勾股定理专题复习与题型讲解

1、勾股定理复习一、要点精练（一）勾股定理1、(填空题)已知在RtABC中，C=90°。若a=3，b=4，则c=_；若a=40，b=9，则c=_；若a=6，c=10，则b=_； 若c=25，b=15，则a=_。2、(填空题)已知在RtABC中，C=90°，AB=10。若A=30°，则BC=_，AC=_；若A=45°，则BC=_，AC=_。3、 下列各组数分别为一个三角形三边的长，其中能构成直角三角形的一组是（ ）（A） （B） （C） （D）4、直角三角形的面积为，斜边上的中线长为，则这个三角形周长为（ ）（A） （B）（C） （D）解:设两直角边分别为,斜

2、边为,则,. 由勾股定理,得. 所以. 所以.所以.故选（C）5、直角三角形的三边是,并且都是正整数,则三角形其中一边的长可能是( )（A）61 （B）71 （C）81 （D）91解:因为.根据题意,有. 整理,得.所以. 所以. 即该直角三角形的三边长是. 因为只有81是3的倍数.故选（C）6、在中,则边的长为_.7、直角三角形的三边是,并且都是正整数,则三角形其中一边的长可能是( )（A）61 （B）71 （C）81 （D）91（二）勾股定理的验证与其验证过程的相关应用1、下图甲是任意一个直角三角形ABC，它的两条直角边的边长分别为a、b,斜边长为c.如图乙、丙那样分别取四个与直角三角形A

3、BC全等的三角形，放在边长为a+b的正方形.图乙和图丙中（1）（2）（3）是否为正方形？为什么？图中（1）（2）（3）的面积分别是多少？图中（1）（2）的面积之和是多少？图中（1）（2）的面积之和与正方形（3）的面积有什么关系？为什么？由此你能得到关于直角三角形三边长的关系吗？参考答案图乙、图丙中（1）（2）（3）都是正方形.易得（1）是以a为边长的正方形，（2）是以b为边长的正方形，（3）的四条边长都是c，且每个角都是直角，所以（3）是以c为边长的正方形.图中（1）的面积为a2,(2)的面积为b2,(3)的面积为c2.图中（1）（2）面积之和为a2+b2.图中（1）（2）面积之和等于（3）的

4、面积.因为图乙、图丙都是以a+b为边长的正方形，它们面积相等，（1）（2）的面积之和与（3）的面积都等于（a+b)2减去四个RtABC的面积.由此可得：任意直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，即勾股定理.2、（1）请你动动脑筋，能否验证这个事实呢？该如何考虑呢？（2）请你观察下列图形，直角三角形ABC的两条直角边的长分别为AC=7，BC=4，请你研究这个直角三角形的斜边AB的长的平方是否等于42+72？参考答案（1）边长的平方即以此边长为边的正方形的面积，故可通过面积验证.分别以这个直角三角形的三边为边向外做正方形，如右图：AC=4，BC=3,S正方形ABED=S正方形FCGH4SRtA

5、BC=(3+4)24××3×4=7224=25即AB2=25，又AC=4，BC=3，AC2+BC2=42+32=25AB2=AC2+BC2（2）如图（图见题干中图）S正方形ABED=S正方形KLCJ4SRtABC=(4+7)24××4×7=12156=65=42+723、如图2，以三角形的三边为直径分别向三角形外侧作半圆，其中两个半圆的面积和等于另一个半圆的面积，则此三角形的形状为_.解:根据题意，有，即.整理,得.故此三角形为直角三角形.4、如图4，已知中，以的各边为边在外作三个正方形，分别表示这三个正方形的面积，则解：由勾股定理，

6、知，即，所以图55如图5,已知，中，从直角三角形两个锐角顶点所引的中线的长，则斜边之长为_.解：、是中线，设，由已知， 所以两式相加，得，所以（三）勾股定理的应用1、在一个直角三角形中，若斜边的长是，一条直角边的长为，那么这个直角三角形的面积是（ ）（A） （B） （C） （D）解：由勾股定理知，另一条直角边的长为，所以这个直角三角形的面积为.2、如图1,一架2.5米长的梯子,斜靠在一竖直的墙上,这时梯足到墙底端的距离为0.7米,如果梯子的顶端下滑0.4米,则梯足将向外移( )(A)0.6米 (B)0.7米 (C)0.8米 (D)0.9米解:依题设.在中,由勾股定理,得图1 由,得. 在中,

7、由勾股定理,得 所以 故选(C)3、如图3,有两棵树,一棵高8米,另一棵高2米,两树相距8米,一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢,则它至少要飞行_米.解：由勾股定理，知最短距离为.4、（四）直角三角形的判别1、下列各组数中以a，b，c为边的三角形不是Rt的是 A、a=2，b=3,c=4 B、a=7,b=24,c=25C、a=6,b=8,c=10 D、a=3,b=4,c=52、如果一个三角形的一条边是另一边的2倍，并且有一个角是，那么这个三角形的形状是（ ） A.直角三角形 B.钝角三角形 C.锐角三角形 D.不能确定3、4、如图，在等腰直角的斜边上取异于的两点,使求证：以为边的三角形是直

8、角三角形。略(提示:分别以AE,AF为轴,将部翻转) 5、如果一个三角形的三边长分别为 ，则这三角形是直角三角形分析： 验证 三边是否符合勾股定量的逆定理证明： C 6、已知：如图，四边形ABCD中，B ，AB3，BC4，CD12，AD13求四边形ABCD的面积分析：我们不知道这个四边形是否为特殊的四边形，所以将四边形分割为两个三角形，只要求出这两个三角形的面积，四边形的面积就等于这两个三角形的面积和（五）利用勾股定理求最短路线1、 如图，有一个高1.5米，半径是1米的圆柱形油桶，在靠近边的地方有一小孔，从孔中插入一铁棒，已知铁棒在油桶外的部分是0.5米，问这根铁棒最长应有多长？图12、在我国

9、古代数学著作九章算术中记载了一道有趣的问题，这个问题的意思是：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形在水池正中央有一根新生的芦苇，它高出水面1尺如果把这根芦苇垂直拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面请问这个水池的深度和这根芦苇的长度各为多少？勾股定理中的常见题型例析勾股定理是几何计算中运用最多的一个知识点考查的主要方式是将其综合到几何应用的解答题中，常见的题型有以下几种：一、探究开放题例1如图1，设四边形ABCD是边长为1的正方形，以正方形ABCD的对角线AC为边作第二个正方形ACEF，再以第二个正方形的对角线AE为边作第三个正方形AEGH，如此下去（1）记正方形ABCD的边长为1，依上述

10、方法所作的正方形的边长依次为，求出，的值（2）根据以上规律写出第n个正方形的边长的表达式分析：依次运用勾股定理求出a2，a3，a4，再观察、归纳出一般规律解：(1)四边形ABCD为正方形，AB=BC=CD=AD=1由勾股定理，得AC，同理，AE=2，EH=即 a2=，a3=2，a4=(2)，点拨：探究开放题形式新颖、思考方向不确定，因此综合性和逻辑性较强，它着力于考查观察、分析、比较、归纳、推理等方面的能力，对提高同学们的思维品质和解决问题的能力具有十分重要的作用二、动手操作题例2如图2，图（）是用硬纸板做成的两个全等的直角三角形，两条直角边长分别为a和b，斜边长为c图（）是以c为直角边的等腰

11、直角三角形请你开动脑筋，将它们拼成一个能证明勾股定理的图形（）画出拼成的这个图形的示意图，写出它是什么图形；（）用这个图形证明勾股定理；（）假设图（）中的直角三角形有苦干个，你能运用图（）所给的直角三角形拼出另一种能证明勾股定理的图形吗？请画出拼后的示意图（无需证明）解：（1）所拼图形图3所示，它是一个直角梯形（2）由于这个梯形的两底分别为a、b，腰为（a+b），所以梯形的面积为又因为这个梯形的面积等于三个直角三角形的面积和，所以梯形的面积又可表示为： （3）所拼图形如图4点拨：动手操作题容丰富，解法灵活，有利于考查解题者的动手能力和创新设计的才能。本题通过巧妙构图，然后运用面积之间的关系来验

12、证勾股定理。三、阅读理解题例3 已知a，b，c为ABC的三边且满足a2c2b2c2=a4b4，试判断ABC的形状小明同学是这样解答的解：a2c2b2c2=a4b4， 订正：ABC是直角三角形 横线与问号是老师给他的批注，老师还写了如下评语：“你的解题思路很清晰，但解题过程中出现了错误，相信你再思考一下，一定能写出完整的解题过程”请你帮助小明订正此题，好吗？ 分析：这类阅读题在展现问题全貌的同时，在关键处留下疑问点，让同学们认真思考，以补充欠缺的部分，这相当于提示了整体思路，而让学生在整体理解的基础上给予具体的补缺因此，本题可作如下订正：解：a2c2b2c2=a4b4， ，或或 ABC是等腰三角

13、形或直角三角形 点拨：阅读理解题它与高考中兴起的信息迁移题有异曲同工之巧解决的关键是抓住疑问点，补全漏洞四、方案设计题例4给你一根长为30cm的木棒，现要你截成三段，做一个直角三角形，怎样截取（允许有余料）？请你设计三种方案分析：构造直角三角形，可根据勾股定理的逆定理来解决解：方案一：分别截取3cm，4cm，5cm；方案二：分别截取6cm，8cm，10cm；方案三：分别截取5cm，12cm，13cm点拨：本题首先依据勾股定理的逆定理进行分析，设计出方案，然后再通过测量、截取、加工等活动方能完成既要思考，又要动手让学生在这个过程中，体会做数学的快乐五、折叠题1、矩形纸片中，厘米，厘米，现将重合，

14、使纸片折叠压平，设折痕为，重叠部分AEF的面积六、实际应用题C1、为了丰富少年儿童的业余生活，某社区要在如图所示AB所在的直线建一图书室，本社区有两所学校所在的位置在点C和点D处，CAAB于A，DBAB于B，已知AB = 25km，CA = 15 km，DB = 10km，试问：图书室E应该建在距点A多少km处，才能使它到两所学校的距离相等?（8分）七、极具“热点”的动态探究题1、如图，一架长4米的梯子AB斜靠在与地面OM垂直的墙壁ON上，梯子与地面的倾斜角为求AO与BO的长；若梯子顶端A沿NO下滑，同时底端B沿OM向右滑行. 如图2，设A点下滑到C点，B点向右滑行到D点，并且AC:BD=2:3，试计算梯子顶端A沿NO下滑多少米?中考题型分析1、（2011凉山州，15，4分）把命题“如果直角三角形的两直角边长分别为a、b，斜边长为c，那么”的逆命题改写成“如果，那么”的形式：。答案如果三角形三边长a，b，c，满足，那么这个三角形是直角三角形2、 （2011，28，10分）某园艺公司对一块直角三角形的花圃进行改造测得两直角边长为6m、8m.现要将其扩建成等腰三角形，且扩充部分是