大学物理 第7章机械振动

1、七、机械波七、机械波 Mechanical Wave 波动就是振动的传播过程。波动就是振动的传播过程。激起波动的振动系统称为激起波动的振动系统称为波源波源。机械振动经一定的弹性媒质而在空间的传播过程称为机械振动经一定的弹性媒质而在空间的传播过程称为机械波。机械波。例如：水波、声波、地震波等等。例如：水波、声波、地震波等等。(一一)波动波动 1、机械机械波简介波简介(1)、机械波产生的条件：、机械波产生的条件：（a）有作机械振动的物体）有作机械振动的物体波源波源（b）有传播振动的媒质）有传播振动的媒质(2)、机械波的分类：、机械波的分类：横波：振动方向与传播方向垂直。横波：振动方向与传播方向垂直

2、。纵波：振动方向与传播方向平行。纵波：振动方向与传播方向平行。(3)、机械波的几何描述：、机械波的几何描述：波线（波射线）：波的传播方向。波线（波射线）：波的传播方向。波振面：某时刻波动所到达的各点所连成的同相面。波振面：某时刻波动所到达的各点所连成的同相面。平面波：从平面波源发出的波动，向一定方向传播，相平面波：从平面波源发出的波动，向一定方向传播，相 应的波面为一系列平行于波源的平面。应的波面为一系列平行于波源的平面。球面波：从点波源发出的波动，向四面八方传播，在均球面波：从点波源发出的波动，向四面八方传播，在均 匀媒质中，相同时间内波传播的距离相同，相匀媒质中，相同时间内波传播的距离相同

3、，相 应的波面为一系列以波源为中心的球面。应的波面为一系列以波源为中心的球面。2、描述波动的物理量：、描述波动的物理量：（1）波速）波速u：单位时间内振动状态传播的距离，其决：单位时间内振动状态传播的距离，其决 定于媒定于媒 质的性质。质的性质。（3）波的空间周期和频率）波的空间周期和频率波的空间周期波的空间周期-在同在同一波线上，相邻的两一波线上，相邻的两个具有相同振动状态个具有相同振动状态（速度和位移）的质（速度和位移）的质点间的空间距离（点间的空间距离（ ） （相位相差（相位相差2 ）（2）波的时间周期和时间频率）波的时间周期和时间频率波的时间周期波的时间周期-波线上周期性地每传出一个完

4、整波线上周期性地每传出一个完整 的波所需要的时间（的波所需要的时间（T）。）。波的时间频率波的时间频率-单位时间内，沿波线传出的波的单位时间内，沿波线传出的波的 个数（个数（ ）。波的时间圆频率波的时间圆频率：（：（ ）21T波的空间频率波的空间频率-在波线上，单位空间长度内完在波线上，单位空间长度内完 整波的个数（整波的个数（ ）空1空/22空k波的空间圆频率（波的空间圆频率（ ）k时间周期性时间周期性空间周期性空间周期性/2k/12T（4）空间周期与时间周期的关系）空间周期与时间周期的关系时uTu注意：同一时间频率的波在不同介质中传播时注意：同一时间频率的波在不同介质中传播时 空间频率不同

5、。（空间频率不同。（ 不同）不同） （二）波动方程（二）波动方程 1、沿、沿X轴正向传播的平面简谐波轴正向传播的平面简谐波描述波动过程的数学函数称为描述波动过程的数学函数称为波动方程式波动方程式。在均匀、无吸收媒质中沿在均匀、无吸收媒质中沿X方向传播的平面波，其波源方向传播的平面波，其波源作简谐振动，称为作简谐振动，称为平面简谐波平面简谐波。可见：每个质点依次作谐振动，各质点振动的可见：每个质点依次作谐振动，各质点振动的先后有不同先后有不同,不同时刻、不同位置的质点振动不同时刻、不同位置的质点振动状态不同。状态不同。设波源的振动方程：设波源的振动方程：)cos(tAy质点质点a的振动比的振动比

6、S晚晚/tx u 质点质点a的振动的方程为的振动的方程为)(costtAycos ()xyAtu此式实际上给出了任一时刻、任一位置质点振动此式实际上给出了任一时刻、任一位置质点振动的位移，即为波动方程。的位移，即为波动方程。/tx u xSayxu平面简谐波波动方程的另一表达式：平面简谐波波动方程的另一表达式：T122Tucos ()22cos()cos2 ()xyAtutxATtxAT讨论：讨论：（1）若）若t是变量，而是变量，而x取一定值（取一定值（ ），则），则1xx1cos()xyAtu可见，可见，y仅随仅随t变化，表示变化，表示 处处(p点点)不同时刻的振动不同时刻的振动位移，此时波

7、动方程转换为位移，此时波动方程转换为p点的振动方程。且初周点的振动方程。且初周相落后相落后o点点1x1xu（2）若）若x是变量，而是变量，而t取一定值（取一定值（ ），则），则1tt1cos()xyAtu可见，可见，y仅随仅随x变化，表示在时刻变化，表示在时刻 这一瞬间沿波线上这一瞬间沿波线上各质点的振动位移。即波动方程转换为某时刻波形方程各质点的振动位移。即波动方程转换为某时刻波形方程1tty1xx 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 111213 14 151617 1819 20 2122 2324 252627 28 2930 313233 34 35 36X1tt 2tt波形曲

8、线波形曲线（3）若）若x和和t均为变量均为变量y1tt2ttu3ttxx1x2x 时刻时刻 处质点的周相与处质点的周相与 时刻时刻 处质点的周相处质点的周相相同，即有：相同，即有：1t2t2x1x222cos ()xyAtu111cos ()xyAtu1212()()xxttuu得：得：2121()xxu tt可见，在可见，在 时间内，时间内， 时刻波形沿时刻波形沿X方向方向传播了传播了 距离，移动的速度就是波速距离，移动的速度就是波速u21ttt 21xxx 1t2、沿、沿X轴负向传播的平面简谐波（非反射波）轴负向传播的平面简谐波（非反射波）cos ()xyAtu当波沿当波沿X方向传播，同前

9、理得：方向传播，同前理得：式中式中xu表示在表示在x处质点的振动时间比原点在时间上处质点的振动时间比原点在时间上超前。超前。T122Tucos2 ()txyAT例例1：有一横波（简谐波）沿：有一横波（简谐波）沿X轴正向传播，已知轴正向传播，已知t=0时的时的波形曲线是波形曲线是I，当，当t=0.5s时，波形曲线是时，波形曲线是II，根据图中给出，根据图中给出的条件求：的条件求： (1)O点的振动方程。点的振动方程。 （2）写出）写出A点（点（x=2cm)的振动方程。的振动方程。 （3）写出波动方程。）写出波动方程。 （4）写出）写出B点（点（x=3.5cm)的振动方程。的振动方程。 （5）求）

10、求A点、点、B点的初相及点的初相及A、B两点的周相差？谁超两点的周相差？谁超前？前？xy4III54321ABo解：由图可知：解：由图可知：4Acm4cm0.500.5ts 2 11xcm 4Acm12/0.520.542xucm stuHz则则由曲线由曲线I求求O点初相：点初相：设设O点的振动方程为：点的振动方程为：0cos()yAt01110000coscoscos042tyyA 时， 00(t0时当当O点比点比C点先达到峰值，之后将是点先达到峰值，之后将是D点到达峰值点到达峰值)用旋转矢量法可得用旋转矢量法可得O点此时点此时000yv 0sin0sin0/2m 故所以是所以是2（1）O点

11、振动方程：点振动方程：04cos()2yt（2）A点的振动比点的振动比O点的振动在时间上滞后了点的振动在时间上滞后了212xsut时刻时刻A点实际振动时间为：点实际振动时间为：()(1)xttu所以所以A点的振动方程为：点的振动方程为：4cos (1)24cos()2Aytt()cm（3）波线上距）波线上距O点为点为x的任一点比的任一点比O点振动落后时间为点振动落后时间为故，波线上任一点的振动方程，即波动方程为：故，波线上任一点的振动方程，即波动方程为：xu4cos ()24cos ()22xytuxt（4）B点的振动方程，以点的振动方程，以3.5xcm代入上式得：代入上式得：3.54cos

12、()222.54cos()2Bytt()cm()cm（5）A点的初周相：点的初周相：2222AAxu B点的初周相：点的初周相：3.52.5222BBxu 0.75ABBA 可见，可见，A点比点比B点超前点超前0.75（三）波的能量（三）波的能量（Energy of Wave Motion）波动能量的特点：波动能量的特点：（1）随着波动时间的延长，波动将传播到更远的空间，）随着波动时间的延长，波动将传播到更远的空间，即波动的能量会分散到更为广阔的区域即波动的能量会分散到更为广阔的区域（2）要维持波动的连续，则波源处必须有策动力连续的）要维持波动的连续，则波源处必须有策动力连续的作功输出能量作功

13、输出能量1、波的能量密度、波的能量密度以沿直杆传播的纵波为例来说明：以沿直杆传播的纵波为例来说明：xSY .dVxdxdVSdxdmdV则有：则有：设一平面简谐波：设一平面简谐波：各质点相应发生纵向振动，由于各质点相应发生纵向振动，由于dx足够小，可认为在足够小，可认为在dV内所有质点的振动速率相同，即内所有质点的振动速率相同，即)(sinuxtAtyv体积元体积元dV内波动的动能内波动的动能222211sin()22kxdEdmvdVAtucos ()xyAtu体积元体积元dV内波动的势能内波动的势能21dyyy考虑考虑dx纵向形变而具有弹性势能。纵向形变而具有弹性势能。体积元体积元dV的沿

14、杆的伸长量应是的沿杆的伸长量应是BB的位移的位移 与与AA的位的位移移 之差，即之差，即1y2y弹性势能：弹性势能：212PdEkdy1yAAAABBBB2yfYSkd yd x2211()22PSYdydEdySYdxdxdx/fdyYSdx杨氏弹性模量杨氏弹性模量sin()yAxtxuu以以Yu和和代入，得代入，得2222221()21() sin ()21sin ()2PdydESYdxdxAxSYtdxuuxAtdVu在体积元在体积元dV内波动总能量为：内波动总能量为：222sin ()kPxdEdEdEAtdVu波动能量的特点：波动能量的特点：（1）波的动能和势能均随时间作周期性变化

15、，变化的周）波的动能和势能均随时间作周期性变化，变化的周期为波动周期之半，即期为波动周期之半，即T/2(2)波的动能和势能是同周相地变化，即动能和势能同时波的动能和势能是同周相地变化，即动能和势能同时为零，又同时达到最大值为零，又同时达到最大值（3）单位体积内的能量称为波的能量密度：）单位体积内的能量称为波的能量密度：222sin ()dExwAtdVu一周期内的能量密度的平均值称平均能量密度：一周期内的能量密度的平均值称平均能量密度：2220221sin ()12TxwAtdtTuA2、波的能流密度（或波的强度）、波的能流密度（或波的强度）单位时间内垂直通过单位时间内垂直通过S面的平均能量，

16、称面的平均能量，称通过通过S面的平均面的平均能量。能量。1uS单位时间内通过单位时间内通过S面的能量等于面的能量等于uS体积内的能量，所以体积内的能量，所以波面通过波面通过S面的平均能流为：面的平均能流为：22112PS wuAuS波通过某个截面的平均能流也就是垂直通过该面的平均波通过某个截面的平均能流也就是垂直通过该面的平均功率。功率。u单位面积所通过的平均能流，称为单位面积所通过的平均能流，称为能流密度（或波的能流密度（或波的强度）强度）2212PIAuwuS可见，波动能量是沿波线并以波速可见，波动能量是沿波线并以波速u流动。或说，波动流动。或说，波动过程实质就是波源处策动力输出的能量，源

17、源不断地籍过程实质就是波源处策动力输出的能量，源源不断地籍着媒质内部的弹性作用，从一点传输至另一点。着媒质内部的弹性作用，从一点传输至另一点。（四）惠更斯原理（四）惠更斯原理 波的衍射波的衍射 1、惠更斯原理、惠更斯原理媒质中波动到达的各点都可媒质中波动到达的各点都可看作发射同频率的子波波源，看作发射同频率的子波波源，在其后一时刻的波阵面，由在其后一时刻的波阵面，由这些子波波面的包迹决定。这些子波波面的包迹决定。新的波阵面新的波阵面对现象的解释对现象的解释从某时刻的波阵面得到下一时刻的波阵面从某时刻的波阵面得到下一时刻的波阵面球面波球面波tutt时刻的时刻的波阵面波阵面t时时刻刻的的波波阵阵面

18、面tt2时刻的波阵面时刻的波阵面平面波平面波t时时刻刻的的波波阵阵面面tt时刻的时刻的波阵面波阵面tt2时刻的时刻的波阵面波阵面tu2、衍射现象、衍射现象衍射（绕射）衍射（绕射）-波动在传播过程中遇到障碍物时波动在传播过程中遇到障碍物时 能绕过障碍物的边缘前进的现象能绕过障碍物的边缘前进的现象“室内讲话，墙外有耳室内讲话，墙外有耳”水波的衍射水波的衍射对于一定波长，缝越窄，衍射对于一定波长，缝越窄，衍射现象越显著；缝越宽，衍射现现象越显著；缝越宽，衍射现象越不显著。象越不显著。（五）波的叠加原理（五）波的叠加原理 波的干涉波的干涉1、波的叠加原理、波的叠加原理两个或两个以上的波动在传播过程中相

19、遇时，每一相两个或两个以上的波动在传播过程中相遇时，每一相遇点的振动是各个波动在该处振动的合成；相遇以后遇点的振动是各个波动在该处振动的合成；相遇以后每一个波又按各自的特性继续向前传播。每一个波又按各自的特性继续向前传播。2、波的干涉、波的干涉xy一般而言，波的叠加较复杂一般而言，波的叠加较复杂相干波源相干波源-两个频率相同、振动方向相同、周两个频率相同、振动方向相同、周 相相同或周相差恒定的波源。相相同或周相差恒定的波源。相干波相干波-由相干波源产生的两列能产生干涉现由相干波源产生的两列能产生干涉现 象的两列波。象的两列波。干涉现象干涉现象-满足一定条件（相干条件）的两波源满足一定条件（相干

20、条件）的两波源 发出的相干波，在相遇的空间，有的地方振动发出的相干波，在相遇的空间，有的地方振动 始终加强，有的地方振动始终减弱或相消的现始终加强，有的地方振动始终减弱或相消的现 象（波动的特征之一）。象（波动的特征之一）。相干条件：同频率、同振动方向、周相相同或相干条件：同频率、同振动方向、周相相同或 周相差恒定。周相差恒定。 S1S2水波干涉水波干涉干涉现象：干涉现象：实验中看到的光的干涉实验中看到的光的干涉（牛顿环）（牛顿环）P1r2r设有两相设有两相干波源干波源S1S2 )cos(11010tAy)cos(22020tAy则两波在则两波在P点引起的振动：点引起的振动：两波在空间某点两波

21、在空间某点P处相遇，若处相遇，若1 11222S PrS Pr1111cos(22)ryAt2222cos(22)ryAt)2cos(21212212221rrAAAAA可见，可见，P点同时参与两个同方向同频率的简谐振动。点同时参与两个同方向同频率的简谐振动。合振幅：合振幅：讨论：讨论：（1）合成振幅最大，即）合成振幅最大，即P点振动始终加强，则：点振动始终加强，则：krr221212.)3 .2 .1 .0(k合振幅最大：合振幅最大：21AAA)12(21212krr（2）合振幅始终最小，即合振动始终减弱，则：）合振幅始终最小，即合振动始终减弱，则：.)3 .2 .1 .0(k21AAA合振

22、幅最小：合振幅最小：21（3）当）当212rr 21AAA.)3 .2 .1 .0(k21AAA振动最强；振动最强；振动最弱；振动最弱；振动加强减弱条件可变成：振动加强减弱条件可变成：, 2/)12(,21kkrrr表示从相干波源发出的波动传至空间某一点表示从相干波源发出的波动传至空间某一点P时，两时，两相干波传播路程之差，称相干波传播路程之差，称波程差。波程差。r波程差为半波长的偶数倍时，波程差为半波长的偶数倍时，P点合振幅达到最大值；点合振幅达到最大值；波程差为半波长的奇数倍时，波程差为半波长的奇数倍时，P点合振幅达到最小值。点合振幅达到最小值。干涉现象和衍射现象一样，也是波动的基本特性。

23、干涉现象和衍射现象一样，也是波动的基本特性。3、驻波、驻波驻波是一种特殊的干涉现象。驻波是一种特殊的干涉现象。驻波：两个振幅相同、在同一直线上沿相反方向传播的驻波：两个振幅相同、在同一直线上沿相反方向传播的 相干波相互叠加而成的干涉现象。相干波相互叠加而成的干涉现象。uu节节点点电动音叉电动音叉+-腹腹点点由于前进波与反射波是沿相反方向通过弦线上任一点由于前进波与反射波是沿相反方向通过弦线上任一点（设无能量损耗），则波的能量密度为零，并没有能（设无能量损耗），则波的能量密度为零，并没有能量沿弦线传播。量沿弦线传播。（1）、驻波形成的条件：同振幅相向传播的两列相干波）、驻波形成的条件：同振幅相向

24、传播的两列相干波 的合成。的合成。（b）波线上以波节为界分段各自振动，合成波波形不沿）波线上以波节为界分段各自振动，合成波波形不沿 弦线移动。弦线移动。（c）同一段振动的周相相同，相邻两段周相相反。）同一段振动的周相相同，相邻两段周相相反。（2）、驻波的特点：）、驻波的特点：（a）存在波腹、波节）存在波腹、波节 波腹：振动始终加强的点波腹：振动始终加强的点 波节：振动始终减弱的点波节：振动始终减弱的点0A合2AA合(3)、驻波的波动方程：、驻波的波动方程：设两相干波在设两相干波在X轴上传播，振幅轴上传播，振幅10200012AAA初相初相1cos 2()xyAt )(2cos2xtAy叠加结果

25、：叠加结果：21yyy方法一：方法一：cos(2)yAt合2212122122cos()42(1cos)22cosAAAA AxAxA合112211221212sinsincoscossin( 2)sin(2)cos( 2)cos(2)0AAarctgAAxxAAarctgxxAAtxAy2cos)2cos2(驻波方程驻波方程2cos2cos2coscos21yyy)(2cos)(2cosxtAxtA2cos2cos2xyAt驻波方程驻波方程方法二：方法二：（但不能准确解释其物理意义！（但不能准确解释其物理意义！)a、 腹点腹点2kx腹.)3 .2 .1 .0(kxA2cos2取极大值处取极大

26、值处相邻两腹点间距离为：相邻两腹点间距离为：2cos21x 即 2xk b 、 节点节点xA2cos2取极小值处取极小值处4) 12(kx节相邻两节点间距离为：相邻两节点间距离为：2cos20 x即2(21)2xk .)3 .2 .1 .0(k4、反射波的相位变化、反射波的相位变化沿弦线传播的振动到达线的端点，就会发出反射波。若沿弦线传播的振动到达线的端点，就会发出反射波。若端点是固定端，则反射波的相位与入射波相位差端点是固定端，则反射波的相位与入射波相位差 ，若是自由端，则相位一致。若是自由端，则相位一致。反射波在反射点处有相位反射波在反射点处有相位 突变的现象称突变的现象称半波损失半波损失

27、。11.u22.u反射波反射波透射波透射波入射波入射波一般言之：一般言之：当波在两种媒当波在两种媒质介面上反射质介面上反射时：时：2121.,.uu分别为两种媒质的密度和波在两种媒分别为两种媒质的密度和波在两种媒（质中传播的速度。）质中传播的速度。）若若2211uu反射波中产生反射波中产生“半波损失半波损失”，介面出现节点，介面出现节点称为半波反射称为半波反射2211uu若若反射波中无反射波中无“半波损失半波损失”，介面出现腹点，介面出现腹点称为全波反射称为全波反射（从波疏介质进入波密介质）（从波疏介质进入波密介质）（从波密介质进入波疏介质）（从波密介质进入波疏介质）例例2：有一平面简谐波沿：

28、有一平面简谐波沿X正向传播，正向传播，t=0时波形如图时波形如图（1）写出此波的余弦表达式）写出此波的余弦表达式（2）此波穿至）此波穿至x=105cm处遇到一反射壁，（若反射时有处遇到一反射壁，（若反射时有半波损失），但能量不损失，写出反射波的余弦表达式半波损失），但能量不损失，写出反射波的余弦表达式y40 /ucmsx1010510 1520解：由图可知解：由图可知10Acm20cm200.540Tsu24T0t 00 x 00v 当当时，时，cos02所以所以取取（1）波动方程：）波动方程：cos ()10cos(4)()102xyAtuxtcm（2）x=105cm壁处的振动方程：壁处的振

29、动方程：10510cos(4)10210cos(410 )()yttcm因有半波损失，壁处反射波波源的振动方程：因有半波损失，壁处反射波波源的振动方程：10cos(410)10cos(49 )()yttcm10510cos4 ()9 4010cos(41059 )10310cos(4)21010cos(4)()210 xytxtxtxtcm所以反射波波动方程：所以反射波波动方程： 另解：另解： 反射波是沿反射波是沿X轴负向传播的平面简谐波，轴负向传播的平面简谐波，所以由第（所以由第（1）问的答案直接可得反射波波动方程：）问的答案直接可得反射波波动方程：10cos(4)()210 xytcm对吗

30、？对吗？若反射时无半波损失，反射波波动方程是怎样的？若反射时无半波损失，反射波波动方程是怎样的？求入射波和反射波的合成波波动方程。求入射波和反射波的合成波波动方程。*(六）多普勒效应（六）多普勒效应（Doppler Effect）多普勒效应多普勒效应-因波源或观察者相对波传播因波源或观察者相对波传播 的介质运动，致使观察者接收的波的的介质运动，致使观察者接收的波的 频率发生变化的现象。频率发生变化的现象。设波相对介质的速度为设波相对介质的速度为u，SV波源的速度为波源的速度为周期频率分别为周期频率分别为SST.OV观察者速度：观察者速度：接收者接收到的频率接收者接收到的频率多普勒效应的定量研究多普勒效应的定量研究观察者观察者OS波源波源uSVOVu1）波源与观察者均相对媒质静止）波源与观察者均相对媒质静止t时刻的波阵面时刻的波阵面t+1秒时刻的波阵面秒时刻的波阵面SSuuuTu观察者观察者 接收的频率就是接收的频率就是接收者单位时间内接收者单位时间内接收到的波的个数接收到的波的个数启示：启示：2 2）波源不动，观察者以速度）波源不动，观察者以速度 相对媒质运动相对媒质运动OVouV) 1 ()1 (SouV接收频率接收频率提高！提高