中考数学专题复习：相似图形

1、图形的相似考点聚焦1了解线段的比、成比例线段、黄金分割、相似图形有关概念及性质2探索并掌握三角形相似的性质及条件，并能利用相似三角形的性质解决简单的实际问题3掌握图形位似的概念，能用位似的性质将一个图形放大或缩小4掌握用坐标表示图形的位置与变换，在给定的坐标系中，会根据坐标描出点的位置或由点的位置写出它的坐标，灵活运用不同方式确定物体的位置备考兵法1证明三角形相似的方法常用的有三个，到底用哪个要根据具体情况而定，要注意基本图形的应用，如“A型”“X型”“母子型”等2用相似三角形的知识解决现实生活中实际问题，关键是要先把实际问题转化为数学问题，识别或作出相似三角形，再利用相似三角形的性质求解，并

2、回答实际问题，注意题目的解一定要符合题意3用直角坐标系中的点描述物体的位置，用坐标的方法来研究图形的运动变换，是较为常见的考法，要注意训练识记巩固1相似形：形状相同，大小不一定相等的图形称为_2相似多边形的特征：对应边_，对应角_3成比例线段：如果四条线段a，b，c，d中，某两条线段的长度的比与另两条线段的长度的比相等，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段如a：b=c：d或a：d=b：c，则a，b，c，d叫_；若a，b，b，c成比例，即a：b=b：c，则称b是a和c的_4相似三角形：对应角相等，对应边成比例的三角形叫做相似三角形对应边之比叫做_当相似比为1时，两个三角形就称为_5相似三角

3、形的识别：（1）两组对应角分别_的两个三角形相似；（2）两组对应边成比例，且_相等的两个三角形相似；（3）三组对应边_的两个三角形相似；（4）平行于三角形一边的直线和其他两边（或其延长线）相交，所得的三角形与原三角形_6相似三角形的性质：（1）相似三角形对应边成_，对应角_（2）相似三角形对应线段（对应角，对应中线，对应角平分线，外接圆半径和内切圆半径）之比和周长之比都等于_；（3）相似三角形的面积比等于_7黄金分割：若线段AB上一点P分线段成AP与PB两条线段，且（可求出比值为0.618），这种分割叫黄金分割P点叫线段AB的黄金分割点，一条线段有_个黄金分割点8位似：对应顶点的连线_的相似叫

4、位似作位似图形的方法是先确定位似中心和每个顶点之间的直线，在直线的另一侧取原多边形的对应顶点，连结各点即得放大或缩小的位似图形（注意“放大”和“放大到”的区别）9相似三角形中常见的基本图形：条件：DEBC1=B1=B条件：ABDEA=DCD是斜边AB上的高识记巩固参考答案:1相似形2成比例相等3比例线段比例中项4相似比全等三角形5（1）相等（2）夹角（3）成比例（4）相似6（1）比例相等（2）相似比（3）相似比的平方7两8相交于一点典例解析例1（2011上海，25，14分）在RtABC中，ACB=90°，BC=30，AB=50点P是AB边上任意一点，直线PEAB，与边AC或BC相交于

5、E点M在线段AP上，点N在线段BP上，EM=EN，sinEMP=（1）如图1，当点E与点C重合时，求CM的长；（2）如图2，当点E在边AC上时，点E不与点A、C重合，设AP=x，BN=y，求y关于x的函数关系式，并写出函数的定义域；（3）若AMEENB（AME的顶点A、M、E分别与ENB的顶点E、N、B对应），求AP的长图1图2备用图【答案】（1）ACB=90°，AC=40S=,CP=24在RtCPM中，sinEMP=，CM=26（2）由APEACB，得，即，PE=在RtMPE中，sinEMP=，EM=PM=PN=AP+PN+NB=50，x+y=50y=(0<x<32)（

6、3）第三问：由于给出对应顶点，那么解法一可以直接运用相似和三角比求出对应边长再列比例式求解。本题还可以通过角度之间的关系转换求解，个人认为从角度入手更加简洁直观方法如下：当点E在线段AC上时，AMEENB，EM=EN，设AP=x，由（2）知EM=，AM=，NB=解得x1=22，x2=0（舍去）即AP=22当点E在线段BC上时，根据外角定理，ACEEPM，CE=设AP=x，易得BE=，CE=3030=解得x=42即AP=42AP的长为22或42例2如图，已知平行四边形ABCD中，E是AB边的中点，DE交AC于点F，AC，DE把平行四边形ABCD分成的四部分的面积分别为S1，S2，S3，S4下面结

7、论：只有一对相似三角形；EF：ED=1：2；S1：S2：S3：S4=1：2：4：5其中正确的结论是（）ABCD解析ABDC，AEFCDF，但本题还有一对相似三角形是ABCCDA（全等是相似的特例）是错的，EF：ED=1：2是错的SAEF：SCDF=1：4，SAEF：SADF=1：2S1：S2：S3：S4=1：2：4：5，正确答案B点拨利用相似三角形的特征和等高三角形的面积比等于底边之比；（共底三角形的面积之比等于高之比）和全等三角形一样，中考试题往往把需要证明的两个相似三角形置于其他图形（如等边三角形、等腰直角三角形、平行四边形、矩形、菱形、正方形和梯形）中，在解题时要充分挖掘其中隐含的相等角

8、、成比例的线段和平行线，注意从复杂的图形中分离出基本的相似三角形拓展变式点E是ABCD的边BC延长线上的一点，AE与CD相交于点G，则图中相似三角形共有（）A2对B3对C4对D5对答案C例3如图，在梯形ABCD中，若ABDC，AD=BC，对角线BD，AC把梯形分成了四个小三角形（1）列出从这四个小三角形中任选两个三角形的所有可能情况，并求出选取到的两个三角形是相似三角形的概率是多少？（注意：全等看成相似的特例）（2）请你任选一组相似三角形，并给出证明解析（1）任选两个三角形的所有可能情况如下六种情况：，其中有两组（，）是相似的选取到的两个三角形是相似三角形的概率P=（2）证明：选择证明在AOB

9、与COD中，ABCD，CDB=DBA，DCA=CAB，AOBCOD选择证明四边形ABCD是等腰梯形，DAB=CAB在DABC与CBA中，AD=BC，DAB=CAB，AB=AB，DABCBA，ADO=BCO又DOA=COB，DOACOB例4如图，是某城市一个主题雕塑的平面示意图，它由置放于地面L上两个半径为2米的半圆与半径为4米的A构成点B，C分别是两个半圆的圆心，A分别与两个半圆相切于点E，F，BC长为8米，求EF的长解析A分别与两个半圆相切于点E，F，点A，B，C分别是三个圆的圆心AE=AF=4，BE=CF=2，AB=AC=6在AEF和ABC中，EAF=BAC，=，AEFABC，故=则EF=

10、BC·=8×=（米）点拨解决实际问题时，一定要先转化成数学问题，画出图形，再运用相应的知识解决拓展变式（2008，山东聊城）如图，路灯（P点）距地面8米，身高16米的小明从距路灯的底部（O点）20米的A点，沿OA所在的直线行走14米到B点时，身影的长度是变长了还是变短了？变长或变短了多少米？解析MAC=MOP=90°，AMC=OMP，MACMOP，即，解得MA=5同理，由NBDNOP可求得NB=1.5，所以小明的身影变短了3.5米例5如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=10，直角尺的直角顶点P在AD上滑动时（点P与A，D不重合），一直角边经过点C，另一直角边交

11、AB于点E我们知道，结论“RtAEPRtDPC”成立（1）当CPD=30°时，求AE的长；（2）是否存在这样的点P，使DPC的周长等于AEP周长的2倍？若存在，求出DP的长；若不存在，请说明理由解析（1）在RtPCD中，由tanCPD=，得PD=4，AP=AD-PD=10-4由AEPDPC知，,AE=10-12（2）假设存在满足条件的点P，设DP=x，则AP=10-x由AEPDPC，知=2=2，解得x=8此时AP=4，AE=4符合题意故存在点P，使DPC的周长等于AEP周长的2倍，DP=8点拨本题考查用相似三角形的性质得到等量关系（比例式），建立方程解决实际问题除了掌握相似三角形对应

12、边、对应角的性质以外，还要注意相似三角形对应线段（对应高，对应中线，对应角平分线）之比和周长之比都等于相似比；解决存在性问题时，一般先假设存在，建立方程，若方程有解，并且经过检验解符合题意，则存在；若方程无解或解不符合题意，则不存在2011年真题一、选择题1.（2011浙江金华，9，3分）如图，西安路与南京路平行，并且与八一街垂直，曙光路与环城路垂直.如果小明站在南京路与八一街的交叉口，准备去书店，按图中的街道行走，最近的路程约为（）A.600mB.500mC.400mD.300m【答案】B2.（2011安徽，9，4分）如图，四边形ABCD中，BAD=ADC=90°，AB=AD=2，

13、CD=，点P在四边形ABCD的边上若P到BD的距离为，则点P的个数为（）A1B2C3D4【答案】B3.（2011广东东莞，31,3分）将左下图中的箭头缩小到原来的，得到的图形是（）【答案】4.（2011浙江省，6，3分）如图，直角三角形纸片的两直角边长分别为6、8，按如图那样折叠，使点A与点B重合，折痕为DE，则SBCE：SBDE等于（）A.2：5B.14:25C.16:25D.4:21【答案】B5.（2011浙江台州，5,4分）若两个相似三角形的面积之比为1:4，则它们的周长之比为（）A.1:2B.1:4C.1:5D.1:16【答案】A6.（2011浙江省嘉兴，7，4分）如图，边长为4的等边

14、ABC中，DE为中位线，则四边形BCED的面积为（）（A）（B）（C）（D）（第7题）【答案】B7.（2011浙江丽水，9，3分）如图，西安路与南京路平行，并且与八一街垂直，曙光路与环城路垂直.如果小明站在南京路与八一街的交叉口，准备去书店，按图中的街道行走，最近的路程约为（）A.600mB.500mC.400mD.300m【答案】B8.（2011台湾台北，26）图(十)为一，其中D、E两点分别在、上，且31，29，30，32。若，则图中、的大小关系，下列何者正确？ABCD【答案】D9.（2011甘肃兰州，13，4分）现给出下列四个命题：无公共点的两圆必外离；位似三角形是相似三角形；菱形的面积

15、等于两条对角线的积；对角线相等的四边形是矩形。其中真命题的个数是A1B2C3D4【答案】A10（2011山东聊城，11，3分）如图，在直角坐标系中，矩形OABC的顶点O在坐标原点，边OA在x轴上，OC在y轴上，如果矩形OABC与矩形OABC关于点O位似，且矩形OABC的面积等于矩形OABC面积的，那么点B的坐标是（）A（3，2）B（2，3）C（2，3）或（2，3）D（3，2）或（3，2）【答案】D11.（2011广东汕头，31,3分）将左下图中的箭头缩小到原来的，得到的图形是（）【答案】12.（2011四川广安，7，3分）下列命题中，正确的是（）A过一点作已知直线的平行线有一条且只有一条B对角

16、线相等的四边形是矩形C两条边及一个角对应相等的两个三角形全等D位似图形一定是相似图形【答案】D13.（2011重庆江津，8，4分）已知如图(1)、(2)中各有两个三角形,其边长和角的度数已在图上标注,图(2)中AB、CD交于O点,对于各图中的两个的两个三角形而言,下列说法正确的是()A.都相似B.都不相似C.只有(1)相似D.只有(2)相似35°75°75°70°(1)ABCDO4368(2)第8题图【答案】A·14.(2011重庆綦江，4，4分)若相似ABC与DEF的相似比为1：3，则ABC与DEF的面积比为（）A1：3B1：9C3：1D1：

17、【答案】：B15.（2011山东泰安，15，3分）如图，点F是ABCD的边CD上一点，直线BF交AD的延长线于点E，则下列结论错误的是A.=B.=C.=D.=【答案】C16.（2011山东潍坊，3，3分）如图，ABC中，BC=2，DE是它的中位线，下面三个结论：DE=1；ADEABC；ADE的面积与ABC的面积之比为1:4。其中正确的有（）A.0个B.1个C.2个D.3个【答案】D17.（2011湖南怀化，6，3分）如图3所示：ABC中，DEBC，AD=5，BD=10，AE=3，则CE的值为A.9B.6C.3D.4【答案】B18.（2011江苏无锡，7，3分）如图，四边形ABCD的对角线AC、

18、BD相交于O，且将这个四边形分成、四个三角形若OAOC=OBOD，则下列结论中一定正确的是()A和相似B和相似C和相似D和相似ABCDOooo（第7题）【答案】B19.（2011广东肇庆，5，3分）如图，已知直线abc，直线m、n与a、b、c分别交于点A、C、E、B、D、F，AC4，CE6，BD3，则BFabcABCDEFmnA7B7.5C8D8.5【答案】B20（2011湖南永州，12，3分）下列说法正确的是（）A等腰梯形的对角线互相平分B一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形C线段的垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等D两边对应成比例且有一个角对应相等的两个三角形相似【答案】

19、C21.（2011山东东营，11，3分）如图，ABC中，A，B两个顶点在x轴的上方，点C的坐标是(-1，0)以点C为位似中心，在x轴的下方作ABC的位似图形ABC，并把ABC的边长放大到原来的2倍设点B的对应点B的横坐标是a，则点B的横坐标是（）ABCDBA第11题-1x1O-11yBAC【答案】D22.（2011重庆市潼南,5,4分）若ABCDEF，它们的面积比为4：1，则ABC与DEF的相似比为A2：1B1：2C4：1D1：4【答案】A23.（2011广东中山，3,3分）将左下图中的箭头缩小到原来的，得到的图形是（）【答案】24.（2011湖北荆州，7，3分）如图，P为线段AB上一点，AD

20、与BC交于E，CPDAB，BC交PD于F，AD交PC于G，则图中相似三角形有A1对B2对C3对D4对第7题图【答案】C25.26.二、填空题1.（2011广东广州市，14，3分）如图3，以点O为位似中心，将五边形ABCDE放大后得到五边形ABCDE，已知OA=10cm，OA=20cm，则五边形ABCDE的周长与五边形ABCDE的周长的比值是图3OABCDEABCDE【答案】2.（2011四川重庆，12，4分）如图，ABC中，DEBC，DE分别交边AB、AC于D、E两点，若AD：AB1：3，则ADE与ABC的面积比为【答案】1：93.（2011江苏苏州，17,3分）如图，已知ABC的面积是的等边

21、三角形，ABCADE，AB=2AD，BAD=45°，AC与DE相交于点F，则AEF的面积等于_（结果保留根号）.【答案】4.5.6.三、解答题1.（2011江西，25，10分）某数学兴趣小组开展了一次活动，过程如下：设BAC=（0°90°）.现把小棒依次摆放在两射线AB，AC之间，并使小棒两端分别落在两射线上.活动一：如图甲所示，从点A1开始，依次向右摆放小棒，使小棒与小棒在两端点处互相垂直，A1A2为第1根小棒.数学思考：（1）小棒能无限摆下去吗？答：.（填“能”或“不能”）（2）设AA1=A1A2=A2A3=1.=度；若记小棒A2n-1A2n的长度为an（n为

22、正整数，如A1A2=a1,A3A4=a2,）,求此时a2，a3的值，并直接写出an（用含n的式子表示）.活动二：如图乙所示，从点A1开始，用等长的小棒依次向右摆放，其中A1A2为第1根小棒，且A1A2=AA1.数学思考：（3）若已经向右摆放了3根小棒，则=，=，=；（用含的式子表示）（4）若只能摆放4根小棒，求的范围.【答案】【答案】解：（1）能（2）22.5°方法一：AA1=A1A2=A2A3=1，A1A2A2A3，A1A3=，AA3=1+.又A2A3A3A4，A1A2A3A4.同理：A3A4A5A6，A=AA2A1=AA4A3=AA6A5，AA3=A3A4，AA5=A5A6，a2

23、=A3A4=AA3=1+,a3=AA3+A3A5=a2+A3A5.A3A5=a2,a3=A5A6=AA5=a2+a2=(+1)2.方法二：AA1=A1A2=A2A3=1，A1A2A2A3，A1A3=，AA3=1+.又A2A3A3A4，A1A2A3A4.同理：A3A4A5A6，A=AA2A1=AA4A3=AA6A5，a2=A3A4=AA3=1+,又A2A3A4=A4A5A6=90°，A2A4A3=A4A6A5，A2A3A4A4A5A6，a3=(+1)2.an=(+1)n-1.(3)(4)由题意得，15°18°.2.（2011江苏宿迁,28,12分）如图，在RtABC

24、中，B90°，AB1，BC，以点C为圆心，CB为半径的弧交CA于点D；以点A为圆心，AD为半径的弧交AB于点E（1）求AE的长度；（2）分别以点A、E为圆心，AB长为半径画弧，两弧交于点F（F与C在AB两侧），连接AF、EF，设EF交弧DE所在的圆于点G，连接AG，试猜想EAG的大小，并说明理由（第28题）【答案】解：（1）在RtABC中，由AB1，BC得ACBCCD，AEADAEACAD（2）EAG36°，理由如下：FAFEAB1，AEFAE是黄金三角形F36°，AEF72°AEAG，FAFEFAEFEAAGEAEGFEAEAGF36°3.（

25、2011广东汕头，21，9分）如图（1），ABC与EFD为等腰直角三角形，AC与DE重合，AB=EF=9，BACDEF90°，固定ABC，将EFD绕点A顺时针旋转，当DF边与AB边重合时，旋转中止.不考虑旋转开始和结束时重合的情况，设DE、DF（或它们的延长线）分别交BC（或它的延长线）于G、H点，如图（2）.（1）问：始终与AGC相似的三角形有及；（2）设CGx，BHy，求y关于x的函数关系式（只要求根据2的情况说明理由）；（3）问：当x为何值时，AGH是等腰三角形？【解】（1）HGA及HAB；（2）由（1）可知AGCHAB，即，所以，（3）当CG时，GAC=HHAC，ACCHAG

26、AC，AGGH又AHAG，AHGH此时，AGH不可能是等腰三角形；当CG=时，G为BC的中点，H与C重合，AGH是等腰三角形；此时，GC=，即x=当CG时，由（1）可知AGCHGA所以，若AGH必是等腰三角形，只可能存在AG=AH若AG=AH，则AC=CG，此时x=9综上，当x=9或时，AGH是等腰三角形4.（2011湖南怀化，21，10分）如图8，ABC,是一张锐角三角形的硬纸片，AD是边BC上的高，BC=40cm,AD=30cm,从这张硬纸片上剪下一个长HG是宽HE的2倍的矩形EFGH，使它的一边EF在BC上，顶点G、H分别在AC，AB上，AD与HG的交点为M.(1) 求证：(2) 求这个

27、矩形EFGH的周长.【答案】(1) 解：四边形EFGH为矩形EFGHAHG=ABC又HAG=BACAHGABC（2）由（1）得设HE=x，则HG=2x，AM=AD-DM=AD-HE=30-x可得，解得，x=12，2x=24所以矩形EFGH的周长为2×（12+24）=72cm.5.（2011上海，25，14分）在RtABC中，ACB=90°，BC=30，AB=50点P是AB边上任意一点，直线PEAB，与边AC或BC相交于E点M在线段AP上，点N在线段BP上，EM=EN，sinEMP=（1）如图1，当点E与点C重合时，求CM的长；（2）如图2，当点E在边AC上时，点E不与点A、

28、C重合，设AP=x，BN=y，求y关于x的函数关系式，并写出函数的定义域；（3）若AMEENB（AME的顶点A、M、E分别与ENB的顶点E、N、B对应），求AP的长图1图2备用图【答案】（1）ACB=90°，AC=40S=,CP=24在RtCPM中，sinEMP=，CM=26（2）由APEACB，得，即，PE=在RtMPE中，sinEMP=，EM=PM=PN=AP+PN+NB=50，x+y=50y=(0<x<32)（3）第三问：由于给出对应顶点，那么解法一可以直接运用相似和三角比求出对应边长再列比例式求解。本题还可以通过角度之间的关系转换求解，个人认为从角度入手更加简洁直

29、观方法如下：当点E在线段AC上时，AMEENB，EM=EN，设AP=x，由（2）知EM=，AM=，NB=解得x1=22，x2=0（舍去）即AP=22当点E在线段BC上时，根据外角定理，ACEEPM，CE=设AP=x，易得BE=，CE=3030=解得x=42即AP=42AP的长为22或426.（2011四川绵阳25，14）已知ABC是等腰直角三角形，A=90°，D是腰AC上的一个动点，过C作CE垂直于BD或BD的延长线，垂足为E,如图1.(1)若BD是AC的中线，如图2，求的值；(2)若BD是ABC的角平分线，如图3，求的值；(3)结合（1)、（2)，请你推断的值的取值范围（直接写出结

30、论，不必证明），并探究的值能小于吗？若能，求出满足条件的D点的位置；若不能，请说明理由.【答案】(1)设AD=x,则AB=2x,根据勾股定理，可得BD=x,ABDCDE,可得CE=x,所以=（2）设AD=x,根据角平分线定理，可知DC=x，AB=x+x,由勾股定理可知BD=ABDCDE，,EC=,=2,(3)由前面两步的结论可以看出，,所以这样的点是存在的，D在AC边的五等分点和点A之间7.（2011湖北武汉市，24，10分）（本题满分10分）（1）如图1，在ABC中，点D，E，Q分别在AB，AC，BC上，且DEBC，AQ交DE于点P求证：（2）如图，在ABC中，BAC=90°，正方

31、形DEFG的四个顶点在ABC的边上，连接AG，AF分别交DE于M，N两点如图2，若AB=AC=1，直接写出MN的长；如图3，求证MN2=DM·EN【答案】（1）证明：在ABQ中，由于DPBQ，ADPABQ，DP/BQAP/AQ同理在ACQ中，EP/CQAP/AQDP/BQEP/CQ（2）（3）证明：BC=90°，CEFC=90°B=CEF，又BGD=EFC，BGDEFCDG/CFBG/EF，DG·EFCF·BG又DGGFEF，GF2CF·BG由（1）得DM/BGMN/GFEN/CF（MN/GF）2(DM/BG)·(EN/CF

32、)MN2DM·EN8.（2011河北，20，8分）如图10，在6×8网格图中，每个小正方形边长均为1，点O和ABC的顶点均在小正方形的顶点.（1）以O为位似中心，在网格图中作ABC和ABC位似，且位似比为12；（2）连接（1）中的AA,求四边形AACC的周长.（结果保留根号）【答案】（1）如下图.（2）四边形AACC的周长=4+62011中考模拟分类汇编：相似形一、选择题1、（2011年北京四中模拟26）在比例尺1：6000000的地图上，量得南京到北京的距离是15，这两地的实际距离是（）A0.9B.9C.90D.900答案：D2、（2011杭州模拟26）如图所示，平地上一

33、棵树高为6米，两次观察地面上的影子，第一次是当阳光与地面成60°时，第二次是阳光与地面成30°时，第二次观察到的影子比第一次长()A.B.C.D.答案：BADBEC3（2011年杭州三月月考）如图，在中，的垂直平分线交的延长线于点，则的长为（）(A)(B)(C)(D)2答案：B4（2011年三门峡实验中学3月模拟）如图，在ABC中，点D、E分别是AB、AC的中点，则下列结论：BC=2DE；ADEABC；其中正确的有（）A、3个B、2个C、1个D、0个答案：A(第4 题) 5.（安徽芜湖2011模拟）如图，在等边ABC中，D为BC边上一点，E为AC边上一点，且ADE=60&#

34、176;，BD=3，CE=2，则ABC的边长为（）A9B12C15D18答案:A6.（2011深圳市三模）为了弘扬雷锋精神，某中学准备在校园内建造一座高2m的雷锋人体雕像，向全体师生征集设计方案.小兵同学查阅了有关资料，了解到黄金分割数常用于人体雕像的设计中。如图是小兵同学根据黄金分割数设计的雷锋人体雕像的方案，其中雷锋人体雕像下部的设计高度(精确到0.01m，参考数据：错误！未找到引用源。1.414，错误！未找到引用源。1.732，错误！未找到引用源。2.236)是（）A.0.62mB.0.76mC.1.24mD.1.62m答案：C7、（2011杭州模拟20）下列四个三角形，与左图中的三角形

35、相似的是（）第7题（A）（B）（C）（D）答案：B8、（2011年黄冈浠水模拟1）如图，AB/CD，AE/FD，AE、FD分别交BC于点G、H，则图中共有相似三角形（）.A.4对B.5对C.6对D.7对答案：C标准对数视力表0.14.00.124.10.154.29.（2011年海宁市盐官片一模）视力表对我们来说并不陌生如图是视力表的一部分，其中开口向上的两个“E”之间的变换是（）A平移B旋转C对称D相似答案：D10.（2011年浙江杭州三模）（）答案：C二、填空题1（2011年杭州市上城区一模）将三角形纸片（ABC）按如图所示的方式折叠，使点B落在边AC上，记为点B，折痕为EF已知ABAC6

36、，BC8，若以点B，F，C为顶点的三角形与ABC相似，那么BF的长度是答案：4，2、（北京四中模拟）如图，在中，则答案：93.（2011年浙江杭州二模）如图，光源P在横杆AB的正上方，PAB在灯光下的影子为CD，AB点P到CD的距离是2.7m，则AB与CD间的距离是_m。CD答案：1.8EABCFB（第4题）4（2011杭州上城区一模）将三角形纸片（ABC）按如图所示的方式折叠，使点B落在边AC上，记为点B，折痕为EF已知ABAC6，BC8，若以点B，F，C为顶点的三角形与ABC相似，那么BF的长度是答案：4，5、（2011年北京四中34模）已知三个边长分别为2、3、5的正三角形从左到右如图排

37、列，则图中阴影部分面积为答案：6（2011深圳市中考模拟五）.如果一个三角形的三边长为5、12、13，与其相似的三角形的最长的边为39，那么较大的三角形的周长，面积答案:90，2707.（浙江杭州金山学校2011模拟）（浙江杭州金山学校2011模拟）（原创）与的比例中项是.答案：±18.（浙江杭州进化2011一模）已知，且，则b=.答案：4三、解答题1、（2011年北京四中模拟26）已知：如图，D是AC上一点，BEAC，BE=AD，AE分别交BD、BC于点F、G，1=2。（2）探索线段BF、FG、EF之间的关系，并说明理由。答案：解：（2）理由：。又，即。2、(2011年浙江省杭州市

38、中考数学模拟22)（本小题满分6分）如图，已知是的直径，过点作弦的平行线，交过点的切线于点，连结。（第2题）（1）求证：；（2）若，求的长答案：3、（2011杭州模拟）如图，已知等边三角形AEC，以AC为对角线做正方形ABCD（点B在AEC内，点D在AEC外）。连结EB，过E作EFAB，交AB的延长线为F。（1）猜测直线BE和直线AC的位置关系，并证明你的猜想。（2）证明：BEFABC，并求出相似比。解：(1)猜测BE和直线AC垂直1分证明AEBCEB(SSS)2分说明EB是AEC的平分线，再利用等腰三线合一即可2分（2）证明EBF=45°即可证明BEFABC2分延长EB交AC于G，

39、设AC为2a，则BG=a，EB=,所以3分4（2011年杭州三月月考）如图,已知在等腰ABC中,A=B=30°,过点C作CDAC交AB于点D.(1)尺规作图：过A，D，C三点作O（只要求作出图形，保留痕迹，不要求写作法）；(2)求证：BC是过A，D，C三点的圆的切线；(3)若过A，D，C三点的圆的半径为,则线段BC上是否存在一点P，使得以P，D，B为顶点的三角形与BCO相似.若存在，求出DP的长；若不存在，请说明理由.答案：解：（1）作出圆心O，以点O为圆心，OA长为半径作圆.（2）证明：CDAC,ACD=90°.AD是O的直径连结OC，A=B=30°,ACB=1

40、20°,又OA=OC,ACO=A=30°,BCO=ACB-ACO=120°-30°=90°.BCOC,BC是O的切线.（3）存在.BCD=ACB-ACD=120°-90°=30°,BCD=B,即DB=DC.又在RtACD中，DC=AD,BD=.解法一：过点D作DP1/OC，则P1DBCOB,，BO=BD+OD=,P1D=×OC=×=.过点D作DP2AB,则BDP2BCO,，BC.解法二：当BP1DBCO时，DP1B=OCB=90°.在RtBP1D中，DP1=.当BDP2BCO时，P2D

41、B=OCB=90°.在RtBP2D中，DP2=.5（2011年杭州三月月考）已知一个直角三角形纸片，其中如图，将该纸片放置在平面直角坐标系中，折叠该纸片，折痕与边交于点，与边交于点（1）若折叠后使点与点重合，求点的坐标；（2）若折叠后点落在边上的点为，设，试写出关于的函数解析式，并确定的取值范围；xyBOAxyBOA（3）若折叠后点落在边上的点为，且使，求此时点的坐标答案：解（1）如图，折叠后点与点重合，则.设点的坐标为.则.于是.在中，由勾股定理，得，即，解得.点的坐标为（2）如图，折叠后点落在边上的点为,则.由题设，则，在中，由勾股定理，得.，即由点在边上，有，解析式为所求.当时

42、，随的增大而减小，的取值范围为.（3）如图，折叠后点落在边上的点为，且.则.又，有.有，得.在中，设，则.由（2）的结论，得，解得.点的坐标为.6（2011年三门峡实验中学3月模拟）已知线段OAOB，C为OB上中点，D为AO上一点，连AC、BD交于P点（1）如图1，当OA=OB且D为AO中点时，求的值；图 1（2）如图2，当OA=OB，=时，求tanBPC；图 2答案：（1）过C作CEOA交BD于E，则BCEBOD得CE=OD=AD；再由ECPDAP得；（2）过C作CEOA交BD于E，设AD=x，AO=OB=4x，则OD=3x，由BCEBOD得CE=OD=x，再由ECPDAP得；由勾股定理可知

43、BD=5x，DE=x，则，可得PD=AD=x，则BPC=DPA=A，tanBPC=tanA=。7.（浙江杭州靖江2011模拟）(本小题满分6分)如图，ABC中，ABAC，BAC108°（1）只用直尺和圆规作图，首先在BC上截取BDAB，再作BD的中垂线，交AB于E，连结AD，DE。（2）与BDE相似的三角形有_。（直接写出答案）（原创）答案：（1）图如下，作出弧AD得1分，作出BD的中垂线得2分，连结AD，DE得1分。（2）ADC和ABC2分8.已知均不为0，且，求的值。（原创）答案：解：设k，则.1分.1分由+得，2b+2c=12k,b+c=6k1分由，得4b=9k,b=，分别代入

44、，得，a=,c=2分1分9（安徽芜湖2011模拟）（本题满分10分）如图，在ABC中，AB=AC，以AB为直径的O交AC与E，交BC与D求证：（1）D是BC的中点；（2）BECADC；（3）BC2=2AB·CE答案:（1）证明：AB是O的直径，ADB=90°，即AD是底边BC上的高1分又AB=AC，ABC是等腰三角形，D是BC的中点；3分(2)证明：CBE与CAD是同弧所对的圆周角，CBE=CAD5分又BCE=ACD，BECADC；6分（3）证明：由BECADC，知，即CD·BC=AC·CE8分D是BC的中点，CD=BC又AB=AC，CD·BC

45、=AC·CE=BC·BC=AB·CE即BC=2AB·CE10分10.（安徽芜湖2011模拟）（本题满分12分）如图，方格纸中每个小正方形的边长为1，ABC和DEF的顶点都在方格纸的格点上(1)判断ABC和DEF是否相似，并说明理由；(2)P1，P2，P3，P4，P5，D，F是DEF边上的7个格点，请在这7个格点中选取3个点作为三角形的顶点，使构成的三角形与ABC相似(要求写出2个符合条件的三角形，并在图中连结相应线段，不必说明理由)ACBFEDP1P2P3P4P5答案:解：(1)ABC和DEF相似1分根据勾股定理，得，BC=5；，5分ABCDEF6分(2

46、)答案不唯一，下面6个三角形中的任意2个均可ACBFEDP1P2P3P4(第23题)P5P2P5D，P4P5F，P2P4D， P4P5D，P2P4P5，P1FD12分11.（河南新乡2011模拟）（10分）如图，梯形ABCD中，点在上，连与的延长线交于点G（1）求证：；DCFEABG（2）当点F是BC的中点时，过F作交于点，若，求的长答案：（1）证明：梯形，DCFEABG，.2分.4分（2）由（1），又是的中点，.7分又，得，10分12.（浙江杭州金山学校2011模拟）（14分）（根据历城市2011年中考第一次模拟考试数学试卷改编）已知：直角梯形OABC中，BCOA，AOC=90°，

47、以AB为直径的圆M交OC于DE，连结AD、BD、BE。(1)在不添加其他字母和线的前提下，直接写出图1中的两对相似三角形。_，_。(2)直角梯形OABC中，以O为坐标原点，A在x轴正半轴上建立直角坐标系（如图2），若抛物线经过点ABD，且B为抛物线的顶点。写出顶点B的坐标（用a的代数式表示）_。求抛物线的解析式。在x轴下方的抛物线上是否存在这样的点P：过点P做PNx轴于N，使得PAN与OAD相似？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由。图2答案：（1）OADCDB.ADBECB4分（2）（1，4a）1分OADCDB1分ax22ax3a=0，可得A（3，0）2分又OC=4a，OD=3a，CD

48、=a，CB=1，故抛物线的解析式为：2分存在，设P（x，x2+2x+3）PAN与OAD相似，且OAD为等腰三角形PN=AN当x<0（x<1）时，x+3=(x2+2x+3)，x1=2，x2=3(舍去)，P（2，5）2分当x>0（x>3）时，x3=(x2+2x+3)，x1=0，x2=3(都不合题意舍去)1分符合条件的点P为（2，5）1分13.（浙江杭州进化2011一模）(本小题满分8分)BCADEFG已知：如图，在ABC中，AB=AC，DEBC，点F在边AC上，DF与BE相交于点G，且EDF=ABE求证：（1）DEFBDE；（2）答案：(本小题满分8分)证明：（1）AB=AC，ABC=ACB1分DEBC，ABC+BDE=180°，ACB+CED=180°BDE=CED1分EDF=ABE，DEFBDE1分BCADEFG（2）由DEFBDE，得1分由DEFBDE，得BED=DFEGDE=EDF，GDEEDF1分1分1分1分14.（2011年杭州市模拟）（本题6分）如图，是正方形网格中的格点