第二章(第2,3节)单自由度系统的自由振动

1、能量法求解系统的振动微分方程与固有频率能量法求解系统的振动微分方程与固有频率 对于能量无耗散的振动系统，在自由振动对于能量无耗散的振动系统，在自由振动时系统的机械能守恒。时系统的机械能守恒。常数UT(2.2-1)0)(ddUTt(2.2-2)maxmaxUT(2.2-3)对时间求导，得对时间求导，得 如果取平衡位置为势能零点，如果取平衡位置为势能零点，由机械能守由机械能守恒定律，有恒定律，有化简后可得振动方程化简后可得振动方程化简后可得系统固有频率化简后可得系统固有频率例题：用能量法求解系统的振动微分方程与固有频率例题：用能量法求解系统的振动微分方程与固有频率（例（例2.2-1） 例例2.2-

2、1 有一个重量为有一个重量为W，半径为，半径为r的实心圆柱体，的实心圆柱体，在半径为在半径为R的圆柱形面上无滑动地滚动，如图的圆柱形面上无滑动地滚动，如图2.2-1所示。所示。假设该滚动的圆柱体进行简谐运动，试求它绕平衡位置作假设该滚动的圆柱体进行简谐运动，试求它绕平衡位置作微小摆动时的固有频率微小摆动时的固有频率n。 解：解：圆柱体在摆动时圆柱体在摆动时有两种运动：移动和滚动。有两种运动：移动和滚动。设设坐标如图坐标如图2.2-1示。示。rrRrRvc,)(摆动时圆柱体中心摆动时圆柱体中心C点的速度点的速度及圆柱体的角速度分别为及圆柱体的角速度分别为图 2.2-1例题：用能量法求解系统的振动

3、微分方程与固有频率例题：用能量法求解系统的振动微分方程与固有频率（例（例2.2-1）系统的动能系统的动能T为为2sin)(2)cos1)(2rRWrRWU 若选圆柱体中心若选圆柱体中心C在运动过程中的最低点为零势能在运动过程中的最低点为零势能点，则系统的势能为点，则系统的势能为222222222432121212121rRgWrrRrgWrRgWImvTcc圆柱体的势能为相对于最低位置圆柱体的势能为相对于最低位置O的重力势能。的重力势能。例题：用能量法求解系统的振动微分方程与固有频率例题：用能量法求解系统的振动微分方程与固有频率（例（例2.2-1）2)(21rRWU0)()(23)(21)(4

4、3dd)(dd2222 rRWrRgWrRWrRgWtUTt0)(32rRg 由式由式(2.2-2)，有，有上式可以简化为上式可以简化为 当圆柱体作微摆动时，当圆柱体作微摆动时， ，因此系统的势能，因此系统的势能为为22sin例题：用能量法求解系统的振动微分方程与固有频率例题：用能量法求解系统的振动微分方程与固有频率（例（例2.2-1）)(32rRgn)sin(tAn222max)(43ArRgWTn故系统固有频率为故系统固有频率为 系统的固有频率也可以用系统的固有频率也可以用Tmax=Umax来计算，设系来计算，设系统作自由振动时的变化规律为统作自由振动时的变化规律为则系统的最大动能、势能分

5、别为则系统的最大动能、势能分别为2max)(21ArRWU则得固有频率则得固有频率n同前。同前。 例题：用能量法求解系统的振动微分方程与周期例题：用能量法求解系统的振动微分方程与周期（例（例2.2-2） 解：解：在杆有微小偏角在杆有微小偏角时，弹簧的伸长及锤的位移时，弹簧的伸长及锤的位移与速度可以近似的表示为与速度可以近似的表示为a，l与与 。故振动系统的动能故振动系统的动能与势能可以表示为与势能可以表示为l 例例2.2-2 细杆细杆OA可绕水平轴可绕水平轴O转动，如图转动，如图2.2-2所示，所示，在静平衡时成水平。杆端锤的质量为在静平衡时成水平。杆端锤的质量为m，杆与弹簧的质量，杆与弹簧的

6、质量均可略去不计，求自由振动的微分方程及周期。均可略去不计，求自由振动的微分方程及周期。 2221,)(21akUlmT图 2.2-2例题：用能量法求解系统的振动微分方程与周期例题：用能量法求解系统的振动微分方程与周期（例（例2.2-2）0)(2121dd222akmlt02lamk 代入方程代入方程(2.2-2)有有由此可得由此可得固有频率为固有频率为mklan周期为周期为kmalT2，平衡时，平衡时 。)mglaksssa21,（平衡位置为零势能点平衡位置为零势能点, , ,212221mglkU弹簧刚度系数的定义弹簧刚度系数的定义 弹簧刚度系数弹簧刚度系数就是使弹簧产生单位变形所就是使弹

7、簧产生单位变形所需要的力或力矩。需要的力或力矩。xFk (2.3-1) 同一弹性元件，同一弹性元件，根据所要研究根据所要研究振动方向不同，弹簧刚度系数亦不振动方向不同，弹簧刚度系数亦不同。同。 以一端固定的等直圆杆为例以一端固定的等直圆杆为例加以说明，如图加以说明，如图2.3-1所示。所示。图 2.3-1等直梁在不同方向的刚度等直梁在不同方向的刚度EAFlxB 确定沿确定沿x方向方向的刚度时，在的刚度时，在B处沿处沿x方向加一方向加一垂直力垂直力F。B点在点在x方向的刚度系数为方向的刚度系数为lEAxFkBx 根据材料力学知，根据材料力学知，B点在点在x方方向的位移为向的位移为图 2.3-1等

8、直梁在不同方向的刚度等直梁在不同方向的刚度EJPlyB33 确定沿确定沿y方向方向的刚度时，在的刚度时，在B点沿点沿y方向加一方向加一横向力横向力P。 杆作弯曲变形，根据材料力学杆作弯曲变形，根据材料力学知，知，B点沿点沿y方向的位移方向的位移B点沿点沿y方向的刚度系数为方向的刚度系数为33lEJyPkyB等直梁在不同方向的刚度等直梁在不同方向的刚度 杆件作转扭，产生扭角杆件作转扭，产生扭角，根据材料力学知，根据材料力学知，B点沿点沿x轴的扭轴的扭角为角为GJMlBlGJMkB 确定绕确定绕x轴的转动方向轴的转动方向的刚度，需要在的刚度，需要在B端端绕绕x轴转动方向加一扭矩轴转动方向加一扭矩M

9、。B点绕点绕x轴转动方向的刚度系数为轴转动方向的刚度系数为螺旋弹簧在不同方向的刚度螺旋弹簧在不同方向的刚度 对于螺旋弹簧，在承受轴向拉伸或压缩、扭对于螺旋弹簧，在承受轴向拉伸或压缩、扭转与弯曲变形时，刚度系数分别为转与弯曲变形时，刚度系数分别为 44431,8643212GdEdEdkkknDnDnDEG式中式中E为弹性模量，为弹性模量，G为剪切模量，为剪切模量，d、D分别分别 为簧丝、簧圈直径，为簧丝、簧圈直径，n为弹簧有效圈数。为弹簧有效圈数。 工程中用到的弹簧类型很多，计算时需工程中用到的弹簧类型很多，计算时需要其刚度系数，一般可以根据等效刚度系数的要其刚度系数，一般可以根据等效刚度系数

10、的推证方法加以推导。推证方法加以推导。串、并联弹簧的等效刚度的计算串、并联弹簧的等效刚度的计算 图图2.3-2(a)是两个是两个串联弹簧串联弹簧，刚度系数分，刚度系数分别为别为k1和和k2。B点的位移及等效刚度系数为点的位移及等效刚度系数为2121kkkkxFkB21kFkFxB串联弹簧的作用使系统中的弹簧刚度降低。串联弹簧的作用使系统中的弹簧刚度降低。 如果有如果有n个弹簧串联，刚度系数分别为个弹簧串联，刚度系数分别为k1, k2, , kn，则等效刚度系数则等效刚度系数k应满足关系式应满足关系式niinkkkkk12111111(2.3-2)图 2.3-2串、并联弹簧的等效刚度的计算串、并联弹簧的等效刚度的计算 图图2.3-2(b)是两个是两个并联弹簧并联弹簧，刚度系，刚度系数分别为数分别为k1和和k2。两个弹簧所受的力分别。两个弹簧所受的力分别为为k1xB、k2xB 并联弹簧的系统刚度是原来的弹簧刚并联弹簧的系统刚度是原来的弹簧刚度的总和，比原来各弹簧的刚度都要大。度的总和，比原来各弹簧的刚度都要大。 如果有如果有n个弹簧并联，其弹簧刚度系数分别为个弹簧并联，其弹簧刚度系数分别为k1, k2, , kn， 则等效刚度系数为则等效刚度系数为niinkkkkk121(2.3-3)21kkxFkBB点的等效刚度：点的等效刚度：BBxkxkF21根据