第2章测量误差及数据处理

1、第2章 测量误差及数据处理 研究测量误差的目的是要在认识和掌握误差规研究测量误差的目的是要在认识和掌握误差规律的基础上指导设计、制造和使用测量仪表。要律的基础上指导设计、制造和使用测量仪表。要解决一项测量任务，必须分析被测对象和被测量解决一项测量任务，必须分析被测对象和被测量的特性，选用适当的测量仪表和测量方法，组成的特性，选用适当的测量仪表和测量方法，组成合理的测量系统，然后对测量结果进行数据处理合理的测量系统，然后对测量结果进行数据处理和作出恰当的评价。所有这些都离不开误差理论和作出恰当的评价。所有这些都离不开误差理论的指导。的指导。第2章 测量误差及数据处理2.1 误差来源及其分类误差来

2、源及其分类 2.2 误差的表示方法误差的表示方法2.3 随机误差的估算随机误差的估算2.4 粗大误差的判断准则粗大误差的判断准则2.5 系统误差及其减小方法系统误差及其减小方法2.6 测量数据的处理测量数据的处理2.7 误差的合成与分配误差的合成与分配2.8 最佳测量条件的确定最佳测量条件的确定教学目标 掌握研究测量误差的目的。掌握研究测量误差的目的。 熟悉测量误差的来源及分类。熟悉测量误差的来源及分类。 掌握误差的表示方法、仪表的等级确定和测量仪表选用。掌握误差的表示方法、仪表的等级确定和测量仪表选用。 掌握随机误差、粗大误差和系统误差的估算、判断和减小方法掌握随机误差、粗大误差和系统误差的

3、估算、判断和减小方法 掌握测量数据的处理过程掌握测量数据的处理过程 掌握常见的误差合成和分解掌握常见的误差合成和分解 掌握如何确定最佳测量条件掌握如何确定最佳测量条件2.1 误差来源及其分类 在科学实验和工程实践中，任何测量结果都含有在科学实验和工程实践中，任何测量结果都含有误差误差。由。由于误差存在的于误差存在的必然性和普通性必然性和普通性，人们只能将它控制到尽量，人们只能将它控制到尽量低的程度而低的程度而无法消除它无法消除它。因此我们根据需要对误差的。因此我们根据需要对误差的来源来源和测量误差的和测量误差的性质性质进行类，便于研究。进行类，便于研究。2.1.1 误差的来源误差的来源 2.1

4、.2 误差的分类误差的分类2.1.12.1.1 误差的来源误差的来源误差的来源是多方面的，概括起来主要有如下几个方面：误差的来源是多方面的，概括起来主要有如下几个方面： 仪器、仪表误差仪器、仪表误差 仪器仪表本身及其附件引起的误差称为仪器仪表误差。例如，仪器仪器仪表本身及其附件引起的误差称为仪器仪表误差。例如，仪器仪表本身的电气或机械性能不完善、零点和增益漂移、非线性、刻仪表本身的电气或机械性能不完善、零点和增益漂移、非线性、刻度不准确以及标准量不稳定等所引起的误差均属于仪器仪表误差。度不准确以及标准量不稳定等所引起的误差均属于仪器仪表误差。 影响误差影响误差 由于各种环境因素与仪器仪表所要求

5、的使用条件不一致而造成的误由于各种环境因素与仪器仪表所要求的使用条件不一致而造成的误差称为影响误差。例如，由于温度、湿度、大气压、电磁场、电源差称为影响误差。例如，由于温度、湿度、大气压、电磁场、电源电压及频率等波动所造成的误差均属于影响误差。电压及频率等波动所造成的误差均属于影响误差。 方法误差方法误差 由于测量方法不合理所造成的误差。例如用低输入电阻的仪表测量由于测量方法不合理所造成的误差。例如用低输入电阻的仪表测量高内阻回路的输出电压所引起的误差属于方法误差。高内阻回路的输出电压所引起的误差属于方法误差。 理论误差理论误差 由于仪器仪表所依据的理论或公式本身不完善或者是近似的所由于仪器仪

6、表所依据的理论或公式本身不完善或者是近似的所起的误差称为理论误差。例如，用均值表测量非正弦信号电压，须起的误差称为理论误差。例如，用均值表测量非正弦信号电压，须进行波形换算，其定度系数为：进行波形换算，其定度系数为： 由于和均是无理数所取得的由于和均是无理数所取得的1.11是个近似值所造成的误差属于理论误差是个近似值所造成的误差属于理论误差 人身误差人身误差 由于测量者的分辨力、视觉疲劳、习惯或缺乏责任心等因素引起由于测量者的分辨力、视觉疲劳、习惯或缺乏责任心等因素引起的误差称为人身误差。人身误差是由于人为因素造成的，欲减小人的误差称为人身误差。人身误差是由于人为因素造成的，欲减小人身误差必须

7、加强责任心。身误差必须加强责任心。 11. 122K2.1.2 误差的分类根据误差的性质及其产生的原因，可将误差分为三类：根据误差的性质及其产生的原因，可将误差分为三类： 系统误差系统误差（简称系差）（简称系差） 定义：在相同条件下多次测量同一量值时，误差的定义：在相同条件下多次测量同一量值时，误差的绝对值和符号保持不变，或者改变测量条件时，按绝对值和符号保持不变，或者改变测量条件时，按一定规律变化的误差称为系统误差。一定规律变化的误差称为系统误差。 前述仪器仪表误差、方法误差和理论误差均属于系前述仪器仪表误差、方法误差和理论误差均属于系统误差。统误差。 系统误差是有规律性的误差。通过仔细分析

8、和研究，系统误差是有规律性的误差。通过仔细分析和研究，产生系统误差的规律是可以掌握的。因此，可设法产生系统误差的规律是可以掌握的。因此，可设法减小或消除系统误差。减小或消除系统误差。 1. 系统误差表征了测量结果的准确度，系统误差愈小，系统误差表征了测量结果的准确度，系统误差愈小，准确度念高，反之亦然。准确度念高，反之亦然。随机误差随机误差 在相同条件下多次重复测量同一被测量，其误差的大在相同条件下多次重复测量同一被测量，其误差的大小和符号均是无规律变化的误差称为随机误差。产生小和符号均是无规律变化的误差称为随机误差。产生随机误差的原因是由于许多复杂的因素微小变化的总随机误差的原因是由于许多复

9、杂的因素微小变化的总和引起的。和引起的。例如，仪表内部某些元件的热噪声和散粒噪声、机械例如，仪表内部某些元件的热噪声和散粒噪声、机械部件的间隙和摩擦、电源电压、频率和环境因素的频部件的间隙和摩擦、电源电压、频率和环境因素的频繁而无规律的变化等引起的误差均属随机误差。繁而无规律的变化等引起的误差均属随机误差。随机误差表征了测量结果的精密度，随机误差小，精随机误差表征了测量结果的精密度，随机误差小，精密度高，反之，精密度低。密度高，反之，精密度低。服从正态分布规律的随机误差服从正态分布规律的随机误差当测量次数足够多时，大多数随机误差是服从正态分布的。服从当测量次数足够多时，大多数随机误差是服从正态

10、分布的。服从正态分布规律的随机误差具有下列特点（正态分布规律的随机误差具有下列特点（如图所示如图所示）：）： 单峰性单峰性 绝对值小的误差比绝对值大的误差出现的概率大，在绝对值小的误差比绝对值大的误差出现的概率大，在误差误差 处，出现的概率最大。处，出现的概率最大。有界性有界性 绝对值大于某一数值的误差几乎不出现，故可认为随绝对值大于某一数值的误差几乎不出现，故可认为随机误差有一定的界限。机误差有一定的界限。0 对称性对称性 大小相等符号相反大小相等符号相反 的误差出现的概率大致相同。的误差出现的概率大致相同。 抵偿性抵偿性 正、负误差是相互正、负误差是相互抵消的，因此随机误差的代抵消的，因此

11、随机误差的代数和趋于或者等于零。数和趋于或者等于零。粗大误差粗大误差粗大误差（简称粗差）粗大误差（简称粗差） 定义：在相同定义：在相同 条件下多次测量同一被测量时，可能有条件下多次测量同一被测量时，可能有某些测量值明显偏离了被测量的真正值所形成的误差某些测量值明显偏离了被测量的真正值所形成的误差称为粗大误差。称为粗大误差。前述的人身误差是产生粗差的原因之一。此外，由于前述的人身误差是产生粗差的原因之一。此外，由于测量条件的突然变化，例如电源电压突变、雷电、机测量条件的突然变化，例如电源电压突变、雷电、机械冲击等是造成粗差的客观原因。械冲击等是造成粗差的客观原因。凡是被确认含有粗差的测量结果称为

12、坏值。在测量数凡是被确认含有粗差的测量结果称为坏值。在测量数据处理时，所有坏值都必须剔除。据处理时，所有坏值都必须剔除。 思考题思考题1、下列几种误差中，属于系统误差的有、下列几种误差中，属于系统误差的有 _ 、 _ ，属于随机误差的，属于随机误差的有有 _ ，属于粗大误差的有，属于粗大误差的有 _ 。 （ 1 ）仪表未校零所引起的误差；）仪表未校零所引起的误差； （ 2 ）测频时的量化误差；）测频时的量化误差； （ 3 ）测频时的标准频率误差；）测频时的标准频率误差； （ 4 ）读数错误。）读数错误。2. 随机误差的特点有随机误差的特点有 、 、 、 。3根据测量误差的性质和特点，可将它们分

13、为根据测量误差的性质和特点，可将它们分为 _ 、 _ 、 _ 。 2.2 2.2 误差的表示方法误差的表示方法2.2.1 测量误差的表示方法测量误差的表示方法 由于误差是客观存在的，因此在计量学上认为被测量由于误差是客观存在的，因此在计量学上认为被测量的真正值是无法得到的。讨论被测量示值与真值的误的真正值是无法得到的。讨论被测量示值与真值的误差是没有应用意义的。差是没有应用意义的。 实际值绝对误差、修正值实际值绝对误差、修正值 被测量实际值取得的方法被测量实际值取得的方法 实际值相对误差实际值相对误差 实际值绝对误差实际值绝对误差定义：由测量所得之被定义：由测量所得之被测量的值测量的值 与被与

14、被测量实际值测量实际值 之差称为实际之差称为实际值值绝对误差绝对误差，记为，记为 。 （2-1） 由此可见，由此可见， 为可正可负和有量纲的数值，其大小和符号分别表示为可正可负和有量纲的数值，其大小和符号分别表示测量值偏离被测量实际值的程度和方向。测量值偏离被测量实际值的程度和方向。被被测量实际值测量实际值可用下列两种方法取得：可用下列两种方法取得：用比所用仪表的用比所用仪表的精度等级高一级或数级精度等级高一级或数级的仪表的指示值作为的仪表的指示值作为被被测量的实际值测量的实际值 。a)在测量此数足够多时，仪表示值的在测量此数足够多时，仪表示值的算术平均值作为被测量算术平均值作为被测量的的实实

15、际值际值 。看。看P15例题例题2-1xxAAxxxAA修正值修正值定义：定义：与绝对误差的数值相等而符号相反的量值称为修正值，用与绝对误差的数值相等而符号相反的量值称为修正值，用 来表来表示，则：示，则：p15 例例2-2 修正值修正值 是通过检定（或校准）由上一级标准（或基准）以表格、是通过检定（或校准）由上一级标准（或基准）以表格、曲线、公式或数字等形式给出的。因此，用修正值与仪表的示值曲线、公式或数字等形式给出的。因此，用修正值与仪表的示值相加，可算出被测量的实际值，即：相加，可算出被测量的实际值，即： 可见，用修正值可以减小测量误差，得到更接近于被测量真值的可见，用修正值可以减小测量

16、误差，得到更接近于被测量真值的实际值。实际值。 a)应该指出，使用修正值必须在仪表检定的有效期内。修正值本身应该指出，使用修正值必须在仪表检定的有效期内。修正值本身也有误差。也有误差。 xAxcccxAc实际值相对误差实际值相对误差例题例题2-3 测量两个电压，实际值测量两个电压，实际值 ， ，仪，仪表的示值分别为表的示值分别为 ， 。 其绝对误差分别其绝对误差分别为：为： 很显然，虽然二者的绝对误差相同，但是二者测量的精很显然，虽然二者的绝对误差相同，但是二者测量的精确度却相差甚远，因此有必要引入相对误差的概念。确度却相差甚远，因此有必要引入相对误差的概念。 定义：定义： 实际值绝对误差与被

17、测量实际值之比的百分数称为实际实际值绝对误差与被测量实际值之比的百分数称为实际值相对误差，即：值相对误差，即：%100AxA1V100)V-(101111UUUx1V5)V-(6222UUUx100V1U5V2U101V1xU6V2xU例题2-4 利用例题利用例题2-3 ，计算两电压的相对误差，计算两电压的相对误差 ，并分析哪一个测，并分析哪一个测量的电压精确度高量的电压精确度高 。 解：根据题意及相对误差公式，仪表的相对误差分别为解：根据题意及相对误差公式，仪表的相对误差分别为%1%1001001%100111UUA由此可知，测量由此可知，测量%20%10051%100222UUA高的多的精

18、确度比21UU2.2.2 仪器仪表误差的表示方法仪器仪表误差的表示方法 误差是仪器仪表的重要质量指标。按有关规定，可用工误差是仪器仪表的重要质量指标。按有关规定，可用工作作误差误差、固有误差固有误差、影响误差影响误差和和稳定误差稳定误差来表征仪器仪表的来表征仪器仪表的性能；也可以用性能；也可以用基本误差基本误差和和附加误差附加误差来表征仪器仪表的性来表征仪器仪表的性能，本书采用后面一种表示方法。能，本书采用后面一种表示方法。 1.1.基本误差基本误差 它是仪器仪表在标准条件下使用时所具有的误它是仪器仪表在标准条件下使用时所具有的误差。差。2.2.附加误差附加误差 当仪表在使用中偏离了标准工作条

19、件，除了基当仪表在使用中偏离了标准工作条件，除了基本误差外，还会产生附加误差。本误差外，还会产生附加误差。 基本误差基本误差 定义定义：它是仪器仪表在标准条件下使用时所具有的误差。：它是仪器仪表在标准条件下使用时所具有的误差。标准条件一般是指仪器仪表在标定刻度时所保持的工作条标准条件一般是指仪器仪表在标定刻度时所保持的工作条件。例如电源电压交流件。例如电源电压交流(220(2205%)V5%)V，环境温度，环境温度(20(205)5)；相对湿度相对湿度(70(7015)15)；大气压；大气压(98.1(98.14.0)kPa4.0)kPa等。等。 对于相同的绝对误差，相对误差随被测量对于相同的

20、绝对误差，相对误差随被测量 的增加而减小，的增加而减小，相反，随相反，随 的减小而增加，在整个测量范围内相对误差不的减小而增加，在整个测量范围内相对误差不是是一个定值一个定值。 因此，相对误差不能用于评价仪器仪表的精确度，也不便因此，相对误差不能用于评价仪器仪表的精确度，也不便于用来划分仪器仪表的精度等级。为此提出最大满度相对于用来划分仪器仪表的精度等级。为此提出最大满度相对误差称为最大引用误差的概念（误差称为最大引用误差的概念（在标准工作条件下在标准工作条件下）。）。xx满度相对误差与引用误差满度相对误差与引用误差 最大满度相对误差最大满度相对误差是仪表基本误差最大值是仪表基本误差最大值 与

21、仪器仪表与仪器仪表量程之比的百分数，即：量程之比的百分数，即： 最大引用误差最大引用误差是仪表的绝对误差最大值是仪表的绝对误差最大值 与仪器仪表量与仪器仪表量程之比的百分数，即：程之比的百分数，即： 当仪表是在标准条件下使用的，则：当仪表是在标准条件下使用的，则：%100量程基momx%100量程绝mx基mx绝mx大引用误差最大满度相对误差最仪表精度等级的确定仪表精度等级的确定 按国家标准规定，用最大引用误差来定义和划分仪器仪表按国家标准规定，用最大引用误差来定义和划分仪器仪表的精度等级，将仪器仪表的精度等级分为：的精度等级，将仪器仪表的精度等级分为： ， 0.05， 0.1，0.25，0.3

22、5，0.5，1.0，1.5，2.5，4.0，5.0（以以前只有七种前只有七种） 当计算所得的与仪表精度等级的分档不等时，应取比稍大当计算所得的与仪表精度等级的分档不等时，应取比稍大的精度等级值。仪表的精度等级通常以的精度等级值。仪表的精度等级通常以S来表示。例如，来表示。例如，S=1.0，说明该表的，说明该表的最大引用误差不超过最大引用误差不超过1.0%。仪表的精确度等级仪表的精确度等级1.51.0例题2-5 检定一台检定一台 处处 其其 ，问此电流表精确度是否合格？，问此电流表精确度是否合格？解：根据题意，最大满刻度误差为解：根据题意，最大满刻度误差为由于选用的由于选用的1.5级电流表，最大

23、满刻度误差应小于仪级电流表，最大满刻度误差应小于仪表精确度等级。所以该表不合格，可以做表精确度等级。所以该表不合格，可以做2.5级表使级表使用。用。的电流表5.1,5sAAmAAm1 . 0AAx0 .2在%5 . 1%2%10051 . 0%1000mmmxx仪表的精确度等级5*100%1.25%4000 附加误差附加误差 当仪表在使用中偏离了标准工作条件，除了基本误差外，还当仪表在使用中偏离了标准工作条件，除了基本误差外，还会产生附加误差。附加误差也用百分数表示。会产生附加误差。附加误差也用百分数表示。 例如，仪表使用时温度超出例如，仪表使用时温度超出(20(205)5)，则会产生温度附加

24、误，则会产生温度附加误差；使用时电源电压超出差；使用时电源电压超出(220(2205%)V5%)V，则会产生电压附加误，则会产生电压附加误差。差。 此外，还有频率附加误差，湿度附加误差，振动附加误差等此外，还有频率附加误差，湿度附加误差，振动附加误差等等。等。 在使用仪表时，附加误差和基本误差要合理综合，再估计出在使用仪表时，附加误差和基本误差要合理综合，再估计出测量的总误差。测量的总误差。 2.2.3 2.2.3 数字仪表误差的表示方法数字仪表误差的表示方法 数字仪表的基本误差用下列两种方式表示：数字仪表的基本误差用下列两种方式表示： 式中，式中， 为绝对误差；为绝对误差； 为误差的相对项系

25、数；为误差的相对项系数； 为被测量为被测量的指示值；的指示值； 为误差固定项的系数；为误差固定项的系数； 为仪表的满度值。为仪表的满度值。 上述两种方式实质上是一致的，常用后一种，因较为方便。上述两种方式实质上是一致的，常用后一种，因较为方便。 是用示值相对误差表示的，它与读数成正比，称为读数是用示值相对误差表示的，它与读数成正比，称为读数误差。它与仪表各单元电路的不稳定性有关。误差。它与仪表各单元电路的不稳定性有关。 不随读数变化，不随读数变化， 一定时，它是个固定值，称为满度误一定时，它是个固定值，称为满度误差。它包括量化误差和零点误差等。差。它包括量化误差和零点误差等。 mxbxax%

26、几个字xax%xabxmxxa%mxb%mx例题2-6 有五位数字电压表一台，基本量程有五位数字电压表一台，基本量程5v档的基本误差为档的基本误差为 求满刻度误差相当于几个字求满刻度误差相当于几个字解：解：满刻度误差用公式满刻度误差用公式2-7中的第二中表示方法中的第二中表示方法xU%006. 0mU%004. 0VVUm0002. 05%004. 0%004. 0个字2%006. 0U2.2.4 2.2.4 一次直接测量时最大误差的估计一次直接测量时最大误差的估计 在工程测量中，通常只做一次直接测量而取得测量结果，在工程测量中，通常只做一次直接测量而取得测量结果，此时如何从仪器仪表的精度等级

27、来确定测量误差呢？此时如何从仪器仪表的精度等级来确定测量误差呢？ 设只有基本误差的情况下，仪器仪表的最大绝对误差为设只有基本误差的情况下，仪器仪表的最大绝对误差为： 与与 示值之比，即为最大示值相对误差示值之比，即为最大示值相对误差mmxsx%mxxxxsxxmmxm%100一次直接测量时最大误差的估计一次直接测量时最大误差的估计 可见，可见， 不仅与仪器仪表的精度不仅与仪器仪表的精度 有关，有关， 而且与满度值而且与满度值 和示和示值值 之比值有关。示值之比值有关。示值 大时，相对误差大时，相对误差 小。当小。当时，时， 。可见，。可见，仪器仪表给出的精度仪器仪表给出的精度 是相对误差的是相

28、对误差的最小值。最小值。 离开满度离开满度 愈远，愈远， 愈大。愈大。 因此，当仪器仪表的精度等级已知时，示值因此，当仪器仪表的精度等级已知时，示值 愈接近满度值愈接近满度值 ，测量示值的精度愈高。在使用正向刻度的模拟式仪表时，测量示值的精度愈高。在使用正向刻度的模拟式仪表时，应尽应尽量使指示值量使指示值 靠近满度值靠近满度值 ，至少应在，至少应在 左右左右 反之选择仪表量程时，反之选择仪表量程时， 应该使其满度值尽量接近被测量的数应该使其满度值尽量接近被测量的数值，至少不应比被测值大得太多。值，至少不应比被测值大得太多。xmsmxxxxmmxx %sxm%sxmxxmxmxxmx3/2mxx

29、 mxx例例2-72-7 测量一个约测量一个约80V80V的电压。现有二块电压表，一块量程为的电压。现有二块电压表，一块量程为300V300V，0.50.5级，另一块量程级，另一块量程100V100V，1.01.0级，问选择哪一块为级，问选择哪一块为好？好？解：根据式（解：根据式（2-92-9），求其最大相对误差。），求其最大相对误差。1 1） 使用使用300V300V，0.50.5级电压表时级电压表时2 2） 使用使用100V100V，1.01.0级电压表时级电压表时 可见，用可见，用100V100V，1.01.0级电压表测量该电压时，精度比较高，级电压表测量该电压时，精度比较高，故选用故选

30、用100V100V，1.01.0级电压表较好。级电压表较好。%88. 180300%5 . 01x%25. 180100%0 . 12x例2-8自己看 例2-9 用一台用一台4 4位的数字电压表的位的数字电压表的5V5V量程分别测量量程分别测量5V5V和和0.1V0.1V电压，已知该仪表的电压，已知该仪表的基本误差为基本误差为 个字，求由于该表的基本误差引起的测量误差。个字，求由于该表的基本误差引起的测量误差。解解 ：测量：测量5V5V电压时的绝对误差。电压时的绝对误差。 因为该表是因为该表是4 4位，用位，用5V5V量程时，量程时，1 1个字相当于个字相当于0.001V0.001V，所以绝对

31、误差为：，所以绝对误差为：= =0.01%0.01%5V5V1 1个字个字=(=(0.00050.00050.001)V=0.001)V=0.0015V0.0015V因此其示值相对误差为：因此其示值相对误差为： 测量测量0.1V0.1V电压时的绝对误差。电压时的绝对误差。 = =0.01%0.01%0.1V0.1V1 1个字个字 =(=(0.000010.000010.001)V0.001)V 0.001V0.001V其示值相对误差为：其示值相对误差为：101. 0 xU1U%03. 0%10050015. 0%10011xUU2U%1%1001 . 0001. 0%10022xUU 可见，当

32、不在接近满量程显示时，误差是很大的。可见，当不在接近满量程显示时，误差是很大的。因此，当测量小电压时，应当用较小的量程。同因此，当测量小电压时，应当用较小的量程。同时还可看出，时还可看出，“1 1个字个字”的误差对测量结果的影响的误差对测量结果的影响也是比较大的，不可忽视。也是比较大的，不可忽视。练习1被测量真值是 _ 。都是可以准确测定的； (b) 在某一时空条件下是客观存在的，但很多情况下不能准确确定； (c) 全部不能准确测定； (d) 客观上均不存在，因而无法测量。2 在使用连续刻度的仪表进行测量时，一般应使被测量的数值尽可能在仪表满刻度值的_ 以上。3 被测电压真值为 100v ，用

33、电压表测试时，指示值为 80v ，则示值相对误差为（ ）。 (a) +25% (b) -25% (c) +20% (d) -20%4. 修正值是与绝对误差的绝对值修正值是与绝对误差的绝对值 的值。的值。(a)相等但符号相反；相等但符号相反；(b)不相等且符号相反；不相等且符号相反； (c)相等且符号相同；相等且符号相同；(d)不相等但符号相同。不相等但符号相同。5. 通常在相同的条件下，多次测量同一量时，误差的绝对值通常在相同的条件下，多次测量同一量时，误差的绝对值和符号保持恒定或在条件改变时，按某种规律而变化的误差和符号保持恒定或在条件改变时，按某种规律而变化的误差称为（称为（ ） 。(a)

34、随机误差；随机误差；(b)系统误差；系统误差；(c)影响误差；影响误差；(d)固有误差。固有误差。6、相对误差定义为、相对误差定义为 与与 的比值，通常用百分数表示。的比值，通常用百分数表示。7、用一只、用一只 0.5 级级 50V 的电压表测量直流电压，产生的绝对误的电压表测量直流电压，产生的绝对误差差 _ 伏。伏。判断题：判断题：1、为了减少测量误差，应使被测量的数值尽可能地在仪表、为了减少测量误差，应使被测量的数值尽可能地在仪表满量程的满量程的 2/3 以上。以上。2、通过多次测量取平均值的方法可减弱随机误差对测量结、通过多次测量取平均值的方法可减弱随机误差对测量结果的影响。果的影响。3

35、、被测量的真值是客观存在的，然而却是无法获得的、被测量的真值是客观存在的，然而却是无法获得的4、系统误差的绝对值和符号在任何测量条件下都保持恒、系统误差的绝对值和符号在任何测量条件下都保持恒定，即不随测量条件的改变而改变。定，即不随测量条件的改变而改变。四、简答题四、简答题1 检定量程为检定量程为 100 A 的的 2 级电流表，在级电流表，在 50 A 刻度上标刻度上标准表读数为准表读数为 49 A ，问此电流表是否合格？，问此电流表是否合格？ 2.3 2.3 随机误差的估算随机误差的估算 2.3.1 测量值的算术平均值与数学期望测量值的算术平均值与数学期望 2.3.2 标准差标准差 2.3

36、.3 随机误差的正态分布随机误差的正态分布 2.3.4 贝塞尔公式贝塞尔公式 2.3.5 算术平均值标准差算术平均值标准差2.3.1 测量值的测量值的算术平均值算术平均值与与数学期望数学期望 由同一测量者用同一仪器和方法，以同样的精细程度在短由同一测量者用同一仪器和方法，以同样的精细程度在短时间内对同一被测量进行多次重复测量，称为时间内对同一被测量进行多次重复测量，称为等精密度测等精密度测量量。设对被测量。设对被测量 进行进行 次等精密度测量，得测量值数列次等精密度测量，得测量值数列为：为： 这里为随机变量，测量值的这里为随机变量，测量值的算术平均值为算术平均值为： 也称为样本平均值。当测量次

37、数也称为样本平均值。当测量次数 时，样本平均值时，样本平均值的极限称为测量值的数学期望的极限称为测量值的数学期望 ： 也称为总体平均值。也称为总体平均值。xnnxxxx,321niixnx11xnExniinxnEx1)1(limEx 随机误差是精密度的反映，表征了各次测量值的分散程度，随机误差是精密度的反映，表征了各次测量值的分散程度，故随机误差故随机误差 为：为： ，即，即 而系统误差是准确度的反映，则系统误差而系统误差是准确度的反映，则系统误差 为：为：，即，即 式中，式中， 是被测量真值。是被测量真值。 真值绝对误差真值绝对误差 是测量示值是测量示值 与真值之差：与真值之差： 由上式可

38、见，绝对误差等于随机误差和系统误差的代数和。由上式可见，绝对误差等于随机误差和系统误差的代数和。若系差和粗差等于零，故若系差和粗差等于零，故 则：则：iExxiiExxii0AEx ExA00AiiiiExExAxx)()(0ixix0AEx 0Axii 随机误差的算术平均值为：随机误差的算术平均值为： 由上式可知，当由上式可知，当 时，时， 则则 由此可见，当由此可见，当 时，时，随机误差的算术平均值为零随机误差的算术平均值为零。 对于有限次等精密度测量，当对于有限次等精密度测量，当 足够多时，可近似认足够多时，可近似认为为 。由上式得：。由上式得： 由此可见，若仅存在随机误差，可用多次测量

39、的算术平由此可见，若仅存在随机误差，可用多次测量的算术平均值均值 作为最后测量结果。作为最后测量结果。（常在实验里用到）（常在实验里用到） niniiniiniiAnxnAxnn10101111)(110Ax nExx 00AExnn00Ax x2.3.2 标准差 测量值的算术平均值是被测量的最可信赖值。但是仅知道测量值的算术平均值是被测量的最可信赖值。但是仅知道测量值的算术平均值仍无法知道测量值的分散程度。测量值的算术平均值仍无法知道测量值的分散程度。被测被测量的分散程度可以用测量值数列的标准差来表示量的分散程度可以用测量值数列的标准差来表示。其定义。其定义为：当为：当 时，随机误差时，随机

40、误差 的平方的算术平均值再开平的平方的算术平均值再开平方后，只取正值，即方后，只取正值，即 标准差标准差 是表征精密度的重要参数是表征精密度的重要参数。 小表示测量值集中；小表示测量值集中； 大，大， 表示测量分散。表示测量分散。 取平方的目的是，不论取平方的目的是，不论 是正是负，其平方总是正的，是正是负，其平方总是正的，其平方和不会等于零，给计算带来方便。其平方和不会等于零，给计算带来方便。 niin121inii2.3.3 随机误差的正态分布 由概述论中的讨论可知，测量中随机误差由概述论中的讨论可知，测量中随机误差 的分布和在的分布和在 影响下的测量数据的分布大多数是服从正态分布的。服影

41、响下的测量数据的分布大多数是服从正态分布的。服从正态分布的随机误差，其概率密度函数从正态分布的随机误差，其概率密度函数 为：为： 式中，式中， 为随机误差；为随机误差； 为标准差。为标准差。 与与 的曲线见图的曲线见图2-12-1。 由图可见，标准差由图可见，标准差 一经确定，一经确定， 就是就是 的单值函数。的单值函数。 22221)(ei)(i)()(图图2-1 随机误差的正态分布曲线随机误差的正态分布曲线 图图2-2 2-2 示出了三个不同的示出了三个不同的 对应的三条正态分布曲线。由对应的三条正态分布曲线。由图可见，图可见， 愈小，曲线愈高愈愈小，曲线愈高愈陡，小误差出现的概率愈大，陡

42、，小误差出现的概率愈大，表示测量值集中，精密度高；表示测量值集中，精密度高；反之，反之， 愈大，曲线平坦，测愈大，曲线平坦，测量值分散，精密度低。量值分散，精密度低。 图2-2 标准差 的意义2.3.4 贝塞尔公式 在实际测量中，测量次数不可能无穷大。当测量次数在实际测量中，测量次数不可能无穷大。当测量次数 为为有限次时，可用剩余误差有限次时，可用剩余误差 来计算标准差来计算标准差 ，同时用标，同时用标准差的估计值准差的估计值 代替代替 。在有限次测量中，标准差估计。在有限次测量中，标准差估计值值 可用贝塞尔公式计算，即：可用贝塞尔公式计算，即： 式中，（式中，（ ）称为自由度，常用）称为自由

43、度，常用 表示，表示， 。 由上式可见，当由上式可见，当 时，时， 值不定，故仅做一次测量的数值不定，故仅做一次测量的数据是不可靠的。据是不可靠的。 in1n1 nKK1nniin12112.3.5 2.3.5 算术平均值标准差算术平均值标准差 在有限次等精密度测量中，以测量值的算术平均值作为测在有限次等精密度测量中，以测量值的算术平均值作为测量结果。量结果。 如果在相同条件下对同一量值作如果在相同条件下对同一量值作 组，每一组作组，每一组作 次测次测量，通过计算可得到量，通过计算可得到 个算术平均值。个算术平均值。 由于随机误差的存在，这由于随机误差的存在，这 个算术平均值并不相同，而个算术

44、平均值并不相同，而围绕着真值围绕着真值 有一定的分散性。有一定的分散性。 这说明了算术平均值还存在着误差。当需要更精密考虑时，这说明了算术平均值还存在着误差。当需要更精密考虑时，可用算术平均值的标准差可用算术平均值的标准差 来评定测量结果的分散程度。来评定测量结果的分散程度。算术平均值标准差与标准差估计值的关系为：算术平均值标准差与标准差估计值的关系为： nxmnmm0Ax算术平均值标准差 由上式可见，由上式可见， 随随 的增加而减小，测量次数愈多，测的增加而减小，测量次数愈多，测量结果的精密度愈高。但由于量结果的精密度愈高。但由于 与与 成反比，精密度的成反比，精密度的提高随提高随 的增加而

45、越来越慢。一般取的增加而越来越慢。一般取 次即可。次即可。不能单靠增加不能单靠增加 来减小来减小 ，而应该在增加，而应该在增加 的同时，的同时，设法减小设法减小 。 这就意味着要改善测量方法，采用精确度等级较高的仪器这就意味着要改善测量方法，采用精确度等级较高的仪器仪表，才能进一步提高测量的精密度。仪表，才能进一步提高测量的精密度。xnnxn2010nnxnx2.4 2.4 粗大误差的判断准则粗大误差的判断准则2.4.1 置信概率与置信区间置信概率与置信区间2.4.2 有限次测量的置信度有限次测量的置信度2.4.3 随机不确定度与坏值剔除随机不确定度与坏值剔除2.4.1 2.4.1 置信概率与

46、置信区间置信概率与置信区间 由概率积分可知，随机误差的正态分布曲线所包含的全部由概率积分可知，随机误差的正态分布曲线所包含的全部面积相当于全部误差出现的概率，对式（面积相当于全部误差出现的概率，对式（2-252-25）从）从-到到+积分，并令其等于积分，并令其等于1 1，即：，即： 对式（对式（2-182-18）从）从 到到 积分，便可得积分，便可得 误差出现的概误差出现的概率：率： 将积分变换成将积分变换成 ，设，设 ，则，则 ，故上式变为：，故上式变为：式中，式中， 称为概率积分，称为概率积分， 与与 的关系见表的关系见表2-12-1。 121222dededeP02222222221)(

47、tdtdt)(2)21(2)(022tdtePtt)(t)(tt 由写出随机误差的表达式，并取绝对值，即：由写出随机误差的表达式，并取绝对值，即： 可得出超出的概率为：可得出超出的概率为： 由表由表2-12-1查出不同的查出不同的 对应的对应的 值，值， 便可由式算出便可由式算出 ，见表，见表2-22-2， 表表2-22-2中，中， 为测量次数。为测量次数。 t |)(21tat)(tan图图2-3 置信概率与置信区间的关系置信概率与置信区间的关系t)(t表表2-1 正态分布下的置信概率数值表正态分布下的置信概率数值表0.500.600.700.800.901.001.101.201.301.

48、400.19150.22570.25800.28810.31590.34130.36430.38490.40320.41921.501.601.701.801.902.002.102.202.302.400.43320.44520.45540.46410.47130.47720.48210.48610.48930.49182.502.602.702.802.903.003.203.403.804.000.49380.49530.49650.49740.49810.498650.499310.499660.4999280.499968t)(tt)(ttt |)(t)(21taan/11.001.

49、962.002.583.001.001.962.002.583.00 0.34130.47500.47720.49500.498650.31740.05000.04560.01000.002732022100370表表2-2 正态分布的正态分布的置信系数置信系数|P反而言之，不超出反而言之，不超出 的概率为的概率为 ，可由下式求得：，可由下式求得： )(2)(21 11ttaP置信区间 取不同值时，随机误差取不同值时，随机误差 出现的概率为出现的概率为 ： 当当 时，时， 时，时， 时，时， 上述结果表明，对于正态分布规律的随机误差，不超出上述结果表明，对于正态分布规律的随机误差，不超出 的随

50、机误差出现的概率为的随机误差出现的概率为95.44%95.44%；不超出；不超出 的随机误差出的随机误差出现的概率为现的概率为99.73%99.73%。 上述用于描述上述用于描述测量结果的误差处于某一范围内的可靠程度测量结果的误差处于某一范围内的可靠程度的量称为的量称为置信程度置信程度或者或者置信概率置信概率。所选择的极限误差范围所选择的极限误差范围称为称为置信区间置信区间。 tP1t2t3t%26.683413. 02)(2tP%44.954772. 02)(2tP%73.9949865. 02)(2tP232.4.3 随机不确定度与坏值剔除 由表由表2-22-2可见，若取置信系数可见，若取

51、置信系数 ，在，在2222个随机误差中，个随机误差中，至多仅有一个的误差大于至多仅有一个的误差大于 ；若取；若取 ，在，在370370个误差个误差中，至多仅有一个误差大于中，至多仅有一个误差大于 。 在实际测量中，可以认为大于在实际测量中，可以认为大于 的误差出现的可能性极的误差出现的可能性极小，所以通常把大于小，所以通常把大于 的误差称为极限误差或随机不确的误差称为极限误差或随机不确定度，用表示定度，用表示 或用估计值或用估计值 这个数值说明测量结果在数学期望附近某一确定范围内的这个数值说明测量结果在数学期望附近某一确定范围内的可能性有多大，由测量值的分散程度来决定，所以用标准可能性有多大，

52、由测量值的分散程度来决定，所以用标准差的若干倍来表示。差的若干倍来表示。 2t23t33333莱特准则莱特准则 根据上述理由，在测量数据中，如果出现大于根据上述理由，在测量数据中，如果出现大于 的剩余的剩余误差误差 ，可以认为该次测量值，可以认为该次测量值 为坏值，应予剔除，即：为坏值，应予剔除，即： 上式称为上式称为莱特准则莱特准则（亦称为（亦称为 准则）。准则）。 在测量次数足够多（在测量次数足够多（ ）时，按莱特准则剔除坏值是）时，按莱特准则剔除坏值是客观的和合理的。但是，若测量次数较少（客观的和合理的。但是，若测量次数较少（ ），按），按莱特准则剔除坏值就不一定可靠，这时应采用格拉布斯

53、莱特准则剔除坏值就不一定可靠，这时应采用格拉布斯（GrubssGrubss）准则。）准则。3iix3|i320n20n2.5 2.5 系统误差及其减小方法系统误差及其减小方法 如前所述绝对误差是系统误差和随机误差的代数和，如前所述绝对误差是系统误差和随机误差的代数和，即即 。此式说明测量结果的精确度不仅取决于随。此式说明测量结果的精确度不仅取决于随机误差，也取决于系统误差。机误差，也取决于系统误差。 由于系差不具有抵偿性，不能用求算术平均值的方法加以由于系差不具有抵偿性，不能用求算术平均值的方法加以消除。但是，系差是有规律性的误差，经过仔细的分析和消除。但是，系差是有规律性的误差，经过仔细的分

54、析和研究，其产生的规律是可以掌握的，因此可以采取一些技研究，其产生的规律是可以掌握的，因此可以采取一些技术措施削弱或消除其对测量结果的精确度的影响术措施削弱或消除其对测量结果的精确度的影响。 2.5.1 系统误差的分类系统误差的分类 2.5.2 系统误差的判断系统误差的判断 2.5.3 减小系统误差的方法减小系统误差的方法ixi2.5.1 系统误差的分类按照系差变化的征性，可将系差分为两种类型。按照系差变化的征性，可将系差分为两种类型。恒值系统误差恒值系统误差 在测量过程中误差的大小和符号是不变的误差称为在测量过程中误差的大小和符号是不变的误差称为恒值系差。例如，仪器仪表的基本误差、仪表的零恒

55、值系差。例如，仪器仪表的基本误差、仪表的零点偏高或低、标尺刻度不准确等均属于恒值系差，点偏高或低、标尺刻度不准确等均属于恒值系差，见图见图2-5曲线曲线a。变值系统误差变值系统误差 ：误差的绝对值和符号按照一定规律变化的：误差的绝对值和符号按照一定规律变化的误差称为变值系差。误差称为变值系差。 线性系统误差线性系统误差 在测量过程中误差的数值随差时间在测量过程中误差的数值随差时间线性增加或者减小的误差称为线性系差。例如由于线性增加或者减小的误差称为线性系差。例如由于晶体管老化过程引起放大倍数下降引起的误差；标晶体管老化过程引起放大倍数下降引起的误差；标准电池的电动势随时间而减小引起的误差等均属

56、此准电池的电动势随时间而减小引起的误差等均属此类系误。见图类系误。见图2-5曲线曲线b。 周期性变化的系统误差周期性变化的系统误差 在测量过程中误差值作周在测量过程中误差值作周期性变化，见图期性变化，见图2-5曲线曲线c。 复杂变化的系统误差复杂变化的系统误差 在测量过程中误差的变化规在测量过程中误差的变化规律很复杂，见图律很复杂，见图2-5曲线曲线d。通常它是由几个影响因。通常它是由几个影响因素同时变化引起的。素同时变化引起的。 2.5.1 2.5.1 系统误差的分类系统误差的分类图图2-5 系统误差的特征系统误差的特征2.5.2 系统误差的判断 由于产生系差的原因很多，所以发现它或判断它的

57、方法也很由于产生系差的原因很多，所以发现它或判断它的方法也很多，这里仅介绍几种常用的判断方法。多，这里仅介绍几种常用的判断方法。实验对比法实验对比法 改变测量条件、测量仪器仪表或测量方法进改变测量条件、测量仪器仪表或测量方法进行重复测量，然后将测量结果进行对比，从而发现系差。行重复测量，然后将测量结果进行对比，从而发现系差。 剩余误差观察法剩余误差观察法 用仪器仪表对某一被测量进行一系列等用仪器仪表对某一被测量进行一系列等精密度测量，得示值精密度测量，得示值 ，然后求算术平均值，然后求算术平均值 ，并求出各示值的剩余误差并求出各示值的剩余误差 ，最后将剩余误差，最后将剩余误差数列按测量先后制成

58、表格或画成曲线进行观察，从而判数列按测量先后制成表格或画成曲线进行观察，从而判断是否存在系差。断是否存在系差。 nxxx,21xn,21马利科夫判据马利科夫判据马利科夫判据马利科夫判据 该判据用于判断是否存在该判据用于判断是否存在线性系差线性系差。首。首先将测量数据按测量先后排列起来，分别求剩余误先将测量数据按测量先后排列起来，分别求剩余误差差 。把剩余误差数列分为前后两组，分别求。把剩余误差数列分为前后两组，分别求前后两组前后两组 的代数和，然后求前后两组代数和之差的代数和，然后求前后两组代数和之差 ： 当当 为偶数时，为偶数时， 当当 为奇数时，为奇数时， 如果满足：如果满足： 则认为不存

59、在线性系差。则认为不存在线性系差。 如果满足：如果满足： 则认为存在线性系差。则认为存在线性系差。 式中式中 是最大剩余误差。是最大剩余误差。n,21innnniinii1221nniinii232110|imim阿卑阿卑赫梅特判据赫梅特判据阿卑阿卑赫梅特判据赫梅特判据 该判据用于判断是否存在该判据用于判断是否存在周期性系差周期性系差。首先按测量数。首先按测量数据的测量先后求剩余误差列据的测量先后求剩余误差列 。然后用下。然后用下式判断：式判断： 若上式成立，则认为存在周期性系差，否则不存在周若上式成立，则认为存在周期性系差，否则不存在周期性系差。期性系差。 n,21211132211|nni

60、iinn对于存在变值系差的测量数据，原则上应舍去不对于存在变值系差的测量数据，原则上应舍去不用。但是，若明显小于测量允许的误差范围或者用。但是，若明显小于测量允许的误差范围或者仪器仪表的基本误差，也可以考虑使用。仪器仪表的基本误差，也可以考虑使用。2.5.3 减小系统误差的方法对于测量者，善于找出产生系差的原因并采取有效措施对于测量者，善于找出产生系差的原因并采取有效措施以减小误差是极为重要的。它与被测对象、测量方法、以减小误差是极为重要的。它与被测对象、测量方法、仪器仪表的选择以及测量人员的实践经验密切有关。下仪器仪表的选择以及测量人员的实践经验密切有关。下面介绍几种常用的减小系差的方法。面