矩阵的特征值与特征向量专题讲解

1、矩阵的特征值与特征向量专题讲解一、内容提要一、矩阵的特征值和特征向量1、基本概念设A为 n 阶方阵，若存在数九和 n 为非零向量a#0,使Aa=Ka，则称九是A的特征值，a 是属于大的特征向量；矩阵儿E-A称为A的特征矩阵；,E-A 是九的 n 次多项式，称为A的特征多项式；,E-A=0 称为A的特征方程；2、特征值、特征向量的求法(1)计算 A 的特征值，即解特征方程|ZE-A=0;(2)对每一个特征值%,求出相应的齐次线性方程组(九0E-A)X=0一个基础解系旬巳，J,则属于%的全部特征向量为 kA+.+ks4,其中 ki,.,ks为不全为零的任意常数；3、特征值、特征向量的性质(1)A与

2、AT的特征值相同(但特征向量一般不同)；(2)属于同一特征值的特征向量的线性组合仍是属于该特征值的特征向量；(3)属于不同特征值的特征向量线性无关；(4)设 Aa=，(a=0),则 kA,Am,P(A)的特征值分别为 k 九，九m,P),其中P(x)为任一多项式，而 a 仍为相应的特征向量；(5)若 A 可逆，Aa=，a(a*0),则是A的特征值；为是 A*的特征值，a 仍为相应的特征向量；nn(6)设3儿2,.%是 n 阶方阵的特征值，则有工4=工 a.=tr(A)(迹)；i=1i1n口%=|A；推论：A可逆当且仅当A的特征值全不为零；i1(7)若A为实对称阵，则A的所有特征值均为实数，且属

3、于不同特征值的特征向量彼此正交。二、相似矩阵1、定义设A,B为 n 阶方阵，若存在 n 阶可逆阵P,使P,AP=B,称A与B相似，记为AB;2、AB的性质ATBT,kAkB,AMBM,P(A 广 P(B)其中 P 为任一多项式;r(A)=r(B)，A=|B|,.EA=|KE-B 二特征值相同，tr(A)=tr(B);若 A 可逆，则 B 也可逆，且 AB。三、矩阵对角化的条件及方法1、若矩阵A与对角阵相似，则称A可对角化，(1)n阶方阵A可对角化的充分必要条件是A有n个线性无关的特征向量；(2)若A的特征值两两不同，则必可对角化。2、实对称阵A必可对角化，且存在正交阵P,使P,AP=A实对称矩

4、阵正交对角化具体计算步骤如下：(1)求出实对称矩阵A的全部特征值；(2)若特征值是单根，则求出一个线性无关的特征向量，并加以单位化；若特征值是重根，则求出重数个线性无关的特征向量，然后用施密特正交化方法化为正交组，再单位化；（3）将这些两两正交的单位特征向量按列拼起来，就得到了正交矩阵P、典型例题故属于特征值九=1的所有特征向量为k（0,2,1）T,k为任意非零常数。例2设向量a=（a1,a2,.,anf,P=（bi,b2,.,bn都是非零向量，且满足条件3TB=0,记矩阵A=CtPT求：（1）A2（2）矩阵A的特征值和特征向量。（98,9分）解（1）A2=（PTX口门产4B贸PT产q呐为uT

5、P=0,所以T：=0,=A2=O;(2)设Ax=九x,x=0,贝UA2x=九Ax=九2x,而A2=O,故九2x=0,而x。0,故九=0,解齐次线性方程组（0E-A）x=0不妨设题型1:求数字矩阵的特征值与特征向量例1(87,6分）求矩阵A=30-1-1024的实特征值及对应的特征向量。bKE-AE-A+3011,+10-2-4-11+1002九一2二 （九一1X九2+4九+5）,九一1,2_=-145所以实特征值为九二1,1E-A二41-202Y100,0-200、,基础解系a=2b3,0,1,.,0,.=o,o,.,1于是blJ1blJA的属于特征值九=0的全部特征向量为G+C2J+.+Cn

6、_,二，其中G,C2,.,Cn是不全为零的任意常数。例3(09,4)设支=(1,1,1T,P=(1,0,kT,若kk,由题意，tr(uBT)=1+k=3+kj,5;由特征值性质可知，A”的特征值为1,设Aa=?Q（a=0）,则P（A）的特征值为P,其中P（x）为任一多项式，而a1#0心#0,A=-a1bla2-a1b2.a2b2-albn.-a2bnhrT但0*+b20.卜F.0iqanb1anb2.anbn,00.0,可得基础解系矩阵uPT相似于001(1,0,k尸1-1222-1-22-2-b1)求A的特征值；（2）求E+A-1的特征值。九+1-2解Z.E-A=-2&+1-22-2

7、21+11-1一2-212-20九十12二（九一1）（九十5）=0,所以A的特征值为1,14仍为相应的特征向量。于是E+A的特征值为2,2,-5题型2特征值、特征向量的逆问题(1)试确定参数a,b及特征向量所对应的特征值;(2)问A能否相似于对角阵？说明理由。九=-1是二重特征根,量，故A不可对角化。个特征值%,属于的一个特征向量为=(-1,-1,1)求a,b,c和的值。例1(97,6分，数一)已知:=1是矩阵A=-1；25-1-13的一个特征一2.，2-1-1b11一12-1-2=01=5+a3=%=力一0=1,a=3,b=0.-1J-1b2-0(2)A=25-1-12-330-2J-E-A

8、-31-252与101101，秩为2,所以只有一个线性无关的特征向0；例2设矩阵A=a51-C-1b0,其行列式 A=-1,又 A 的伴随矩阵 A*有一aJ解由题设，AA=AE=E,Aa=%a,AAa=%Aa,a=%Aa,即有代入(1)得a=c,再代T伴随矩阵A有一个特征值%,属于%的一个特征向量为a=(-1,1-1),求a,b,c和的值。答案a=3,b=c=M,%=1.题型3:相似矩阵的判定及其逆问题-200例1(92,7分)设矩阵AB,其中A=2x2,B31b(1)求x与y的值；(2)求可逆矩阵P,使得P,AP=B解因为AB,所以九EA=，uEB,即2_-2-x1x-2=12一y,令人二0

9、,得2(x2)=2y,令九=1,得y=2,所以x=00-1b0Y-n11k-1-0-ac1=1及(-b-2)=1(ca1)=1类题(+0-1-30-a10分)设矩a-120-1a,0=a3=1,所以a=c=2cl3,其行列式悄=-1，又A的b-2(2)A=2300)Z-102,B=011J000,对应于A和B的共同特征值-1,2,2-2的特征向量分别为4=(02-1%七2=(0,1,1-=(1,0,-1):得可逆矩阵001、P=210,满足P-AP=B。L1-b求可逆阵P,使P,AP=A2-8-x2一解|KEA|=-2九20=（九一6）（九+2）=0得A得特征值00九一6,1-12二 6,13

10、-2,4-8-x1-206E-A=-240T00-x000_000_因为 A 相似于对角阵 A,所以 r（6E-A）=1,即 x=0,基础解系2）-41,%=-2,-2EA=-26/-2-02基础解系%=1，取P=010,称f(X)为正定二次型，A正定的充分必要条件；(1)A的正惯性指数等于n；(2)A与E合同，即存在可逆阵口，使人=口,口；(3)A的特征值全正；(4)A的顺序主子式全正;A正定的必要条件：aii0,i=1,2,.n;|A0；若A是正定矩阵， 则 AT,A ,A*,Am,P(A)均为正定阵， 其中P(x)为系数全正的多项式；若A,B均为正定阵，则kA+lB(k,lA0)也是正定

11、阵；但AB正定=AB=BA；其他类似还有负定、半正定、半负定等。典型例题题型 1:二次型的矩阵、秩和正负惯性指数.,222-例1(04,4分)二次型f(XI,X2,X3)=(XI+x2)+(x2x3)+(x3+x1)的秩为422解f(x,X,x,3x-)x(十N)=2x；+2x2+2x2+2x1x2+2x1x32x2x3,r(A)=2,即原二次型的秩为 2.2.-1、-y-x,只要满足0于是二次型的矩阵为A=12-11-12J1010-1332-3一力100-1302-30题型 2:2:化二次型为标准型例 1 1 求一正交变换化二次型f=x2+4x2+4 瑟-4x,x2+4x,x3-8x2x3

12、为标准形。门-22解二次型的矩阵为A=-24-4,(2-44,12-2I九E-A|=2九一44c3+c2九2(九一9),-24九411,2=。，,3=9,对2=0,求得线性无关的特征向量。1=(2,1,0):。2=(-2,0,1；1r02答案f(x1,x2,x3)(x1,x2,x3)24-24-2丫%4x23人x3/_2_而P=0_1_30530230一、2c2c2，f(x1，x2,x3)=y1一 6y2-6y3再正交化得月=(,p2=(-2,4,5)T,对九3=9,求得线性无关的特征向量题型 3:化二次型为标准形的逆问题例 1(93,9 分)设二次型 f(x1,x,x3)=x；+x；+x；十

13、20txix+2Px2x3十2x1x3经正交变换 x=Py化成 f=y；+2y；,试求常数 ot,B。【分析】经正交变换(注意不是非退化线性变换)化二次型为标准形，前后二次型所对应的矩阵必相似，从而有相同的特征多项式，由此可确定参数。解变换前后二次型的矩阵分别为1a1)000、A=u1P,B=010,3=(1,-2,1再单位化得1cT2=3/5一2451T3-1-2232/而-2/3店1/3P=1/石4/3石-2/3作正交变换x=Py、05/3752/3，标准形 f=9y；类题(95,10 分)已知二次型 f(%,x2,%)=4x2-3x2+4x1x2-4x1x3+8x2x3(1)写出二次型f

14、的矩阵表达式(2)用正交变换把二次型f化为标准形，并写出相应的正交矩阵1Jp1J202.，PTAP=B,因为P为正交矩阵，故有P/AP=B,因此儿 E-A=%E-B解法一：九33九2寸2a2Pj 九。口伊=九322电较系数得解法二：令九=1,得一2以=0;令九=2,得一(a+P/=0,解的 a=P=0例 2(09,11 分)设二次型 f(%,%,乂3)=ax；+ax2+(a-1)x；+2%乂3-2乂2乂3(1)求二次型 f 的矩阵的所有特征值；(2)若二次型 f 的规范形为 y2+y；,求 a 的值。001,解二次型f的矩阵A=0a-1J1a-1；000-1000-2人a0-1KEA|=0九一

15、a1=（九一a*Za+2x%a1）-11人一a+1得A得特征值兀=a-2,K2=a,%=a+1(1)由 f 得规范形为 y2+y；,知 A 友 2 个特征值为正，1 个为零，所以儿=a-2=0,gPa=2o解由人 E-A=0 得 A 得特征值为 0,3,3,而 B 得特征值为 0,1,1,从而 A 与 B 不相似；又 r(A)=r(B)=2,且 A、B 有相同的正惯性指数，因此 A 与B 合同。【答案】应选(B)注：(1)若A与B相似，则|A=|B|;r(A)=r(B);tr(A)=tr(B);A与B有相同的特征值；(2)若 A、B 为实对称矩阵，则 A 与 B 合同的充分必要条件是 r(A)

16、=r(B),且A、B有相同的正惯性指数。例 2 2 设A,B是同阶实对称阵，已知 A AB,B,证明A与B合同。举例说明反之不成立。证因为A,B均为实对称阵，故均可对角化，且存在正交阵 P,Q,P,Q,使P-AP=A1,Q-BQ=A2，因为 A AB,B,所以A,B得特征值相同，适当排列 P P 的列，可使九=人2,于是 P-1AP=Q-1BQ=QP-1APQ-1=W-1AW=B,其中 W=PQ-1,因为P,QP,Q 均为正交阵，故 W W 也有正交阵，所以W-1AW=WTAW=B，即A与B合同，反之,题型 4:合同变换与合同矩阵2例 1(07,4 分)设矩阵 A=|-1-1-12-1-1、/

17、1-1,B=02Ji2）一人，例 3 3（08,408,4 分）设 A=则在实数域上与 A A 合同的矩阵为0,（AxAx0,因此，当九0时，对任意实向量x#0,有xTBx0,即矩阵 B 为正定矩阵。CTACrii/=故引与B合同，但A与B不相解E-A|=-1-2例 2（91,6 分）考虑二次型 f=x；+4x；+4x；+2 儿 x,x2-2x,x3+4 乂2%，问人取何值时，f为正定二次型？r 九i解用顺序主子式讨论。A=人421241九2阎=1,A2=4=4九20,1九-1A|=04-X22+九=M(九十2)九一1)0,02+九3解不等式组-2：二：二110例 3 设矩阵A=02J012，一，、，0,B=(kE+A)，求对角阵抵,使B与A相似，并b求k为何值时，B为正定矩阵解先求A的特征值,KE-A九10120九20=九(九一2)=0=%=0,%,3=210九一1，k2一-2一2一于是B的特征值为A=k2,%,3=(k+2),即B(k+2),显2I(k+2)J然B为对称阵，当卜。0且k。-2时，B的特征值全为正，此时B正定例 4 设 A 是 n 阶正定阵，E是 n 阶单位阵，证明：A+E的行列阵大于 1.证设A的特征值为：Mi=1,.n),则 A+E的特