因式分解定理

1、§5因式分解定理§6重因式教学目的：把多项式分解为不可约因式的乘积教学重点：不可约多项式重因式课时：4教学方式：讲授式教学内容：一、不可约多项式1、定义：数域P上次数1的多项式p(x)称为不可约多项式，如果p(x)不能表成数域P上的两个次数比p(x)低的多项式的乘积。问：为什么一定要强调数域P呢例：X44(x22)(x22)在有理数域Q上不可分了(xV2)(x，(x22)在实数域R上不可分了(x也)(x<2)(xV2i)(xJ2i)在复数域C上不可分了注：1、不可约多项式p(x),的因式只有非零常数c与自身的非零常数倍。2、p(x)与任意多项式f(x)之间的关系只可能

2、有两种关系：或者p(x)|f(x),或者(p(x),f(x)1。事实上，若(p(x),f(x)d(x)，那么d(x)|p(x)，所以d(x)1或者d(x)cp(x)o2、重要性质(定理5):(1)若p(x)不可约，对f(x),g(x)Px,若p(x)f(x)g(x)，则p(x)f(x)或p(x)g(x)(2)p(x)不可约，若p(x)f1(x)f2(x)fs(x)，则p(x)fi(x),对某个i1,2,s二、因式分解及唯一性定理数域P上每一个次数1的多项式f(x)均可分解成数域P上一些不可约多项式的乘积。所谓唯一性是指，如果f(x)有两个分解式则必有st且适当排列因式的次序后有Pi(x)cqi

3、(x)，其中Ci0,i1,2,s证明：先证分解式的存在性。我们对f(x)的次数作用数学归纳法。10、因为一次多项式都是不可约的，所以n1时结论成立。20、设(f(x)n,并假设结论对于次数低于n的多项式已经成立。如果f(x)是不可约多项式，结论是显然的，无妨设f(x)不是不可约的，即有f(x)f1(x)f2(x),(f1(x)n,(f2(x)n。由归纳假设力仪)和f2(x)都可以分解成数域P上一些不可约多项式的乘积。把f1(x),f2(x)的分解式和起来就得到f(x)的一个分解式。由归纳法原理，结论普遍成立。再证唯一性。设f(x)可以分解成不可约多项式的乘积f(x)P1(x)P2(x)Ps(x

4、)如果f(x)还有另一个分解式f(x)q1(x)q2(x)qt(x)其中qi(x)(i1,2,.,t)都是不可约多项式，于是f(x)P1(x)P2(x)Ps(x)q1(x)q2(x)qt(x)我们对s作归纳法。当s1,f(x)是不可约多项式，由定义必有st且f(x)P1(x)q1(x)o现在设不可约多项式的个数为s1时唯一性已证。由，P1(x)|q1(x)q2(x)qt(x),因此P1(x)必能整除其中的一个，无妨设Pi(x)|qi(x)因为qi(x)也是不可约多项式，所以Pi(x)cqi(x)在式两边消去qi(x),就有iP2(x)Ps(x)ciqi(x)q2(x)qt(x)由归纳法假设，有

5、siti,即st,(3)并且适当排列次序之后有iP2(x)c2clq2(x),即P2(x)C2q2(x)Pi(x)ciqi(x)(i3,.,s)(4)(2),(3),(4)合起来即为所要证的。三、标准分解式，i、标准分解式把f(x)的分解式中不可约多项式都化为首一不可约多项式，并且把相同因式的乘积写成幕的形式：f(x)cPrkx)p22(x)Pss(x)其中c是f(x)的首项次数，Pi(x),P2(x),Ps(x)是不同的首项系数为i的不可约多项式，72，,rsZ最小公倍式定义：多项式m(x)称为f(x)与g(x)的最小公倍式，如果i、f(x)|m(x),g(x)|m(x)；2、若f(x)|m

6、(x),g(x)|m(x),则有m(x)|m(x)。命题：设f(x),g(x)是两个非零多项式，则f(x),g(x)(f(x),g(x)f(x)g(x)证明：设(f(x),g(x)d(x),则f(x)d(x)f1(x),g(x)d(x)g1(x),并且(f(x),g(x)1。于是f(x)|m(x),g(x)|m(x);(f(x)g1(x)m(x)或g(x)f1(x)m(x)。(2)若f(x)|m(x),g(x)|m(x),我们证明m(x)|m(x)。m(x)f(x)qi(x),m(x)g(x)q2(x)可得f1(x)q1(x)g1(x)q2(x),由于(f(x),g(x)1,所以g1(x)|q

7、1(x)。设qi(x)g1(x)q3(x),则有m(x)f(x)q3(x)f(x)g1(x)q3(x)m(x)q3(x)于是m(x)是f(x)与g(x)的最小公倍式。2、多项式f(x),g(x)的最大公因式的求法二把f(x),g(x)写成标准分解式，f(x),g(x)就是同时在f(x),g(x)的标准分解式中出现的不可约多项式方幕的乘积，所带的方幕指数等于f(x),g(x)中所带的方幕较小的那一个。四、重因式1、定义：不可约多项式p(x)称为多项式f(x)的k重因式，如果pk(x)|f(x),而pk1(x)不能整除f(x),此时记作pk(x)|f(x)0注：当k0时，p(x)根本不是f(x)的

8、因式；当k1时，p(x)是f(x)的单因式；当k1时，称p(x)是f(x)的重因式。2、如何判断一个多项式有无重因式方法一：可用标准分解式。(不常用)方法二：用微商设有多项式n-n1f(x)anXan1Xa1xa0,我们规定它的微商是f(x)nanxn1(n1)an1xn2ai0微商的基本运算规则(f(x)g(x)f(x)g(x)；(cf(x)cf(x)；(f(x)g(x)f(x)g(x)f(x)g(x)；(fm(x)mfm1(x)f(x)。其理论依据为定理6如果不可约多项式p(x)是f(x)的k重因式(k1),则p(x)是f(x)的k1重因式。推论1如果不可约多项式p(x)是f(x)的k重因

9、式(k1),则p(x)是f(x),f(x),|,f(k1)(x)的因式，但不是严(x)的因式。推论2不可约多项式p(x)是f(x)的k重因式(k1)p(x)是f(x)与f(x)的公因式。推论3:"*)与£(x)没有重因式f(x),f(x)13、去掉重因式的方法：若f(x)cp1r1(x)p22(x)|11Pss(x),则f(x),f(x)p；11(x)p221(x)1Pss1(x)。于是一/、cp1(x)p2(x)|ps(x)f(x),f(x)例1判断下列多项式在有理数域上是否有重因式，若有，则求出重因式并确定重数(1) f(x)x4x21;(2) f(x)x615x48x35仅272x27.解：(1)f(x)4x32x,而(f(x),f(x)1,所以f(x)无重因式(3) f(x)6x560x324x2102x72,由辗转相除法得(f(x),f(x)(x1)2(x3)从而x1是f(x)的三重因式，x3是f(x)的二重因式。例2求f(x)Ax4Bx21有重因式的条件，并确定重数。解：当A0时，多项式