理论力学_运动学_4刚体的平面运动

1、42 平面运动的速度分析平面运动的速度分析41 刚体平面运动的简化与分解刚体平面运动的简化与分解43 平面运动的加速度分析平面运动的加速度分析44 刚体转动的合成刚体转动的合成第第四四章章 刚刚体体的的平平面面运运动动刚体平面运动的分解刚体平面运动的分解 刚体平面运动简化刚体平面运动简化 刚体平面运动方程刚体平面运动方程刚体平面运动实例刚体平面运动实例41 刚体平面运动简化与分解刚体平面运动简化与分解41 刚体平面运动简化与分解刚体平面运动简化与分解刚体平面运动实例刚体平面运动实例41 刚体平面运动简化与分解刚体平面运动简化与分解刚体平面运动实例刚体平面运动实例41 刚体平面运动简化与分解刚体

2、平面运动简化与分解刚体平面运动实例刚体平面运动实例41 刚体平面运动简化与分解刚体平面运动简化与分解刚体平面运动实例刚体平面运动实例(1) 刚体平面运动特点刚体平面运动特点 刚体上所有各点均在平行于某刚体上所有各点均在平行于某固定平面的平面内运动。固定平面的平面内运动。41 刚体平面运动简化与分解刚体平面运动简化与分解 刚体平行刚体平行于某固定平面作平面运动，于某固定平面作平面运动，以平行于该固定平面的另一以平行于该固定平面的另一平面截割这刚体，得一截面平面截割这刚体，得一截面S，称为平面图形。，称为平面图形。平面图形平面图形(2) 刚体平面运动简化刚体平面运动简化41 刚体平面运动简化与分解

3、刚体平面运动简化与分解 刚体的平面运动，可以简化为平面图形在其自身平面刚体的平面运动，可以简化为平面图形在其自身平面内的运动来研究。内的运动来研究。平面运动简化平面运动简化41 刚体平面运动简化与分解刚体平面运动简化与分解刚体平面运动简化实例刚体平面运动简化实例41 刚体平面运动简化与分解刚体平面运动简化与分解 刚体的平面运动，刚体的平面运动，可以简化为平面图形可以简化为平面图形在其自身平面内的运在其自身平面内的运动来研究。动来研究。 平面图形平面图形 S 的位置可用的位置可用其上任一线段如其上任一线段如AB 来确定，来确定， 而线段而线段AB的位置又可用的位置又可用A 点的坐标点的坐标 xA

4、 、yA和线段和线段AB与与 x 轴的夹角轴的夹角 来确定。来确定。 点点 A 称为称为基点基点。41 刚体平面运动简化与分解刚体平面运动简化与分解)()()(321tftfytfxAA 刚体平面运动方程刚体平面运动方程41 刚体平面运动简化与分解刚体平面运动简化与分解当平面图形当平面图形 S 运动时，坐标运动时，坐标 xA 、yA和夹角和夹角 一般都是随时间一般都是随时间 t 而而变化的，分别为时间变化的，分别为时间 t 的单值连的单值连续函数，即续函数，即这就是平面图形这就是平面图形S 的的运动方程，也就是运动方程，也就是刚体平面运动的运动方程刚体平面运动的运动方程。 例例4-1 4-1

5、曲柄滑块机构中曲柄滑块机构中OA=r , AB=lOA=r , AB=l，曲柄，曲柄OAOA以等角速度以等角速度绕绕O O轴转动。求轴转动。求1 1连杆的平面运动方程；连杆的平面运动方程；2 2连杆上连杆上P P点点(AP=l1)(AP=l1)的运动轨迹、速度与加速度。的运动轨迹、速度与加速度。 (xP ,yP)xyOAPBl41 刚体平面运动简化与分解刚体平面运动简化与分解ttlrrl,sinsinsinsin,解解：由图中的几何关系，有由图中的几何关系，有(1) 连杆的平面运动方程连杆的平面运动方程(xP ,yP)xyOAPBl41 刚体平面运动简化与分解刚体平面运动简化与分解)sin(a

6、rcsinsin,costlrtrytrxAA,tlllrytlrltrxPPsin)-(,)sin(1cos121连杆的平面运动方程为连杆的平面运动方程为(2) 连杆上连杆上P点的运动方程点的运动方程(xP ,yP)xyOAPBl41 刚体平面运动简化与分解刚体平面运动简化与分解 tlrtlr222sin)(211)sin(12cos21sin2tt,tlllrytlrltrxPPsin)-(,)sin(1cos121应用泰勒公式，忽略应用泰勒公式，忽略4次方以上的项，有次方以上的项，有tlrtlrlrlxPcos2)(41cos)(4112121,tlllryPsin)-(141 刚体平面

7、运动简化与分解刚体平面运动简化与分解所以得连杆的平面运动方程为所以得连杆的平面运动方程为41 刚体平面运动简化与分解刚体平面运动简化与分解)sin221(sin21tlrltrxvPPx,tlllryvPPycos)-(1 )cos2(cos212tlrltrxaPPx ,tlllryaPPysin)-(12 (3) 连杆上连杆上P点的速度与加速度点的速度与加速度41 刚体平面运动简化与分解刚体平面运动简化与分解tlrtlrlrlxPcos2)(41cos)(4112121,tlllryPsin)-(1连杆的平面运动方程为连杆的平面运动方程为41 刚体平面运动简化与分解刚体平面运动简化与分解3

8、 . .刚体平面运动的分解刚体平面运动的分解故由此可知故由此可知刚体的平面运动可以看成是平移和转动的合成运刚体的平面运动可以看成是平移和转动的合成运动。动。 刚 体 的 平刚 体 的 平面运动可分解为面运动可分解为随同基点的平移随同基点的平移和相对基点的转和相对基点的转动。动。41 刚体平面运动简化与分解刚体平面运动简化与分解 刚体的平面运动可分解为随同基点的平移和相刚体的平面运动可分解为随同基点的平移和相对基点的转动。对基点的转动。41 刚体平面运动简化与分解刚体平面运动简化与分解41 刚体平面运动简化与分解刚体平面运动简化与分解刚体平面运动的分解演示刚体平面运动的分解演示41 刚体平面运动

9、简化与分解刚体平面运动简化与分解刚体平面运动的分解演示刚体平面运动的分解演示41 刚体平面运动简化与分解刚体平面运动简化与分解刚体平面运动的分解演示刚体平面运动的分解演示41 刚体平面运动简化与分解刚体平面运动简化与分解刚体平面运动的分解演示刚体平面运动的分解演示41 刚体平面运动简化与分解刚体平面运动简化与分解特别强调特别强调1. 刚体的平面运动分解成随基点的平移和相对于基点的转刚体的平面运动分解成随基点的平移和相对于基点的转 动时，基点的选择是任意的。动时，基点的选择是任意的。l平移的轨迹、各点的速度和平移的轨迹、各点的速度和 加速度都与基点的位置有关。加速度都与基点的位置有关。l转动的角

10、速度和角加速度转动的角速度和角加速度都与都与 基点的位置无关。基点的位置无关。注意上面二条的含义是指注意上面二条的含义是指41 刚体平面运动简化与分解刚体平面运动简化与分解1、以为以为 A 基点分解基点分解 2、以、以B为基点分解为基点分解1. 证明平移局部与基点的选证明平移局部与基点的选 择有关。择有关。41 刚体平面运动简化与分解刚体平面运动简化与分解2. 证明转动局部与基点的选择无关证明转动局部与基点的选择无关12,dddd12tt常量而而故求导可得故求导可得212222ddddtt41 刚体平面运动简化与分解刚体平面运动简化与分解ttdddd12 由上式由上式212222ddddtt

11、由此可见，平面图形也即平面运动刚体在相对转动中的角速度由此可见，平面图形也即平面运动刚体在相对转动中的角速度和角加速度对不同基点是相同的，从而证得转动局部与基点的选择无关。和角加速度对不同基点是相同的，从而证得转动局部与基点的选择无关。 因为平移系因为平移系(动系动系)相对定相对定参考系没有方位的变化，平面参考系没有方位的变化，平面图形的角速度和角加速度既是图形的角速度和角加速度既是平面图形相对于平移系的平面图形相对于平移系的相对相对角速度角速度和和角加速度角加速度，也是平面，也是平面图形相对于定参考系的图形相对于定参考系的绝对角绝对角速度速度和和角加速度角加速度。41 刚体平面运动简化与分解

12、刚体平面运动简化与分解,dddd12tt212222ddddtt 基基 点点 法法速度投影法速度投影法速度瞬心法速度瞬心法yxOS42 平面运动的速度分析平面运动的速度分析yxvBAvAvABA 未知。未知。绕基点绕基点 A的圆周运动。的圆周运动。vr= vBA= AB 随基点随基点A的平动，的平动， ve = vA 。B点点 。固连于地球。固连于地球。以以A点为原点的平移系点为原点的平移系 Axy。vA42 平面运动的速度分析平面运动的速度分析定系定系Oxy基点基点A平移系平移系Axy平面图形平面图形S平面图形的角速度平面图形的角速度 基点速度基点速度 vA速度合成定理速度合成定理 va=

13、ve+ vryxOSyxvBAvAvABA点点B绕点绕点A转动的速度转动的速度 vBAyxOSyxvBAvAvABA42 平面运动的速度分析平面运动的速度分析vBva= vB， ve= vA， vr= vABreavvv根据速度合成定理根据速度合成定理注意到注意到那么有那么有应用速度合成定理应用速度合成定理上式等号两侧上式等号两侧 分别向分别向AB连线上连线上投影投影，因为因为vBA垂直于垂直于AB，所以所以vBA在在AB上投影等于零。上投影等于零。 cos cosBAvv那么那么有有SBvAvAvBAvB42 平面运动的速度分析平面运动的速度分析 例例4-2 4-2 曲柄滑块机构中，曲曲柄滑

14、块机构中，曲柄柄OAOAr r，以匀角速度，以匀角速度 00绕绕O O 轴轴转动，连杆转动，连杆ABABl l。在图示情形下。在图示情形下连杆与曲柄垂直。求该瞬时连杆与曲柄垂直。求该瞬时(1) (1) 滑块的速度滑块的速度vBvB；(2) (2) 连杆连杆ABAB的角的角速度速度AB AB 。BA0O042 平面运动的速度分析平面运动的速度分析BA0O0画出速度合成矢量图画出速度合成矢量图。vAvABvBvA解：解：42 平面运动的速度分析平面运动的速度分析连杆连杆AB作平面运动。作平面运动。A 点速度点速度 vA ， vA=r 0以以A为基点。应用速度合成定理为基点。应用速度合成定理运运 动

15、动 演演 示示42 平面运动的速度分析平面运动的速度分析(1)求该瞬时求该瞬时滑块的速度滑块的速度vB由速度合成矢量图可得滑块由速度合成矢量图可得滑块的速度：的速度：000coscosrvvABBA0O0vAvABvBvA042 平面运动的速度分析平面运动的速度分析方向铅直向上。方向铅直向上。000tantanlrlvAlvABAB(2) 求该瞬时求该瞬时连杆连杆AB的角速度的角速度AB 42 平面运动的速度分析平面运动的速度分析BA0O0vAvABvBvA0顺时针转向顺时针转向解：解：应用速度投影定理应用速度投影定理 cos cosBAvvvA=r 0 ， 0， 0 cos 0BAvv co

16、s 00rvBBA0O00vBvA42 平面运动的速度分析平面运动的速度分析 v v ABBABA有有因为因为从而有从而有应用速度投影定理无法求得连杆应用速度投影定理无法求得连杆AB的角速度。的角速度。 例例4-3 4-3 如图轮心以如图轮心以vOvO匀速直线运动，且纯滚动。匀速直线运动，且纯滚动。杆的杆的DEDE长为长为2R2R。试求在这瞬时杆。试求在这瞬时杆DEDE的角速度。的角速度。42 平面运动的速度分析平面运动的速度分析ABCDEO30 xDvOOER602R解：先求先求B点的速度。点的速度。OBvvvvBOO222OOOBOvRvRRv以以O点为基点分析点为基点分析B 点的速度，有

17、点的速度，有BOOBvvv42 平面运动的速度分析平面运动的速度分析ABCDEO30 xDvOOERvBOvO45vB2R 考虑车轮在任意瞬时位置，因车轮滚动而不滑考虑车轮在任意瞬时位置，因车轮滚动而不滑动，故有动，故有RvRxtOOdd,RxORCMCOxO1O1COMxyrxO另外，又以另外，又以B作为基点分析作为基点分析D 点的速度，有点的速度，有DBBDvvv也可以用投影法，有也可以用投影法，有15sin60sinBDvv42 平面运动的速度分析平面运动的速度分析ABCDEO30 xDvOOER45vBOvOvBvDBvB4560vD152R)4560sin()60180sin(DBv

18、v60sin15sinBDvv75cos30cosBDvvRvDDE2 例例4-4 4-4 如图平面铰链机构。如图平面铰链机构。已知杆已知杆O1A的角速度是的角速度是1 ，杆，杆O2B的角速度是的角速度是2，转向如图，转向如图，且在图示瞬时，杆且在图示瞬时，杆O1A铅直，铅直，杆杆AC 和和O2B水平，而杆水平，而杆BC对铅对铅直线的偏角直线的偏角30；又；又O2B=b，O1A= b。试求在这瞬时。试求在这瞬时C 点点的速度。的速度。3O1AO2BC1230 xy42 平面运动的速度分析平面运动的速度分析运运 动动 演演 示示42 平面运动的速度分析平面运动的速度分析O1AO2BC1230 x

19、y先求出先求出A点和点和B点的速度。有点的速度。有bAOvA1113bBOvB222vA 和和 vB 的方向如图。的方向如图。以以A点为基点分析点为基点分析C 点的速度，有点的速度，有CAACvvv另外，又以另外，又以B作为基点分析作为基点分析C 点的速度，有点的速度，有CBBCvvv比较以上两式，有比较以上两式，有CBBCAAvvvv1242 平面运动的速度分析平面运动的速度分析连杆连杆AC 和和BC 均作平面运动。均作平面运动。解：沿沿x 轴投影上式，轴投影上式， 得得30 cosCBAvvbvvvvCBCBxBxCx1330cos0bvvvvvCBBCByByCy2130sinCBBCA

20、AvvvvbvvACB1230 cos方向如图方向如图把把 式分别投影到式分别投影到x，y 轴上，有轴上，有 CBBCvvvO1AO2BC1230 xy42 平面运动的速度分析平面运动的速度分析由此求得由此求得于是得于是得2221212212122243bbvvvCyCxC1213,tanCxCyCvvxvO1AO2BC1230 xybvvvvCBCBxBxCx1330cos0bvvvvvCBBCByByCy2130sin42 平面运动的速度分析平面运动的速度分析 例例4-54-5 图示一连杆机构，曲图示一连杆机构，曲柄柄AB和圆盘和圆盘CD分别绕固定轴分别绕固定轴A和和D转动。转动。BCE为

21、三角形构件，为三角形构件，B，C为销钉连接。设圆盘以匀为销钉连接。设圆盘以匀速速n0=40 rmin1顺时针转向转顺时针转向转动，尺寸如图。试求图示位置动，尺寸如图。试求图示位置时曲柄时曲柄AB的角速度的角速度AB和构件和构件BCE上点上点E的速度的速度vE。 ADCBE012050100506042 平面运动的速度分析平面运动的速度分析运运 动动 演演 示示42 平面运动的速度分析平面运动的速度分析ADCBE0120501005060ABCBvvcos根据数据，得到：根据数据，得到： 100srad 19. 4602n6.22 ,131250120120cos22故故 smm 272cos1

22、0CDvB曲柄曲柄AB的角速度的角速度 1srad 09.2ABvBAB解： C点速度已知，点速度已知， ，B点速点速度垂直于曲柄度垂直于曲柄AB。根据速度投影定理。根据速度投影定理得得0 CDvC1求曲柄求曲柄AB的角速度的角速度AB 。42 平面运动的速度分析平面运动的速度分析构件构件BCE 作平面运动作平面运动 。顺时针顺时针ADCBE120501005060 由于构件由于构件BCE上上C点的速度点的速度vC垂直垂直于于CE，根据速度投影定理可知根据速度投影定理可知E点的点的速度速度vE也应垂直于也应垂直于CE。应用速度投影应用速度投影定理，定理， vB与与vE在在BE连线上的投影相等，

23、连线上的投影相等，即即 cos)cos(EBvv式中式中 6 .26arctanBCCE所以所以E点的速度点的速度1smm 199cos)cos(BEvv2求求E点的速度。点的速度。42 平面运动的速度分析平面运动的速度分析水平向右水平向右 例例4-6 4-6 如下图，半径为如下图，半径为R R的车轮，沿直线轨道作无滑的车轮，沿直线轨道作无滑动的滚动，轮心动的滚动，轮心O O以匀速以匀速vOvO前进。求轮缘上前进。求轮缘上A A，B B，C C和和D D各各点的速度。点的速度。 CABD42 平面运动的速度分析平面运动的速度分析应用速度合成定理，轮缘上应用速度合成定理，轮缘上C点的速度可点的速

24、度可表示为表示为 CABD解：解：COOCvvv因为轮心因为轮心O的速度，应选的速度，应选O点为基点。点为基点。其中其中 vCO 的方向，其大小的方向，其大小vCO =R 。RvO由于车轮只滚不滑，因此车轮的角速度为由于车轮只滚不滑，因此车轮的角速度为顺时针，顺时针，42 平面运动的速度分析平面运动的速度分析车轮作平面运动。用基点法分析求解。车轮作平面运动。用基点法分析求解。0OOOCOOxCvvRvvvv, 0yCv0CvCABDO以以O点为基点点为基点 ，各点的速度求得如下：，各点的速度求得如下： OAvv2A点：点：BOOBvvvOBvv2B点点：ODvv2D点：点：42 平面运动的速度

25、分析平面运动的速度分析AOOAvvvvAO =R = vO,vvvAOOAvBO =R = vO ,DOODvvvvDO =R = vO ,CABDO以以C点为基点，各点的速度求得如下：点为基点，各点的速度求得如下： A点：点：CBCBvvvOBvRv22B点点：D点：点：42 平面运动的速度分析平面运动的速度分析CACAvvvvA= vAC =2R = 2vO,vC0CDCDvvvODvRv22 讨论思考以思考以C点为基点，求点为基点，求A、B、D各点速度时的特点各点速度时的特点? 42 平面运动的速度分析平面运动的速度分析S设平面图形设平面图形S上某点上某点A的速度的速度vA ，平面，平面

26、图形的角速度图形的角速度 。1瞬心的定义瞬心的定义 某瞬时平面运动刚体上速度为零的点称为某瞬时平面运动刚体上速度为零的点称为瞬时速瞬时速 度中心，度中心，简称为简称为速度瞬心。速度瞬心。2瞬心的存在瞬心的存在APvA速度为零的点可能在哪出现？速度为零的点可能在哪出现？答：答：速度为零的点可能出现在速度为零的点可能出现在 vA的垂直线的垂直线 AP上。上。ASvAPvAvACvCv42 平面运动的速度分析平面运动的速度分析 过过A点作点作vA的垂直线的垂直线PA，PA上各点的速度由两局部组成：上各点的速度由两局部组成：跟随基点平移的速度跟随基点平移的速度vA 牵连速度，各点相同；牵连速度，各点相

27、同； 相对于基点转动的速度相对于基点转动的速度vPA相对速度相对速度 ，自，自A点起线性分布。点起线性分布。（2）瞬心瞬心的存在的存在速度为零的点可能出现在速度为零的点可能出现在 vA 的垂直线的垂直线AP上。上。 因为因为PA线上各点相对于基点转动的速度与线上各点相对于基点转动的速度与A点的速度方向相反，其大小正比于该点到点的速度方向相反，其大小正比于该点到A点的距离，故必有一点点的距离，故必有一点Cv 的速度满足的速度满足0ACvvvvvAACACvv由此求得由此求得AvvAC速度为零的点速度为零的点Cv即为该瞬时平面图形的速度瞬心。即为该瞬时平面图形的速度瞬心。ASvAPvAvACvCv

28、42 平面运动的速度分析平面运动的速度分析2瞬心的存在瞬心的存在AvvAC3速度瞬心法速度瞬心法SCvvAACvCvBB42 平面运动的速度分析平面运动的速度分析 求出速度瞬心求出速度瞬心Cv 的位置和平面图形的角速的位置和平面图形的角速度度 ，就可求得平面运动刚体上所有点的就可求得平面运动刚体上所有点的速速度，这种方法称为速度瞬心法。度，这种方法称为速度瞬心法。 假设在某瞬时以速度瞬心Cv为基点，那么平面图形上任一点M的速度大小vMCMMCvvv其方向其方向MCv，指向与，指向与转向一致。转向一致。 平面图形平面图形上各点的上各点的速度分布，与图形在该速度分布，与图形在该瞬时以角速度瞬时以角

29、速度 绕绕速度瞬心速度瞬心Cv 作定轴转动时一作定轴转动时一样。样。 根据速度合成定理，平面图形上根据速度合成定理，平面图形上任意点任意点(例如例如B点点)为为vB= vA+ vBA其中其中 vA vCv0， vBA vBCvvB vBCv BCv42平面运动的速度分析平面运动的速度分析vBSCvvABACvC 图形内各点的速度的大小与该点图形内各点的速度的大小与该点到速度瞬心的距离成正比，其方向垂到速度瞬心的距离成正比，其方向垂直于该点与速度瞬心的连线，指向转直于该点与速度瞬心的连线，指向转动前进的一方。动前进的一方。第一种情形第一种情形4 速度瞬心位置确实定速度瞬心位置确实定42 平面运动

30、的速度分析平面运动的速度分析 某瞬时平面图形上某瞬时平面图形上A，B两点的速度方位，那么这两点速两点的速度方位，那么这两点速度的垂线的交点就是速度瞬心。度的垂线的交点就是速度瞬心。第二种情形第二种情形42 平面运动的速度分析平面运动的速度分析 平面图形上两点的速度矢量的大小与方向，而且二矢量平面图形上两点的速度矢量的大小与方向，而且二矢量互相平行、方向相同，但二者都不垂直于两点的连线。那么速互相平行、方向相同，但二者都不垂直于两点的连线。那么速度瞬心在无穷远处。度瞬心在无穷远处。 此时平面运动刚体的角速度此时平面运动刚体的角速度0Av 该瞬时各点速度均平行，且大小相该瞬时各点速度均平行，且大小

31、相等，其分布与平移时速度一样，这种情等，其分布与平移时速度一样，这种情形称为形称为瞬时移动瞬时移动。第二种情形第二种情形42 平面运动的速度分析平面运动的速度分析 平面图形上两点的速度矢量的大小与方向，而且二矢平面图形上两点的速度矢量的大小与方向，而且二矢量互相平行、方向相同、大小相等，都垂直于两点的连线，量互相平行、方向相同、大小相等，都垂直于两点的连线，那么速度瞬心仍在无穷远处。那么速度瞬心仍在无穷远处。 此时平面运动刚体的角速度此时平面运动刚体的角速度0Av 该瞬时平面运动刚体仍处于该瞬时平面运动刚体仍处于瞬时平移状态瞬时平移状态。第三种情形第三种情形42 平面运动的速度分析平面运动的速

32、度分析 平面图形上两点的速度矢量的大小与方向，而且二矢量平面图形上两点的速度矢量的大小与方向，而且二矢量互相平行，并且都垂直于两点的连线。那么速度瞬心在两点速互相平行，并且都垂直于两点的连线。那么速度瞬心在两点速度矢端连线与度矢端连线与AB延长线的交点处。延长线的交点处。第四种情形第四种情形42 平面运动的速度分析平面运动的速度分析当平面运动刚体在一固定平面上作纯滚动时，其接触点即为速度当平面运动刚体在一固定平面上作纯滚动时，其接触点即为速度瞬心。瞬心。 瞬时性：瞬时性：不同的瞬时，有不同的速度瞬心；因此瞬心具有不同的瞬时，有不同的速度瞬心；因此瞬心具有 加速度。加速度。5速度瞬心的特点速度瞬

33、心的特点42 平面运动的速度分析平面运动的速度分析 唯一性唯一性：某一瞬时只有一个速度瞬心；某一瞬时只有一个速度瞬心； 瞬时转动特性：瞬时转动特性：平面图形在某一瞬时的运动都可以视为绕平面图形在某一瞬时的运动都可以视为绕这一瞬时的速度瞬心作瞬时转动。这一瞬时的速度瞬心作瞬时转动。注意瞬时平移与平移的区别：注意瞬时平移与平移的区别：瞬时平移各点的速度相同，瞬时平移各点的速度相同， 但是加速度不同。但是加速度不同。42 平面运动的速度分析平面运动的速度分析找出以下平面运动刚体的速度瞬心。找出以下平面运动刚体的速度瞬心。BAO2 2BAO1O21 1 练习题42 平面运动的速度分析平面运动的速度分析

34、BAOvA4 4BAOvO3 342 平面运动的速度分析平面运动的速度分析找出以下平面运动刚体的速度瞬心。找出以下平面运动刚体的速度瞬心。 练习题四连杆机构中，四连杆机构中， 。DBADlABlBO ,23 ,1OA以角速度0绕O轴转动。求1B和D点的速度；2AB杆的角速度。45o90o90o0O1OBAD42 平面运动的速度分析平面运动的速度分析例例4-7 4-7 作作vA和和vB的垂线，相交于的垂线，相交于Cv，此，此即即杆杆AB的的速度瞬心。速度瞬心。45o90o90oO1OBADCv 解：解：机构中杆机构中杆AB作平面运动，杆作平面运动，杆OA和和O1B都作定轴转动。都作定轴转动。图中

35、的几何关系：图中的几何关系：lDClACvv453 , 223lBCABlOAv23 , 242 平面运动的速度分析平面运动的速度分析 A，B二点的速度二点的速度vA和和vB的方向的方向都可以确定。都可以确定。002lOAvA00322232llACvvAAB003223 llACvBCvvAABvB1求求B和和D点的速度。点的速度。42 平面运动的速度分析平面运动的速度分析lDClACvv453 , 223lBCABlOAv23 , 2因为因为A点的速度点的速度所以，连杆所以，连杆AB 的角速度的角速度顺时针转向顺时针转向B点的速度点的速度45o90o90oO1OBADCv0025 3225

36、3llDCvABvD45o90o90oO1OBADCv42 平面运动的速度分析平面运动的速度分析00322232llACvvAAB连杆连杆AB 的角速度的角速度D点的速度点的速度lDClACvv453 , 223lBCABlOAv23 , 2 例例4-4 4-4 如下图，半径为如下图，半径为R R的车轮，沿直线轨道作无滑的车轮，沿直线轨道作无滑动的滚动，轮心动的滚动，轮心O O以匀速以匀速vOvO前进。求轮缘上前进。求轮缘上A A，B B，C C和和D D各各点的速度。用瞬心法求解点的速度。用瞬心法求解 CABD42 平面运动的速度分析平面运动的速度分析CABDOxy利用速度利用速度vO，可求

37、得车轮的角速度为，可求得车轮的角速度为此此与以与以O点为基点求出的角速度点为基点求出的角速度完全相完全相同，说明图形的角速度与基点选择无关。同，说明图形的角速度与基点选择无关。 车轮上点车轮上点B的速度垂直于连线的速度垂直于连线CB，大小为大小为OBvRBCv22同理，可求得轮缘上其它各点的速度，结果与前面基点法所求结果相同。同理，可求得轮缘上其它各点的速度，结果与前面基点法所求结果相同。 解:RvOCvOO（顺时针）（顺时针）42 平面运动的速度分析平面运动的速度分析车轮作平面运动。用瞬心法分析求解。车轮作平面运动。用瞬心法分析求解。因为车轮滚而不滑，所以其速度瞬心在与地面相接触的因为车轮滚

38、而不滑，所以其速度瞬心在与地面相接触的C点处。点处。 例例4-9 4-9 如下图，节圆半径为如下图，节圆半径为r r的行星齿轮的行星齿轮IIII由曲柄由曲柄OAOA带动在节圆半径带动在节圆半径为为R R 的固定齿轮的固定齿轮 I I 上作无滑动的滚动。曲柄上作无滑动的滚动。曲柄OAOA以匀角速度以匀角速度O O 转动。求转动。求在图示位置时，齿轮在图示位置时，齿轮IIII节圆上节圆上M1M1，M2M2，M3M3和和M4M4各点的速度。图中线段各点的速度。图中线段M3M4M3M4垂直于线段垂直于线段M1M2M1M2。 OAM2M4M1M3CRr42 平面运动的速度分析平面运动的速度分析OAM2M

39、4M1M3CRr 行星齿轮行星齿轮 II 作平面运动。因为行星轮作平面运动。因为行星轮 II滚而不滑滚而不滑，所以其速度瞬心在二轮接触点所以其速度瞬心在二轮接触点C处，利用瞬心法进行求解。为此先求轮处，利用瞬心法进行求解。为此先求轮 II 的的角速度。角速度。解：OOArROAv)(所以轮所以轮 II 上上 M1，M2 ，M3 和和 M4 各点的速度分别为：各点的速度分别为： , 01cvvOrRCMv)(222, )(2343OrRCMvv各点的速度方向如下图。各点的速度方向如下图。 因为因为A点的速度点的速度因此轮因此轮 II 的角速度的角速度OrrR（逆时针）（逆时针）rAC42 平面运

40、动的速度分析平面运动的速度分析 例例4-10 4-10 在双滑块摇杆机构中，滑块在双滑块摇杆机构中，滑块A A和和B B可沿水平导槽滑可沿水平导槽滑动，摇杆动，摇杆OCOC可绕定轴可绕定轴O O转动，连杆转动，连杆CACA和和CBCB可在图示平面内运动，可在图示平面内运动，且且CB=lCB=l。当机构处于图所示位置时，滑块。当机构处于图所示位置时，滑块A A的速度的速度vAvA，试求该，试求该瞬时滑块瞬时滑块B B的速度的速度vBvB以及连杆以及连杆CBCB的角速度的角速度CBCB。试用速度瞬心。试用速度瞬心法求解。法求解。 606030OABC42 平面运动的速度分析平面运动的速度分析606

41、030OABCACvv解：由图可知，由图可知，P1A=P1C，所以，所以P1P242 平面运动的速度分析平面运动的速度分析连杆连杆AC 和和BC 均作平面运动。均作平面运动。对于连杆对于连杆AC：其速度瞬心在点其速度瞬心在点A和和C速度速度vA和和vC垂线的交点垂线的交点P1。对于连杆对于连杆BC：其速度瞬心在点其速度瞬心在点B和和C速度速度vB 和和vC垂线的交点垂线的交点P2。因为因为 lCBCP3330 tan2故得连杆故得连杆CB角速度角速度ACCBvlCPv32于是滑块于是滑块B 速度的大小为速度的大小为 AACBBvvllBPv23322水平向右水平向右 逆时针逆时针加速度合成定理

42、加速度合成定理43 平面运动的加速度分析平面运动的加速度分析 设在平面运动刚体上取点设在平面运动刚体上取点A为基点，其速度为为基点，其速度为 aA ，平面图形，平面图形S也即平也即平面运动刚体的角速度为面运动刚体的角速度为，角加速度为，角加速度为 。分析图形上任一点。分析图形上任一点B 的加速度。的加速度。将将B点的运动视为复合运动。点的运动视为复合运动。动系动系以以A点为原点的平移系点为原点的平移系 。 绝对运动绝对运动未知。未知。 相对运动相对运动绕基点绕基点 A的圆周运动。的圆周运动。 牵连运动牵连运动随基点随基点A的平移。的平移。 ae = aA动点动点B点点 。定系定系固连于地球。固

43、连于地球。ABaaBAttr相对切向加速度相对切向加速度 2nnrABaaBA相对法向加速度相对法向加速度 SBAa tBAa nBA43 平面运动的加速度分析平面运动的加速度分析将将B点的运动视为复合运动。点的运动视为复合运动。动系动系以以A点为原点的平移系点为原点的平移系 。 绝对运动绝对运动未知。未知。 相对运动相对运动绕基点绕基点 A的圆周运动。的圆周运动。 牵连运动牵连运动随基点随基点A的平移。的平移。 ae = aA动点动点B点点 。定系定系固连于地球。固连于地球。ABaaBAttr相对切向加速度相对切向加速度 2nnrABaaBA相对法向加速度相对法向加速度 SBAa tBAa

44、nBA由点的加速度合成定理由点的加速度合成定理有有ntBABAABaaaa此即用基点法求点的加速度的根本公式。此即用基点法求点的加速度的根本公式。nrtreaaaaareaaaaaBntBABAABAAaaaaaSA 点的绝对点的绝对 运动轨迹运动轨迹B 点的绝对点的绝对 运动轨迹运动轨迹BAyxaAaBBAaAaABAatBAanBAaBA43 平面运动的加速度分析平面运动的加速度分析aBAaABAatBAanBAaBntBABAABAABaaaaaa43 平面运动的加速度分析平面运动的加速度分析此即用基点法求点的加速度的根本公式。此即用基点法求点的加速度的根本公式。有结论：有结论： 例例4

45、-11 4-11 曲柄滑块机构，曲柄滑块机构，OAr，ABl，曲柄以匀角速度，曲柄以匀角速度0绕绕O轴转动。求：图示瞬时，滑块轴转动。求：图示瞬时，滑块B的加速度的加速度aB和连杆和连杆AB的的角加速度角加速度 AB 。90o30oOBA43 平面运动的加速度分析平面运动的加速度分析90o30oOBA3tan3000lrlvABAB解：43 平面运动的加速度分析平面运动的加速度分析 应用速度分析的多种方法可求得连杆应用速度分析的多种方法可求得连杆AB 的角速度的角速度AB ，此处视为。此处视为。连杆连杆AB作平面运动。作平面运动。1. 速度分析速度分析90o30oOBA2 加速度分析加速度分析

46、A点的加速度点的加速度:20raA43 平面运动的加速度分析平面运动的加速度分析选点选点A为基点，那么滑块为基点，那么滑块B的加速度的加速度其中，其中，, 2nRaaAA, tABBAABa连杆的角加速度连杆的角加速度 AB 尚属未知。暂时尚属未知。暂时假定假定 AB 沿逆钟向，故沿逆钟向，故 如图所示。如图所示。tBAantBABAABaaaa2nABBAABa各加速度如下图。各加速度如下图。 滑块滑块B 的加速度的加速度aB的方向的方向为水平并假定向左，大小待求。为水平并假定向左，大小待求。90o30oOBA30AB43 平面运动的加速度分析平面运动的加速度分析2. 加速度分析加速度分析n

47、tBABAABaaaa其中，其中，, 2nRaaAA, tABBAABa2nABBAABa分别沿分别沿BA和和AB的方向投影上式，得的方向投影上式，得, 30cosnBABaat30sinBAABaaa由此求得滑块由此求得滑块B的加速度的加速度连杆连杆AB的角加速度的角加速度20273230coslaanABB20t)27333(laBAAB202738逆时针逆时针 例例4-12 4-12 如下图，在外啮合行星齿轮机构中，系杆如下图，在外啮合行星齿轮机构中，系杆O1O = lO1O = l，以匀角速度以匀角速度11绕绕O1O1轴转动。大齿轮轴转动。大齿轮固定，行星轮固定，行星轮半径为半径为r

48、r，在轮在轮上只滚不滑。设上只滚不滑。设A A和和B B是轮缘上的两点，是轮缘上的两点，A A点在点在O1OO1O的延长的延长线上，而线上，而B B点那么在垂直于点那么在垂直于O1OO1O的半径上。试求点的半径上。试求点A A和和B B 的加速度。的加速度。 43 平面运动的加速度分析平面运动的加速度分析O1OABCO1OABC 轮轮作平面运动，其中心作平面运动，其中心O的速度和加速度分别为：的速度和加速度分别为：, 1lvO21laO1rlrvO轮轮的速度瞬心在的速度瞬心在C点，那么轮点，那么轮的角速度的角速度 因为因为1和和都为常量，所以轮都为常量，所以轮的角的角加速度为零，那么有加速度为

49、零，那么有解：043 平面运动的加速度分析平面运动的加速度分析顺时针顺时针各加速度的大小为各加速度的大小为, 2122nrlraAOO1OABCnAOa)1(2121221nrllrllaaaAOOA所以由图可知所以由图可知A点的加速度的方向沿点的加速度的方向沿AO，它的，它的大小为大小为0tAOa43 平面运动的加速度分析平面运动的加速度分析(1) 求求A点的加速度。点的加速度。选选O为基点，应用加速度合成定理为基点，应用加速度合成定理ntAOAOOAaaaa, 21laO轮轮的角速度的角速度1rlrvO角加速度角加速度方向如图。方向如图。0O1OABCntBOBOOBaaaa2212n21

50、rllaaaBOOB所以所以B点的加速度大小为点的加速度大小为它与半径它与半径OB间的夹角为间的夹角为lrrllaaBOOarctanarctanarctan21221n(2) 求求B点的加速度。点的加速度。nBOaBa选选O为基点，应用加速度合成定理为基点，应用加速度合成定理,2122nrlraBO,21laO0tBOa其中其中43 平面运动的加速度分析平面运动的加速度分析方向如图。方向如图。 例例4-13 4-13 如图所示，在椭圆规的机构中，曲柄如图所示，在椭圆规的机构中，曲柄OD以匀以匀角速度角速度绕绕O轴转动，轴转动，OD=AD=BD=l，求当求当 时，规时，规尺尺AB的角加速度和的

51、角加速度和A点的加速度。点的加速度。 60yOBAxD43 平面运动的加速度分析平面运动的加速度分析运运 动动 演演 示示43 平面运动的加速度分析平面运动的加速度分析yOBAxD 曲柄曲柄OD 绕绕O轴转动，规尺轴转动，规尺AB作平面运动。作平面运动。AB上的上的 D点加速度点加速度 ，laD2ntADADDAaaaa设规尺设规尺 AB 的角速度为的角速度为AB ，可由基点法或瞬心法求得，可由基点法或瞬心法求得AB解：其中其中 的大小的大小 ， 方向沿方向沿AB 。 atAD 大小未知，垂直于大小未知，垂直于AD，其方向暂设，其方向暂设如图。因为如图。因为A点作直线运动，可设点作直线运动，可

52、设aA的方向如的方向如图所示。图所示。ADaABAD2nnADa取取AB上的上的D点为基点，点为基点，A点的加速度点的加速度nADatADalADaABAD22n则则43 平面运动的加速度分析平面运动的加速度分析yOBAxDnADatADa将上式在将上式在y 轴上投影，得轴上投影，得由上式解得由上式解得yxn)2cos(cosADDAaaasincos sin0ntADADDaaalllaaaADDA222n60cos60cos cos)2cos(0cossin)(cossinsin22ntllaaaADDAD0tADaADAB规尺规尺 AB角加速度角加速度ntADADDAaaaa由于由于aA

53、为负值，故为负值，故aA的实际方向与原假设的方向相反的实际方向与原假设的方向相反。对式对式43 平面运动的加速度分析平面运动的加速度分析将上式在将上式在x轴上投影，得轴上投影，得刚体绕两个平行轴转动的分解刚体绕两个平行轴转动的分解同向转动的合成同向转动的合成反向转动的合成反向转动的合成 44 刚体绕平行轴转动的合成刚体绕平行轴转动的合成 平面运动除了可以分解为平移与转动外，在某些情况下也可看作是绕平面运动除了可以分解为平移与转动外，在某些情况下也可看作是绕两个平行轴转动的复合运动。两个平行轴转动的复合运动。 以右图行星轮系作为引例说明，不难看出在运动过以右图行星轮系作为引例说明，不难看出在运动

54、过程中，图中齿轮程中，图中齿轮上的点上的点A A作圆周运动，此时如将动系作圆周运动，此时如将动系OxyOxy固连于曲柄固连于曲柄OAOA，那么齿轮的平面运动可以分解为，那么齿轮的平面运动可以分解为绕两个平行轴的转动：绕两个平行轴的转动：0OxAyCxy 当平面运动刚体内有一个点作圆周运动时，当平面运动刚体内有一个点作圆周运动时，那么该平面运动可以分解为绕平行轴的两个转动。那么该平面运动可以分解为绕平行轴的两个转动。 反之，绕某轴转动的刚体，假设转轴本身同时又反之，绕某轴转动的刚体，假设转轴本身同时又绕另一与之平行的轴转动，那么这刚体的合成运动就是绕另一与之平行的轴转动，那么这刚体的合成运动就是

55、具有上述特征的平面运动。具有上述特征的平面运动。 (1) 齿轮齿轮随同曲柄随同曲柄OA一起绕垂直于轮面的固定一起绕垂直于轮面的固定轴轴O的转动，这是的转动，这是牵连运动牵连运动； 2 2齿轮齿轮相对于曲柄绕自身中心轴相对于曲柄绕自身中心轴A A的转动，的转动，那么是相对运动。那么是相对运动。44 刚体绕平行轴转动的合成刚体绕平行轴转动的合成 有结论：有结论： 假定相对转动和牵连转动的转轴位置及其角速度的大小和方向，求刚体合成运假定相对转动和牵连转动的转轴位置及其角速度的大小和方向，求刚体合成运动绝对运动的转轴位置及其角速度的大小和方向。动绝对运动的转轴位置及其角速度的大小和方向。 用用r r

56、，ee和和aa分别代表刚体的相对、牵连和绝对角速度矢量，其中分别代表刚体的相对、牵连和绝对角速度矢量，其中rr和和ee沿的平行轴画出。又用沿的平行轴画出。又用rr、ee和和aa代表这些矢量的模。代表这些矢量的模。这时矢量这时矢量r和和e的指向相同。图形的指向相同。图形S的牵连运动的牵连运动是绕定轴是绕定轴O的转动，相对运动是绕动轴的转动，相对运动是绕动轴O的转动，假的转动，假定两个转动都是逆钟向的。定两个转动都是逆钟向的。revvvM, ee OMv图形内任一点图形内任一点M的绝对速度的绝对速度其中其中SOxOerMvMvevrrrMOv44 刚体绕平行轴转动的合成刚体绕平行轴转动的合成2.2

57、.刚体绕平行轴转动的合成re OPOP 在连线在连线OO上的各点，其上的各点，其ve与与vr的方向相反。如果选取此线段上的一点的方向相反。如果选取此线段上的一点P，使，使vPe和和vPr的大小相等，的大小相等，erOPOP或或那么点那么点P P的绝对速度等于零。可见点的绝对速度等于零。可见点P P是图形是图形S S在该在该瞬时的速度瞬心。通过瞬心瞬时的速度瞬心。通过瞬心P P且平行于轴且平行于轴O O和轴和轴OO的轴称为图形的轴称为图形S S的瞬轴，即为刚体合成运动的转轴。的瞬轴，即为刚体合成运动的转轴。动系连杆动系连杆OO上的点上的点O 具有速度具有速度e OOvo因此因此 a OPvoee

58、eeaOPOPOPOPOPOPOOSOxOervPrPvPevO即即44 刚体绕平行轴转动的合成刚体绕平行轴转动的合成 刚体合成运动的转轴位置刚体合成运动的转轴位置 刚体绝对运动的角速度刚体绝对运动的角速度点点O又可看成是刚体即图形又可看成是刚体即图形S上的一个点。所以根据速度瞬心法可知上的一个点。所以根据速度瞬心法可知rea转向与转向与e和和r的转向相同。的转向相同。 当刚体同时绕平行轴作同向转动时，合成运动是绕另一平行的瞬轴的同向转当刚体同时绕平行轴作同向转动时，合成运动是绕另一平行的瞬轴的同向转动。绝对角速度的大小等于牵连角速度与相对角速度大小之和。瞬轴在原两平行动。绝对角速度的大小等于

59、牵连角速度与相对角速度大小之和。瞬轴在原两平行轴的平面上，并在这两轴之间；瞬轴到这两轴的距离与刚体绕这两轴转动的角速轴的平面上，并在这两轴之间；瞬轴到这两轴的距离与刚体绕这两轴转动的角速度大小成反比。度大小成反比。综合综合 ， 两式可得结论：两式可得结论：erOPOPrea如沿各轴作出各角速度矢如沿各轴作出各角速度矢aa、ee和和rr，那么角速度矢合成关系如下图。，那么角速度矢合成关系如下图。考虑到式考虑到式 ，可得绝对角速度，可得绝对角速度a的大小的大小 erOPOPOOPareeeaOPOP44 刚体绕平行轴转动的合成刚体绕平行轴转动的合成SOOer从而该点从而该点P的绝对速度等于零的绝对

60、速度等于零，这个点就是图形在该瞬时的速度瞬心。这个点就是图形在该瞬时的速度瞬心。rePPvv 这时矢量这时矢量r与与e指向相反。下面分别讨论这两个角速度大小不等和相等的两指向相反。下面分别讨论这两个角速度大小不等和相等的两种情形。种情形。 假定假定re ，且，且re 此时在图形内连线此时在图形内连线OO 的的O 端延长端延长线上可以选取一点线上可以选取一点P，使使即满足关系式即满足关系式erOPOPvPrPvPe44 刚体绕平行轴转动的合成刚体绕平行轴转动的合成考虑到式考虑到式eeeeaPOOPPOPOOPPOOO从而从而可得绝对角速度可得绝对角速度a的大小的大小era( (当当re ) 它的