第17章多元函数微分174高阶偏导

1、一、 高阶偏导数多元函数的高阶导数与一元函数的情形在区域 内, 函数 z = f (x, y) 的偏导数,xzyz仍是变量 x , y 的多元函数 , 如果偏导数,xzyz仍可偏导, 则它们的偏导数就是原来函数的二阶偏导数.依此类推 , 可定义多元函数的更高阶的导数.类似, 一般说来, 一般地, 若函数 f (X) 的 m1 阶偏导数仍可偏导, 则称其偏导数为原来函数的 m 阶偏导数. 二阶和二阶以上的偏导数均称为高阶偏导数, 其中, 关于不同变量的高阶导数, 称为混合偏导数.例1的二阶偏导数：二元函数 ),( yxfz xzxy xzx xzyyzxy yzx yzy22xzyxz2xyz2

2、22yz 高阶偏导数还可使用下列记号 二元函数的二阶偏导数共 22 = 4 项例2的三阶偏导数：二元函数 ),( yxfz xy22xz3322xzxzxyxzxzy232222xz22yzyxz2xyz2例2的三阶偏导数：二元函数 ),( yxfz 22yzxyzyzx23223322yzyzyxy22xz22yzyxz2xyz2例2的三阶偏导数：二元函数 ),( yxfz yxz2xyxzyxzx32232yxzyxzyxy22xz22yzyxz2xyz2例2的三阶偏导数：二元函数 ),( yxfz xyz2232xyzxyzxyxyzxyzy32xy22xz22yzyxz2xyz2例3求

3、13323xyxyyxz的二阶偏导数.解先求一阶偏导数：,33322yyyxxz,9223xxyyxyz再求二阶偏导数：xzyxyzyx22xzxzx)33(322yyyxx26xy22yzyzy)92(23xxyyxyxyx1823观察求13323xyxyyxz的二阶偏导数.解二阶混合偏导数：yxz2)33(322yyyxy19622yyxxyz2)92(23xxyyxx19622yyx 发现两个混合偏导数相等一般性？这里的两个混合偏导数均连续例3例4设0 , 0 0 , )(),(22222222yxyxyxyxxyyxf, )0, 0(xyf . )0, 0(yxf 求解需按定义求函数在

4、点 (0, 0) 处的偏导数:)0, 0(xfxfxfx)0, 0()0,(lim00)0, 0(yfyfyfy)0, 0(), 0(lim00 )0, 0(xyfyfyfxxy)0, 0(), 0(lim01lim0yyy )0, 0(yxfxfxfyyx)0, 0()0,(lim01lim0 xxx 不相等这说明只有在一定的条件下求函数 ),0 , 0( )0 , 0( ,yxxyff 在该例中的高阶偏导数才与求导顺序无关.定理若),(yxfz 的二阶混合偏导数在),U(00yx内存在且在点),(00yx处连续,则在点 处有yxf2 .2xyf 废话! 求出偏导数才能判断连续性, 这时一眼

5、就可看出混合偏导数是否相等了, 还要定理干什么. 有些函数不必求出其导数,就可知道它的导函数是否连续. 懂吗！),(00yx证令则内考虑式子在 ),U( 00yx),(),( ),(),(A00000000yxfyyxfyxxfyyxxf ),(),()( 00yxfyyxfx )()(A 00 xxx由二阶混合偏导数的连续性 , 可知函数)(x在),U(00yx连续, 可导, 由拉格朗日中值定理得 1)(0 , )(A110 xxx即xyxxfyyxxfxx),(),(A010010关于变量 y 再运用拉格朗日中值定理, 得yxyyxxfxy ),(A2010 1),(021同理, 令, )

6、,(),()(00yxfyxxfyh则)()(A00yhyyh先关于变量 y 再关于变量 x 运用拉格朗日中值定理, 得yxyyxxfyx ),(A4030 1),(043故yxyyxxfxy ),(A2010yxyyxxfyx ),(4030由二阶混合偏导数连续性, 取极限后, 即得定理的结论.),( ),( 40302010yyxxfyyxxfyxxy 即有 该定理的结论可推广到更高阶的混合偏导数的情形.现在问你, 证明定理时为什么会想到用),(),(A0000yxxfyyxxf),(00yxf),(00yyxf),(00yxxf),(00yyxxf？ 课后再想),(),(0000yxfy

7、yxf ,22xyfyxf是依次将一个变量看成常数求导.引入记号：记号：)(Xf在内有直到 k 阶的连续偏导数,记为, )()(kCXf。, 2, 1 , 0k)(),(nCyxf时, 则在求 n 阶及 n 阶以下的偏导数时, 可大大减少运算次数. 自变量二元函数的 n 阶偏导数就有 2n 项, 当 的个数越多, 求导与求导顺序无关的作用越明显.例5求yxez2的二阶偏导数.解xzyxxye22yzyxex22xzxxz22x)2(2yxxyeyxeyxy2)42(22yzyyz22y)(22yxexyxex24xyzyxz22yxeyxx2)22(3x)(22yxex例6设, )(222zy

8、xfu其中,2Cf 求,22xu.2yxuxu)(222zyxfxzyx)(222)(2222zyxfx解x)(2(222zyxfx)(2222zyxf)(42222zyxfx yyxu2)(2(222zyxfx)(4222zyxfxy 22xu例7设, ),(xyzzyxfu且,2Cf 求。yxu2解xu 1fxzyx)( 2fxxyz)(21fyzfyxu2)(21fyzfy 11fyzyx)( 12fyxyz )(2fz yxyzfyzyxfyz)()(2221 11f 12)(fzyx 222fxyz2fz. ,22yxuxyu此时例8验证函数4)(exp2122tabxtau满足偏微

9、分方程。222xuatu解tu4)(exp4122tabxtt a222224)(4)(exp21tabxtabxtaxutabxtabxta2222)(4)(exp214)(exp2223tabxttabx22 xu请自己计算22xu4)(exp41223tabxttatabxtabxttabx22232)(4)(exp44)(exp12)(4122223tabxtabxttatu4)(exp12)(412222tabxtabxtt a比较后, 得tu222xua例9 . , 0 22xzxyzez求设解这是求隐函数的高阶偏导数.则令 ,),( xyzezyxFzzFxFxzxyeyzzxy

10、eyzzxzxxz22xyeyzxz 请自己计算xzxxz22xyeyzxz2)()(xyeyxzeyzxyexzyzzz32)()()(xyexyeyyzeyzxyezyzzzz32232)(22xyeezyzxyzeyzzzxyeyzxzz例10利用变量代换,atxatx将方程22222xuatu化为关于变量,的方程. )(2Cu解令, ),(uu ,atxatxtutuuauatuutxtuttu22uauattutua222tutua222uttx即22tu222 ua222uaua222同理可得22xu22 uu2222u将上述偏导数带入原方程, 得到 0 2u )(2Cu例11设,

11、),(2Cyxuu将二维拉普拉斯方程表示为极坐标形式.2222yuxuu解urxy极坐标系：,cosrx sinry 例11设,),(2Cyxuu将二维拉普拉斯方程表示为极坐标形式.2222yuxuu解极坐标系：,cosrx sinry 分别对上式两边关于x 和 y 求导, 得到方程组xrxrxrxrcossin0sincos1yryryryrcossin1sincos0和解方程组得rycoscosxr,rxsin,sinyr,xrruxuxurucosursin1urruxxusin1cos22ruxruxcos)(cosurxsin1uxr)(sin1uxrsin1xrruxuxuruco

12、sursin1urruxxusin1cos22ruxruxcos)(cosurxsin1uxr)(sin1uxrsin1xrruxuxurucosursin1urruxxusin1cos22ruxruxcos)(cosurxsin1uxr)(sin1uxrsin1xrruxuxurucosursin1urruxxusin1cos22ruxruxcos)(cosurxsin1uxr)(sin1uxrsin1将xrxyry的表达式代入 , 计算后得22xuurcossin222222sin1urrur2sin1222cosrurur2cossin1rur2cossin1类似可求出cos1sinru

13、ruyururyu222cos1urcossin222222cos1ur222sinrurur2cossin1rur2cossin1综上所述, 拉普拉斯方程的极坐标形式为2222yuxuu2222211urrurur22211urrurrr通常称2222yx为二维拉普拉斯算子,222222zyx为三维拉普拉斯算子.二、中值定理和泰勒公式二、中值定理和泰勒公式一元函数( )f x的泰勒公式:20000()()()()2!fxf xhf xfx hh( )0()!nnfxhn(1)10()(1)!nnfxxhn(01)推广多元函数泰勒公式 记号记号(设下面涉及的偏导数连续): ),()(00yxf

14、ykxh),()(002yxfykxh),()(00yxfykxhm),(),(0000yxfkyxfhyx表示),(),(2),(00200002yxfkyxfkhyxfhyyyxxx ),(C000yxyxfkhpmpmpmpmppm 一般地, 表示表示定理定理1 1.),(),(00yxyxfz在点设的某一邻域内有直到 n + 1 阶连续偏导数 ,),(00kyhx为此邻域内任 一点, 则有),(),(0000yxfkyhxf),()(00yxfkhyx),()(002!21yxfkhyx),()(00!1yxfkhnyxn),()(001! ) 1(1kyhxfkhRnyxnn) 10

15、(nR其中 称为f 在点(x0 , y0 )的 n 阶泰勒公式阶泰勒公式,称为其拉格拉格朗日型余项朗日型余项 .证证: 令),10(),()(00tktyhtxft则 ),() 1 (, ),()0(0000kyhxfyxf利用多元复合函数求导法则可得: ),(),()(0000t kyt hxfkt kyt hxfhtyx),()()0(00yxfkhyx),()(002t kyt hxfhtxx ),(200t kyt hxfkhyx ),(002t kyt hxfkyy ),()()0(002yxfkhyx ),(C)(000)(t kyt hxyxfkhtpmpmpmpmppmm一般地

16、, ),()()0(00)(yxfkhmyxm由 )(t的麦克劳林公式, 得 ) 1 ()() 1(! ) 1(1nn) 10(将前述导数公式代入即得二元函数泰勒公式. )0()0()0()0()(!1!21nn ),()(001! ) 1(1kyhxfkhRnyxnn说明说明:(1) 余项估计式. 因 f 的各 n+1 阶偏导数连续, 在某闭邻域其绝对值必有上界 M , ,22kh 令则有1)(! ) 1(nnkhnMRsincoskh11)sincos(! ) 1(nnnM)1(max2 1 , 0 xx利用11( 2)(1)!nnMn)(no2(2) 当 时, 得二元函数的拉格朗日),(

17、),(0000yxfkyhxf),(00kyhxfhx),(00kyhxfky) 10(3) 若函数),(yxfz 在区域D 上的两个( ,).f x y 常数恒为零, 由中值公式可知一阶偏导数中值公式:0n在该区域上求函数)0 , 0()1ln(),(在点yxyxf解解: yxyxfyxfyx11),(),(的三阶泰勒公式. 2)1 (1),(),(),(yxyxfyxfyxfyyyxxx 333)1 (!2yxyxfpp)3,2, 1 ,0(p444)1 (!3yxyxfpp)4,3,2, 1 ,0(p因此,)0, 0()(fkhyx)0, 0()0, 0(yxfkfhkh例1)0, 0(

18、)(2fkhyx)0, 0()(3fkhyx)0, 0()0, 0(2)0, 0(22yyyxxxfkfkhfh )0 , 0(C333303ppppppyxfkh2)(kh3)(2kh(0, 0)0,f又,hx ky将代入三阶泰勒公式得)1ln(yxyx 2)(21yx 33)(31Ryx其中),()(43khfkhRyx44)1 ()(41yxyxykxh) 10(三、极值问题时, 具有极值二、极值充分条件的证明 的某邻域内具有一阶和二阶连续偏导数, 且令则: 1) 当A 0 时取极小值.2) 当3) 当时, 没有极值.时, 不能确定 , 需另行讨论.若函数00( , )(,)zf x y

19、xy在点的0),(,0),(0000yxfyxfyx),(, ),(, ),(000000yxfCyxfByxfAyyyxxx 02 BAC02 BAC02 BAC定理定理2 (充分条件)证证: 由二元函数的泰勒公式, 并注意0),(,0),(0000yxfyxfyx则有),(),(0000yxfkyhxfz20021),(hkyhxfxx khkyhxfyx),(200 ),(200kkyhxfyy 00( , )(,),f x yxy由于的二阶偏导数在点连续所以 Akyhxfxx),(00 Bkyhxfyx),(00 Ckyhxfyy),(0022221kCkhBhA其中其中 , , 是当h 0 , k 0 时的无穷小量 ,于是z),(21khQ)(22kh ,hk因此当很小时( , ).zQ h k 的正负号可由确定(1) 当 ACB2 0 时, 必有 A0 , 且 A 与C 同号, 2222221( , )(2)()AQ h kA hABhkB kACB k)()(2221kBACkBhAA可见 ,0),(,0khQA时当从而z0 , 因此),(yxf