《平面向量的线性运算》--《向量加法运算及其几何意义》--修改版

1、 复习引入： 1 1、什么叫向量？一般用什么表示？、什么叫向量？一般用什么表示？ 3 3、平行向量、平行向量( (共线向量）共线向量） 4 4、什么叫相等向量？、什么叫相等向量？既有大小又有方向的量叫向量，一般用有向线段表示既有大小又有方向的量叫向量，一般用有向线段表示。长度相等且方向相同的向量叫相等向量。长度相等且方向相同的向量叫相等向量。2 2、向量的模、零向量、单位向量、向量的模、零向量、单位向量向量的大小（长度）称为向量的模向量的大小（长度）称为向量的模 、长度为长度为0的向量叫零向量，方向是任意的的向量叫零向量，方向是任意的长度为长度为1个单位长度的向量，叫单位向量个单位长度的向量，

2、叫单位向量. 方向相同或相反的非零向量叫平行向量，与任意向量平行。方向相同或相反的非零向量叫平行向量，与任意向量平行。0情景（情景（1 1） 上海上海台北台北香港香港上海上海台北台北香港香港情境情境2：兄弟俩同拉一箱子兄弟俩同拉一箱子（1）两人齐心协力，方向相同）两人齐心协力，方向相同合力合力F与与f1、f2同向同向且且|F | = | f1 | + | f2 |合力合力F与与f1、f2不同向不同向且且| F | | f1 | + | f2 |若若| f1 | | f2 | ，则合力，则合力F与与f1同向且同向且| F = | f1 | - | f2 | ；若若| f1 | | f2 | ，则

3、合力，则合力F与与同向且同向且| F | = | f2 | - | f1 |f1f2f1f2FFf1f2F合力合力向量的和向量的和（2）两人意见分歧，方向不同）两人意见分歧，方向不同（3）两人背道而驰，方向相反）两人背道而驰，方向相反一、向量的加法一、向量的加法1 1、定义：求两个向量的和向量的运算叫向量的加法。2 2、平行四边形法则平行四边形法则baAba a a a a a a abbBbaDaCba+b作法步骤：作法步骤：共起点共起点3 3、三角形法则三角形法则baOa a a a a a a abbbbbbbBbaAa+b首尾相接首尾相接作法步骤：作法步骤：ACa b= + AC a

4、b= + ABC(1) 同向ab(2)反向ab00aaa+=+=规定：ABC,当线时来向量是共向量,又如何作出?a bab 探究：向量和的特点：探究：向量和的特点：（1）两个向量的和仍是一个向量）两个向量的和仍是一个向量,abababab 当且仅当 ， 共线时取等号(2)结论：结论：（3）“向量平移向量平移”（自由向量）：使前一个向量的终（自由向量）：使前一个向量的终点为后一个向量的起点，可以推广到点为后一个向量的起点，可以推广到n个向量连加个向量连加（“首尾相接首尾相接”）01122110nnnnnA AA AAAAAA A 1223110nnnA AA AAAA A如果平面内有如果平面内有

5、n n个向量依次首尾相连组成个向量依次首尾相连组成一条封闭折线，那么这一条封闭折线，那么这n n个向量的和是什么？个向量的和是什么？思考：ab（1）（2）（3）a（4）ababbab练习练习1.如图如图,已知已知 用向量加法的三角形用向量加法的三角形法则作出法则作出ba （1 1）ababab练习练习2.如图如图,已知已知 用向量加法的平行四用向量加法的平行四边形法则作出边形法则作出ba （2）二、性质1. :abba交换律2. :(ab)ca(bc) 结合律abbaababcabcabbcabc a b c 从而，从而，多个向量的加法运算可以按照任意的次序、任意的多个向量的加法运算可以按照任

6、意的次序、任意的组合来进行组合来进行例1、化简：首尾相接首尾相接 DCCABDABCBACBNMABCCDAB ) )( () )( () )( (321ADMN 0例例2. .一艘船以一艘船以 的速度和垂直于对岸的方向行驶，同的速度和垂直于对岸的方向行驶，同时，河水的流速为时，河水的流速为 ，求船实际航行速度的大小与方向，求船实际航行速度的大小与方向（用与流速间的夹角表示）（用与流速间的夹角表示） km/h32km/h2DABC解：解： 如图，设如图，设 表示船速，表示船速， 表示水的流速，表示水的流速，ADAB以以AB，AD为邻边作为邻边作 ABCD，则则 是船的是船的实际航行速度实际航行

7、速度.AC在在 中，中， ABCRt 2 AB32 BC 43222222 BCABAC3232tan CAB60 CAB答：船实际航行速度为答：船实际航行速度为 ，方向与流速间的夹角为，方向与流速间的夹角为 4km/h60五、小结五、小结1 向量加法法则：三角形法则三角形法则ababababba平行四边形法则平行四边形法则2 运算性质运算性质:aaacbacbaabba 00) )( () )( (,abababab 当且仅当 ， 反向时前者取等号，同向时后者取等号。思考思考 : 试用向量方法证明：试用向量方法证明： 对角线互相平分的四边形是平行四边形对角线互相平分的四边形是平行四边形。已知

8、：四边形已知：四边形ABCD，对角线，对角线AC与与BD交于交于O，AO=OC，DO=OB。求证求证 ：四边形：四边形ABCDABCD是平行四边形是平行四边形CDOAB B证证： 如图，由向量加法法如图，由向量加法法则则，有有OBAOAB OBOCAO DO ，又又已已知知OCDODC 为为平平行行四四边边形形平平行行且且相相等等与与即即ABCDDCAB DCAB 数学应用数学应用1(2)(3)OABCDEFOA OCBCFEOAFE 例1：已知 为正六边形的中心，作出下列向量（）;1OBOCOA）解：（;2ADFEBC）（. 03 FEOA）（ABCDEFO定船的航向。要垂直度过长江，请确渡

9、船度为的速度东流，渡船的速水以：在长江某岸某处，江例,/25/5 .122hkmhkmC：如图，设表示水流的如图，设表示水流的速度，表示渡船的速度，速度，表示渡船的速度，ABAD 表示渡船实际垂表示渡船实际垂直过江的速度直过江的速度.AC因为，所以因为，所以四边形为平行四边四边形为平行四边形形.在中，在中，ACADABABCDACDRt90ACD5 .12| ABDC25|AD所以所以30CAD答：要垂直地度过长江，其航向应答：要垂直地度过长江，其航向应为北偏西为北偏西3025D5 .12BA )4( )3( )2( ) 1 (edcdbadcba.化简化简_) 1 (BCCDAB _)2(C

10、BACBNMA_)3(DCCABDAB目标检测目标检测.根据图示填空根据图示填空abcdefgABDECcfgfADMN0.一架飞机向西飞行一架飞机向西飞行 , ,然后改变方向向南飞行然后改变方向向南飞行 , ,则飞机两次位移的和为则飞机两次位移的和为 .km100km100km210045 ，西偏南西偏南 北南西东km100ABkm100C450km2100 BCABAC目标检测目标检测_, 6, 8的最大值和最小值是则已知baba14, 2课堂小结：课堂小结：向量加法的定义向量加法的运算律三角形法则平行四边形法则向量加法的运算 大约公元前大约公元前350350年前，古希腊著名学者年前，古希腊著名学者亚里士多德就知道了力可以表示成向量，两亚里士多德就知道了力可以表示成向量，两个力的组合作用可用著名的平行四边形法则个力的组合作用可用著名的平行四边形法则来得到来得到“向量向量”一词来自力学、解析几何一词来自力