材料力学第5版(孙训方编)第四章

1、第四章第四章 弯曲应力弯曲应力4-1 4-1 对称弯曲的概念及梁的计算简图对称弯曲的概念及梁的计算简图4- -2 梁的剪力和弯矩梁的剪力和弯矩 剪力图和弯矩图剪力图和弯矩图4- -3 平面刚架和曲杆的内力图平面刚架和曲杆的内力图4- -4 梁横截面上的正应力梁横截面上的正应力 梁的正应力强度条件梁的正应力强度条件4- -5 梁横截面上的切应力梁横截面上的切应力 梁的切应力强度条件梁的切应力强度条件4- -6 梁的合理设计梁的合理设计 -3 -3 惯性矩和惯性积的平行移轴公式惯性矩和惯性积的平行移轴公式 组组 合截面的惯性矩和惯性积合截面的惯性矩和惯性积 -4 -4 惯性矩和惯性积的转轴公式惯性

2、矩和惯性积的转轴公式 截面的截面的主主 惯性矩和主惯性积惯性矩和主惯性积4- -1 对称弯曲的概念及梁的计算简图对称弯曲的概念及梁的计算简图. 关于弯曲的概念关于弯曲的概念 受力特点： 杆件在包含其轴线的纵向平面内，承受垂直于轴线垂直于轴线的横向外力或外力偶作用（区别于扭转）。 变形特点： 直杆的轴线在变形后变为曲线。 梁以弯曲为主要变形的杆件称为梁。第四章第四章 弯曲应力弯曲应力弯曲变形第四章第四章 弯曲应力弯曲应力第四章第四章 弯曲应力弯曲应力工程实例F2F1纵向对称面 对称弯曲对称弯曲外力作用于梁的纵向对称面内，因而变形后梁的轴线(挠曲线)是在该纵对称面内的平面曲线。 非对称弯曲非对称弯

3、曲梁不具有纵对称面(例如Z形截面梁)，因而挠曲线无与它对称的纵向平面；或梁虽有纵对称面但外力并不作用在纵对称面内，从而挠曲线不与梁的纵对称面一致。第四章第四章 弯曲应力弯曲应力本章讨论对称弯曲时梁的内力和应力。 对称弯曲时和特定条件下的非对称弯曲时，梁的挠曲线与外力所在平面相重合，这种弯曲称为平面弯曲(对称弯曲对称弯曲以及特殊条件下的非对称弯曲）以及特殊条件下的非对称弯曲）。第四章第四章 弯曲应力弯曲应力. . 梁的计算简图梁的计算简图 对于对称弯曲的直梁，外力为作用在梁的纵对称面内的平面力系，故在计算简图中通常通常就用梁的轴线来代表梁。 这里加“通常”二字是因为简支梁在水平面内对称弯曲时不能

4、用轴线代表梁。第四章第四章 弯曲应力弯曲应力F(1) 支座的基本形式支座的基本形式1. 固定端实例如图a，计算简图如图b, c。第四章第四章 弯曲应力弯曲应力(b)(c)MRFRxFRy(a) 2. 固定铰支座实例如图中左边的支座，计算简图如图b，e。 3. 可动铰支座实例如图a中右边的支座，计算简图如图c，f。第四章第四章 弯曲应力弯曲应力悬臂梁(2) 梁的基本形式梁的基本形式简支梁外伸梁第四章第四章 弯曲应力弯曲应力 在竖直荷载作用下，图a，b，c所示梁的约束力均可由平面力系的三个独立的平衡方程求出，称为静定梁。(3) 静定梁和超静定梁静定梁和超静定梁 图d，e所示梁及其约束力不能单独利用

5、平衡方程确定，称为超静定梁。第四章第四章 弯曲应力弯曲应力4-2 梁的剪力和弯矩梁的剪力和弯矩剪力图和弯矩图剪力图和弯矩图. 梁的剪力和弯矩梁的剪力和弯矩(shearing force and bending moment) 图a所示跨度为l的简支梁其约束力为lFaFlalFFBA , 梁的左段内任一横截面mm上的内力，由mm左边分离体(图b)的平衡条件可知：xlalFxFMlalFFFAA,S第四章第四章 弯曲应力弯曲应力 截面法截面法 它们的指向和转向如图b中所示。显然这些内力是 mm右边的梁段对于左边梁段的作用力和作用力矩。 故根据作用与反作用原理，mm左边的梁段对于右边梁段(图c)的作

6、用力和作用力矩数值应与上式所示相同，但指向和转向相反。这一点也可由mm右边分离体的平衡条件加以检验：第四章第四章 弯曲应力弯曲应力0, 0SByFFFF00 xlFxaFMMBClalFlFaFFFFBS从而有xlalFxllFaxaFxlFxaFMB从而有第四章第四章 弯曲应力弯曲应力 梁的横截面上位于横截面内的内力FS是与横截面左右两侧的两段梁在与梁轴相垂直方向的错动(剪切)相对应，故称为剪力（参见课本P8）；梁的横截面上作用在纵向平面内的内力偶矩是与梁的弯曲相对应，故称为弯矩。第四章第四章 弯曲应力弯曲应力 为使无论取横截面左边或右边为分离体，求得同一横截面上的剪力和弯矩其正负号相同，剪

7、力和弯矩的正负号要以其所在横截面处梁的微段的变形情况确定，如图。第四章第四章 弯曲应力弯曲应力剪力正负号：剪力正负号：dx微段，微段，左端向上右端向下时，左端向上右端向下时，为正。反之为负。为正。反之为负。弯矩正负号：弯矩正负号：dx微段下微段下凸为正，及下半部纵向凸为正，及下半部纵向受拉。反之为负。受拉。反之为负。简化计算：梁某截面上的剪力和弯矩可直接从横截面任意一侧梁上的外力进行简化： (1) 横截面上的剪力在数值上等于截面左侧（或右侧）梁段上外力的代数和。左侧梁段左侧梁段上向上的外力上向上的外力（或右侧梁段上向下的外力）将引起正值的剪力将引起正值的剪力；反之，则引起负值的剪力。(2) 横

8、截面上的弯矩在数值上等于截面左侧（或右侧）梁段上外力对该截面形心的力矩对该截面形心的力矩之代数和之代数和。第四章第四章 弯曲应力弯曲应力 1. 不论在左侧梁段上或右侧梁段不论在左侧梁段上或右侧梁段上，向上的外力均将引起正值的弯矩上，向上的外力均将引起正值的弯矩，而向下的外力则引起负值的弯矩。 2. 截面左侧梁段上顺时针转向的左侧梁段上顺时针转向的外力偶引起正值的弯矩外力偶引起正值的弯矩，而逆时针转向的外力偶则引起负值的弯矩；截面右侧梁段上的外力偶引起的弯矩其正负与之相反。第四章第四章 弯曲应力弯曲应力. . 剪力方程和弯矩方程剪力方程和弯矩方程剪力图和弯矩图剪力图和弯矩图 剪力方程和弯矩方程实

9、际上是表示梁的横截面上的剪力和弯矩随截面位置变化的函数式，它们分别表示剪力和弯矩随截面位置的变化规律。显示这种变化规律的图形则分别称为剪力图和弯矩图。第四章第四章 弯曲应力弯曲应力剪力方程和弯矩方程剪力方程和弯矩方程（表示沿梁各横截面上剪力和弯矩的变化规律） xMMxFFsSS 例题例题4- -1（补充）（补充） 图a所示悬臂梁悬臂梁受集度为q的满布均布荷载作用。试作梁的剪力图和弯矩图。第四章第四章 弯曲应力弯曲应力(a) 距右端为x的任意横截面上的剪力FS(x)和弯矩M(x)，根据截面右侧梁段上的荷载有 lxqxxqxxMlxqxxF02202S解：1. 列剪力方程和弯矩方程剪力方程和弯矩方

10、程 当求悬臂梁横截面上的内力(剪力和弯矩)时，若取包含自由端截面的一侧梁段来计算，则可不求出约束力。第四章第四章 弯曲应力弯曲应力 xMFS(x)2. 作剪力图和弯矩图 根据剪力方程和弯矩方程作出剪力图和弯矩图分别如图b和图c。按照习惯，剪力图中正值的剪力值绘于x轴上方，弯矩图中正值的弯矩值则绘于弯矩图中正值的弯矩值则绘于x轴的下方轴的下方(即弯矩值绘于梁弯矩值绘于梁弯曲时其受拉的边缘一侧弯曲时其受拉的边缘一侧)。 lxqxxF0S lxqxxqxxM0 222第四章第四章 弯曲应力弯曲应力 (b)(c) 抛物线：凹凸？ 由图可见，此梁横截面上的最大剪力其值为FS,max=ql，最大弯矩(按绝

11、对值)其值为 (负值)，它们都发生在固定端右侧横截面上。22maxqlM第四章第四章 弯曲应力弯曲应力 (b) (c) (a) 例题例题4-2 图a所示简支梁简支梁受集度为q的满布荷载作用。试作梁的剪力图和弯矩图。解：解：1. 求支反力2qlFFBA第四章第四章 弯曲应力弯曲应力(a)2. 列剪力方程和弯矩方程 lxqxqlqxFxFA02S lxqxqlxxqxxFxMA02222 xMFS(x)第四章第四章 弯曲应力弯曲应力 由图可见，此梁横截面上的最大剪力(按绝对值)其值为 (正值，负值)，发生在两个支座各自的内侧横截面上；最大弯矩其值为 ,即d(M(x)/dx=0时，x=l/2,发生在

12、跨中横截面上。2max,SqlF82maxqlM3. 作剪力图和弯矩图 lxqxqlxF02S lxqxqlxxM0222第四章第四章 弯曲应力弯曲应力 简支梁受满布荷载作用是工程上常遇到的计算情况，初学者对于此种情况下的剪力图、弯矩图和FS,max，Mmax的计算公式应牢记在心！第四章第四章 弯曲应力弯曲应力2max,SqlF82maxqlM 例题例题4-3 图a所示简支梁简支梁受集中荷载F 作用。试作梁的剪力图和弯矩图。第四章第四章 弯曲应力弯曲应力F(a)解：解：1. 求约束力lFaFlFbFBA ,2. 列剪力方程和弯矩方程 此梁上的集中荷载将梁分隔成AC和CB两段，两段内任意横截面同

13、一侧梁段上的外力显然不同，可见这两段梁的剪力方程和弯矩方程均不相同，因此需分段列出。第四章第四章 弯曲应力弯曲应力FAC段梁 axxlFbxFxMaxlFbFxFAA0 0 S xMFS(x)lFaFlFbFBA ,CB段梁 lxalFalblFFlFbxFS第四章第四章 弯曲应力弯曲应力FFx xMFS(x) lxaxllFaaxFxlFbxM lFaFlFbFBA ,如截面法，保留右侧梁，计算更简便。3. 作剪力图和弯矩图 如图b及图c。由图可见，在b a的情况下，AC段梁在0 xa的情况下，C截面右侧(x=a+)横截面上的弯矩绝对值最大， 为 （负值)。弯矩图在集中力偶作用处有突变，也是

14、因为集中力偶实际上只是作用在梁上很短长度范围内的分布力矩的简化。lMFeSlbMMemax第四章第四章 弯曲应力弯曲应力剪力图和弯矩图规律：剪力图和弯矩图规律：（书上P106）1、梁上外力不连续处外力不连续处（即在集中力、集中力偶作用处、分布载荷开始和结束处），梁的弯矩方程和弯矩图应该分段弯矩方程和弯矩图应该分段。对于剪力方程和剪力图，也应分段对于剪力方程和剪力图，也应分段（注意：此处外力不连续，不包括集中力偶的情形不包括集中力偶的情形）。2、梁上集中力作用处，剪力图有突变梁上集中力作用处，剪力图有突变，其左右两侧横截面上剪力的代数差，即等于集中力的值。而在弯矩图上相应弯矩图上相应处形成一个尖

15、角（例题处形成一个尖角（例题4-3）。3、在集中力偶作用处，剪力图无变化在集中力偶作用处，剪力图无变化。弯矩图有突变弯矩图有突变，其，其左右两侧横截面上弯矩的代数差，等于集中力偶（例题左右两侧横截面上弯矩的代数差，等于集中力偶（例题4-4）。）。 例题例题4-2 所示简支梁简支梁受集度为q的满布荷载作用。试作梁的剪力图和弯矩图。第四章第四章 弯曲应力弯曲应力 lxqxqlxF02S lxqxqlxxM0222. . 弯矩、剪力与荷载集度之间的关系及其应用弯矩、剪力与荷载集度之间的关系及其应用例4-2中： )(SxqqdxxdF )(2xFqxqldxxdMs. . 弯矩、剪力与荷载集度之间的关

16、系及其应用弯矩、剪力与荷载集度之间的关系及其应用 )(22xqqxdxMd结论：结论：将弯矩函数将弯矩函数M(x)对对x求导数，得到剪力函数求导数，得到剪力函数Fs(x)；将剪力函数将剪力函数Fs(x)对对x求导，得到均布载荷的求导，得到均布载荷的集度集度q。. . 弯矩、剪力与荷载集度之间的关系及其应用弯矩、剪力与荷载集度之间的关系及其应用M(x), FS(x)与q(x)间微分关系的导出 从图a所示简支梁的有分布荷载的区段内，取出长为dx的梁段，如图b所示。这里分布荷载的集度q(x)以向上为正值，且略去荷载集度在微量dx范围内的变化。梁的微段其左、右横截面上的剪力和弯矩均为正值。第四章第四章

17、 弯曲应力弯曲应力 0dd0SSSxxqxFxFxFFy从而得： xqxxFddS 02dddd0SxxxqxxFxMxMxMMC得及00CyMF由梁的微段的平衡方程略去二阶无穷小项 ，即得 2ddxxxq xFxxMSdd第四章第四章 弯曲应力弯曲应力 应用这些关系时需要注意，向上的分布荷载集度为正值，反之则为负值。由以上两个微分关系式又可得 xqxxM22dd第四章第四章 弯曲应力弯曲应力常见荷载下常见荷载下FS，M图的一些特征图的一些特征向上）(0 cq向下）(0 cq0q)0(ScbcxF)0(212cdbxcxM)0(ScbcxF)0(212cdbxcxMcF SbcxM第四章第四章

18、 弯曲应力弯曲应力外力剪力图弯矩图集中力作用处集中力偶作用处 若某截面的剪力FS(x)=0，根据 ，该截面的弯矩为极值。 0)(d)(dSxFxxM第四章第四章 弯曲应力弯曲应力 利用以上各点，除可以校核已作出的剪力图和弯矩图是否正确外，还可以利用微分关系绘制剪力图和弯矩图，而不必再建立剪力方程和弯矩方程，其步骤如下： (1) 求支座约束力； (2) 分段确定剪力图和弯矩图的形状； (3) 求控制截面内力，根据微分关系绘剪力图和弯矩图； (4) 确定|FS|max和|M|max 。第四章第四章 弯曲应力弯曲应力 例题4-7 一简支梁在其中间部分受集度为 q=100 kN/m的向下的均布荷载作用

19、，如图a所示。试利用弯矩、剪力与分布荷载集度间的微分关系校核图b及图c所示的剪力图和弯矩图。第四章第四章 弯曲应力弯曲应力x+-80 kN80 kNFSxFS 图+164816xMM图（kNm）yFAFBABCDE1.6 m0.2 m2 mq(a)(b)(c)kN80m6 . 1mkN10021BAFF而根据 可知，AC段内的剪力图应当是水平直线。段内的剪力图应当是水平直线。该段内梁的横截面上剪力的值显然为 xqxxFddSkN80SAFF1. 校核剪力图 解：解：此梁的荷载及约束力均与跨中对称，故知约束力FA，FB为第四章第四章 弯曲应力弯曲应力+-80 kN80 kNFSxFS 图yFAF

20、BABCDE1.6 m0.2 m2mq 该梁的该梁的AC段内无荷载，段内无荷载， 对于该梁的对于该梁的CD段段，分布荷载的集度分布荷载的集度q为常量，且因荷载系向下而在微分关系中应为负值，即q=-100 kN/m。kN80m6 . 1kN/m100kN80第四章第四章 弯曲应力弯曲应力+-80 kN80 kNFSxFS 图yFAFBABCDE1.6 m0.2m2 mq xqxxFddS kN/m100ddSxxF 根据 可知CD段内的剪力图确应为向右下方剪力图确应为向右下方倾斜的斜直线倾斜的斜直线。由于由于C点处无集中力作用，剪力图在该处无点处无集中力作用，剪力图在该处无突变，突变，故斜直线左

21、端的纵坐标确为80 kN。根据斜直线的斜率为 ，可证实D截面处的剪力确应为 对于该梁的对于该梁的DB段，段，梁上无荷载，故剪力图应该是水平直线；且由于D点处无集中力作用，剪力图在该处无突变，故该水平直线的纵坐标确为-80 kN。显然支座B偏左横截面上的剪力就是kN80SBFF第四章第四章 弯曲应力弯曲应力+-80 kN80 kNFSxFS 图yFAFBABCDE1.6m0.2 m2 mq2. 校核弯矩图mkN16m2 . 0kN800CM这与图中所示相符。 该梁的该梁的AC段内，剪力为段内，剪力为常量常量，因而根据 常量可知此段梁的弯矩图应此段梁的弯矩图应为斜率为为斜率为 的正值的斜直线。的正

22、值的斜直线。据此，由支座A处横截面上的弯矩为零可知C截面处的弯矩为 xFxxMSddmmkN100kN100即第四章第四章 弯曲应力弯曲应力+-80 kN80 kNFSxFS 图+164816xMM图（kNm）yFAFBABCDE1.6 m0.2 m2 mq 对于该梁的对于该梁的CDCD段，段，根据 可知： mkN100dd22xqxxM 弯矩图是如图弯矩图是如图( (c) )中所示中所示曲率为负曲率为负( (即向下凸即向下凸) )的二次的二次曲线。因为梁上曲线。因为梁上C点处无集中点处无集中力偶作用，故弯矩图在力偶作用，故弯矩图在C截面截面处应该没有突变处应该没有突变；第四章第四章 弯曲应力

23、弯曲应力+-80 kN80 kNFSxFS 图+164816xMM图（kNm）yFAFBABCDE1.6 m0.2m2mq 由于C截面处剪力无突变，故CD段的弯矩图在C处的切线的斜率应该与AC段梁弯矩图在C处的斜率相等，即两段梁的弯矩图在即两段梁的弯矩图在C处应光滑连接处应光滑连接。第四章第四章 弯曲应力弯曲应力+-80 kN80 kNFSxFS 图+164816xMM图（kNm）yFAFBABCDE1.6 m0.2 m2 mqmkN166 . 1100218 . 180)2 . 08 . 1 (218 . 1mkN488 . 010021180)2 . 01 (2112222mqmFMmqm

24、FMADAE 在剪力为零的跨中截面E处，弯矩图切线的斜率为零，而弯矩有极限值，其值为同样，根据 可知， xFxxMSdd这些均与图(c)中所示相符。第四章第四章 弯曲应力弯曲应力+-80 kN80 kNFSxFS 图+164816xMM图（kNm） 对于该梁的对于该梁的DB段段，由于剪力为负值的常量，由于剪力为负值的常量，故弯矩图应该是斜率为负故弯矩图应该是斜率为负的斜直线的斜直线。因为梁上D点处无集中力偶作用，故弯矩图在D截面处不应有突变，再考虑B支座处弯矩为零，即可证实图(c)中此段梁的弯矩图也无误。第四章第四章 弯曲应力弯曲应力+-80 kN80 kNFSxFS 图+164816xMM图

25、（kNm）yFAFBABCDE1.6 m0.2 m2mq已知：图中梁的约束力为 qaFqaFDA2 ，思考（见习题思考（见习题4-54-5）：）：试指出图（a）和图（b）所示梁各自的剪力图和弯矩图中的错误。正确答案：第四章第四章 弯曲应力弯曲应力(a)图中梁的约束力为 qaFqaFBA31 35，正确答案：第四章第四章 弯曲应力弯曲应力(b). 按叠加原理作弯矩图（简介）按叠加原理作弯矩图（简介）第四章第四章 弯曲应力弯曲应力 (1) 在小变形情况下求梁的约束力、剪力和弯矩时，我们都是按梁未变形时的原始尺寸进行计算的，例如对于图a所示悬臂梁，其剪力方程和弯矩方程分别为 lxqxFxxMlxqx

26、FxF0 ,20 ,2S第四章第四章 弯曲应力弯曲应力(a) 这就是说，在小变形情况下，此梁横截面上的剪力和弯矩分别等于集中荷载F和均布荷载q单独作用时(图b和图c)相应内力的代数和叠加。因此该梁的剪力图和弯矩图也就可以利用叠加的方法作出。（工程上可查表附录（工程上可查表附录IV)IV)第四章第四章 弯曲应力弯曲应力(b)(c) (a) (2) 叠加原理 当所求参数(约束力、内力、应力或位移)与梁上(或结构上)荷载成线性关系时，由几项荷载共同作用所引起的某一参数之值，就等于每项荷载单独作用时所引起的该参数值的叠加。第四章第四章 弯曲应力弯曲应力例题4-10：按叠加原理做图（a）简支梁的弯矩图（

27、查附录IV）4- -3 平面刚架和曲杆的内力图平面刚架和曲杆的内力图. . 平面刚架平面刚架 平面刚架由同一平面内不同取向的杆，杆端相互杆端相互间刚性连接间刚性连接的结构。 平面刚架杆件的内力当荷载作用于刚架所在平面内时，杆件横截面上的内力除剪力和弯矩外，还会有轴力。第四章第四章 弯曲应力弯曲应力 作刚架内力图的方法和步骤与梁相同，但因刚架是由不同取向的杆件组成，习惯上按下列约定： 弯矩图，画在各杆的受拉一侧，不注明正、负号； 剪力图及轴力图，可画在刚架轴线的任一侧（通常正值画在刚架外侧），但须注明正负号； 剪力和轴力的正负号仍与前述规定相同。第四章第四章 弯曲应力弯曲应力 例题例题4-11

28、试作图a所示刚架的内力图(即作出组成刚架的各杆的内力图)。第四章第四章 弯曲应力弯曲应力(a)各杆的内力方程为： 0NxFCB杆：(杆的外侧受拉) 1SFxF)0()(1axxFxM 11NFxF(杆的外侧受拉)BA杆： 21SFxF lxxFaFxM112110 解：此刚架的C点为自由端，故求内力时如取包含自由端的那部分分离体作为研究对象，则可不求固定端A处的约束力。第四章第四章 弯曲应力弯曲应力(a) 绘内力图时，轴力图和剪力图可画在各杆的任一侧，但需注明正负号(图b及图c)；弯矩图则画在杆件弯曲时受拉的一侧(图d)。第四章第四章 弯曲应力弯曲应力(a). 平面曲杆平面曲杆 平面曲杆的横截

29、面系指曲杆的法向截面(亦即圆弧形曲杆的径向截面)。当荷载作用于曲杆所在平面内时，其横截面上的内力除剪力和弯矩外也会有轴力 。第四章第四章 弯曲应力弯曲应力例题4-12：一端固定的半圆环在其轴线平面内承受集中载荷F作用，如右图所示。试做该曲杆的内力图。 图a所示A端固定的半圆环在B端受集中荷载F作用时，其任意横截面m m上的内力有 此即内力方程。根据内力方程将内力值在与q 相应的径向线上绘出，即可得到内力图，如图b，图c及图d。 0cosNqqqFF 0sinSqqqFF 外侧受拉为正0cos1qqqFRFxM第四章第四章 弯曲应力弯曲应力-+(c) FN图第四章第四章 弯曲应力弯曲应力F(d)

30、 FS 图+FF附录附录I 截面的几何性质截面的几何性质- 1 截面的静矩和形心位置截面的静矩和形心位置截面的几何性质：l 面积Al 极惯性矩Ipl 静矩 Sx，Syl 惯性矩 Ix，Iy，Izl 惯性积 Ixy，Iyz，Izx附录附录I I 截面的几何性质截面的几何性质静矩或一次矩：静矩或一次矩：任意截面，面积为A。从截面坐标（x，y）处取面积元素dA，中则xdA和ydA分别为该面积元素dA对于y轴和x轴的静矩或一次矩。上式为该截面对y轴和x轴的静矩：Sy，Sx。静矩有正负，单位为m3，或mm3。附录附录I I 截面的几何性质截面的几何性质理论力学中，重心坐标为：AxdAxAAydAyAAS

31、xy匀质薄板的重心与该平面图形的形心重合。截面形心坐标为：ASyx附录附录I I 截面的几何性质截面的几何性质yASx，xASy推论：l 截面对过形心的轴的静矩等于0；l 截面对某轴的静矩等于0，则该轴过截面的形心附录附录I I 截面的几何性质截面的几何性质iinixiiniyyASxAS11，iniiiniiniiiniAyAyAxAx1111，如组合截面由简单截面构成，则整个截面的静矩为：得到组合截面的形心坐标为：附录附录I I 截面的几何性质截面的几何性质例题I-2：求下图截面形心C的位置附录附录I I 截面的几何性质截面的几何性质带入公式，该截面形心坐标为：附录附录I I 截面的几何性

32、质截面的几何性质- 2 极惯性矩极惯性矩 惯性矩惯性矩 惯性积惯性积在任意截面上取截面面积元素dA。AxyAxAyApxydAIdAyIdAxIdAI222极惯性矩：惯性矩：惯性积：惯性矩和极惯性矩恒为正，惯性积可正可负。附录附录I I 截面的几何性质截面的几何性质yxII p222Iyx所以由于附录附录I I 截面的几何性质截面的几何性质简单截面对于形心轴的惯性矩简单截面对于形心轴的惯性矩(1) 矩形截面矩形截面 形心轴（即对称轴）形心轴（即对称轴）12dd32222bhybyAyIhhAx12dd32222hbzhxAxIbbAy附录附录I I 截面的几何性质截面的几何性质以上以上2公式需

33、要记忆公式需要记忆思考思考: : 一长边宽度为 b，高为 h 的平行四边形，它对于形心轴 x 的惯性矩是否也是 ？123bhIx附录附录I I 截面的几何性质截面的几何性质(2) 圆截面圆截面在等直圆杆扭转问题(3- -4)中已求得：32d42pdAIA32ddd4222pdIIAxAyAIyxAAAxoyyxdAd而由图可见，2=y2+x2 , 从而知附录附录I I 截面的几何性质截面的几何性质6424pdIIIyx 根据对称性可知，圆截面对于形心轴x和y的惯性矩Ix和Iy是相等的，Ix= Iy，于是得xoyyxdAd附录附录I I 截面的几何性质截面的几何性质(3) 空心圆截面空心圆截面

34、由于空心圆截面的面积等于大圆的面积AD减去小圆(即空心部分)的面积Ad故有4444442222164646464ddddDdDdDAyAyAyAyIdDdDAAAAAx式中， 。DddOyxD附录附录I I 截面的几何性质截面的几何性质根据对称性可知：dOyxD44164DIIyx附录附录I I 截面的几何性质截面的几何性质- 3 惯性矩和惯性积的平行移轴公式惯性矩和惯性积的平行移轴公式组合组合 截面的惯性矩和惯性积截面的惯性矩和惯性积 工程中常遇到由基本图形构成的组合截面由基本图形构成的组合截面，例如下面例题中所示的两种横截面。当对组合截面杆件计算在外力作用下的应力和变形时需要求出它们对于形

35、心轴形心轴x，y 的一些几何性质，例如：惯性矩 (moment of inertia)AyAxAxIAyIdd22，惯性积 (product of inertia)AxyAxyId附录附录I I 截面的几何性质截面的几何性质 在已知构成组合截面的每一图形对于通过其自身形心且平行于组合截面某个轴(例如x轴)的惯性矩时，组合截面组合截面的惯性矩可利用平行移轴公式求得的惯性矩可利用平行移轴公式求得。组合截面对于某对相互垂直的轴(例如x，y轴)的惯性积也可类似地求得。 y2 y1yx bd1 hOd2x附录附录I I 截面的几何性质截面的几何性质 已知任意形状的截面(如图)的面积A以及对于形心轴xC和

36、yC的惯性矩 及惯性积 ，现需导出该截面对于现需导出该截面对于与形心轴与形心轴xC ， yC平行的平行的x轴和轴和y轴的惯性矩轴的惯性矩Ix，Iy和惯性积和惯性积Ixy。截面的形心C在x，y坐标系内的坐标为CCyxII ，CCyxI。和aybx. 惯性矩和惯性积的平行移轴公式附录附录I I 截面的几何性质截面的几何性质因截面上的任一元素dA在x，y坐标系内的坐标为ayybxxCC ，于是有AaSaIAaAyaAyAayAyICCxxAACACACAx222222 dd2dddAaIICxx2注意到xC轴为形心轴，故上式中的静矩 等于零，从而有CxS附录附录I I 截面的几何性质截面的几何性质同

37、理可得 以上三式就是惯性矩和惯性积的平行移轴公式。需要注意的是式中的a，b为坐标，有正负，应用惯性积平行移轴公式时要特别注意。AbIICyy2abAIICCyxxyAaIICxx2附录附录I I 截面的几何性质截面的几何性质左边左边3个个公式需公式需要记住要记住. 组合截面的惯性矩及惯性积 若组合截面由几个部分组成，则组合截面对于x，y两轴的惯性矩和惯性积分别为nixyixyniyiynixixIIIIII111 ， y2 y1yx bd1 hOd2x附录附录I I 截面的几何性质截面的几何性质 例题例题- - 5 试求图a所示截面对于x轴的惯性矩Ix ，对于y轴的惯性矩Iy ，以及对于x，y

38、轴的惯性积Ixy 。(a)附录附录I I 截面的几何性质截面的几何性质 解：解：将截面看作由一个矩形和两个半圆形组成，半圆形的形心位置如图b所示。212xxxIII(1)求Ix 设矩形对x轴的惯性矩为 ，每个半圆形对x轴的惯性矩为 ，则有1xI2xI其中：4433mm10333512mm200mm801221adIx附录附录I I 截面的几何性质截面的几何性质83212883222422dddddIIxxC 至于 则需先求出半圆形对其自身形心轴的惯性矩。根据平行移轴公式可得 ，而半圆形对于半圆形对于直径轴直径轴x( (图图b) )的惯性矩的惯性矩等于圆形对等于圆形对x轴轴的惯性矩的惯性矩 的一

39、半，的一半，于是得83222ddIICxx644d2xI附录附录I I 截面的几何性质截面的几何性质然后再利用平行移轴公式求半圆形对x轴的惯性矩：将 d = 80 mm，a = 100 mm 代入后得从而得图a所示截面对x轴的惯性矩：832832128 83222224222ddadddddaIICxx44mm1046732xI44mm1027012221xxxIII附录附录I I 截面的几何性质截面的几何性质（2） 求Iy 此组合截面的y轴就是矩形和半圆形的形心轴，故不必应用平行轴公式而有将 d = 80 mm，a = 100 mm 代入后得128212224321ddaIIIyyy44mm

40、100541yI附录附录I I 截面的几何性质截面的几何性质（3） 求 Ixy 由 可知，只要x 轴或y 轴为截面的对称轴，则由于与该轴对称的任何两个面积元素dA的惯性积xydA数值相等而正负号相反，致使整个截面的惯性积必定等于零。图a所示截面的x 轴和y 轴都是对称轴，当然Ixy=0。AxyAxyId附录附录I I 截面的几何性质截面的几何性质 例题例题- - 6 图示组合截面由一个25c号槽钢截面和两个90 mm90 mm12 mm等边角钢截面组成。试求此截面分别对于形心轴x和y的惯性矩Ix 和 Iy 。附录附录I I 截面的几何性质截面的几何性质解：解：由型钢规格表查得：25c号槽钢截面

41、(查表书上P371）90 mm90 mm12 mm等边角钢截面(查表书上P360，注意表中形心位置的单位）形心位置如图所示442cm415.218cm45.6903 cm91.44CCyxIIA，42cm22.149cm30.20CCyxIIA形心位置如图所示附录附录I I 截面的几何性质截面的几何性质1. 求组合截面的形心位置 组合截面的形心C在对称轴x上。以两个角钢截面的形心连线为参考轴先求组合截面形心C以该轴为基准的横坐标 ：xmm1 .24 mm4914mm03022mm7 .26mm21.19mm49140mm030222222iiiAxAx于是有距离mm1 .24 xb附录附录I

42、I 截面的几何性质截面的几何性质2. 利用平行移轴公式求Ix和Iy槽钢截面对x轴和y轴的惯性矩为444421mm1069030mm1045.69031AaIICxx44424421mm10431 mm4914mm1 .24mm7 .26mm21.19mm10415.218 1AbIICyy附录附录I I 截面的几何性质截面的几何性质4422442mm102110 mm30.20mm3 .98mm1022.1492AaIICxx角钢截面对x轴和y轴的惯性矩为4422442mm10267 mm2030mm1 .24mm1022.1492AbIICyy附录附录I I 截面的几何性质截面的几何性质于是

43、有组合截面对x轴和y轴的惯性矩： 顺便指出，该组合截面的x轴为对称轴，因此截面对于x，y这对轴的惯性积Ixy等于零。444444444444mm10965 mm102672mm104312mm107910 mm1021102mm10369022121yyyxxxIIIIII附录附录I I 截面的几何性质截面的几何性质- -4 惯性矩和惯性积的转轴公式惯性矩和惯性积的转轴公式 截面的主惯性轴和主惯性矩截面的主惯性轴和主惯性矩 在下面的分析中为使结果具有普遍性，坐标轴的原点O并不要求必须是形心C。此外，坐标轴按所用教材的附录I标为x轴和y轴。 附录附录I I 截面的几何性质截面的几何性质. 惯性矩

44、和惯性积的转轴公式惯性矩和惯性积的转轴公式 图示任意形状的截面，其面积A以及对于坐标轴x，y的惯性矩Ix，Iy和惯性积Ixy为已知，现在来求截面对于绕原点O旋转 角（以逆时针为正）后的坐标轴x1y1的惯性矩 , 和惯性积 。1xI1yI11yxI附录附录I I 截面的几何性质截面的几何性质由图可见，截面上任一微面积dA在x,y和x1,y1两个坐标系中坐标的关系为 sincossincos11xyEBADACyyxBDOEOCx于是有AxyAyIAAxd)sincos(d2211AAAAxyAxAydcossin2dsindcos22222sinsincos22xyyxIII附录附录I I 截面

45、的几何性质截面的几何性质利用三角函数),2cos1 (21cos)2cos1 (21sin22和由上式得2sin2cos221xyyxyxxIIIIII（a）同理，根据AyxAxIAAyd)sincos(d2211AxyyxAyxIAAyx)dsincos( )sincos(d1111有2sin2cos221xyyxyxyIIIIII（b）2cos2sin211xyyxyxIIII（c）式(a) ,(b) ,(c)就是惯性矩和惯性积的转轴公式。附录附录I I 截面的几何性质截面的几何性质1. 截面对于任何轴的惯性矩是否总是正值？截面对于相互垂直的一对轴的惯性积是否可能是负值？思考思考: :2.

46、 将惯性矩的转轴公式(a)和(b)相加可得到什么结论？这又意味着什么？附录附录I I 截面的几何性质截面的几何性质截面对于通过同一点的任意一对相互垂截面对于通过同一点的任意一对相互垂直的坐标轴的两惯性矩之和为一个常数直的坐标轴的两惯性矩之和为一个常数（书上（书上P343，公式（，公式（b）截面对其惯性积等于零的一对坐标轴，称为主惯性轴。主惯性轴。截面对于主惯性轴的惯性矩，称为主惯性矩。主惯性矩。当一对主惯性轴的交点与截面的形心重合时，称为形心形心主惯性轴。主惯性轴。截面对于形心主惯性轴的惯性矩，称为形心主惯性矩。形心主惯性矩。. . 截面的主惯性轴和主惯性矩截面的主惯性轴和主惯性矩2cos2s

47、in211xyyxyxIIIIIx1y1随着角度，周期性变化，大小可正可负。 求截面的主惯性轴和主惯性矩求截面的主惯性轴和主惯性矩002cos2sin20000 xyyxyxIIII有yxxyIII22tan0 截面对于通过任意点O的主惯性轴x0，y0的方向角 ，只需利用惯性积的转轴公式令 便可导出。由000yxI附录附录I I 截面的几何性质截面的几何性质2202004)(22tan12tan2sinxyyxxyIIII以此代入惯性矩的转轴公式即得主惯性矩的计算公式：,4)(212220 xyyxyxxIIIIII224)(2120 xyyxyxyIIIIII根据上式利用三角函数关系将 和

48、写为02cos02sin220204)(2tan112cosxyyxyxIIIII附录附录I I 截面的几何性质截面的几何性质在确定截面的形心主惯性轴位置和计算形心主惯性矩时，须在确定截面的形心主惯性轴位置和计算形心主惯性矩时，须先确定截面的形心先确定截面的形心C的位置，的位置，并取一对通过形心而相互垂直的轴xC , yC作为参考轴，计算出 ， ， ，然后求主惯性轴的方向角0和主惯性矩 和 。 CxICyI0CxI0CyICCyxIxCyCCxC0yC000附录附录I I 截面的几何性质截面的几何性质. 惯性积的平行移轴公式惯性积的平行移轴公式(参见教材附录参见教材附录I3 ) 图示任意形状的

49、截面对于坐标轴x,y的惯性积Ixy可以由截面对分别平行于x,y轴的形心轴xC，yC的惯性积IxC yC，以及截面形心C在x,y坐标系中的坐标 求出如下：aybx ,AaybxAxyIAACCxyd)(dabAICCyxAACACACCAabAxaAybAyxdddd附录附录I I 截面的几何性质截面的几何性质 这就是惯性积的平行移轴公式。 应该注意的是：(1) 公式中的IxC yC必须是截面对于一对形心轴的惯性积；(2) 公式中的a，b是指截面形心在平行移动后的坐标系x，y中的坐标，它是有正负的。abAIICCyxxy附录附录I I 截面的几何性质截面的几何性质 例题例题-7 试确定图示不等边

50、L形截面的形心主惯性轴的方向，并计算截面的形心主惯性矩。截面形心C的位置已示于图中。（回顾例题回顾例题-2，形心已求出，形心已求出，P335）附录附录I I 截面的几何性质截面的几何性质矩形的形心在参考坐标系xC,yC中的坐标为 a=15 mm, bI=20 mm矩形的形心在参考坐标系中的坐标为 a =-25 mm, b=-35 mm 解：解：1. 取与截面周边平行的形心轴xC，yC作为参考轴。将截面分为，两个矩形(如图所示) A=1 200 mm2, A=700 mm2附录附录I I 截面的几何性质截面的几何性质44223223mm104 .100)mm25(mm70012)mm70(mm1

51、0)mm15(mm200112)mm10(mm120CCCxxxIII2. 利用平行移轴公式求截面的 , 和CxICCyxICyI附录附录I I 截面的几何性质截面的几何性质44223223mm104 .278)mm35(mm70012)mm10(mm70)mm20(mm120012)mm120(mm10CCCyyyIII4422mm103 .97)mm35)(mm25(mm7000)mm20()mm15(mm12000CCCCCCyxyxyxIII由于通过矩形由于通过矩形和和各自形心而平行于各自形心而平行于xC ，yC的轴是它们各自的轴是它们各自的对称轴，故上式在计算中每一矩形对于其一对相互

52、垂直的形的对称轴，故上式在计算中每一矩形对于其一对相互垂直的形心轴的惯性积为零。心轴的惯性积为零。附录附录I I 截面的几何性质截面的几何性质3. 确定截面的形心主惯性轴 xC0，yC0 的方向093. 1mm104 .278mm104 .100)mm103 .97(222tan4444440CCCCyxyxIII 由式P343和P344中的式（c）和（d）可知，tan20的分子(-2IXcYc)和分母（IXc-IYc）的正负号分别反映了sin2 和cos2 的正负号，即均为负号。于是由tan2a0=1.093 得出2 0= 227.6，而a0=113.8。据此示出了形心主轴 xC0 和 yC

53、0。附录附录I I 截面的几何性质截面的几何性质I附录附录I I 截面的几何性质截面的几何性质4. 该截面的形心主惯性矩为4424424444444422maxmm10321)mm103 .97(4)mm104 .278mm104 .100(212mm104 .278mm104 .1004)(2120CCCCCCCyxyxyxxIIIIIII4422minmm104 .574)(2120CCCCCCCyxyxyxyIIIIIII附录附录I I 截面的几何性质截面的几何性质4- -4 梁横截面上的正应力梁横截面上的正应力梁的正应力强度条件梁的正应力强度条件 纯弯曲纯弯曲 梁或梁上的某段内各横截面

54、上无剪力而只有弯矩，横截面上只有与弯矩对应的正应力。第四章第四章 弯曲应力弯曲应力MeM 横力弯曲横力弯曲 梁的横截面上既有弯矩又有剪力；相应地，横截面既有正应力又有切应力。第四章第四章 弯曲应力弯曲应力FCSFMFMFAC. . 纯弯曲时梁横截面上的正应力纯弯曲时梁横截面上的正应力计算公式的推导计算公式的推导 (1) 几何方面几何方面 藉以找出与横截面上正应力相对应的纵向线应变在该横截面范围内的变化规律。表面变形情况 在竖直平面内发生纯弯曲的梁(图a)：第四章第四章 弯曲应力弯曲应力(a) 1. 弯曲前画在梁的侧面上相邻横向线mm和nn间的纵向直线段aa和bb(图b)，在梁弯曲后成为弧线(图

55、a)，靠近梁的顶面的线段aa缩短，而靠近梁的底面的线段bb则伸长；第四章第四章 弯曲应力弯曲应力 2. 相邻横向线mm和nn(图b)在梁弯曲后仍为直线(图a)，只是相对旋转了一个角度，且与弧线aa和bb保持正交。第四章第四章 弯曲应力弯曲应力 根据表面变形情况，并设想梁的侧面上的横向线mm和nn是梁的横截面与侧表面的交线，可作出如下推论(假设)：平面假设平面假设 梁在纯弯曲时，其原来的横截面仍保持为平面，只是绕垂直于弯曲平面(纵向平面)的某一轴转动，转动后的横截面与梁弯曲后的轴线保持正交。此假设已为弹性力学的理论分析结果所证实。第四章第四章 弯曲应力弯曲应力 横截面的转动使梁凹入一侧的纵向线缩

56、短，凸出一侧的纵向线伸长，从而根据变形的连续性可知，中间必有一层纵向线只弯曲而无长度改变的中性层 (图f)，而中性层与横截面的交线就是梁弯曲时横截面绕着它转动的轴 中中性轴性轴 。第四章第四章 弯曲应力弯曲应力（f)令中性层的曲率半径为(如图c)，则根据曲率的定义 有xdd1qyxyOOBBABBBdd21111q纵向线应变在横截面范围内的变化规律纵向线应变在横截面范围内的变化规律 图c为由相距d x的两横截面取出的梁段在梁弯曲后的情况，两个原来平行的横截面绕中性轴相对转动了角dq。梁的横截面上距中性轴 z为任意距离 y 处的纵向线应变由图c可知为第四章第四章 弯曲应力弯曲应力(c) 即梁在纯

57、弯曲时，其横截面上任一点处的纵向线应变与该点至中性轴的距离 y 成正比。第四章第四章 弯曲应力弯曲应力(c)弯曲变形弯曲变形y 小变形时纯弯曲情况下可假设梁的各纵向线之间无挤压，认为梁内各点均处于单轴应力状态。 (2) 物理方面物理方面 藉以由纵向线应变在横截面范围内的变化规律 找出横截面上正应力的变化规律。y 假如梁的材料在线弹性范围内工作，且拉、压弹性模量相同时（如低碳钢），有yEE 这表明，直梁的横截面上的正应力沿垂直于中性轴的方向按直线规律变化(如图)。第四章第四章 弯曲应力弯曲应力M (3) 静力学方面静力学方面 藉以找出确定中性轴位置的条件以及横截面上正应力的计算公式。MAyMAz

58、d 由于梁上仅有外力偶Me的作用，梁的横截面上与正应力相应的法向内力元素dA(图d )不可能组成轴力( )，也不可能组成对于与中性轴垂直的y 轴(弯曲平面内的轴)的内力偶矩( )，只能组成对于中性轴 z 的内力偶矩，即0dNAAF0dAyAzM第四章第四章 弯曲应力弯曲应力(d)将 代入上述三个静力学条件，有yE0ddNzAAESAyEAF(a)0ddyzAAyEIAyzEAzM(b)MEIAyEAyMzAAzdd2(c) 以上三式中的Sz，Iyz，Iz都是只与截面的形状和尺寸相关的几何量，统称为截面的几何性质，而第四章第四章 弯曲应力弯曲应力 其中 为截面对于z轴的静矩或一次矩，其单位为m3

59、。AzAySd 为截面对于y轴和z轴的惯性积，其单位为m4。AyzAyzId 为截面对于z轴的惯性矩或二次轴矩，其单位为m4。AzAyId2第四章第四章 弯曲应力弯曲应力 由于式(a)，(b)中的 不可能等于零，因而该两式要求：E 1. 横截面对于中性轴 z 的静矩等于零， ；显然这是要求中性轴 z 通过横截面的形心；0dAAy 2. 横截面对于 y 轴和 z 轴的惯性积等于零， ；在对称弯曲情况下，y 轴为横截面的对称轴，因而这一条件自动满足。0dAAyz0ddNzAAESAyEAF(a)0ddyzAAyEIAyzEAzM(b)MEIAyEAyMzAAzdd2(c)第四章第四章 弯曲应力弯曲

60、应力由式(c)可知，直梁纯弯曲时中性层的曲率为 上式中的EIz称为梁的弯曲刚度。显然，由于纯弯曲时，梁的横截面上的弯矩M 不随截面位置变化，故知对于等截面的直梁包含在中性层内的那根轴线将弯成圆弧。zEIM1 将上式代入得出的式子 即得弯曲正应力计算公式：yEzIMy(c)MEIAyEAyMzAAzdd2第四章第四章 弯曲应力弯曲应力zIMy 应用此式时，如果如图中那样取 y轴向下为正的坐标系来定义式中 y 的正负，则在弯矩 M 按以前的规定确定其正负的情况下，所得正应力的正负自动表示拉应力或压应力。但实际应用中往往但实际应用中往往直接根据横截面上弯矩的转向及求正应直接根据横截面上弯矩的转向及求