点点 设设= .= .求求证证: :222221112121212121222222222212122422442222111122222 (),cos.:PFPFFFPFPFPF PFcF PFPF PFPF PFacacacePF PFaPFPF证证在在中中明明2201222220122222012221060101201120930(),.(),:( )( )( ),.(),.xyabPF PFeabxyabPF

44、 PFeabxyabPF PFeab椭椭圆圆中中是是椭椭圆圆上上一一点点, ,且且求求 的的范范围围椭椭圆圆中中是是椭椭圆圆上上一一点点, ,且且求求 的的范范围围椭椭圆圆中中是是椭椭圆圆上上一一点点, ,且且求求习习的的范范围围练练22221212051(),.xyababF FPF PFP已已知知椭椭圆圆方方程程为为两两焦焦点点为为点点 为为椭椭圆圆上上一一点点 若若最最大大 求求证证: :点点为为短短轴轴的的端端点点例例22222111212121212122222222221212122422442222111122222:(),cos.,PFPFFFPFPFPF PFcF PFPF

45、PFPF PFacacacePF PFaPFPFPFPFP 在在中中当当且且仅仅当当: :即即 在在椭椭圆圆的的短短轴轴的的端端点点时时,cos,cos 取取最最小小值值. .由由余余弦弦函函数数的的单单调调性性可可知知, ,此此时时证证法法1 1取取最最大大值值. .22221212051(),.xyababF FPF PFP已已知知椭椭圆圆方方程程为为两两焦焦点点为为点点 为为椭椭圆圆上上一一点点 若若最最大大 求求证证: :点点为为短短轴轴的的端端点点例例1122222111212121212122221222222200242244411222210:(,),(),cos()(),(

46、, ),cos,ooooooooP xyPFaexPFaexPFPFFFPFPFPF PFcF PFPF PFPF PFacbPF PFaexaexbae xaxaxax 设设由由焦焦半半径径公公式式可可知知在在中中当当时时为为减减数数法法当当证证函函120,cos,.PF PF 时时取取最最小小值值即即当当点点 在在椭椭圆圆的的短短轴轴的的端端点点时时最最大大121212012121 001216120(, ),( , ),|.( );( ),an.t.FFPFFPFPFPPFFFPF已已知知椭椭圆圆的的焦焦点点是是为为椭椭圆圆上上一一点点 且且是是与与的的等等差差中中项项求求椭椭圆圆的的方

47、方程程若若点点 在在第第三三象象限限 且且 求求例例2201221121143260111802212060360253 132335 353152511125( );( ),sin()sin,sinsin()sin(): sin(cos ),sin,tan,tantancos:ooooxyF PFPF FeF PF设设则则则则整整理理明明得得故故证证222201210760(),:,.xyabPabF PFe椭椭圆圆中中是是椭椭圆圆上上一一点点且且练练, ,求求 的的范范围围习习12211212120012060120112302112,sinsinsinsinsinsin(),si ():

48、nFF PPF FF PFeFF PPFFe 解解法法1 1 如如图图 设设则则222201210760(),:,.xyabPabF PFe椭椭圆圆中中是是椭椭圆圆上上一一点点且且练练, ,求求 的的范范围围习习12222012122121212221222122242603244333221412,| |cos(|)| |,| |,:PFFcPFPFPFPFPFPFPFPFPFPFaacPFPFPFPFaace如如图图 在在中中由由余余理理即即解解定定法法弦弦有有ggQg2212221080(),:.xyabMF MFabMeuuuu r uuuu rg椭椭圆圆中中 满满足足的的点点总总在在

49、椭椭圆圆内内 求求练练的的范范围围习习1212222202202,:MF MFFFcbabcce uuuu r uuuu rQg如如图图以以为为直直径径作作圆圆由由题题意意可可知知此此圆圆在在椭椭圆圆内内部部解解2222101931(),),.:( ,xyababFA BOAOBaeuuruuu rr椭椭圆圆中中 斜斜率率为为 且且过过右右焦焦点点 的的直直线线交交椭椭圆圆于于两两点点与与共共线线 求求练练习习11222222222222222222212122222221212221212202222316333,(,),(,),(),(,)( ,),()(:)A xyB xyb xa ya

50、 byxcabxa cxa ca ba ca cb cxxyycabababOAOBxxyyaxxyyabeuuruuu rrQ如如图图 设设与与解解由由共共线线法法1 1221222121222212122222121212122222211313132633,(,)( ,),()()(:)ABNONOAOBxyyyxxbabxxayyxyabOAOBxxyyaxxyybabea uuu ruuruuu rguuruuu rrQg如如图图 设设的的中中点点为为则则由由两两式式相相减减得得: :与与共共线线解解法法2222101931(),),.:( ,xyababFA BOAOBaeuuru

51、uu rr椭椭圆圆中中 斜斜率率为为 且且过过右右焦焦点点 的的直直线线交交椭椭圆圆于于两两点点与与共共线线 求求练练习习22222111010:(),.xyabFabM NFMFe以以椭椭圆圆的的右右焦焦点点为为圆圆心心作作圆圆 使使该该圆圆过过椭椭圆圆的的中中心心 并并与与椭椭圆圆交交于于两两点点 椭椭圆圆的的左左焦焦点点为为直直线线与与圆圆相相切切 求求练练习习211212222222231,|, |,|):(MFcMFacRt MFFFFcaccce如如图图由由在在中中解解已已知知法法22221011(),.:,xyabA BabC De椭椭圆圆的的四四个个顶顶点点为为若若四四边边形形

52、的的内内切切圆圆恰恰好好过过椭椭圆圆的的焦焦点点 求求练练习习2222512,:cRt AOBabr abc abe如如图图内内切切圆圆的的圆圆心心为为原原点点半半径径为为且且等等于于斜斜边边上上的的高高由由面面积积关关系系可可得得解解法法221222121211120(),:,.xyabAabA B B FABB FTOTMOTe椭椭圆圆的的四四个个顶顶点点为为为为其其右右焦焦点点 直直线线与与直直线线交交于于线线段段与与椭椭圆圆的的交交点点恰恰为为线线段段的的中中点点 求求练练习习1212222211221410302 75,:,:,(),(),()():(xyABabxyB Fcbacb

53、 acTacacacb acMacaccacacaccacae如如图图 直直线线的的方方程程为为直直线线的的方方程程为为联联立立得得则则在在椭椭圆圆解解上上2222221413421143493611.,.:,.,.x yxyxyxyA BABxyM已已知知满满足足方方程程求求的的 最最大大值值已已知知斜斜率率为为 的的直直线线过过椭椭圆圆的的右右焦焦 点点 且且与与椭椭圆圆交交于于两两点点 求求弦弦的的长长过过椭椭圆圆内内一一点点M M引引一一条条弦弦 使使弦弦被被点点平平分分 求求这这条条弦弦所所在在的的直直练练线线方方程程习习.七七 椭椭圆圆中中的的综综合合问问题题311212311,.

54、( );( ),(),.,.,:.CxCCykxmCA BABPlT已已知知椭椭圆圆 的的中中心心在在原原点点 焦焦点点在在 轴轴上上椭椭圆圆 上上的的点点到到焦焦点点的的距距离离的的最最大大值值为为最最小小值值为为求求椭椭圆圆 的的方方程程若若直直线线与与椭椭圆圆 交交于于两两点点不不同同于于左左右右顶顶点点 且且以以为为直直径径的的圆圆恰恰好好过过椭椭圆圆的的右右顶顶点点求求证证 直直线线 过过定定点点 试试求求出出定定点点例例 作作业业的的坐坐标标本本222222222221122121222113121314323484120841234342 0( ),:.,:( ),:()(,),

55、(,),( , ),:xyacacacbabxyykxmkxkm xmkmmA x yB xyxxx xkkMMA MB 设设椭椭圆圆方方程程为为由由题题设设椭椭圆圆方方程程为为将将代代入入椭椭圆圆方方程程 整整理理得得设设则则设设右右顶顶点点为为由由题题设设可可知知解解1122221212220220124071640227222077,(,) (,)()()():,:()()(),( , )xyxykx xkmxxmmkmkmkmkyk xyk x 即即将将, ,代代入入并并整整理理得得解解得得或或所所以以直直线线方方程程为为或或舍舍去去 定定点点为为2213622012,.( );( )

56、,|,.xyA BFPxPAPFPMABMAPMBMd点点分分别别是是椭椭圆圆长长轴轴的的左左 右右端端点点点点 是是椭椭圆圆的的右右焦焦点点 点点 在在椭椭圆圆上上 且且位位于于 轴轴的的上上方方求求点点 的的坐坐标标设设是是椭椭圆圆长长轴轴上上的的一一点点到到直直线线的的距距离离等等于于求求椭椭圆圆上上的的点点到到点点的的距距离离 的的最最小小值值例例222216 04 0641329180636202640353 5033222 223600( )(, ),( , ),( , ),(, ),(, ),()(),( ):-,(, ),|:AFP x yAPxy FPxyxyxxxxxxyyxyPAPxyMm