建筑力学第七章

1、第七章第七章 剪切与扭转剪切与扭转7.1 7.1 扭转的概念及外力偶矩的计算扭转的概念及外力偶矩的计算扭转的概念扭转的概念 轴轴是以扭转变形为主要变形的直杆作用于垂直杆轴平面内的力偶使杆引起的变形，称扭转变形扭转变形。变形后杆件各横截面之间绕杆轴线相对转动了一个角度，称为扭转角扭转角， 用 表示外力偶矩的计算外力偶矩的计算 已知轴所传递的功率和轴的转速。导出外力偶矩、功率和转速之间的关系为： 9550Nmn式中 m-作用在轴上的外力偶矩，单位为Nm N-轴传递的功率，单位为KW n-轴的转速，单位为r/min。7.2 圆轴扭转时横截面上的内力及扭矩图圆轴扭转时横截面上的内力及扭矩图7.2.1

2、扭矩扭矩平衡条件平衡条件0 xM eTM内力偶矩内力偶矩T称为称为扭矩扭矩 扭矩的单位：扭矩的单位：N mkN m或扭矩的正负号规定为：扭矩的正负号规定为：自截面的外法线向截面看，自截面的外法线向截面看，逆时针转向为正，顺时针转向为负逆时针转向为正，顺时针转向为负 扭扭 矩矩 图图常用与轴线平行的常用与轴线平行的x坐标表示横截面的位置，以与坐标表示横截面的位置，以与之垂直的坐标表示相应横截面的扭矩，把计算结果之垂直的坐标表示相应横截面的扭矩，把计算结果按比例绘在图上，正值扭矩画在按比例绘在图上，正值扭矩画在x轴上方，轴上方，负值扭矩画在负值扭矩画在x轴下方。这种图形称为轴下方。这种图形称为扭矩

3、图扭矩图。主动轮，输入功率主动轮，输入功率 ，B、C、D为从动为从动轮轮，输出功率分别为输出功率分别为10 kWAN ，试求各段扭矩。试求各段扭矩。2.0 kWDN4.5 kWBN 3.5 kWCN ，300 r minn 例题例题7.1 图示传动轴，转速图示传动轴，转速，A轮为轮为e10 kW95499549318.3 N m300 r minAANMne4.5 kW95499549143.2 N m300 r minBBNMne3.5 kW95499549111.4 N m300 r minCCNMne2.0 kW9549954963.7 N m300 r minDDNMn解：解：1、计算

4、外力偶矩、计算外力偶矩为负值说明实际方向与假设的相反。为负值说明实际方向与假设的相反。 2T3T，1e143.2 N mBTM2ee143.2 N m-318.3 N m-175 N mBATMM3e63.7 N mDTM max175TN m2、分段计算扭矩，分别为、分段计算扭矩，分别为（图c） （图d）（图e）3、作扭矩图、作扭矩图 1、变形几何关系、变形几何关系7.3 等直圆轴扭转时横截面上的切应力等直圆轴扭转时横截面上的切应力7.3.1 实心圆轴横截面上的应力实心圆轴横截面上的应力 变形后，圆轴上所有的横截面均保持为平面，变形后，圆轴上所有的横截面均保持为平面，即平面假设即平面假设；

5、横截面上的半径仍保持为直线；横截面上的半径仍保持为直线； 各横截面的间距保持不变。各横截面的间距保持不变。ddx2、物理关系、物理关系GddGGx 3、静力学关系、静力学关系 dAAT2ddAGdATx2pAdAI称截面的极惯性矩称截面的极惯性矩 pddTxGI得到圆轴扭转横截面上得到圆轴扭转横截面上任意点任意点切应力公式切应力公式pTImaxppRTTIWR当当时，表示圆截面边缘处的切应力最大时，表示圆截面边缘处的切应力最大 它是与截面形状和尺寸有关的量。它是与截面形状和尺寸有关的量。pW式中式中称为称为抗扭截面系数。抗扭截面系数。7.3.2 极惯性矩和抗扭截面系数极惯性矩和抗扭截面系数实心

6、圆截面的极惯性矩：实心圆截面的极惯性矩： 42320232DPADIA dAd抗扭截面系数为：抗扭截面系数为：4332/ 2162PPDIDWDD空心圆极惯性矩轴空心圆极惯性矩轴： 423444222()(1)3232DdPADIA dAdDd34(1)/216PPIDWDdD式中式中为空心圆轴内外径之比。为空心圆轴内外径之比。空心圆的抗扭截面系数空心圆的抗扭截面系数极惯性矩极惯性矩的量纲是长度的四次方，的量纲是长度的四次方，常用的单位为常用的单位为mm4抗扭截面系数抗扭截面系数的量纲是长度的三次方，的量纲是长度的三次方，常用单位为常用单位为mm3工程上要求圆轴扭转时的最大切应力不得超过工程上

7、要求圆轴扭转时的最大切应力不得超过材料的许用切应力材料的许用切应力 maxpmaxTW ，即7.4 等直圆轴扭转时的强度计算等直圆轴扭转时的强度计算7.4.1 圆轴扭转强度条件圆轴扭转强度条件 0.5 0.6 0.8 1.0上式称为圆轴扭转强度条件。上式称为圆轴扭转强度条件。塑性材料塑性材料 脆性材料脆性材料 试验表明，材料扭转许用切应力试验表明，材料扭转许用切应力例题例题7.2 汽车的主传动轴，由汽车的主传动轴，由45号钢的无缝钢管号钢的无缝钢管制成，外径制成，外径 ，壁厚壁厚90 mmD 2.5 mm试校核该轴的强度。试校核该轴的强度。1.5 N mT 工作时的最大扭矩工作时的最大扭矩，

8、60 MPa若材料的许用切应力若材料的许用切应力，902 2.50.94490dD 解：1、计算抗扭截面系数 主传动轴的内外径之比6max23p1.5 10 N mm50.8 MPa295 10 mmTW2、计算轴的最大切应力、计算轴的最大切应力3344323p(90)(1)(1 0.944 ) mm295 10 mm1616DW抗扭截面系数为抗扭截面系数为3、强度校核、强度校核 max50.8 MPa主传动轴安全主传动轴安全 解：1、求实心轴的直径，要求强度相同，即实心轴的最大切应力也为51MPa，即 例题例题7.37.3 如把上题中的汽车主传动轴改为实心如把上题中的汽车主传动轴改为实心轴，

9、要求它与原来的空心轴强度相同，试确定实轴，要求它与原来的空心轴强度相同，试确定实心轴的直径，并比较空心轴和实心轴的重量。心轴的直径，并比较空心轴和实心轴的重量。631p1.5 10 N mm51MPa16TDW63116 1.5 10 N mm53.1mm 51PaDM 2、在两轴长度相等、材料相同的情况下，两轴重量之比等于两轴横截面面积之比，即：2222221()908540.3153.14DdAAD空实讨论：讨论：由此题结果表明，在其它条件相同的情况由此题结果表明，在其它条件相同的情况下，空心轴的重量只是实心轴重量的下，空心轴的重量只是实心轴重量的31%31%，其节，其节省材料是非常明显的

10、。省材料是非常明显的。7.5.1 圆轴扭转时的变形圆轴扭转时的变形7.5 等直圆轴扭转时的变形及刚度条件等直圆轴扭转时的变形及刚度条件pddTxGI轴的扭转变形用两横截面的轴的扭转变形用两横截面的相对扭转角：相对扭转角：pddTxGIppddllTTlxGIGIrad相距长度为l的两横截面相对扭转角为 pGI当扭矩为常数，且也为常量时，它表示轴抵抗扭转变形的能力。式中式中pGI称为圆轴扭转刚度扭转刚度， 相对扭转角的正负号由扭矩的正负号确定，即正扭矩产生正扭转角，负扭矩产生负扭转角。若两横截面之间T有变化，或极惯性矩变化，亦或材料不同（切变模量G变化），则应通过积分或分段计算出各段的扭转角，然

11、后代数相加，即：1pniiiiiT lG I对于受扭转圆轴的刚度通常用相对扭转角沿杆对于受扭转圆轴的刚度通常用相对扭转角沿杆长度的变化率用长度的变化率用 表示，称为表示，称为单位长度扭转角单位长度扭转角。即：即： pddTxGI 7.5.2 圆轴扭转刚度条件圆轴扭转刚度条件对于建筑工程、精密机械，刚度的刚度条件： maxm axpm ax180TG I将上式中的弧度换算为度，得：在工程中 的单位习惯用（度/米）表示， ， 对于等截面圆轴，即为：对于等截面圆轴，即为： maxmaxp180TGI 0.15 ( ) m 0.30 ( ) m许用扭转角许用扭转角的数值，根据轴的使用精密度、的数值，根

12、据轴的使用精密度、生产要求和工作条件等因素确定。生产要求和工作条件等因素确定。对于精密机器的轴对于精密机器的轴对一般传动轴对一般传动轴 0.5( ) m1.0 ( ) m50 mmd 例题例题7.47.4 图示轴的直径 ，切变模量切变模量80 GPaG 试计算该轴两端面之间的扭转角。试计算该轴两端面之间的扭转角。解解：两端面之间扭转为角：两端面之间扭转为角：pppp(2)BCCDABADABBCT lT lT llTTGIGIGIGI44444p(50) mm61.36 10 mm3232dI 6634500(2 2 101 10 )80 1061.36 100.051radAD 60 kWP 例题例题7.5 主传动钢轴，传递功率主传动钢轴，传递功率，转速转速250 r minn 40 MPa，传动轴的许用切应力传动轴的许用切应力 0.5( ) m许用单位长度扭转角许用单位长度扭转角80 GPaG 切变模量切变模量 求传动轴所需的直径？求传动轴所需的直径？ 解：解：1、计算轴的扭矩、计算轴的扭矩60 kW95492292 N m250 r minT 2、根据