第4节一阶线性微分方程(新)

1、1一阶线性微分方程 7.4 一、一阶线性微分方程二、伯努利方程 2)()(xQyxPdxdy.( )0Q x 上述方程称当，为时齐齐次次的的.( )0Q x 上述方程称为当时，非非齐齐次次的的如如2dyyxdx，2sindxxttdt；23yyxy ，cos1yy ，线线 性性非非 线线 性性 一一阶阶线线性性微微分分方方程程的的标标准准形形式式: :一、一阶线性微分方程3( )0dyP x ydx线性齐次方程的解法： 分分离离变变量量法法( )dyP x dxy 原方程可化为：( )dyP x dxy 两边积分1ln( )yP x dxC 线线性性齐齐次次方方程程的的通通解解 一阶线性微分方

2、程的解法一阶线性微分方程的解法 分析分析 1( )()P x dxCCeyCe 即，4( )( )dyP x yQ xdx 线的解法：性非齐次方程常常数数变变易易法法( )( )P x dxyu x e设通解形式：( )( )( )( )( )P x dxP x dxyu x eu xP x e则( )Cu x把线性齐次方程通解中的常数变成为 待定函数常常数数变变易易法法：( ).( )u xy x 待定：未知函数的未知函数原未知函的变换数量代实实质质代入原方程，并整理得和将yy( )( )( )P x dxu x eQ x( )( )( )P x dxu xQ x e5( )( )( )P

3、x dxu xQ x edxC两边积分得：:一阶线性非齐次微分方程于，的是为通通解解( )( )( )( )P x dxP x dxP x dxCeeQ x edx对应线性齐对应线性齐次方程通解次方程通解线性非齐次方程的线性非齐次方程的一个特解一个特解( )( )( )P x dxu xQ x e( )( )( )P x dxP x dxyQ x edxC e61sin1.xyyxx例求方程的通解1sin( )( )xP xQ xxx解，：11sindxdxxxxeedxCxlnlnsinxxxeedxCx1 sinxdxCx1 cosxCx1sinxx dxCxx( )( )( )P x d

4、xP x dxyeQ x edxC7.) 1(12225的通解求方程例xxyxdyd20.1dyydxx先求对应的线性齐次方解程的解：ln2ln1lnyxC积分得 2(1)yC x再用再用常数变易法求解常数变易法求解. . 2( ) (1)yu xx令，2(1)2(1)yuxux则12(1)ux 代入非齐次方程得322(1)3uxC3222(1) (1)3yxxC故，原方程通解：21dydxyx8( )( )( )P x dxP x dxyQ x edxCedxxdxxeCdxex121225) 1()1ln(2)1ln(225) 1(xxeCdxex221) 1() 1(xCdxx3222(

5、1) (1)3xxC.) 1(12225的通解求方程例xxyxdyd另解另解: 直接套公式9yyxyydydxcossin2sincossin2tanyxytansin2dxyxydy因此，通解为：2sincoscoscosyyydyCycos 2cos y Cy.sin2sincoscos3的通解求方程例yxyyyy解：tantan sin2ydyydyxey edyCln cosln cos sin2yyey edyC10).()0()(43xfxxyxfyy的面积，求曲线等于阴影部分截下的线段之长数值上与轴的动直线被曲线如图所示，平行于例,)()(230yxdxxfx xyxydx03,

6、两边求导得两边求导得,32xyy 解解下面解下面解此微分方程此微分方程xyoxPQ3xy )(xfy 1123dxdxyeCx edx2366xCexx, 0|0 xy由由, 6 C得得所求曲线为所求曲线为).222(32xxeyx23xyy 12.0253的通解求方程例ydyxyyxdx解解:xdxxd2注意乘方程的两边可得，用ydyyyxydxd22)(分方程为自变量的一阶线性微为因变量，以yx13yyP21)(yyQ1)(由一阶线性方程通解公式通解公式 , 得xdyye21Clndy 121dyyeyyy1yCy lny1 Clnydyyxydxd12.Ceyyx14 伯努利伯努利(Be

7、rnoulli)(Bernoulli)方程的标准形式方程的标准形式nyxQyxPdxdy)()( )1 , 0( n方程为方程为一阶线性微分方程一阶线性微分方程. . 方程为方程为一阶非线性微分方程一阶非线性微分方程. .二、伯努利方程时，当10n时，当10n经过变量代换化为一阶线性微分方程经过变量代换化为一阶线性微分方程. . 伯努利伯努利(Bernoulli)(Bernoulli)方程的解法：方程的解法：15，令nyz1，则dxdyyndxdzn)1 (),()(1xQyxPdxdyynn),()1 ()()1 (xQnzxPndxdz求出通解后，将求出通解后，将 代入即得代入即得nyz

8、1，得两端除以ny代入上式可得代入上式可得. )1)()()1()()1(1CdxenxQezydxxPndxxPnn【解法分析过程解法分析过程】1621(ln ).dyyax ydxx例求方程的通解解解:，令1 yz则方程可变形为xaxzxdzdln其通解为ez ：代入，得原方程的通解将1 yz1)ln(22xaCxyxdx1exa)ln(xdx1Cxd 2)ln(2xaCx17.422的通解求方程例yxyxdxdy,412xyxdxdyy ,yz 令242xzxdxdz代入上式得：,22Cxxz解得.224Cxxy即，解解，得两端除以21y,21dxdyydxdz则18例例3 3 用适当的

9、变量代换求下列微分方程的通解用适当的变量代换求下列微分方程的通解: :;22. 122xxexyyy 解解,2112 yxexyyx,2)1(1yyz 令令,2dxdyydxdz则,22xxexzdxdz代入上式得222Cdxexeezxdxxxdx222().2xxyeC所求原方程的通解为: )2(22Cxex19;)(sin1. 22xyxyxdxdy 解解,xyz 令令,dxdyxydxdz则,sin1)(sin1(22zxyxyxxydxdz即，,42sin2Cxzz 分离变量法得分离变量法得,代回代回将将xyz 所求原方程的通解为所求原方程的通解为.4)2sin(2Cxxyxy 2013.dydxxy解解,uyx 令令, 1dxdudxdy则代入原式代入原式,11udxdu 分离变量法得分离变量法得,)1ln(Cxuu ,代回代回将将yxu 所求原方程的通解为所求原方程的通解为,)1ln(Cyxy 11yeCxy或另解另解)(程一阶线性非齐次微分方方程变形为yxdydx21xdydyxyxdydx) 1 ()ln(ln)2(xyyxdydx02)()3(3ydxxdxy0)(2)4(3ydxyxdyydxxdyxy )2ln()5(xxdydyy1可分离变量可分离变量xyxyxdydln齐次方程齐次方程2212xy