七年级新思维28-实验与操作

1、28.实验与操作问题解决例1 （第4届时代学习报数学文化节试题）循环往复 图中的程序表示，输入一个整数便会按程序进行计算设输入的值为18，那么根据程序，第1次计算的结果是9；第2次计算的结果是4，这样下去第5次计算的结果是_，第2009次计算的结果是_【答案】-4；-4 输入18，依次得到的结果为：9，4，2，1，显然，除去前4次的结果外，从第5次的结果-4开始，每6次一个循环，而（2009-4）÷6=2005÷6=334余1，故第2009次计算的结果为例2 将一个正方形纸片依次按图、图方式对折，然后沿图中的虚线截剪，最将图的纸再展平铺平，所看到的图案是（ ）【答案】D例3

2、 （贵州省中考题）如图，有一正方形，通过多次划分，得到若干个正方形，具体操作如下：第1次把它等分成4个小正方形，第2次将上次分成小正方形的其中一个又等分成4个小正方形依此操作下去（1）请通过观察和猜想，将第3次、第4次和第次划分图中得到的正方形总个数()填入下表.次数()1234正方形总个数()59（2）请你推断，按上述操作方法，能否得到103个正方形？为什么？【答案】（1）当3时，；时，；一般的（2）由，得，因不是正整数，故按此要求操作不可能得到103个正方形例4 （太原市竞赛题）有1997枚硬币，其中1000枚国徽朝上，997枚国徽朝下现在要求每一次翻转其中任意6枚，使它们的国徽朝向相反问

3、：能否经过有限次翻转后，使所有硬币的国徽都朝上？给出你的结论，并给出证明【答案】用1997枚硬币的朝向情况可用1997个数的乘积来表示若这些数之积为（或+1），表明有奇数（或偶数枚硬币朝下）开始时，其乘积为每次翻折6枚硬币，即每次改变6个数的符号，其结果是1997个数之积仍为经过有限次翻转后，这个结果总保持不变，即国徽朝下的硬币数永远是奇数枚，故回答是否定的例5 在2×2方格纸中，以格点连线为边作面积为2的多边形（含凹多边形），请尽可能多地找出答案，在寻找答案的过程中你能发现什么规律吗？分析与解 若没有规律性的认识，则要无遗漏重复地找出全部解答是困难的恰当的方法是：选择一些图形作基本

4、图形，通过基本图形的组合找出解答，可将下列7个图形作为基本图形：由此可得如下23个解答，其中凸多边形7个，凹多边形16个：俄罗斯方块例6 游戏机的“方块”中共有下面7种图形，每种“方块”都由4个1×1的小方格组成现用这7种图形拼成一个7×4的长方形（可以重复使用某些图形）问：最多可以用这7种图形中的几种图形？分析与解 为了形象化地说明问题，对7×4的长方形的28个小方格黑白相间染色，除“品”字形必占3个黑格1个白格或3个白格1个黑格外，其余6个方块各占2个黑格2个白格用其中的6种不同的图形方块可以拼成7×4的长方形，方法很多，如图仅出示一种下面证明不能7

5、种图形方块都各用一次将7×4的长方形的28个小方格黑白相间染色，则如图所示，黑、白格各14个若7×4的长方形能用7种不同的方块拼成，则每个方块用到一次且只用一次其中“品”字形如图必占3个黑格1个白格或3个白格1个黑格，其余6个方块各占2个黑格2个白格7种不同的方块占据的黑格总数、白格总数都是奇数个，不会等于14矛盾因此，不存在7种图形方块每个各用一次拼成7×4的长方形的方法所出，要拼成7×4的长方形，最多可以用这7种图形方块中的6种数学冲浪知识技能广场1（时代学习报数学文化节试题）乐在其中七巧板的起源要追溯到我国先秦时期，古算书骨髀算经中即有正方形分割术

6、，经历代演变而成“七巧图”（又称为“益智图”和“智慧板”，如图）19世纪传到国外，多称其为“唐图”（意为“来自中国的拼图”），引起人们的极大兴趣，欧美许多国家纷纷出版书籍予以介绍如果有一副七巧板的总面积是100平方厘米，那么其中正方形的那一块的面积是_平方厘米图“乐在其中”的每个字都是由一副七巧板摆拼所得，请在图中用线段画出模块之间的“拼缝”【答案】12.5 画图略2（乌鲁木齐市中考题）如图，在3×3的正方形网格中，已有两个小正方形被涂黑，再将图中其余小正方形任意涂黑一个，使整个图案构成一个轴对称图形的方法有_种【答案】53（乌鲁木齐市中考题）如图，将长度为20cm，宽为2cm的长方

7、形的纸带，折成如图所示的图形并在其一面着色，则着色部分的面积为_cm【答案】364（浙江省嘉兴市中考题）定义一种对正数的“”运算：当为奇数时，结果为；当为偶数时，结果为（其中是使为奇数的正整数），并且运算重复进行例如：取，则若，则第449次“”运算的结果是_ 【答案】85（浙江省金华市中考题）图中的大正三角形是由9个相同的小正三角形拼成的，将其部分涂黑，如图、所示观察图、图中涂黑部分构成的图案.它们具有如下特征：都是轴对称图形，涂黑色部分都是三个小正三角形请在图、图内分别设计一个新图案，使图案具有上述两个特征【答案】略思维方法天地6（时代学习报数学文化节试题）折折剪剪一张正方形纸片，通过两次对

8、折，然后按阴影部分进行裁剪并展开，可以得到如图（1）末的“蝴蝶结”：请你仿图，将下面的正方形纸片经过两次对折后裁剪并展开，得到如图末的图形，请画出虚线和实线表示折叠过程，并用阴影表示剪去的部分【答案】7（深圳市“启智杯”数学思维能力竞赛题）把四个完全相同的空啤酒瓶放置在桌面上，使得四个啤酒瓶底中心的距离两两相等，请写出摆法关键步骤（可画图辅助说明）：_【答案】先将三个空啤酒瓶放置成底面中心成“正三角形”的位置，再将一个空啤酒瓶倒置放在这个三角形中心的位置，保持中心的位置不变，适当移动三个底朝下的空啤酒瓶，放大或缩小“正三角形”，可使瓶底中心构成四个边长相等的“正三角形”如图（答案不唯一）8（俄

9、罗斯萨温市竞赛题）方格纸上有3个图形，你能沿着格线把每一个图形都分成完全相同的两个部分吗？【答案】9（“希望杯”邀请赛试题）有依次排列的3个数：3， 9，8对任意相邻的两个数，都用右边的数减去左边的数，所得之差写在这两个数之间，可产生一个新数串：3，6，9，8，这称为第一次操作；做第二次同样的操作后也可以产生一个新数串：3，3，6，3，9，9，8继续依次操作下去问：从数串3，9，8开始操作至第100次以后所产生的那个新数串的所有数之和是多少？【答案】一个依次排列的个数组成一个数串：依题设操作方法可得新增的数为：则新增数之和为： （）原数串为3个数：3，9，8第1次操作后所得数串为：3，6，9，

10、8，根据（）可知，新增2项之和为：6+（）=5=8，第2次操作后所得数串为：3，3，6，3，9，9，8，根据（）可知，新增4项之和为3+3+（）+9=5=8-3，按这个规律下去，第100次操作后所得新数串所有数的和为：（3+9+8）+100×（8）=520 10（五城市联赛题）有三堆石子的个数分别是19，8，9，现在进行如下的操作：每次这三堆石子中的任意两堆中各取出1个石子，然后把这2个石子都加到另一堆中去，试问能否经过若干次这样的操作后，使得：（1）三堆石子的数分别是2，12，22；（2）三堆都是12如能，请用最快的操作完成；不能，则说明理由注：若从第一、二堆各取1个到第三堆，可表

11、示为（19，8，9）（18，7，11）等【答案】（1）经过6次操作可达到要求：（19，8，9）（21，7，8）（23，6，7）（25，5，6）（24，4，8）（23，3，10）（22，2，12）（2）不可能因为每次操作后，每堆码数要么加2，要么少1，而19，8，9被3除余数分别为1，2，0，经过任何一次操作后余数分别是0，1，2，不可能同时被3整除11（中国科技技术大学“少年班”招生入学试题）如图所示的展览馆有36个陈列室，每两个相邻陈列室之间有门可通，其人口与出口位置如图所示，现有人希望每个陈列都能参观，但只经过每个展室一次这可能吗？如果可能，请为他设计一条参观路线；如果不能，请说明理由【答

12、案】不可能 我们设想36个展室都依次相间地铺上了两种颜色的地毯，则参观者无论怎样走法，只能按白黑白黑白的次序前进因此，不管参观者怎样走法，第36次只能走到一间黑色地毯的展室，绝不可能走到铺白色地毯的展室出口应用探究乐园12（江苏省竞赛题）如图是一张“3×5”（表示边长分别为3和5）的长方形，现要把它分成若干边长为整数的长方形（包括正方形）纸片，并要求分得的任何两线纸片都不完全相同（1）能否分成5张满足上述条件的纸片？（2）能否分成6张满足上述条件下纸片？若能分，用“×”的形式分别表示出各张纸片的边长，并画出分割的示意图；若不能分，请说明理由【答案】（1）把可分得的边长为整数

13、的长方形按面积从小到大排列，有1×1，1×2，1×3，1×4，2×2，1×5，2×3，2×4，3×3，2×5，3×4，3×5若能分成5张满足条件的纸片，因为其面积之和应为15，所以满足条件的有1×1、1×2、1×3、1×4、1×5（如图）或1×1、1×2、1×3、2×2、1×5（如图）（2）若能分成6张满足条件的纸片，则其面积之和仍应为15，但上面排在前列的6个长方形的面积之和

14、为1×1+1×2+1×3+1×4+2×2+1×5=19>15所以分成6张满足条件的纸片是不可能的13（河北省中考题）图形的操作过程（本题中四个矩形的水平方向的边长均为，竖直方向的边长均为）在图中，将线段向右平移1个单位到，得到封闭图形（即阴影部分）；在图中，将折线向右平移1个单位到，得到封闭图形（即阴影部分）（1）在图中，请你类似地画一条有两个折点的折线，同样向右平移1个单位，从而得到一个封闭图形，并用斜线画出阴影；（2）请你分别写出上述三个图形中除去阴影部分后剩余部分的面积：_，_，_；（3）联想与探索：如图，在一块矩形草地上

15、，有一条弯曲的柏油小路（小路任何地方的水平宽度都是1个单位），请你猜想空白部分表示的草地面积是多少？并说明你的猜想是正确的【答案】（1）略；（2）的结果都是；（3）这是有关道路形状及草地面积的研究题，其中包含阅读、作图、计算及猜想等步骤关键是探索：当道路由笔直到任意弯曲的变化中，矩形中空白部分（即草地）面积情况猜想：依据前面的计算，无论小路怎么弯曲，可以猜想草地的面积仍然是方法是将“小路”沿左右两个边界剪去，将其中一侧的草地平移一个单位向另一侧草地靠拢，得到一个新的矩形此时，在新的矩形中，其纵向宽仍然是，其水平方向的长度变成了，所以草地面积是设而不求（微探究）字母示数是代数式的一个重要特征，是

16、由算术跨越到代数的桥梁，是数学发展史上的一个飞跃字线示数具有简明性、一般性，在求代数式的值、形成公式、解应用题等方面有广泛的应用为了沟通数量间的关系，或将有些不明朗的关系表示出来，我们需要设元，而所设的字母不能或不需要求出，这就是设而不求的基本涵义例1 （四川省竞赛题）老师报出一个5位数，同学们将它的顺序倒排后得到的5位数减去原数，甲、乙、丙、丙的结果分别是34567，34056，23456，34956，老师判定4个结果中只有1个正确，答对的是_【答案】乙 所得差=11×909()+90()是11的倍数例2 （2012年湖北省恩施自治州中考题）某大型超市从生产基地购进一批水果，运输过

17、程中质量损失10%假设不计超市其他费用，如果超市要想获得20%的利润，那么这种水果的售价在进价基础上应至少提高（ ）A40% B33.4% C33.3% D30%【答案】B 设水果质量为，进价为，售价在进价的基础上至少提高，则，解得例3 （江苏省竞赛题）某地区的民用电，按白天时段和晚间规定了不同的单位某户8月份白天时段用电量比晚间时段用电量多50%，9月份白天时段用电量比8月份白天时段用电量少60%，结果9月份的用电量虽比8月份的用电量多20%，但9月份的电费却比8月份的电费少10%求该地区晚间时段民用电的单价比白天时段的单价低的百分数【答案】设白天的单价为元/度，晚间的单价比白天低的百分数为

18、，即晚间的单价为（）元/度，又设8月份晚间用电量为度，则8月份白天用电量为（1+50%）=1.5度，8月份电费为元，9月份白天用电量为度，9月份晚间用电量为（）（）度，9月份电费为0.6由题意得，（）=（）（%），解得例4 从两个重量分别为12千克和8千克，且含铜的百分数不同的合金上切下重量相等的两块，把所切下的每块和另一块剩余的合金放在一起，熔炼后两个合金含铜的百分数相等求所切下的合金的重量是多少千克？【答案】设所切下的合金的重量为千克，重12千克的合金的含铜百分数为，重8千克的合金的含铜百分数为，于是有整理得因为，所以，因此，即所切下的合金重4.8千克例5 （“华罗庚杯”邀请赛试题）能否找

19、到7个整数，使得这7个整数沿圆周排成一圈后，任3个相邻数的和都等于29？如果能，请举一例；如果不能，请简术理由分析 假设存在7个整数排成一圈后，满足题意，由此展开计算推理若推得矛盾，则原假设不成立解 由题意将上述7式相加，得3与为整数矛盾，故不存在满足题设要求的7个整数难解的结英国剑桥大学有一位数学家（真名叫道奇逊），用刘易士·卡洛尔的笔名写了不少非常有趣的科普读物，其中有一本乱纷纷的结，书中的每一章都叫做“绳结”，意即这些问题像绳结一样复杂难解，下面就是一个“绳结”的题目：例6 两个步行者正在急促地以每小时6千米的速度向山下走去，一个年轻人像羚羊似的边跳边走，他的同伴吃力地跟在后面

20、年轻人说，只怪我们上山的时候走得太慢了，每小时只走3千米在平地的时候走得多快？他的同伴回答，在平路上每小时走4千米年轻人说，能赶得上回去吃夜饭吗？同伴说，这要看我们了我们3点钟出来，8点钟该我们回到旅馆的时候了今天可真走了不少路年轻人说，到底走了多少路呢？同伴不耐烦地说，你自己去想吧题目就是这样，似乎条件不充分，你能解开这个“结”吗？解 设旅行都一共走过的路程为千米，上坡（或下坡）走过的路程为千米，整个行程分为四段：走平路、上坡、下坡、再走平路开始走平路所花的时间是小时，上坡所花的时间是小时，下坡所花的时间是小时，再走平路所花的时间是小时依题意可得方程：，原方程化简得故他们一共走了20千米练一

21、练1（2012年“希望杯”邀请赛试题）已知，则的平均数是_【答案】2（世界数学团体锦标赛试题）两校男生、女生人数的比分别为7，3031，两校合并后男生、女生人数的比是2726若用一位整数的比近似表示合并前两校的人数的比，则这个近似比是_【答案】3（“希望杯”邀请赛试题）甲、乙两车从向行驶，甲比乙晚出发6小时，开始时甲、乙的速度比是43甲出发6小时后，速度提高1倍，甲、乙两车同时到达则甲从到共走了_小时进高，29 56，234，5_)_【答案】8.4 设甲出发6小时后再用小时即可追上乙，甲原速为乙速为，由题设知当甲出发行驶6小时，乙已经行驶了12小时，故有即12=()·=（6+2）&#

22、183;，故（小时）故甲共走了6+2.4=8.4（小时）4某服装厂生产某种定型冬装，9月份销售每件冬装的利润是出厂价的25%（每件冬装的利润=出厂价成本），10月份将每件冬装的出厂价调低10%（每件冬装的成本不变），销售件数比9月份增加80%，那么该厂10月份销售这种冬装的利润总额比9月份的利润总额增长（ ）A2% B8% C40.5% D62%【答案】B 设9月份每件冬装的出厂价为元，则每件成本为元，10月份每件冬装的利润为（10%）=元，又设9月份销售冬装件，则10月份销售冬装（1+80%）=1.8件，故10月份的利润总额与9月份相比，增长5（“希望杯”邀请赛试题）甲、乙、丙、丁四人，每三

23、个人的平均年龄加上余下一人的年龄分别为29，23，21和17，则这四人中最大年龄与最小年龄的差是（ ）A28 B27 C19 D18【答案】D6（“希望杯”邀请赛试题）一辆汽车从地匀速驶往地，如果汽车行驶的速度增加，则所用的时间减少6%，则的关系是（ ）A B C D【答案】D 设两地之间的距离为，汽车行驶的速度为汽车从地到地所用的时间为则7（环求城市数学奥林匹克试题）如图3×3数表各行、各列及两条对角线之和彼此相等，设为求证：（1）；（2）【答案】（1）相加得，故（2），故，同理四式相加得8（湖北省黄冈市竞赛题）在一次数学竞赛中，组委会决定用公司赞助的款购买一批奖品若以1台计算器和

24、3本数学竞赛讲座书为一份奖品，则可买100份奖品；若以1台计算器和5本数学竞赛讲座书为一份奖品，则可买80份奖品问这笔钱全部用来购买计算器或数学竞赛讲座书，可各买多少？ 【答案】设每台计算器元，每本数学竞赛讲座书元，则=80（），解得，故可购买计算器=160（台），书9（河北省中考题）甲、乙二人分别从两地出发，相向而行若同时出发，经24分钟相遇；若乙比甲提前10分钟出发，甲出发20分钟与乙相遇求甲从地到地、乙从地到地各需多少分钟？【答案】40分钟、60分钟10（广州市中考题）在车站开始检票时，有名旅客在候车室排队等候检票进站，检票开始后，仍有旅客继续前来排队等候检票进站设旅客按固定的速度增加，

25、检票口检票的速度也是固定的若开放一个检票口，则需30分钟才可将排队等候检票的旅客全部检票完毕；若开放两个检票口，则只需10分钟便可将排队等候检票的旅客全部检票完毕；现在要求在6分钟内将排队等候检票的旅客全部检票完毕，以使后来到站的旅客能随时随检，问需要同时开放几个检票口？【答案】设需要开放个窗口，每个窗口每分钟检出的人数是，每分钟来排队的人数是，则由，得将带入，得借助图形思考（微探究）数学是研究数量关系与空间形式的科学，数与形，以及数和形的关联与转化，这是数学研究的永恒主题当代美国数学家斯蒂恩说：“如果一个特定的问题可以被转化为一个图形，那么思维就整体地把握了问题，并能创造性地思考问题”现阶段

26、借助图形思考主要体现为：通过构造图形或拼图解与数量关系相关联的问题例1 六个足球队进行单循环比赛，当比赛到某一天时，统计出五队已分别比赛了5、4、3、2、1场球，则这没有与队比赛的球队是_ 【答案】队例2 （山东省威海市中考题）古希望常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数比如：他们研究过图中的1，3，6，10，由于这些数能够表示成三角形，故将其称为三角形数类似地，称图中的1，4，9，16，这样的数为正方形数下列数中，既是三角形数，又是正方形数的是（ ）A289 B1024 C1225 D1378【答案】C 图中第个图共有石子1+2+=（个），图中第个图共有石子（个），1225=例3 （浙江省衢

27、州市中考题）有足够多的长方形和正方形卡片，如下图：（1）如果选取的1号、2号、3号卡片分别为1张、2张、3张，可拼成一个长方形（不重叠无缝隙），请画出这个长方形的草图，并运用拼图前后面积之间的关系说明这个长方形的代数意义 _这个长方形的代数意义是_（2）小明想用类似方法解释多项式乘法（）（）=，那么需要用号卡片_张，3号卡片_张【答案】（1）（2）3；7眼见亦可为虚例4 一只小渔船在海上遇到了台风，触到礁石上，船身撞出了一个窟窿如果不把它堵上，渔船就有沉淀的危险船中只有一块边长是8cm的正方形木板但是和船的窟窿相比，木板的面积少1cm怎么办好呢？正在焦急当中，有一个船员用锯把这块正方形的木板裁

28、开（如下图），然后用胶粘接拼成了长方形木板从图中的计算可知：原来的正方形木板的面积是64cm，可是改成长方形以后的木板的面积却变成了65cm了，正好多出1cm船员赶紧把它堵在窟窿上，避免渔船的沉没可是大家都感到惊奇的是，这1cm是从哪里多出来的呢，你能告诉他们吗？【答案】如图，形成“对角线”的三角形之边与梯形之边不在同一条直线上，则，这便函是问题的症结所在横看成岭侧成峰例5 下面的图形，形象直观验证了平方差公式：柳卡趣题例6 法国数学家柳卡·施斗姆生于瑞士，因数学上的成就，于1836年当选为法国科学院院士，他对射影几何与微分几何研究都作出了重要贡献在某次国际科学会议期间，一次有许多著名数学家参加的晚宴上，他提出了如下的一个轮船问题，人们称它为“柳卡趣题”每天中午有一艘