人教版-高一-数学-2集合间的基本关系

1、集合间的基本关系一、知识概念1、子集（1）子集的概念对于两个集合A，B，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，我们说这两个集合有包含关系，称集合A是集合B的子集。 记作：，读作：A包含于B，或B包含A这时我们也说集合A是集合B的子集【要点辨析】“A是B的子集”的含义是：集合A中的任何一个元素都是集合B中的元素，即由xA，能推出xB；例如：-1.1-1,0,1,2；x|x为北京人x|x为中国人当A不是B的子集时，我们记作“”，读作：“A不包含于B”；例如：A=1,2,3不是B=1,3,4,5的子集，因为A中的元素2不是B中的元素任何一个集合都是它本身的子集，即对于任何一个集合A，它的任何一个

2、元素都属于集合A本身，记作；我们把不含任何元素的集合叫做空集，记为，并规定：空集是任何集合的子集，即对于任意一个集合A，有；以上告诉我们，在求某一个集合的子集时，不要漏掉空集和它本身这两种特殊情况。在子集的定义中，不能理解为子集A是B中的“部分元素”所组成的集合。因为若，则A中不含任何元素；若A=B，则A中含有B中的所有元素，但此时都说集合A是集合B的子集。（）真子集如果，且，就说集合是集合的真子集，记作AB。它的图形表示如下：BA空集是任何非空集合的真子集；对于集合A,B,C，如果AB，BC，那么AC元素与集合的关系是属于与不属于的关系，用符号表示；集合与集合之间的关系是包含、真包含、相等的

3、关系，用符号、和=表示（3）子集的性质任何一个集合是它本身的子集，即对于集合A、B、C，如果且，那么（传递性）（4）Venn图为了直观地表示集合间的关系，我们常用平面上封闭曲线的内部表示集合，利用它可对集合关系进行图形语言表示，如可表示为下图：2、集合相等如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素，我们就说集合A等于集合B，记作A=B，读作A等于B。注意理解一下两点：（1）若，同时AB，则A=B。因为，所以A的元素都是B的元素；又因为，所以B的元素都是A的元素，即集合A和集合B的元素完全相同，因此A=B。（2）证明两个集合相等的方法：若A、B两个集合是元

4、素较少的有限集，可用列举法将元素列举出来，说明两个集合的元素完全相同，从而A=B；若A、B是无限集，欲证A=B，只需证与都成立即可。可设任意，证明，从而得出。又设任意，证明，从而得到，进而证明得到A=B【要点辨析】几种符号之间的联系与区别：（1）、和分别表示子集（包含）关系，真子集关系和不包含关系，它们都是用于集合之间关系的符号（2）是用于元素与集合之间关系的符号；是用于集合之间关系的符号。3、空集空集是任何一个集合的子集，是任何一个非空集合的真子集。空集不含任何元素。实数0与空集是两个不同的概念，不能把0或0与混为一谈。【注】若出现的条件时，必须考虑的情况，【例】设集合，集合，若，求实数a组

5、成的集合，并写出它的所有非空真子集。【解析】因为，所以只要求出A，然后分类讨论即可解决。【解】由于，.若，则a=0;若，则a0，这时有，或，即，或。综上所述，由实数a组成集合为.其非空真子集为0，共6个。4、集合子集的确定方法（1）写出给定集合的子集或判定已知集合子集的个数是最常见的问题，如何不重不漏列出所有子集，如何计算集合子集的个数呢？【例】写出集合的所有子集并求所有子集中元素之和【解析】按子集元素个数的多少分别写出所有子集，才能避免不重不漏，同时还应注意两个特殊子集，即和给定集合本身。【解】，1，2，3，1,2，1,3，2,3，1,2,3.注意到A中每个元素均出现了4次，故所有子集元素的

6、和为：（1+2+3）×4=24.（2）由上例可知，由3个元素组成的集合的子集有8个.那么由2个元素组成的集合的子集有几个？由4个元素？由n个元素组成的集合有多少个？（个）（3）A中每个元素出现在子集中4次，是在写出所有子集后再观察得出的结果，能否不写出A的子集也能得出同样结论？完全可行.注意到A中的元素1，出现在A的子集1，1,2，1,3，1,2,3中，如果从这些集合中去掉元素1，剩下的元素组成的集合依次为，2，3，2,3，即为集合2,3的全部子集.一般而言，A中n个元素，则每一元素出现在子集中的次数为，故所有子集元素之和.5、子集的概念与性质在解题中的应用（1）子集的概念是讨论集合

7、与集合间的关系引出的，两个集合A与B之间的关系如下：其中表示集合A不包含于集合B（或集合B不包含于集合A）（2）子集具有以下性质：，即任何一个集合都是它本身的子集如果，那么A=B如果，那么如果AB，BC，那么AC（3）包含的定义也可以表述为：如果由任意，可以推出，那么（或）不含包含的定义也可以表述成：两个集合A和B，如果集合A中存在至少一个元素不是集合B的元素，那么（4）空集是任何集合的子集，即对于任何一个集合A，都有.在解决诸如，或A是B的真子集类问题时，必须优先考虑是否满足题意.6、忽视空集对集合关系的影响空集就像一个无处不在的幽灵，解题时需处处设防，提高警惕.（1）忽视空集是任何非空集合

8、的真子集【例】写出集合的所有真子集.【错解】集合=1,2,3的所有真子集为1，2，3，1,2，1,3，2,3共6个【错因分析】错解忽视了是任何非空集合的真子集.【正解】集合=1,2,3的所有真子集为，1，2，3，1,2，1,3，2,3共7个（2）忽视空集隐藏在含参的不等式中【例】已知集合，集合，若，求m的取值范围【错解】由，得.又，得，即综上，m的取值范围为：.【错因分析】当时，许多同学认为B是非空的，且B是A的子集，忽视了空集是任何集合的子集，即B为的情况【正解】由错解，可知当B时，当B=时，由m>2m-1，得m<1.综上，实数m的取值范围为.（3）忽视空集隐藏在方程无解的情形中

9、【例】已知集合，且集合，若，求由实数m构成的集合【错解】由已知，得=，又，而=，故，即m=2或m=1.所以由实数m所构成的集合为1,2.【错因分析】错解在解方程mx=2时忽视了m=0.【正解】当m0时，由错解知，m=2或m=1.当m=0时，B=，符合题意.故由实数m所构成的集合为0,1,2.7、数形结合解集合问题在本节内容中，主要使用数轴，Venn图这两类图形，在解与不等式有关的问题时，画出数轴，有利于迅速求解；在表示集合的关系时，常常画出Venn图来表达数量关系.数轴在子集问题中的应用与不等式相关的集合，一般可以在数轴上表示，从而可以观察得到集合的运算结果，还可以求解一些参数的范围，用数轴时

10、，要注意端点处是实点还是虚点【例】已知集合，当时，求p德尔取值范围【解析】将数集A在数轴上先表示出来，根据，找在数轴上的位置，从而得到关于p的不等式.【解】4x+p<0，x<，由上图可知，<-1，p48、有关子集的综合问题子集是描述两个集合关系的，集合A是集合B的子集应理解为：集合A中任何一个元素都是集合B的元素，它主要包含：无论A是否有元素，也无论集合A是有限集还是无限集，只要是A的元素，一定是B的元素【例】已知函数，且集合A=x|x=f(x)，B=x|x=ff(x)，（1）求证：；（2）当A=-1,3时，用列举法表示B【解】（1）任取xA,则x=f(x),从而x=ff(x

11、),xB,则.（2）A=-1,3，f(-1)=-1，f(3)=3,即1-a+b=-1,9+3a+b=3，解得a=-1,b=-3.，.，解得 .二、典例归纳考点一：识别集合之间包含与相等的含义，能写出给定集合的子集，能归纳出子集和真子集的区别和联系（选择题）【例1】判断下列两个集合之间的联系：（1） A=2,3,6，B=x|x是12的约数；（2） A=0,1，B=；（3） A=x|-1<x<2,B=x|-2<x<2；（4） A=（x,y）|xy<0，B=（x,y）|x>0，y>0.【例2】已知集合， ，则A、B、C满足的关系是（ ）A A=BC B AB

12、=C C ABC D BCA【例3】已知1,2M1,2,3,4,5，则这样的集合M有 个【例4】已知集合，B=1,2，且AB，求实数a的取值范围【例5】已知集合，集合，集合P是否能成为Q的一个子集？若能，求出m的取值范围；若不能，请说明理由.【变式1】满足集合A的集合A的个数是（ ）A 1 B 2 C 3 D 4【变式2】已知集合M=(x,y)|x+y<0,xy>0，集合P=(x,y)|x<0,y<0，则（ ）A B C D 【变式3】设集合A=x|x-a|<1，xR，B=x|x-b|>2，xR，若，则a,b必满足（ ）A |a+b|3 B |a+b|3 C

13、 |a-b|3 D |a-b|3【变式4】已知集合A=x|x>0，xR，B=，且，求实数p的取值范围【变式5】已知集合，且.（1）若AB，求a的取值范围；（2）若，求a的取值范围.考点二：在具体情境中解释空集和相等集合的含义（选择题）【例1】给出下列命题：（1）空集没有子集；（2）任何集合至少有两个子集；（3）空集是任何集合的真子集；（4）若A，则A，其中正确的个数有（ ）A 0个 B 1个 C 2个 D 3个【例2】已知集合，若A=B，求c的值【例3】设，（1）若，试判断集合A和B的关系;（2）若，求实数组成的集合C.【变式1】1、已知四个命题：；空集没有子集；任何一个集合必有两个或两

14、个以上的子集；空集是任何一个集合的子集.其中正确的有（ ）A 0个 B 1个 C 2个 D 3个【变式2】下列各组中的两个集合相等的有（ ），；，；，A B C D 【变式3】已知集合A=x|x-a|=4，集合B=1,2，b.（1）是否存在实数a，使得对于任意实数b都有？若存在，求出对应的a值；若不存在，说明理由.（2）若成立，求出对应的实数对（a,b）考点三：能正确区分易混淆的数学符号（），会判断两个集合间的关系，能用Venn图表示集合间的关系（选择题、填空题）【例1】填空1)a_a，b，c； 2) 0_x|=0；3)0 _xR|+1=0； 4)0，1 _N；5)0 _x|=x； 6)2，1

15、 _x|-3x+2=0【例2】判断下列两个集合之间的关系1) A=1，2，4，B=x|x是8的约数；2) A=x|x=3k，kN，B=x|x=6z，zN；3) A=x|x是4与10的公倍数，B=x|x=20m，mN*.【例3】已知集合A=a，a+b，a+2b，B=a，ac，ac2，若A=B，求c的值【变式1】下列关系式中正确的个数为（ ）a,bb,a；a,b=b,a；0；00；0A 3 B 4 C 5 D 0【变式2】已知全集U=R，则正确表示集合M=-1,0,1和N=x|关系的Venn图示下图中的（ ）A B C D【变式3】集合U=不大于5的自然数，A=0，1，B=x|xA,且x<1

16、，C=x|x-1A，且xU，若D=x|xA，说明A、B、C、D的关系.【变式4】集合A=x|-2x5，B=x|m+1x2m-1（1）若，求实数m的取值范围；（2）当xZ时，求A的非空真子集的个数；（3）当xR时，不存在元素x使xA，且xB同时成立，求实数m的取值范围.三、课堂练习1.下列命题正确的是（ ）A.无限集的真子集是有限集 B.任何一个集合必定有两个子集C.自然数集是整数集的真子集 D.1是质数集的真子集2.以下五个式子中，错误的个数为（ ）10，1，2 1，33，10，1，21，0，20，1，2 0A.5 B.2 C.3 D.43、下列说法： 空集没有子集；任何集合至少有两

17、个子集；空集是任何集合的真子集；若A，则A. 其中正确的有(  ) A0个  B1个 C2个  D3个4、集合a，b的子集有(  ) A1个        B2个       C. 3个        D. 4个 4、已

18、知集合，则（ ）A. B. C. D. 5.已知集合，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6.满足的集合的个数是（ ）A8 B7 C6 D47、已知集合，,则（ ）A. B. C. D. 与关系不确定8、满足共有（ ）A.6个 B.7个 C.8个 D.15个9、已知集，满足，则（ ）A. B. C. D. 10、已知，,若的取值为（ ）A.1 B.4 C.-1或-3 D.-4或111、集合Ba，b，c，Ca，b，d，集合A满足AB，AC.则集合A的个数是_12（1）集合,若，则实数 （2）已知，集合,若,则实数 （3）已知，若，则适合条件的实数 的集合为 ；的子集有 个；的非空真子集有 个13、设若，则的取值为 .14、已知集合，若，则实数的取值范围是 .15.判断正误 （1）空集没有子集 （ ）（2）空集是任何一个集合的真子集 （ ）（3）任一集合