第6章蒙特卡洛方法(1)

1、第六章 蒙特卡洛方法蒙特卡罗方法简介12蒙特卡洛积分6.1 蒙特卡罗方法简介蒙特卡罗方法的名字来源于摩纳哥的一个城市蒙特卡罗，该城市以赌博业闻名。什么是蒙特卡罗方法？一般来说，涉及到随机性的模拟方法都可称之为蒙特卡罗方法。通常也称为统计模拟方法。自然界中有的过程本身就是随机的过程，物理现象中如粒子的衰变、粒子在介质中的输运过程等，城市里的交通，传染病的传播。蒙特卡罗方法也可借助概率模型来解决不直接具有随机性的确定性问题。除了在物理学及相关自然科学中的应用外，蒙特卡罗方法广泛的应用于社会学、金融等诸多领域。 我们能用它来做什么？应用的领域随机性的例子交通流模型不具随机性的一个例子： 巴夫昂投针实

2、验（1777年）该试验方案是：在平滑桌面上划一组相距为 s 的平行线，向此桌面随意地投掷长度 l= s 的细针，那末从 针与平行线相交的概率就可以得到 的数值。 实验者年份投计次数的实验值沃尔弗(Wolf)185050003.1596斯密思(Smith)185532043.1553福克斯(Fox)189411203.1419拉查里尼(Lazzarini)190134083.1415929一些实验结果不具随机性的另一个例子定积分构造一个将积分区域包围起来的矩形 a, b0, y0 。然后 随机的在矩形内撒 N 个点，假设其中有 N0 个点落在积分线的下方，则积分为在区间 a, b 内随机的撒 N

3、 个点, 则 f(x) 在该区间内的积分可写为这就是用蒙特卡罗方法计算定积分的基本思想。定积分的另外一种算法随机数的分类生成方法：随机的物理过程，例如：掷骰子计算机芯片中电子的热涨落（ 一微秒一个）辐射衰变缺点：速度慢、不可复制、昂贵用途： 例如信息安全领域（密码）显然，真随机数满足不了计算物理的模拟的需要。真随机数 赝随机数赝随机数是用确定性的算法生成的随机数。赝随机数的生成方法线性同余方法一般公式为其中 r1 称为种子。例子：将其转化为 0, 1 之间的随机数（除以 9 ）得到如下一列数如果需要得到 A, B 之间的随机数，可作如下变换随机数序列在 0, M-1 之间，所以周期最多为 M

4、。为了获得具有更大的周期的随机数列，尽可能取大的 M。考虑到计算机的位数限制，32 位机器整数的取值范围为 -231, 231-1, M 通常取为Matlab中的随机函数0个参数：rand1个参数：rand(3)，表示生成一个3 3的随机数方阵。2个参数：rand(2, 3)，表示生成一个2 3的随机数矩阵rand(method, s)， 参数 method 表明生成随机数的算法，可取twister, state, seed 三个值， s 一般取正整数。 rand 函数生成 0, 1 之间的随机实数randn 函数生成正态分布随机实数，randi函数生成随机整数 为什么要研究随机行走？ 随机行走跟物理学的关系，就像果蝇跟遗传学的关系。 随机行走是很多物理问题的简化模型，例如扩散、聚合物的生长等。从方法论上来说，在随机行走问题中，会遇到统计力学问题数值求解固有的许多困难。 懂得对这个问题的数值处理，对于普遍理解数值模拟物理学的工作过程大有好处。 随机行走计算随机行走的端距作为步数的函数行走者走的步数为 N。行走样本数目为 n-of-samples。随机行走的算法实现for sample = 1:n_of_samplesfor step = 1:N Generate-one-step （产生一步） endAcco