线性代数方阵的特征值与特征向量

1、1第五章 相似矩阵 第五章第五章 相似矩阵相似矩阵5.1 方阵的特征值与特征向量方阵的特征值与特征向量5.2 矩阵相似对角化矩阵相似对角化5.3 Jordan标准形介绍标准形介绍*25.1 方阵的特征值与特征向量 第五章 相似矩阵 5.1 方阵的特征值与特征向量方阵的特征值与特征向量一、问题的引入一、问题的引入二、基本概念二、基本概念三、特征值与特征向量的求解方法三、特征值与特征向量的求解方法四、特征值的性质四、特征值的性质五、特征向量的性质五、特征向量的性质35.1 方阵的特征值与特征向量 第五章 相似矩阵 一、问题的引入一、问题的引入矩阵的特征值与特征向量理论有着非常广泛的应用，矩阵的特征

2、值与特征向量理论有着非常广泛的应用，如工程技术领域中的振动问题和稳定性问题，数学领域如工程技术领域中的振动问题和稳定性问题，数学领域中方阵的对角化、微分方程组的求解、线性方程组的迭中方阵的对角化、微分方程组的求解、线性方程组的迭代法求解等问题都会用到该理论。代法求解等问题都会用到该理论。45.1 方阵的特征值与特征向量 第五章 相似矩阵 一、问题的引入一、问题的引入引例引例种群增长模型种群增长模型 设设 x 代表某种群代表某种群 C 的数量，的数量，y 代表某种群代表某种群 D 的数量，的数量，初态为初态为,),(00Tyx一年后的状态为：一年后的状态为： ,2,2001001yxyyxx即即

3、,1221000011 yxAyxyx则第则第 k 年后的状态为：年后的状态为：.12210000 yxAyxyxkkkk问题问题如何计算如何计算 ？kA( (工业增长模型工业增长模型) )( (某国的工业增长水平某国的工业增长水平) )( (该国的环境污染程度该国的环境污染程度) )55.1 方阵的特征值与特征向量 第五章 相似矩阵 一、问题的引入一、问题的引入1. 初步设想初步设想若存在一个可逆矩阵若存在一个可逆矩阵 P，使得，使得,00211 PAP则则,1 PPA111 PPPPPPAk1 PPk.00121 PPkk 进一步有进一步有65.1 方阵的特征值与特征向量 第五章 相似矩阵

4、 且这两个向量且这两个向量必须必须线性无关线性无关且这两个向量且这两个向量必须必须线性无关线性无关2. 简单分析简单分析一、问题的引入一、问题的引入寻找一个可逆矩阵寻找一个可逆矩阵 P，使得，使得,1PAP 即即,PPA ,21XX 记记 11111211ppppP .,222111XXAXXA ,221121XXXAXA 则则 ,00212121 XXXXA对二阶方阵对二阶方阵 A寻找两个向量寻找两个向量它们被它们被 A 左乘左乘后正好等于自后正好等于自己的某个己的某个倍数倍数75.1 方阵的特征值与特征向量 第五章 相似矩阵 一、问题的引入一、问题的引入3. 一般性问题的提出一般性问题的提

5、出对于方阵对于方阵 A，求向量，求向量 X 和和( (实实) )数数 ，使得，使得 .XXA 比如，对于矩阵比如，对于矩阵,1221 A则有则有,311XXA 令令,111 X,112 X.)1(22XXA 从而有从而有,1111 P.1003 2100 85.1 方阵的特征值与特征向量 第五章 相似矩阵 二、基本概念二、基本概念定义定义设设 A 为为 n 阶阶方阵方阵，如果存在数如果存在数 和和 n 维维非零非零向量向量 X则称数则称数 为方阵为方阵 A 的的特征值特征值， 非零非零使得使得 A X= X，向量向量 X 称为称为 A 的属于特征值的属于特征值 的的特征向量特征向量。比如，比如

6、，若若 X 是矩阵是矩阵 A 的属于特征值的属于特征值 0 的特征向量，的特征向量，(2) 属于同一个特征值的特征向量属于同一个特征值的特征向量不是惟一不是惟一的。的。则则 也是也是 A 的属于特征值的属于特征值 0 的特征向量。的特征向量。)0( kXk1. 特征值与特征向量特征值与特征向量注意注意(1) 特征值特征值 可以为零；可以为零； P184 定义定义 5.1 95.1 方阵的特征值与特征向量 第五章 相似矩阵 由由 有有,XXA ,0)( XAI 该方程组有该方程组有非零解非零解的充要条件是的充要条件是.0| AI 分析分析二、基本概念二、基本概念1. 特征值与特征向量特征值与特征

7、向量2. 特征多项式特征多项式记记, |)(AIf 定义定义则称则称 为方阵为方阵 A 的的特征多项式特征多项式；)( f称称 为方阵为方阵 A 的的特征方程特征方程。0)( f P185 105.1 方阵的特征值与特征向量 第五章 相似矩阵 |)(AIf 特征多项式特征多项式 是是 的的 n 次次多项式，多项式，)( fnnnnnbbbb 12211. |)1()(12211Abbannnnnii in 特征多项式特征多项式“具体具体”形式形式其中，其中， 称为称为 A 的的迹迹，nnnii iaaaa 22111即即. )(tr A记为记为 P186 115.1 方阵的特征值与特征向量 第

8、五章 相似矩阵 由于特征方程在复数范围内恒有解，且其解的由于特征方程在复数范围内恒有解，且其解的个数为特征方程的次数，个数为特征方程的次数，步骤步骤 (1) 求解特征方程求解特征方程 得到特征值。得到特征值。0| AI 值值( (重根按重数计算重根按重数计算) )。(2) 设设 = i 是方阵是方阵 A 的一个特征值，的一个特征值，则则 X 就是就是 A 的的求解齐次线性方求解齐次线性方,X得到非零解得到非零解0)( XIAi 程组程组对应于特征值对应于特征值 i 的特征向量。的特征向量。三、特征值与特征向量的求解方法三、特征值与特征向量的求解方法因此因此 n 阶方阵有阶方阵有 n 个特征个特

9、征 P186 125.1 方阵的特征值与特征向量 第五章 相似矩阵 例例 求矩阵求矩阵 1221A的特征值与特征向量。的特征值与特征向量。解解(1) A 的特征多项式为的特征多项式为, )3( )1( 故故 A 的特征值为的特征值为.3, 121 ( (单根单根) )( (单根单根) )1221| AI135.1 方阵的特征值与特征向量 第五章 相似矩阵 (2) 当当 时，时，11 ,00222221 xx求解得基础解系为求解得基础解系为.11 故故 A 的属于特征值的的属于特征值的 所有特征向量为所有特征向量为11 . )0(,11 kkkX 由由 有有0)( xAI145.1 方阵的特征值

10、与特征向量 第五章 相似矩阵 (3) 当当 时，时，32 ,00222221 xx求解得基础解系为求解得基础解系为.11 故故 A 的属于特征值的的属于特征值的 所有特征向量为所有特征向量为32 . )0(,11 kkkX 由由 有有0)3( xAI155.1 方阵的特征值与特征向量 第五章 相似矩阵 解解(1) A 的特征多项式为的特征多项式为,)1( )1(21131623|2 AI故故 A 的特征值为的特征值为.1, 1321 ( (单根单根) )( (重根重根) )165.1 方阵的特征值与特征向量 第五章 相似矩阵 (2) 当当 时，时，11 ,000111311624321 xxx

11、求解得基础解系为求解得基础解系为.311 故故 A 的属于特征值的的属于特征值的 所有特征向量为所有特征向量为11 . )0(, kkX 由由 有有0)( xAI175.1 方阵的特征值与特征向量 第五章 相似矩阵 (3) 当当 时，时，132 ,000311311622321 xxx求解得基础解系为求解得基础解系为.110,20121 . )0(,22212211 kkkkX 由由 有有0)( xAI故故 A 的对应于特征值的对应于特征值 的所有特征向量为的所有特征向量为132 185.1 方阵的特征值与特征向量 第五章 相似矩阵 例例 求矩阵求矩阵 200031141A的特征值与特征向量。

12、的特征值与特征向量。解解(1) A 的特征多项式为的特征多项式为,)1( )2(200031141|2 AI故故 A 的特征值为的特征值为.1, 2321 ( (单根单根) )( (重根重根) )195.1 方阵的特征值与特征向量 第五章 相似矩阵 ,000000011143321 xxx求解得基础解系为求解得基础解系为,100 故故 A 的对应于特征值的对应于特征值 的所有特征向量为的所有特征向量为21 . )0(, kkX (2) 当当 时，时，21 由由 有有0)2( xAI205.1 方阵的特征值与特征向量 第五章 相似矩阵 (3) 当当 时，时，132 由由 有有0)( xAI,00

13、0100021142321 xxx求解得基础解系为求解得基础解系为.121 故故 A 的对应于特征值的对应于特征值 的所有特征向量为的所有特征向量为132 . )0(, kkX 215.1 方阵的特征值与特征向量 第五章 相似矩阵 解解设设 是是 A 的特征值，对应的特征向量为的特征值，对应的特征向量为 X，则则,XXA 即即,0)(2 X 又由又由 ,0 X)(2XAAXA 由由 有有AA 2即得即得 或或0 .1 例例设方阵设方阵 A 为幂等矩阵为幂等矩阵( (即即 ) )，AA 2求求 A 的特征值。的特征值。)()(XAXA ,2X ,2XXAXA ,2XX 因此因此，0)1(2 有有

14、 P138 例例4 225.1 方阵的特征值与特征向量 第五章 相似矩阵 设设 n 阶方阵阶方阵 的特征值为的特征值为nnjiaA )(,21n 则有则有性质性质1四、特征值的性质四、特征值的性质,)1()()(21121nnnnnf 证明证明 由由 有有, )()( )()(21nf , |)1()()(12211Aaaafnnnnn 又又两式比较即得性质成立。两式比较即得性质成立。推论推论 方阵方阵 A 可逆可逆0| A., 2, 1, 0nii P135 定理定理 5.1 P136 推论推论235.1 方阵的特征值与特征向量 第五章 相似矩阵 若若 为为 A 的特征值，的特征值，0 注注

15、0 为为 B 的特征值，的特征值，不能推出不能推出，设设 为为 A 的特征值，则有的特征值，则有0 性质性质2四、特征值的性质四、特征值的性质(1) 为为 的特征值；的特征值；0 TA(3) 若若 A 可逆，则可逆，则 为为 的特征值。的特征值。10 1 A(2) 为为 的特征值的特征值0 kAk; )0( k证明证明(1) 由由,0|0 AI ;0|0 TAI (2) 由由,0XXA ;)()(0XkXAk (3) 由由,0XXA .101XXA ,110XAX 为为 A + B 的特征值，的特征值，00 为为 A B 的特征值。的特征值。00 P138 例例 5 部分部分 245.1 方阵

16、的特征值与特征向量 第五章 相似矩阵 设设 为为 A 的特征值，则有的特征值，则有0 性质性质3四、特征值的性质四、特征值的性质(1) 为为 的特征值；的特征值；k0 kA(2) 为为 的特征值，的特征值，)(0 p)(Ap证明证明(2) ( (略略) )。(1) 由由,0XXA 其中，其中，.)(1110nnnnbxbxbxbxp )(2XAAXA ,)(200XXA .0XXAkk P138 例例 5 部分部分 255.1 方阵的特征值与特征向量 第五章 相似矩阵 故矩阵故矩阵 B 的特征值分别为的特征值分别为,4)1(1 p .12)2(3 p ,6)1(2 p 例例 已知三阶矩阵已知三

17、阶矩阵 A 的特征值为的特征值为 1, 1, 2，,523AAB 试求矩阵试求矩阵 B 的特征值以及的特征值以及矩阵矩阵. |B解解(1) 令令,5)(23xxxp 则则, )(ApB (2) 321| B.288)12( )6( )4( 265.1 方阵的特征值与特征向量 第五章 相似矩阵 例例,0|,2,0|3 | AIAAAIT设四阶方阵设四阶方阵 A 满足：满足：求求 的一个特征值。的一个特征值。 A解解(1) 由由 A 是四阶方阵且是四阶方阵且,2IAAT 知知 A 可逆且有可逆且有,16|2 | IAAT,16|2 A,0| A由由可得可得,4| A,0|3 | AI(2) 又由又

18、由知知 A 有一个特征值为有一个特征值为, )3( 故故 有一个特征值为有一个特征值为, )3/1( 1 A即得即得 有一个特征值为有一个特征值为. )3/4( A注注 本例还可以求出本例还可以求出 的一个特征值为的一个特征值为 6 。 ( (略略) ) A;4|11 AAAA提示提示：将将 代入代入.0|3 | AI2/TAAI 275.1 方阵的特征值与特征向量 第五章 相似矩阵 性质性质1五、特征向量的性质五、特征向量的性质方阵方阵 A 的一个特征值对应的特征向量的的一个特征值对应的特征向量的非零非零线性组合线性组合仍为该特征值对应的特征向量。仍为该特征值对应的特征向量。则有则有证明证明

19、设设 是是 A 的特征值的特征值 对应的两个特征向量，对应的两个特征向量，21,XX0 ,202101XXAXXA )(2211XkXkA , )(22110XkXk 即即 是是 A 的特征值的特征值 对应的特征向量。对应的特征向量。0 2211XkXk 注注方阵方阵 A 的的一个一个特征值对应的所有特征向量构成方阵特征值对应的所有特征向量构成方阵 A 的的一个一个特征子空间特征子空间。但由于不包含零向量，因此严格地讲，但由于不包含零向量，因此严格地讲，特征子空间并不是特征子空间并不是向量空间向量空间。 P140 285.1 方阵的特征值与特征向量 第五章 相似矩阵 五、特征向量的性质五、特征

20、向量的性质性质性质2属于不同特征值的特征向量是线性无关的。属于不同特征值的特征向量是线性无关的。证明证明下面用下面用数学归纳法数学归纳法证明。证明。对应的特征向量，对应的特征向量，(1) 对于对于,2 r,02211 XkXk令令(a)(b),0)(2212 Xk 由于由于,021 ,02 X故有故有.02 k.01 k同理可得同理可得即性质对即性质对 时成立。时成立。2 r由由 得得 1 )b()a(,0222111 XkXk 则有则有,0)(2211 XkXkA设设 是方阵是方阵 A 的不同特征值的不同特征值r ,21rXXX,21 P140 定理定理5.2 295.1 方阵的特征值与特征

21、向量 第五章 相似矩阵 ,02211 mmXkXkXk令令则有则有,0)(2211 mmXkXkXkA(c)(d)又由于又由于,0 im 故有故有.1, 2, 1,0 miki.0 mk代入代入 (d) 可得可得性质得证。性质得证。,0222111 mmmXkXkXk 222111)()(XkXkmm 根据归纳法假设，有根据归纳法假设，有. 1, 2, 1,0)( mikimi (2) 假设假设 时性质成立，时性质成立，1 mr需证需证 时也成立时也成立 .mr 由由 得得 m )d()c (,0)(111 mmmmXk 305.1 方阵的特征值与特征向量 第五章 相似矩阵 向量，证明向量，证

22、明 不是不是 A 的特征向量。的特征向量。例例 设设 是是 A 的两个不同的特征值的两个不同的特征值 对应的特征对应的特征21, XX21, 21XX 假设假设 是是 A 的特征向量，的特征向量，21XX 则存在则存在 使得使得,3 , )()(21321XXXXA ,23132211XXXX ,0)()(232131 XX 证证 由题意有由题意有 线性无关线性无关，21,XX,222111XXAXXA 且且由由 线性无关，有线性无关，有21,XX,0,03231 即即,321 与与 矛盾，矛盾，21 故故 不是不是 A 的特征向量。的特征向量。21XX 315.1 方阵的特征值与特征向量 第

23、五章 相似矩阵 222222222121ttXcXcXc , 02211 stsstsssssXcXcXc五、特征向量的性质五、特征向量的性质性质性质3 方阵方阵 A 的的 s 个不同的特征值各自所对应的个不同的特征值各自所对应的 s 组线性无关组线性无关的特征向量并在一起仍然是线性无关的。的特征向量并在一起仍然是线性无关的。证明证明 设设 A 的特征值及各自对应的线性无关的特征向量如下：的特征值及各自对应的线性无关的特征向量如下：1 111211,tXXX2 222221,tXXXs stsssXXX,21( (线性无关线性无关) )( (线性无关线性无关) )( (线性无关线性无关) )111112121111ttXcXcXc 令令 P141 定理定理 5.3 325.1 方阵的特征值与特征向量 第五章 相似矩阵 222222222121ttXcXcXc , 02211 stsstsssssXcXcXc111112121111ttXcXcXc 令令 证明证明假设假设,0 iX则由则由性质性质 1 可知可知 是是 对应的特征向量，对应的特征向量， iXi 再由再由性质性质 2 与与上式上式 (a) 可推