清华大学传热学课件传热学41

1、1传热学的主要传热学的主要第四章 导热问题的数值解法tftftt x1x2 x3 x4第四章第四章 导热问题数值解法基础导热问题数值解法基础分析解法的优点：分析解法的优点：求解过程中的数学分析较严谨；求解过程中的数学分析较严谨；求解结果以函数形式表示，能清楚地显示各种因素求解结果以函数形式表示，能清楚地显示各种因素对温度分布的影响对温度分布的影响但是，工程技术中遇到的许多导热问题具有复杂的但是，工程技术中遇到的许多导热问题具有复杂的形状或边界条件，无法得出其分析解形状或边界条件，无法得出其分析解Numerical Heat Transfer（A, B） 数值传热学期刊数值传热学期刊数值计算方法

2、数值计算方法 有效解决复杂问题的方法；是具有有效解决复杂问题的方法；是具有一定精度的近似方法一定精度的近似方法数值解法数值解法：有限差分法有限差分法（finite-difference）、有限元、有限元法法（finite-element） 、边界元法、边界元法(boundary-element)、分子动力学模拟分子动力学模拟（MD）xttttwww211344-1 建立离散方程的方法建立离散方程的方法一、区域和时间的离散化一、区域和时间的离散化 有限差分法的基本原理有限差分法的基本原理把物体分割为有限个离散的单元体，用有限差商代把物体分割为有限个离散的单元体，用有限差商代替导数，从而将微分方程

3、转化为差分方程。通过数替导数，从而将微分方程转化为差分方程。通过数值计算求取各网格单元节点的温度值计算求取各网格单元节点的温度cqztytxtatv)(222222二维导热问题；网二维导热问题；网格线；沿格线；沿x、y方向方向的间距为的间距为 x、 y；网格单元网格单元节点节点：网格线的：网格线的交点；交点；p(i,j)p(i,j)边界节点边界节点（Nodal point）每个节点温度就代每个节点温度就代表了它所在网格单表了它所在网格单元的温度元的温度此方法求得的温此方法求得的温度场在空间上不度场在空间上不连续连续网格越细密、节点越多，结果越接近分析解网格越细密、节点越多，结果越接近分析解p(

4、i,j)对于非稳态导热对于非稳态导热：除了在空间上把物体分割成网格：除了在空间上把物体分割成网格单元，时间上也要分割成许多间隔单元，时间上也要分割成许多间隔 网格越细密，计算所花时间越长网格越细密，计算所花时间越长 在时间上也是不连续的在时间上也是不连续的建立有限差分离散方程的常用方法建立有限差分离散方程的常用方法：(1) Taylor（泰勒）级数展开法；（泰勒）级数展开法；(2) 热平衡法；热平衡法；(3) 多项式拟合法；多项式拟合法；(4) 控制容积积分法控制容积积分法（Energy balance method）p(i,j)Taylor（泰勒）级数展开法（泰勒）级数展开法和和多项式拟合法

5、多项式拟合法偏重于从偏重于从数学的角度数学的角度进行推导进行推导；而而热平衡法热平衡法和和控制容积积分法控制容积积分法则着重于从则着重于从物理的观点物理的观点来分析来分析建立差分方程的方法建立差分方程的方法(1) Taylor（泰勒）（泰勒） 级数展开法级数展开法(2) 多项式拟合法多项式拟合法 (3) 热平衡法热平衡法(4) 控制容积积分法控制容积积分法前一类方法优点前一类方法优点：便于对离散方程进行数学特性分析：便于对离散方程进行数学特性分析缺点缺点：变步长网格的离散方程形式复杂、导出过程的：变步长网格的离散方程形式复杂、导出过程的物理概念不清晰、不能保证差分方程具有守恒特性物理概念不清晰

6、、不能保证差分方程具有守恒特性后一类方法优点后一类方法优点：推导过程物理概念清晰、离散方程：推导过程物理概念清晰、离散方程系数具有一定物理意义、保证差分方程具有守恒特性系数具有一定物理意义、保证差分方程具有守恒特性缺点缺点：不便于对离散方程进行数学特性分析：不便于对离散方程进行数学特性分析1、Taylor（泰勒）级数展开法（泰勒）级数展开法将函数将函数 t(x, y, z) 在某点（在某点（i+1, j）对点（对点（i, j）作）作Taylor展开展开二、建立差分方程的方法二、建立差分方程的方法.! 3! 23,332,22, 1xxtxxtxxtttjijijijiji)(0 .! 3! 2

7、, 12,33,22, 1,xxttxxtxxtxttxtjijijijijijiji二阶导数和更高阶导数二阶导数和更高阶导数项之和项之和 截断误差截断误差cqztytxtatv)(222222)(0 .! 3! 2, 12,33,22, 1,xxttxxtxxtxttxtjijijijijijiji二阶导数和更高阶导数二阶导数和更高阶导数项之和项之和 截断误差截断误差无关的正实数是与；于时的截断误差小于等代替来用趋近于零随xcxcxtxttxjijiji , , 1节点（节点（i, j）一阶导数的向前差分表达式一阶导数的向前差分表达式；一阶截差公式；一阶截差公式将函数将函数 t(x, y,

8、z) 在均匀网在均匀网格点（格点（i-1, j）对点（）对点（i, j）作作Taylor展开：展开：.! 3! 23,332,22, 1xxtxxtxxtttjijijijiji)(0 .! 3! 2, 1,2,33,22, 1,xxttxxtxxtxttxtjijijijijijiji节点（节点（i, j）一阶导数的向后差分表达式一阶导数的向后差分表达式；一阶截差公式；一阶截差公式)(0! 232,22, 1xxxtxxtttjijijiji节点（节点（i, j）一阶导数的中心一阶导数的中心差分表达式差分表达式；二阶截差公式；二阶截差公式)(0! 232,22, 1xxxtxxtttjiji

9、jiji二方程相减，得：二方程相减，得：)(022, 1, 1,xxttxtjijiji节点（节点（i, j）一阶导数的三种表达式中，）一阶导数的三种表达式中，中心差分表中心差分表达式的截断误差最小达式的截断误差最小；尽可能采用中心差分表达式；尽可能采用中心差分表达式节点（节点（i, j）二阶导数的中心差分表达式二阶导数的中心差分表达式；二阶截差公式；二阶截差公式二方程相加，得：二方程相加，得：)(0222, 1, 1,22xxtttxtjijijiji在表示温度对时间的一阶导数时一般采用向前或向后在表示温度对时间的一阶导数时一般采用向前或向后差分表达式差分表达式温度对时间的中心差分表达式不稳

10、定温度对时间的中心差分表达式不稳定)(0! 3! 243,332,22, 1xxxtxxtxxtttjijijijiji)(0! 3! 243,332,22, 1xxxtxxtxxtttjijijijiji)(02221,1,22yytttytjijijiji节点节点 P(i, j) 的温度离散方程的温度离散方程)(0222, 1, 1,22xxtttxtjijijiji在写出导数差分表达式后，可以很容易建立导热微分在写出导数差分表达式后，可以很容易建立导热微分方程的离散方程。方程的离散方程。)(02221,1,22yytttytjijijiji02222ytxt以常物性、无内热源、以常物性、

11、无内热源、二维稳态导热为例：二维稳态导热为例：02221,1,2, 1, 1ytttxtttjijijijijiji2、热平衡法、热平衡法（Energy balance method）(i, j)oyx(i-1,j)W(i+1,j)E(i,j-1)S (i,j+1)NP x x y y 热平衡法的优点热平衡法的优点（1）物理意义明确；）物理意义明确；（2）当热导率是温度）当热导率是温度 的函数或内热源的函数或内热源 不是均匀分布时，不是均匀分布时， 较简单；较简单；（3）适用于均匀与非）适用于均匀与非 均匀网格；均匀网格；（4）适用于内节点和）适用于内节点和 边界节点边界节点 在稳态导热条件下

12、：在稳态导热条件下：导入与导出网格单元净热量导入与导出网格单元净热量 + 网格单元内热源发热量网格单元内热源发热量=0 不存在内热源时：不存在内热源时：0SPNPEPWP(i, j)oyx(i-1,j)W(i+1,j)E(i,j-1)S (i,j+1)NP x x y y根据傅里叶定律：根据傅里叶定律：0SPNPEPWPxttyjijiWP, 11代入热平衡关系式：代入热平衡关系式：时、constyx04,1,1, 1, 1jijijijijitttttxttyjijiEP, 11yttxjijiNP,1,1yttxjijiSP,1,1(i, j)oyx(i-1,j)W(i+1,j)E(i,j

13、-1)S (i,j+1)NP x x y yxttyjijiWP, 11xttyjijiEP, 11yttxjijiNP,1,1yttxjijiSP,1,10SPNPEPWP 热平衡法的优点热平衡法的优点（1）物理意义明确）物理意义明确（2）适于热导率是温度的函数或内热源非均匀分布）适于热导率是温度的函数或内热源非均匀分布（3）适用于均匀与非均匀网格）适用于均匀与非均匀网格（4）适用于内节点和边界节点）适用于内节点和边界节点4-2 稳态导热问题的数值计算稳态导热问题的数值计算一、内节点温度差分方程一、内节点温度差分方程可以用可以用Taylor（泰勒）（泰勒）级数展开法或热平衡法；级数展开法或热

14、平衡法；热平衡法有优点热平衡法有优点时、constyx04,1,1, 1, 1jijijijijittttt(i, j)oyx(i-1,j)W(i+1,j)E(i,j-1)S (i,j+1)NP x x y y二、边界节点温度差分方程二、边界节点温度差分方程第一类边界条件：第一类边界条件：问题简单；边界节点温度给定问题简单；边界节点温度给定第二类、第三类边界条件第二类、第三类边界条件：根据给定的具体条件，：根据给定的具体条件，针对边界节点所在的网格单元，写出热平衡关系式，针对边界节点所在的网格单元，写出热平衡关系式，建立边界节点温度差分方程建立边界节点温度差分方程例：例：第三类边界条件第三类边

15、界条件： 假设无内热源假设无内热源0)(22,1,1, 1jMfjMjMjMjMjMjMttyhyttxyttxxtty0)(22,1,1, 1jMfjMjMjMjMjMjMttyhyttxyttxxttyyx取：02242,1,1, 1fjMjMjMjMtxhtxhttt）（三、节点方程组的求解三、节点方程组的求解写出所有内节点和边界节点的温度差分方程写出所有内节点和边界节点的温度差分方程n个未知节点温度，个未知节点温度，n个代数方程式个代数方程式：nnnnnnnnnnnbtatatatbtatatatbtatatat.2211222221212112121111代数方程组的求解方法：代数方

16、程组的求解方法：直接解法、迭代解法直接解法、迭代解法直接解法直接解法：通过有限次运算获得代数方程精确解：通过有限次运算获得代数方程精确解; 矩阵求逆、高斯消元法矩阵求逆、高斯消元法迭代解法迭代解法：先对要计算的场作出假设、在迭代计算：先对要计算的场作出假设、在迭代计算过程中不断予以改进、直到计算结果与假定值的结过程中不断予以改进、直到计算结果与假定值的结果相差小于允许值。称迭代计算已经收敛。果相差小于允许值。称迭代计算已经收敛。缺点缺点：所需内存较大、方程数目多时不便、不适用：所需内存较大、方程数目多时不便、不适用于非线性问题（若物性为温度的函数，节点温度差于非线性问题（若物性为温度的函数，节

17、点温度差分方程中的系数不再是常数，而是温度的函数。这分方程中的系数不再是常数，而是温度的函数。这些系数在计算过程中要相应地不断更新）些系数在计算过程中要相应地不断更新）迭代解法有多种：简单迭代（迭代解法有多种：简单迭代（Jacobi迭代）、迭代）、高斯高斯-赛德尔迭代赛德尔迭代、块迭代、交替方向迭代等、块迭代、交替方向迭代等高斯高斯-赛德尔迭代的特点赛德尔迭代的特点：每次迭代时总是使用节点：每次迭代时总是使用节点温度的最新值温度的最新值2411 112 2111j jn na ta ta ta tb21 122 2222j jn na ta ta ta tb1 12 2nnnj jnn nna

18、 ta ta ta tb 1112 211111jjn ntba ta ta ta2221 122221jjn ntba ta ta ta1 1(1)11nnnnjjn nnnntba ta tata 001,ntt111,ntt221,ntt1,kkntt1maxkkiitt(1)( )( )maxkkiikittt或2511000112 211111jnjntba ta ta ta21110022122221jnjntba ta ta ta1111111(1)1njnnnnjn nnntba ta tata 判断迭代是否收敛的准则：判断迭代是否收敛的准则：)(max)() 1()()()

19、1()() 1(maxmaxmaxkkikikikikikikitttttttt631010 取值一般相对偏差允许的偏差；k及及k+1表示迭代次数；表示迭代次数；第第k次迭代得到的最大值次迭代得到的最大值(k)maxt当有接近于零的当有接近于零的t时，第三个较好时，第三个较好有时还要同时考虑热流密度收敛有时还要同时考虑热流密度收敛4-3 非稳态导热问题的数值计算非稳态导热问题的数值计算非稳态导热与稳态导热的主要区别非稳态导热与稳态导热的主要区别：控制方程中多：控制方程中多一个非稳态项；温度随空间和时间变化一个非稳态项；温度随空间和时间变化能量平衡关系能量平衡关系：网格单元不仅：网格单元不仅与相

20、邻的网格单元之间有热量与相邻的网格单元之间有热量的导入或导出，的导入或导出，网格单元本身网格单元本身的热力学能也随时间发生变化的热力学能也随时间发生变化)(2222ytxtat温度对时间的一阶导数温度对时间的一阶导数：向前差分、向后差分：向前差分、向后差分差分方程：差分方程：显式差分格式显式差分格式、隐式差分格式隐式差分格式28 一、内部节点的显式差分格式一、内部节点的显式差分格式常物性、无内热源、常物性、无内热源、一维、非稳态导热一维、非稳态导热22xtatAx、截面积、 WUQ内节点内节点 i、在、在 k 时刻热平衡关系式：时刻热平衡关系式：kikikikikikittcxAxttAxtt

21、A111可用泰勒级数展开法或可用泰勒级数展开法或热平衡法热平衡法内节点内节点 i、 k 时刻：时刻：kikikikikikittcxAxttAxttA111)2(1121kikikikikitttxatt网格傅里叶数令： Fo2xa),.2 , 1 ; 1,.2 , 1( )Fo21 ()(Fo111mknittttkikikiki用用Taylor级数级数展开法可以得展开法可以得到同样的结果到同样的结果) ,.2 , 1 , 0 ; 1 ,.2 , 1( )Fo21 ()(Fo111mknittttkikikiki只要知道只要知道 k 时刻各节点温时刻各节点温度，就可以利用上式计算出度，就可以

22、利用上式计算出 (k+1) 时刻各节点的温度时刻各节点的温度显式差分格式显式差分格式： (k+1) 时时刻各节点的温度直接利用前刻各节点的温度直接利用前一个时刻（一个时刻（ k ）各节点的）各节点的温度以显函数的形式表示温度以显函数的形式表示根据稳定性分析根据稳定性分析：必须保证每项前面的系数必须保证每项前面的系数021Fo 0Fo212xa一维非稳态内节点一维非稳态内节点显式差分格式的稳显式差分格式的稳定性条件定性条件21Fo2xa一维非稳态内节一维非稳态内节点显式差分格式点显式差分格式的稳定性条件的稳定性条件的选取就不是任意的！确定，一旦 x二维和三维非稳态导热内节点显式格式的稳定性条件：

23、二维和三维非稳态导热内节点显式格式的稳定性条件：61Fo ;41Fo22xaxa若违反稳定性条件，则计算值波动、出现违反热力学若违反稳定性条件，则计算值波动、出现违反热力学第二定律的现象第二定律的现象 自学教科书自学教科书二、内部节点的隐式差分格式二、内部节点的隐式差分格式常物性、无内热源、常物性、无内热源、一维、非稳态导热一维、非稳态导热22xtatWUQ内节点内节点 i、在、在 k 时刻热平衡关系式：时刻热平衡关系式：温度对时间的一阶导数改为向后差分温度对时间的一阶导数改为向后差分111kikikikikikittcxAxttAxttA内节点内节点 i、 k 时刻：时刻：111kikiki

24、kikikittcxAxttAxttA)2(1121kikikikikitttxatt111)(FoFo21 kikikikitttt）（网格傅里叶数 Fo2xa111)(FoFo21kikikikitttt）（) ,.2 , 1 , 0 ; 1 ,.2 , 1( )(FoFo2111111mknittttkikikiki）（改写为：改写为：隐差分格式：隐差分格式： (k+1) 时刻各节点的温度时刻各节点的温度不能不能直接利直接利用前一个时刻（用前一个时刻（ k ）各节点的温度以显函数的形式）各节点的温度以显函数的形式表示（表示（含有未知的含有未知的 ）11kit隐差分格式无条件稳定隐差分格式

25、无条件稳定),.2 , 1 ; 1,.2 , 1( )(FoFo2111111mknittttkikikiki）（可以是任意的！的选取和x需将所有的内节点和边界节点方程式联立求解需将所有的内节点和边界节点方程式联立求解三、边界节点温度差分方程三、边界节点温度差分方程第一类边界条件：第一类边界条件： 问题简单；边界节点温度给定问题简单；边界节点温度给定第二类、第三类边界条件：第二类、第三类边界条件：根据给定的具体条件，针对边界节点所在的网格单元，根据给定的具体条件，针对边界节点所在的网格单元，写出热平衡关系式，建立边界节点温度差分方程写出热平衡关系式，建立边界节点温度差分方程显式或隐式差分格式显

26、式或隐式差分格式假设边界条件为第三类：假设边界条件为第三类：fth ,边界节点边界节点0， k 时刻热平衡：时刻热平衡：kkkkfkkttcxAtthAxttA0100012)(1、边界节点的显式差分格式、边界节点的显式差分格式kkkkfkkttcxAtthAxttA0100012)()(2)(0102001kkkkfkkttxcttxhttFo1 Bi22axxcxh网格毕渥数；),.2 , 1( )BiFo2Fo21 ()Bi(Fo20110mkttttkkfkk),.2 , 1( )BiFo2Fo21 ()Bi(Fo20110mkttttkkfkk稳定性条件：稳定性条件：0BiFo2Fo

27、212Bi21Fo综合考虑内节点与边界节点综合考虑内节点与边界节点：对于第三类边界条件、：对于第三类边界条件、应用显式差分格式时，其应用显式差分格式时，其稳定性条件稳定性条件：2Bi21Fo一维非稳态内节一维非稳态内节点显式差分格式点显式差分格式的稳定性条件的稳定性条件21Fo综合考虑内节点与边界节点综合考虑内节点与边界节点：对于第一、二类边界条件、对于第一、二类边界条件、显式差分格式的显式差分格式的 稳定性条件稳定性条件：21Fo第三类边界条件、二维非第三类边界条件、二维非稳态导热均匀网格的显式稳态导热均匀网格的显式差分格式稳定性条件：差分格式稳定性条件：4Bi21Fo第三类边界条件、三维非

28、稳第三类边界条件、三维非稳态导热均匀网格的显式差分态导热均匀网格的显式差分格式稳定性条件：格式稳定性条件：6Bi21Fo边界节点边界节点0， k 时刻热平衡：时刻热平衡：2、边界节点的隐式差分格式、边界节点的隐式差分格式热力学能的变化项用向后差分热力学能的变化项用向后差分1000012)(kkkkfkkttcxAtthAxttA边界节点边界节点0， k 时刻热平衡：时刻热平衡：1000012)(kkkkfkkttcxAtthAxttAkkkkfkkttcxAtthAxttA01010110112)()(2)(01021011011kkkkfkkttxcttxhtt)(Fo21)(Bi01010

29、11011kkkkfkktttttt)(Fo21)(Bi0101011011kkkkfkktttttt),.2 , 1( )Bi(Fo2)BiFo2Fo21 (111010mkttttkfkkk隐式差分格式是无条件稳定的隐式差分格式是无条件稳定的4、节点方程组的求解、节点方程组的求解所有内节点差分方程所有内节点差分方程 + 边界节点差分方程边界节点差分方程（1）应用显式差分格式时）应用显式差分格式时：计算简单；根据初始条：计算简单；根据初始条 件可依次计算出各个时刻、各节点的温度值件可依次计算出各个时刻、各节点的温度值kikikikitttt)Fo21 ()(Fo111kkfkktttt011

30、0)BiFo2Fo21 ()Bi(Fo2kikikikitttt)Fo21 ()(Fo111kkfkktttt0110)BiFo2Fo21 ()Bi(Fo2注意：稳定性条件；注意：稳定性条件；的选取非任意！与x（2）应用隐式差分格式时）应用隐式差分格式时：需采用迭代法：需采用迭代法kikikikitttt)(FoFo2111111）（)Bi(Fo2)BiFo2Fo21 (111010kfkkktttt) ,.2 , 1 , 0 ; 1 ,.2 , 1(mkni（1）应用显式差分格式时）应用显式差分格式时：计算简单；根据初始条：计算简单；根据初始条 件可依次计算出各个时刻、各节点的温度值件可依次

31、计算出各个时刻、各节点的温度值（参见教科书及陶文铨著的（参见教科书及陶文铨著的数值传热学数值传热学）4-4 控制容积积分法简介控制容积积分法简介（Control volume）导出离散方程的控制容积积分法也叫有限容积法，导出离散方程的控制容积积分法也叫有限容积法，是传热问题的数值计算中最常用的方法是传热问题的数值计算中最常用的方法主要步骤：主要步骤：1、将控制方程（导热微分方、将控制方程（导热微分方 程）在所选取的控制容积程）在所选取的控制容积 及时间间隔内对空间和时及时间间隔内对空间和时 间进行积分间进行积分2、选定未知函数及其导数对时间及空间的局部分布、选定未知函数及其导数对时间及空间的局

32、部分布 曲线形式（型线或插值方法）曲线形式（型线或插值方法）3、对各个项按选定的型线进行积分，并整理成关于、对各个项按选定的型线进行积分，并整理成关于 节点上位置值的代数方程节点上位置值的代数方程用控制容积积分法导出离散方程应用举例：用控制容积积分法导出离散方程应用举例：cqxtatv22一维非稳态导热微分方程一维非稳态导热微分方程1、将导热微分方程在选取的控制容积及时间间隔内、将导热微分方程在选取的控制容积及时间间隔内 对空间和时间进行积分对空间和时间进行积分dxdcqdxdxtadxdtewvewew 22dxdcqdxtxtadxttewvweew)(2、选定未知函数（温度）、选定未知函

33、数（温度）及其导数对时间及空间及其导数对时间及空间的局部分布曲线形式的局部分布曲线形式（型线或插值方法）（型线或插值方法）dxdcqdxtxtadxttewvweew)(分段线性分段线性阶梯式阶梯式分段线性分段线性阶梯式阶梯式 3、对各个项按选定的型线进行积分，并整理成关于、对各个项按选定的型线进行积分，并整理成关于 节点上位置值的代数方程节点上位置值的代数方程dxdcqdxtxtadxttewvweew)(（1）非稳态项：）非稳态项：取取 t 随随 x 变化的型线为阶梯式变化的型线为阶梯式即：同一控制容积即：同一控制容积中各处中各处 t 值相同，值相同，为节点为节点P上之值上之值xttdxt

34、tPPew)()(分段线性分段线性阶梯式阶梯式分段线性分段线性阶梯式阶梯式 dxdcqdxtxtadxttewvweew)(（2）扩散项：）扩散项：取取 t 的一阶导数随时间作显式阶跃式变化的一阶导数随时间作显式阶跃式变化wewextxtdxtxt取取 t 随随 x 呈分呈分段线性变化段线性变化ePEexttxt)(wWPwxttxt)(分段线性分段线性阶梯式阶梯式分段线性分段线性阶梯式阶梯式 扩散项：扩散项：wewextxtdxtxtePEexttxt)(wWPwxttxt)(wWPePEwexttxttadxtxta)()(（3）源项：）源项：假设源项对假设源项对 x 和和 均呈阶梯均呈阶梯式变化式变化dxdcqewvxcqdxdcqvewv 扩