高等数学(2017高教五版)课件第一型曲线积分(工科类)

1、一、第一型曲线积分的定义二、第一型曲线积分的计算1 第一型曲线积分数学分析 第二十章曲线积分*点击以上标题可直接前往对应内容 本节将研究定义在平面或空间曲线段上的第一型曲线积分.此类积分的典型物理背景是求非均匀分布的曲线状物体的质量. 上的连续函 是定义在 ()f P 设某物体的密度函数 当 是直线段时, 应用定积分就能计算得该物体 的质量.现在研究当 是平面或空间中某一可求长度的曲线段时物体的质量的计算问题. (1, 2,).in n(1) 分割：把 分成 个可求长度的小曲线段 i 第一型曲线积分的定义1 第一型曲线积分第一型曲线积分的定义第一型曲线积分的计算后退 前进 目录 退出数.方法与

2、定积分类似.()f P 为为i 上的连续函数, 故当 的弧长都很小时, i (),iif P 每一小段 的质量可近似地等于 其中 i 为小曲线段 i 的长度. 于是在整个 上的质量就近似地等于和式 1().niiif P i .iP(2) 近似求和：在每一个 上任取一点 由于 1 第一型曲线积分第一型曲线积分的定义第一型曲线积分的计算 1max0ii nd (3) 当对的分割越来越细密(即 ) 时, 由上面看到, 求物质曲线段的质量, 与求直线段的质 量一样, 到的. 1 第一型曲线积分第一型曲线积分的定义第一型曲线积分的计算下面给出这类积分的定义. 上述和式的极限就应是该物体的质量.也是通过

3、“分割、近似求和、取极限”来得 定义1(1, 2, ),iL in可求长度的小曲线段 L在上的函数. ,is为T1| max,ii nTs 分割 的细度为 iL在 上任取 一点(,)(1, 2, ).iiin 若有极限 | |01lim(,),niiiTifsJ 为平面上可求长度的曲线段, L( ,)f x y设为定义n,它把 LTL 做分割 分成个对曲线 1 第一型曲线积分第一型曲线积分的定义第一型曲线积分的计算的弧长记iL 定义1J(,)iiT 与点与点且 的值与分割 的取法无关, 极限为( ,)f x yL在在上的第一型曲线积分, ( ,)d .Lf x ys1 第一型曲线积分第一型曲线

4、积分的定义第一型曲线积分的计算为空间可求长曲线段 , L( , )f x y zL若 为定义在 上 的函数, 的第一型曲线积分, ( , )d .Lf x y zs( , )f x y zL在空间曲线 上 则可类似地定义 则称此 记作并且记作量可由第一型曲线积分 (1) 或 (2) 求得. (1, 2, )ic ik( ,)d (1,2, )iLfx ys ik1. 若存在, 为常数, 11( ,)d( ,)d .kkiiiiLLiic f x yscf x ysL12,kL LL2. 若曲线段 由曲线 首尾相接而成, ( ,)d (1,2, )iLf x ys ik都存在, 于是前面讲到的质

5、量分布在曲线段 L上的物体的质 也存在, 且1( ,)d( ,)d .ikLLif x ysf x ys1( ,)dkiiLic f x ys也存在, 且则( ,)dLf x ys则1 第一型曲线积分第一型曲线积分的定义第一型曲线积分的计算3( ,)d( ,)dLLf x ysg x ys若若与与 都存在, 则( ,)( ,),f x yg x y( ,)d( ,)d .LLf x ysg x ys4( ,)dLf x ys若若存存在在, ,|( ,)d |( ,)|d .LLf x ysf x ys且 1 第一型曲线积分第一型曲线积分的定义第一型曲线积分的计算L上上且在 也存在, ( , )

6、 dLf x ys则则|( ,)dLf x ys若若L, s5存在, 的弧长为则存在常数 ( ,)d,Lf x yscs, c使得inf( ,)sup( ,).LLf x ycf x y这这里里6. 第一型曲线积分的几何意义 为LLOxy( , )f x y若 为坐标平面 上的分段光滑曲线, 上定义的连续非负函数. 1 第一型曲线积分第一型曲线积分的定义第一型曲线积分的计算( ,)d .Lf x ysyxzOL( , )zf x y 201 图图z0( , )zf x y 的部分的面积就是 轴的柱面上截取 由第一型曲线的定义, 1 第一型曲线积分第一型曲线积分的定义第一型曲线积分的计算L 为准

7、线, 母线平行于 易见以 定理20.1设有光滑曲线 ( ),: ,( ),xtLtyt ( ,)f x yL 为定义在 上的连续函数, 22( , )d( ( ),( )( )( )d . (3)Lf x ysfttttt L1iitttt到到证 由弧长公式知道, 上由 的弧长 122( )( )d .iititsttt第一型曲线积分的计算则1 第一型曲线积分第一型曲线积分的定义第一型曲线积分的计算221()()().iiiiiiisttt 221( (),()()(),niiiiiift 1(,)niiiifs 所以1,.iiiitt 这里 22( )( )tt由由的连续性与积分中值定理,

8、有 1 第一型曲线积分第一型曲线积分的定义第一型曲线积分的计算22( , )d( ( ),( )( )( )d(3)Lf x ysfttttt 22221( (),()()()()(),niiiiiiiift 则有 1(,)niiiifs 221( (),()()(). (4)niiiiiift 设12max,ntttt令令 t0 0. . 1 第一型曲线积分第一型曲线积分的定义第一型曲线积分的计算22( , )d( ( ),( )( )( )d(3)Lf x ysfttttt 0,T则则当当时时 必必有有0lim0.t 下面证明 因为复合函数 ( ( ),( )fttt 关关于于连续, ,

9、间 上有界, 都有 |( ( ),( )|.fttM ,M ,t 使对一切 即存在常数 1 第一型曲线积分第一型曲线积分的定义第一型曲线积分的计算所以在闭区 22( )( ) ,tt 在在再由 上连续, , 上一致连续, 使当 时, t 2222()()()(),iiii 0, 0, 必必存存在在即对任给的 所以它在 22221( (),()()()()()niiiiiiiift 从而 1|(),niiMtM ba 所以 0lim0.t 1 第一型曲线积分第一型曲线积分的定义第一型曲线积分的计算2201lim( (),()()()niiiiitift 22( ( ),( )( )( )d .b

10、afttttt因此当在(4)式两边取极限后, 即得所要证的(3)式. 再由定积分定义 22( , )d( ( ),( )( )( )d(3)Lf x ysfttttt , a b 上有连续的导函数时, 2( , )d( ,( ) 1( )d ;bLaf x ysf xxxx( ), , yxxa b L 当曲线 由方程 表示, 且 在 ( )x 1 第一型曲线积分第一型曲线积分的定义第一型曲线积分的计算22( , )d( ( ),( )( )( )d(3)Lf x ysfttttt ,c d上有连续导函数时, 2( , )d( ( ), ) 1( )d .dLcf x ysfyyyy( ),

11、, xyyc d 当曲线 L由方程表示, 且 在 ( )y (3)式成为(3)式成为例1 设 L 是半圆周 cos ,:0,sin ,xatLtyat试计算第一型曲线积分 22()d .Lxys解 22()dLxys1 第一型曲线积分第一型曲线积分的定义第一型曲线积分的计算22220(cossin)daattt3.a解 220d1d4Lyy syy2322022(1)34y4(2 21).3例2 24(0,0)(1,2)LyxOA设设是是从从到到一段(图20-2), 试计算第一型曲线积分 d .Ly sOyx124yx 202 图图A1 第一型曲线积分第一型曲线积分的定义第一型曲线积分的计算(

12、 , , )dLf x y zs222( ( ),( ),( )( )( )( )d . (7)fttttttt 其计算公式为 由参 仿照定理20.1, 对于空间曲线积分(2), 当曲线 L量方程 ( ),( ),( ), ,xtytzt t 表示时, 1 第一型曲线积分第一型曲线积分的定义第一型曲线积分的计算2d ,LxsL2222xyza例3 计算 其中 为球面 被平面 所截得的圆周. 0 xyz解 由对称性知 222ddd ,LLLxsyszs所以 2dLxs1 第一型曲线积分第一型曲线积分的定义第一型曲线积分的计算2221=()d3Lxyzs2d3Las32.3a4433(+)d ,L

13、xyxysL*例4 计算 其中 为内摆线 434433.xya解 由对称性知 dd0,LLx sy s4433ddLLxsys其中 1( , ), ,0 .Lx yL x y1 第一型曲线积分第一型曲线积分的定义第一型曲线积分的计算143=4d ,Lxs33cos,sin,0,.2xat yat t 而内摆线的参数方程为 4433(+)dLxyxys443208cos3 sin cos dtatatt 因此 1 第一型曲线积分第一型曲线积分的定义第一型曲线积分的计算438dLxs734.a33cos,sin,0,2xat yat t 解 图中直影线部分为被围柱面在第一卦限的部分, 0.8AA

14、它的面积为 Oxy把 平面上的 222xya 位于第一象限的四分在第一卦限部分220zax的那部分柱面. 包围部分的面积 A. 222xya 222yza 被圆柱面 所 *例5 求圆柱面 yxzO222xya0A203 图图 则被围柱面 ,L之一圆周记为为准线母线平行于 z轴的1 第一型曲线积分第一型曲线积分的定义第一型曲线积分的计算正是以曲线 L 220ds.LAax 由第一型曲面积分的几何意义可知它的面积为L 的参数方程为:cos ,sin ,0.2xat yatt 220dsLAax 220sin dtat 因此, 2088.AAa yxzO222xya0A203 图图1 第一型曲线积分

15、第一型曲线积分的定义第一型曲线积分的计算220=1-cosdtata 2.a 曲线状物体对于 x , y 轴的转动惯量分别为 注 由第一型曲线积分的定义, 线密度为( , )x y 的 2( ,)dxLIyx ys 2( ,)dyLIxx ys 和例6 求线密度为2( , )1yx yx 的曲线段 :ln ,12L yxx 对于 y 轴的转动惯量. 22d1yLx yIsx 22212ln11d1xxxxx 解 21ln dxx x 1 第一型曲线积分第一型曲线积分的定义第一型曲线积分的计算3ln4.4( , )f x yL1.若 在光滑曲线上连续, 是否一定存在 其中 s 是曲线 L 的弧长.( , )(, ).x yLx yL ( , )f x y2. 设在光滑曲线 L 上连续, L满足条件:( , )f x y(, )( , ),fx yf x y 若满足条件: 是否有