高等数学-第七版-课件-16-1平面点集与多元函数

1、一、平面点集二、R2上的完备性定理 三、二元函数 多元函数是一元函数的推广, 它保留着一元函数的许多性质, 同时又因自变量的增多而产生了许多新的性质, 读者对这些新性质尤其要加以注意. 下面着重讨论二元函数, 由二元函数可以方便地推广到一般的多元函数中去. 1 平面点集与 多元函数数学分析 第十六章多元函数的极限与连续*点击以上标题可直接前往对应内容四、 n元函数 数学分析 第十六章 多元函数的极限与连续高等教育出版社1.平面点集的一些基本概念平面点集的一些基本概念坐标平面上满足某种条件坐标平面上满足某种条件 P 的点的集合的点的集合, 称为平称为平 ( ,) ( ,).Ex yx yP满满足

2、足条条件件对对 与平面上所有点之间建立起了一一对应与平面上所有点之间建立起了一一对应.( , )x y在平面上确立了直角坐标系之后在平面上确立了直角坐标系之后, 所有有序实数所有有序实数 义域是坐标平面上的点集义域是坐标平面上的点集, 之前，有必要先了解平面点集的一些基本概念之前，有必要先了解平面点集的一些基本概念. 面点集面点集, 1平面点集与多元函数平面点集R2上的完备性定理 二元函数 n元函数 平面点集 记作记作后退 前进 目录 退出由于二元函数的定由于二元函数的定因此在讨论二元函数因此在讨论二元函数数学分析 第十六章 多元函数的极限与连续高等教育出版社例如：例如： (i) 全全平平面面

3、: : 2R( ,)|,.(1)x yxy222(ii)( ,).Cx yxyr圆圆: :(2)(iii)( ,),Sx yaxb cyd矩矩形形: :(3)00(iv)(,): A xy 点点的的邻邻域域00( ,)|,|()x yxxyy 与与方方形形 . . , , .Sa bc d也也常常记记作作：22200( ,) ()()()x yxxyy 圆圆形形1平面点集与多元函数平面点集R2上的完备性定理 二元函数 n元函数 数学分析 第十六章 多元函数的极限与连续高等教育出版社CxyOr(a) 圆圆 C SxyOabcd(b)矩形矩形 S A xyO(a) 圆邻域圆邻域 A xyO(b)

4、方邻域方邻域 1平面点集与多元函数平面点集R2上的完备性定理 二元函数 n元函数 数学分析 第十六章 多元函数的极限与连续高等教育出版社由于点由于点 A 的任意圆邻域可以包含在点的任意圆邻域可以包含在点 A 的某一的某一因此通常用因此通常用“点点 A 的的 邻邻 并用记号并用记号 或或 来表示来表示. ( ; )U A ( )U A点点 A 的的空心邻域空心邻域是指是指:22200( ,)0()()()x yxxyy 圆圆0000( ,) |,|,( , )(,) (),x yxxyyx yxy 方方或或并用记号并用记号 ()( ;)( )UAUA 或或 来表示来表示. 域域” 或或 “点点

5、A 的邻域的邻域” 泛指这两种形状的邻域泛指这两种形状的邻域, 1平面点集与多元函数平面点集R2上的完备性定理 二元函数 n元函数 方邻域之内方邻域之内(反之亦然反之亦然), 数学分析 第十六章 多元函数的极限与连续高等教育出版社00( ,) 0|, 0|.x yxxyy 注意注意: 不要把上面的空心方邻域错写成不要把上面的空心方邻域错写成 : ( 请指请指出出2.点和点集之间的关系点和点集之间的关系以下三种关系之一以下三种关系之一 : 2RA 2RE 任意一点任意一点 与任意一个点集与任意一个点集 之间必有之间必有 是是 E 的内点的内点; 由由 E 的全体内点所构成的集合称为的全体内点所构

6、成的集合称为(i) 内点内点若若0,( ; ),U AE使使则称点则称点 A E 的的内部内部, 记作记作 int E. 错在何处错在何处? )1平面点集与多元函数平面点集R2上的完备性定理 二元函数 n元函数 数学分析 第十六章 多元函数的极限与连续高等教育出版社(ii) 外点外点若若 0,( ; ),U AE 使使则称则称 点点 A 是是 E 的外点；的外点；c( ;)( ;)U AEU AE 且且0, (iii) 界点界点 若若 恒有恒有 c2R EE ( 其中其中 ), 则称点则称点 A 是是 E 的界点的界点; .E 的全体界点所构成的集合称为的全体界点所构成的集合称为 E 的的边界

7、边界; 记作记作注注 E 的内点必定属于的内点必定属于 E; E 的外点必定不属于的外点必定不属于 E; E 的界点可能属于的界点可能属于 E, 也可能不属于也可能不属于 E. 并请注意并请注意: 称为称为 E 的的外部外部. 1平面点集与多元函数平面点集R2上的完备性定理 二元函数 n元函数 由由 E 的全体外点所构成的集合的全体外点所构成的集合由由 E EE cE只有当只有当时时, E 的外部与的外部与 才是两才是两个相同的集合个相同的集合. 数学分析 第十六章 多元函数的极限与连续高等教育出版社图图 16 3xyO1222( ,)14 . (4)Dx yxy例例1 设平面点集（见图设平面

8、点集（见图 16 3）满足满足 的一切点也的一切点也224xy221xy 满足满足 的一切点是的一切点是 D 的界点的界点, 它们都属它们都属2214xy满足满足 的一切点都的一切点都是是 D 的界点的界点, 但它们都不属于但它们都不属于 D.1平面点集与多元函数平面点集R2上的完备性定理 二元函数 n元函数 是是 D 的内点的内点; 于于D; 数学分析 第十六章 多元函数的极限与连续高等教育出版社点点 A 与点集与点集 E 的上述关系是按的上述关系是按 “内内-外外” 来区分的来区分的. 此外，还可按此外，还可按 “疏疏-密密” 来区分，来区分，是否密集着是否密集着 E 中无穷多个点而构成另

9、一类关系中无穷多个点而构成另一类关系: (i) 聚点聚点 若在点若在点 A 的任何空心邻域的任何空心邻域()UA内都内都 含有含有 E 中的点，中的点，注注1 聚点本身可能属于聚点本身可能属于E，也可能不属于，也可能不属于E. 注注2 聚点的上述定义等同于聚点的上述定义等同于: “在点在点 A 的任何邻域的任何邻域 ()U A内都含有内都含有 E 中的无穷多个点中的无穷多个点”. 1平面点集与多元函数平面点集R2上的完备性定理 二元函数 n元函数 即在点即在点 A 的近旁的近旁则称点则称点 A 是点集是点集 E 的聚点的聚点数学分析 第十六章 多元函数的极限与连续高等教育出版社d();EE 或

10、或作作 dEE 又称又称 为为 E 的的闭包闭包, 记作记作 .E例如例如, 对于例对于例1 中的点集中的点集 D, d22( , ) 14.Dx yxyD其中满足其中满足 224xy 的那些聚点不属于的那些聚点不属于D, 而其余而其余 所有聚点都属于所有聚点都属于 D.(ii) 孤立点孤立点 若点若点 AE , 但不是但不是 E 的聚点（即的聚点（即 有有某某 0, 使得使得 ( ;),UAE 则称点则称点 A 是是 E 的孤立点的孤立点. 注注3 E 的全体聚点所构成的集合称为的全体聚点所构成的集合称为 E 的导集的导集, 记记 1平面点集与多元函数平面点集R2上的完备性定理 二元函数 n

11、元函数 它的导集与闭包同为它的导集与闭包同为数学分析 第十六章 多元函数的极限与连续高等教育出版社为聚点为聚点; 例例2 设点集设点集 ( , ),.Ep qp q 为任意整数为任意整数 显然显然, E 中所有点中所有点 ( p, q ) 全为全为 E 的孤立点的孤立点; 并有并有 d, int,.EEEE 3. 一些重要的平面点集一些重要的平面点集 根据点集所属的点所具有的特殊性质根据点集所属的点所具有的特殊性质, 可来定义一可来定义一 些重要的点集些重要的点集. 注注 孤立点必为界点孤立点必为界点; 内点和不是孤立点的界点必内点和不是孤立点的界点必 1平面点集与多元函数平面点集R2上的完备

12、性定理 二元函数 n元函数 既非聚点既非聚点, 又非孤立点又非孤立点, 则必为外点则必为外点. 数学分析 第十六章 多元函数的极限与连续高等教育出版社E 为闭集为闭集. 在前面列举的点集中在前面列举的点集中, 闭集闭集若若 E 的所有聚点都属于的所有聚点都属于 E (),EE 即即则则称称 E 为闭集为闭集. 这时也称这时也称 222( ,)Cx yxyr是是开开集集，( ,),Sx yaxb cyd是是闭闭集集2R( ,)|,x yxy 22( ,)14Dx yxy既既不不是是开开集集又又不不是是闭闭集集. .开集开集 若若 E 所属的每一点都是所属的每一点都是 E 的内点的内点( 即即E

13、= int E ), 则称则称 E 为开集为开集. 1平面点集与多元函数平面点集R2上的完备性定理 二元函数 n元函数 d(),E 即即若若 E 没有聚点没有聚点既既是是开开集集又又是是闭闭集集，数学分析 第十六章 多元函数的极限与连续高等教育出版社则称则称 E 为开域为开域. 闭域闭域 开域连同其边界所成的集合称为闭域开域连同其边界所成的集合称为闭域. 区域区域 开域、闭域、开域连同其一部分界点所开域、闭域、开域连同其一部分界点所成的集合成的集合, 统称为区域统称为区域. 不难证明不难证明: 闭域必为闭集闭域必为闭集; 而闭集不一定为闭域而闭集不一定为闭域. 开域开域若非空开集若非空开集 E

14、 具有连通性具有连通性, 点之间都可用一条完全含于点之间都可用一条完全含于 E 的有限折线相连接的有限折线相连接, 在平面点集中在平面点集中, 只有只有 R2 与与 是既开又闭的是既开又闭的. 1平面点集与多元函数平面点集R2上的完备性定理 二元函数 n元函数 即即 E 中任意两中任意两 简单地说简单地说, 开域就是非空连通开集开域就是非空连通开集.数学分析 第十六章 多元函数的极限与连续高等教育出版社它是它是 I、 III 两象限之并集两象限之并集. 不具有连通性不具有连通性, 0,r 有界点集有界点集对于平面点集对于平面点集 E, 若若使得使得 ( ; ),EU O r 其中其中 O 是坐

15、标原点是坐标原点(也可以是其他固定点也可以是其他固定点), 为有界点集为有界点集. 前面前面 (2), (3), (4) 都是有界集都是有界集, (1) 与与 (5) 是无界集是无界集. 是闭域是闭域, ( ,)|0 ,(5)Gx yxy上页诸例中上页诸例中, C 是开域是开域, S 是闭域是闭域, R2 既是开域又既是开域又1平面点集与多元函数平面点集R2上的完备性定理 二元函数 n元函数 又如又如虽然它是开集虽然它是开集, 但因但因否则就为无界点集否则就为无界点集 (请具体写出定义请具体写出定义). D 是区域是区域 (既不是开域又不是闭域既不是开域又不是闭域). 所以它既不是开域所以它既

16、不是开域, 也不是区域也不是区域. 则称则称 E 数学分析 第十六章 多元函数的极限与连续高等教育出版社此外，点集的有界性还可以用点集的直径来反映此外，点集的有界性还可以用点集的直径来反映. 所谓点集所谓点集 E 的的直径直径, 就是就是 1212,()sup(,),PPEd EP P 其中其中(P1, P2) 是是 P1 (x1, y1) 与与 P2 (x2, y2)之间的距之间的距 离离, 即即 22121212(,)()() .P Pxxyy 于是于是, 当且仅当当且仅当 d(E) 为有限值时为有限值时, E为有界点集为有界点集. E 为有界点集的另一等价说法是为有界点集的另一等价说法是

17、: , ,.a bc dE 1平面点集与多元函数平面点集R2上的完备性定理 二元函数 n元函数 存在矩形区域存在矩形区域 数学分析 第十六章 多元函数的极限与连续高等教育出版社例例3 证明证明: 对任何对任何2R ,S S 恒为闭集恒为闭集. 证证 如图如图16 4 所示所示, S 为为的任一聚点，的任一聚点，（即（即 亦为亦为S0 xS 的界点）的界点）. 0 x为此为此0, 由聚点定义，由聚点定义，0(;).yUxS SS 0 x0(; )Ux ( ; )U y y图图 16 根据距离的定义根据距离的定义, 不难证明如下三角形不等式不难证明如下三角形不等式: 121323(,)(,)(,)

18、.P PP PPP 1平面点集与多元函数平面点集R2上的完备性定理 二元函数 n元函数 0 x设设欲证欲证存在存在数学分析 第十六章 多元函数的极限与连续高等教育出版社的点的点. 内既有内既有SS( ;)U y 的点的点, 又有非又有非 S0 x0,xS 为为的界点的界点, 即即也就证也就证得得 S 为闭集为闭集 注注 类似地可以证明类似地可以证明: 对任何点集对任何点集2dR ,SS 导集导集 亦恒为闭集亦恒为闭集. ( 留作习题留作习题 ) S0(; )U x 内既有内既有的点的点, 又有非又有非 S 的点的点. y0( ;)(; ),U yU x 再由再由为界点的定义为界点的定义, 在在

19、 1平面点集与多元函数平面点集R2上的完备性定理 二元函数 n元函数 由此推知由此推知在在 的任意性的任意性, 所以所以, 由由 SS 0 x0(; )Ux ( ; )U y y图图 16 数学分析 第十六章 多元函数的极限与连续高等教育出版社证证 下面按循环流程来分别作出证明下面按循环流程来分别作出证明. dEEE 已知已知为闭集为闭集( 即即 ), 欲证欲证E.EEE ,pE pEE为为此此或或是是的的聚聚点点 或或是是的的孤孤立立点点. . dd,pEEEpE 若若， 则则由由得得；EE从从而而，E于于；dccint()EEEEEEEE 1平面点集与多元函数平面点集R2上的完备性定理 二

20、元函数 n元函数 反之显然有反之显然有 .EEE 综合起来综合起来, 便证得便证得 int.EEE 而而孤孤立立点点必必属属2R .E 例例4 设设 试证试证 E 为闭集的充要条件是：为闭集的充要条件是： cint().cEEEEE 或或.EEE 故故 数学分析 第十六章 多元函数的极限与连续高等教育出版社EEE ，cint().cEE 已知已知 欲证欲证 为此为此 c,pEpE 则则外点外点, ,0,( ; ).U pE 按按定定义义使使 c( ; ),U pE ccccint().int().EEEE 有有这这就就证证得得反之显然反之显然 ccdint(),.EEEEE 已已知知欲欲证证

21、c(,pEpE据条件可证若不然从而由据条件可证若不然从而由d,E c 0,( ; ),U pE 故故使使1平面点集与多元函数平面点集R2上的完备性定理 二元函数 n元函数 ),pE与与 为为 的的聚聚点点相相矛矛盾盾dd.EEEEE 故故这这就就证证得得 从而从而 cint(),pE 条条件件推推知知,EEpE 而而由由故故必必为为的的ccc,int().pEEE 故故是是的的内内点点 即即p 为为此此数学分析 第十六章 多元函数的极限与连续高等教育出版社注注 此例指出了如下两个重要结论此例指出了如下两个重要结论: (i) 闭集也可用闭集也可用“EEE ”来定义来定义 ( 只是使用只是使用 起

22、来一般不如起来一般不如“dEEE ”方便方便, 有许多便于应用的性质有许多便于应用的性质 )(ii) 闭集与开集具有对偶性质闭集与开集具有对偶性质集集; 过讨论过讨论 来认识来认识 E. cE1平面点集与多元函数平面点集R2上的完备性定理 二元函数 n元函数 利用此性质利用此性质, 有时可以通有时可以通 开集的余集为闭集开集的余集为闭集. 闭集的余集为开闭集的余集为开 因为有关聚点因为有关聚点 数学分析 第十六章 多元函数的极限与连续高等教育出版社例例5 以下两种说法在一般情形下为什么是以下两种说法在一般情形下为什么是错错的的? (i) 既然说开域是既然说开域是“非空连通开集非空连通开集”，那

23、么闭域就是，那么闭域就是 “非空连通闭集非空连通闭集”；D(ii) 要判别一个点集要判别一个点集是否是闭域是否是闭域, 只要看其去除只要看其去除 边界后所得的是否为一开域边界后所得的是否为一开域, 即即 DDD“若若为为开开域域, ,则则必必为为闭闭域域” . . 答答 (i) 例如取例如取( ,)|0 ,Sx yxy 这是一个非空连这是一个非空连 ),SGG 坐标轴坐标轴) 的并集的并集 (即即从而从而 G 不是不是开域开域, 但因它是但因它是( ,)|0Gx yxy与其边界与其边界 (二二1平面点集与多元函数平面点集R2上的完备性定理 二元函数 n元函数 故故 S 不是闭域不是闭域 (不符

24、合闭域的定义不符合闭域的定义). 通闭集通闭集. 数学分析 第十六章 多元函数的极限与连续高等教育出版社E 为一开域为一开域, 据定义据定义 F 则为闭域；则为闭域；,DEEF D故故不不是是闭闭域域，1平面点集与多元函数平面点集R2上的完备性定理 二元函数 n元函数 (a)中的点集为中的点集为 D; D(a) .FEE (c) 中的点集为中的点集为 F(c)(ii) 如图所示如图所示, E(b) (b)中的点中的点集为集为 ;EDD 易见易见 然而然而().DDD 从从而而与与不不一一定定相相同同数学分析 第十六章 多元函数的极限与连续高等教育出版社 定义11. 平面点列的收敛性定义及柯西准

25、则平面点列的收敛性定义及柯西准则系完备性的几个等价定理系完备性的几个等价定理, 现在把这些定理推广到现在把这些定理推广到 R2, 它们同样是它们同样是 二元函数极限理论的基础二元函数极限理论的基础. 2RnP 20RP 设设 为一列点为一列点, 为一固定点为一固定点. 00,N ,(; ),nNnNPU P 若若使使当当时时 则称点列则称点列 Pn 收敛于点收敛于点 P0 , 记作记作 1平面点集与多元函数平面点集R2上的完备性定理 二元函数 n元函数 R2上的完备性定理 论的基础论的基础. 00lim().nnnPPPPn 或或反映实数反映实数 构成了一元函数极限理构成了一元函数极限理 数学

26、分析 第十六章 多元函数的极限与连续高等教育出版社000(,)(,),nnnPPxyxy当当与与分分别别为为与与时时 显显然然有有000limlimlim;nnnnnnPPxxyy 且且0(,),nnPP 若若记记 同样地有同样地有 0limlim0.nnnnPP 由于点列极限的这两种等价形式都是数列极限由于点列极限的这两种等价形式都是数列极限, 因因 此立即得到下述关于平面点列的收敛原理此立即得到下述关于平面点列的收敛原理. 1平面点集与多元函数平面点集R2上的完备性定理 二元函数 n元函数 数学分析 第十六章 多元函数的极限与连续高等教育出版社 定理16.1（柯西准则）2RnP 收敛的充要

27、条件是收敛的充要条件是: 0,N ,NnN 使使当当时时 都都有有 (,),N .(6)nnpPPp 证（必要性）证（必要性）0lim,nnPP 设设N ,()NnNnpN 当当也也有有时时, ,00(,),(,).22nnpPPPP 应用三角形不等式应用三角形不等式, 立刻得到立刻得到00(,)(,)(,).nnpnnpPPPPPP 1平面点集与多元函数平面点集R2上的完备性定理 二元函数 n元函数 1,0, 则则由由定定义义恒恒有有数学分析 第十六章 多元函数的极限与连续高等教育出版社 定理16.1（柯西准则）2RnP 收敛的充要条件是收敛的充要条件是: 0,N ,NnN 使使当当时时 都

28、都有有 (,),N .(6)nnpPPp 1平面点集与多元函数平面点集R2上的完备性定理 二元函数 n元函数 当当 (6) 式成立时式成立时, 同时有同时有 |(,),npnnnpxxPP|(,).npnnnpyyPP 这说明这说明 xn 和和 yn 都满足关于数列的柯西准则都满足关于数列的柯西准则, 所以它们都收敛所以它们都收敛. 从而由点列收敛概念从而由点列收敛概念, 推知推知Pn收敛于点收敛于点 P0(x0, y0). 证（充分性）证（充分性）00lim, lim,nnnnxxyy 设设数学分析 第十六章 多元函数的极限与连续高等教育出版社06,nPEPE 为为的的聚聚点点存存在在各各项

29、项互互异异的的例例0lim.nnPP使使得得 ( 这是一个重要命题这是一个重要命题, 证明留作习题证明留作习题.) 1平面点集与多元函数平面点集R2上的完备性定理 二元函数 n元函数 定理16.2（闭域套定理）2. 区域套定理区域套定理. 设设 Dn 是是 R2 中的一列闭域中的一列闭域, 它满足：它满足： 1(i),1, 2,;nnDDn (ii)(), lim0.nnnndd Dd 则存在唯一的点则存在唯一的点 0,1, 2,.nPDn 数学分析 第十六章 多元函数的极限与连续高等教育出版社图图 16 7 nD npD nPnpP 0P证证 如图如图16 7所示所示, ,1, 2,.nnP

30、Dn,npnDD由由于于因因此此 ,nn pnPPD 从而有从而有 (,)0,.nn pnPPdn 由柯西准则知道存在由柯西准则知道存在20R ,P使使得得 任意取定任意取定 n, 对任何正整数对任何正整数 p, 有有 .n pn pnPDD 0lim.nnPP 1平面点集与多元函数平面点集R2上的完备性定理 二元函数 n元函数 任取点列任取点列 再令再令,p 由于由于 Dn 是闭域是闭域, 故必定是闭集故必定是闭集, 数学分析 第十六章 多元函数的极限与连续高等教育出版社 推论 因此因此 Dn 的聚点必定属于的聚点必定属于 Dn , 0lim,1, 2,.npnpPPDn 0P最后证明最后证

31、明 的惟一性的惟一性. 0,1, 2,nPDn 若还有若还有 则由则由 0000(,)(,)(,)20,nnnPPPPPPdn 0000(,)0,.PPPP 得得到到即即 对上述闭域套对上述闭域套 Dn , 0,N ,NnN 当当时时, ,0(; ).nDU P 1平面点集与多元函数平面点集R2上的完备性定理 二元函数 n元函数 则得则得注注 把把 Dn 改为闭集套时改为闭集套时, 上面的命题同样成立上面的命题同样成立. 数学分析 第十六章 多元函数的极限与连续高等教育出版社E 定理16.3（聚点定理）证证 现用闭域套定理来证明现用闭域套定理来证明. 有界有界, 故存在一个闭正方形故存在一个闭

32、正方形 .1DE 如图如图 16 8 所示所示, 把把 D1分成四个分成四个相同的小正方形相同的小正方形, 有有一小闭正方形含有一小闭正方形含有 E 中无限多中无限多1D2D图16 8 1平面点集与多元函数平面点集R2上的完备性定理 二元函数 n元函数 若若2RE 为有界无限点集为有界无限点集, 由于由于 E则在其中至少则在其中至少个个点点, 在在 中至少有一中至少有一E2R则则个聚点个聚点. 把它记为把它记为 D2. 数学分析 第十六章 多元函数的极限与连续高等教育出版社E1D2D3D图16 8 1平面点集与多元函数平面点集R2上的完备性定理 二元函数 n元函数 D2 如上法分成四个更小的正

33、方形如上法分成四个更小的正方形, 其中又至少有一个小闭正方形其中又至少有一个小闭正方形D3含含如此下去如此下去, 得到一个闭正方形序列：得到一个闭正方形序列：123.DDD 很显然很显然, Dn 的边长随着的边长随着 n 而趋于零而趋于零. 有有 E 的无限多个点的无限多个点. 定理16.3（聚点定理）若若2RE 为有界无限点集为有界无限点集, 在在 中至少有一中至少有一E2R则则个聚点个聚点. 数学分析 第十六章 多元函数的极限与连续高等教育出版社 推论 最后最后, 由区域套定理的推论由区域套定理的推论, 0,n 当充分大时当充分大时0(; ).nDU M 又由又由 Dn 的取法的取法, 知

34、道知道0(; )U M 中中含有含有 E 的无限多的无限多个点个点, 任一任一有界无限点列有界无限点列 2RnP 必存在收敛子必存在收敛子列列.knP ( 证证明明可可仿仿照照 R 中中的的相相应应命命题题去去进进行行. ) 于是由于是由闭域套定理闭域套定理, 存在一点存在一点 0,1, 2,.nMD n1平面点集与多元函数平面点集R2上的完备性定理 二元函数 n元函数 这就证得了这就证得了M0 是是 E 的聚点的聚点. 数学分析 第十六章 多元函数的极限与连续高等教育出版社 定理16.4（有限覆盖定理）注注 将本定理中的将本定理中的 D 改设为有界闭集改设为有界闭集, 而将而将 改改设为一族

35、开集设为一族开集, 此时定理结论依然成立此时定理结论依然成立 . 1.niiD ().D 即即盖了盖了 D 12,n 个开域个开域 它们它们同样覆盖了同样覆盖了D, 即即 1平面点集与多元函数平面点集R2上的完备性定理 二元函数 n元函数 设设2RD 为一有界闭域为一有界闭域 , 为一族开域为一族开域 , 则则在在中必存在有限中必存在有限它覆它覆数学分析 第十六章 多元函数的极限与连续高等教育出版社qEqE证证 (必要性必要性) E 有界有界 有界有界, 由聚点定理由聚点定理 ,qE又因又因的聚点亦为的聚点亦为 E 的聚点的聚点, 而而 E 是是 闭集闭集, 所以该聚点必属于所以该聚点必属于

36、E 2R .E 例例7 设设试证试证 E 为有界闭集的充要条是为有界闭集的充要条是: .E于于E 的任一无穷子集的任一无穷子集 Eq 必有聚点必有聚点, 且聚点恒属且聚点恒属 1平面点集与多元函数平面点集R2上的完备性定理 二元函数 n元函数 必有聚点必有聚点. 数学分析 第十六章 多元函数的极限与连续高等教育出版社证证 (充分性充分性) 先证先证 E 为有界集为有界集. 倘若倘若 E 为无界集为无界集, 则则 存在各项互异的点列存在各项互异的点列,kPE |( ,),1,2,.kkPO Pk k 2R .E 例例7 设设试证试证 E 为有界闭集的充要条是为有界闭集的充要条是: .E于于E 的

37、任一无穷子集的任一无穷子集 Eq 必有聚点必有聚点, 且聚点恒属且聚点恒属 1平面点集与多元函数平面点集R2上的完备性定理 二元函数 n元函数 0lim.kkPP 现把现把 看作看作 , kPqE由条件由条件 的聚点的聚点 (即即 ) 必必qE0P属于属于 E, 所以所以 E 为闭集为闭集. 易见易见kP这个子集无聚点这个子集无聚点, 这与已知条件相矛盾这与已知条件相矛盾. 为此设为此设 P0 为为 E 的任一聚点的任一聚点, 由聚由聚 点的等价定义点的等价定义, 存在各项互异的点列存在各项互异的点列 使使 ,kPE 再证再证 E 为闭集为闭集. 使得使得数学分析 第十六章 多元函数的极限与连

38、续高等教育出版社 定义2设平面点集设平面点集 , 若按照某对应法则若按照某对应法则 f , 2RD 一点一点 P ( x, y ) 都有惟一确定的实数都有惟一确定的实数 z 与之对应与之对应 , 则称则称 f 为定义在为定义在 D 上的二元函数上的二元函数R 的一个映射的一个映射 ), 记作记作 :R .(7)fD 1. 函数函数(或映射或映射)是两个集合之间的一种确定的对是两个集合之间的一种确定的对 R 到到 R 的映射是一元函数的映射是一元函数, R2 到到 R 的映的映 射则是二元函数射则是二元函数. 1平面点集与多元函数平面点集R2上的完备性定理 二元函数 n元函数 二元函数应关系应关

39、系. D 中每中每( 或称或称 f 为为D 到到 数学分析 第十六章 多元函数的极限与连续高等教育出版社与一元函数相类似与一元函数相类似, 称称 D 为为 f 的定义域的定义域; 而称而称 ()( , )zf Pzf x y或或 为为 f 在点在点 P 的的函数值函数值; 值域值域, 记作记作 ()R.f D 为为 f 的的自变量自变量, 而把而把 z 称为称为因变量因变量. 也可记作也可记作 ( ,),( ,);zf x yx yD 或点函数形式或点函数形式 ( ),.zf PPD1平面点集与多元函数平面点集R2上的完备性定理 二元函数 n元函数 全体函数值的集合为全体函数值的集合为 f 的

40、的 通常把通常把 P 的坐标的坐标 x 与与 y 称称数学分析 第十六章 多元函数的极限与连续高等教育出版社在在 xOy 平面上的投影平面上的投影. 例例8 函数函数25zxy 的图像是的图像是 R3 中的一个平面中的一个平面, 其定义域是其定义域是 R2, 值域是值域是 R . 当把当把 和它所对应的和它所对应的 一起组成一起组成 ( , )x yD ( , )zf x y三维数组三维数组 ( x, y, z ) 时时, 3( , )|( ,),( ,)RSx y zzf x yx yD就是二元函数就是二元函数 f 的图像的图像. 1平面点集与多元函数平面点集R2上的完备性定理 二元函数 n

41、元函数 通常该图像是一空间曲通常该图像是一空间曲面面, f 的定义域的定义域 D 是该曲面是该曲面三维点集三维点集 数学分析 第十六章 多元函数的极限与连续高等教育出版社例例9 的定义域是的定义域是 xOy 平面上的平面上的 221()zxy 单位圆域单位圆域 , 值域为区间值域为区间 0, 1 , 22( ,)|1x yxy它的图像是以原点为中心的单位球面的上半部分它的图像是以原点为中心的单位球面的上半部分 ( 图图16 9 ). xyzO1图图16 9 1平面点集与多元函数平面点集R2上的完备性定理 二元函数 n元函数 数学分析 第十六章 多元函数的极限与连续高等教育出版社例例10 是定义

42、在是定义在 R2 上的函数上的函数, 它的图像是过它的图像是过 zxy原点的双曲抛物面原点的双曲抛物面 ( 图图 16 10 ). xyzO图图16 10 1平面点集与多元函数平面点集R2上的完备性定理 二元函数 n元函数 数学分析 第十六章 多元函数的极限与连续高等教育出版社图图16 11 xyzOz1 z2 例例11 是定义在是定义在 R2 上的函数上的函数, 值域值域 22zxy 是全体非负整数是全体非负整数, 它的图像示于图它的图像示于图 16 11. 1平面点集与多元函数平面点集R2上的完备性定理 二元函数 n元函数 数学分析 第十六章 多元函数的极限与连续高等教育出版社2. 若二元

43、函数的值域若二元函数的值域 是有界数集是有界数集, 则称函数则称函数 ()f Df在在 D上为一有界函数上为一有界函数 ( 如例如例9 中的函数中的函数 ) . ()f Df若若 是无界数集是无界数集, 则称函则称函数数在在 D上为一无界上为一无界 函数函数 ( 如例如例8、10、11 中的函数中的函数 ). 与一元函数类似地与一元函数类似地, 设设 2R ,D 则有则有 ,lim().kkkfDPDf P 在在上上无无界界使使1平面点集与多元函数平面点集R2上的完备性定理 二元函数 n元函数 否则否则,数学分析 第十六章 多元函数的极限与连续高等教育出版社(zc c ( , ),zf x y

44、 解解 用用 为一系列常数为一系列常数 ) 去截曲面去截曲面 得等高线方程得等高线方程 22222222()().xyxycxy xyc xyxy 或或例例12 设函数设函数 ( 此函数在以后还有特殊用处此函数在以后还有特殊用处 ) 试用等高线法讨论曲面试用等高线法讨论曲面 ( , )zf x y 的形状的形状. 2222, ( , )(0,0),( , )0,( , )(0,0).xyxyx yf x yxyx y 1平面点集与多元函数平面点集R2上的完备性定理 二元函数 n元函数 数学分析 第十六章 多元函数的极限与连续高等教育出版社当当 0c xOy时时, 得得 平面上的四条直线平面上的

45、四条直线 0,0,.xyyxyx 当当 0c 时时, 由等高线的直角坐标方程难以看出它由等高线的直角坐标方程难以看出它 的形状的形状. cos ,sin ,xryr 得到得到22sin44 ,4sin4 .rcrc或或如图如图16 12 所示所示, 族等高线族等高线. 1平面点集与多元函数平面点集R2上的完备性定理 二元函数 n元函数 若把它化为极坐标方程若把它化为极坐标方程, 即令即令0,1,3,5c 所对应的一所对应的一 为为数学分析 第十六章 多元函数的极限与连续高等教育出版社+1 +1 +1 +1 +3 +5 +3 +5 +3 +5 +3 +5 - 1 - 1 - 3 - 5 - 3 - 5 - 1 -