对数及对数运算

1、对数及对数运算【学习目标】1.理解对数的概念，能够进行指数式与对数式的互化；2.了解常用对数与自然对数的意义；3能够熟练地运用对数的运算性质进行计算；4了解换底公式及其推论，能够运用换底公式及其推论进行对数的计算、化简与证明5能将一般对数转化成自然对数或常用对数、体会换底公式在解题中的作用【要点梳理】要点一、对数概念1.对数的概念如果，那么数b叫做以a为底N的对数，记作:logaN=b.其中a叫做对数的底数，N叫做真数.要点诠释：对数式logaN=b中各字母的取值范围是：a0且a1， N0， bR.2.对数具有下列性质：(1)0和负数没有对数，即；(2)1的对数为0，即；(3)底的对数等于1，

2、即.3两种特殊的对数通常将以10为底的对数叫做常用对数，.以e（e是一个无理数，）为底的对数叫做自然对数， .4对数式与指数式的关系由定义可知:对数就是指数变换而来的，因此对数式与指数式联系密切，且可以互相转化.它们的关系可由下图表示.由此可见a，b，N三个字母在不同的式子中名称可能发生变化.要点二、对数的运算法则已知(1) 正因数的积的对数等于同一底数各个因数的对数的和；推广：(2) 两个正数的商的对数等于被乘数的对数减去除数的对数；(3) 正数的幂的对数等于幂的底数的对数乘以幂指数；要点诠释：（1）利用对数的运算法则时，要注意各个字母的取值范围，即等式左右两边的对数都存在时等式才能成立.如

3、：log2(-3)(-5)=log2(-3)+log2(-5)是不成立的，因为虽然log2(-3)(-5)是存在的，但log2(-3)与log2(-5)是不存在的.（2）不能将和、差、积、商、幂的对数与对数的和、差、积、商、幂混淆起来，即下面的等式是错误的：loga(MN)=logaMlogaN，loga(MN)=logaMlogaN，loga.要点三、对数公式1对数恒等式：2换底公式同底对数才能运算，底数不同时可考虑进行换底，在a0， a1， M0的前提下有:(1) 令 logaM=b， 则有ab=M， (ab)n=Mn，即， 即，即:.(2) ，令logaM=b， 则有ab=M， 则有 即

4、， 即，即当然，细心一些的同学会发现(1)可由(2)推出，但在解决某些问题(1)又有它的灵活性.而且由(2)还可以得到一个重要的结论:.【典型例题】类型一、对数的概念例1.求下列各式中的取值范围：（1）；（2）；（3）【答案】（1）；（2）；（3）且【解析】（1）由题意，即为所求（2）由题意即（3）由题意解得且【总结升华】在解决与对数有关的问题时，一定要注意：对数真数大于零，对数的底数大于零且不等于1举一反三：【变式1】函数的定义域为 【答案】类型二、指数式与对数式互化及其应用例2.将下列指数式与对数式互化：(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6).【解析】运用对数的定义进行互化.(1)

5、；(2)；(3)；(4)；(5)；(6).【总结升华】对数的定义是对数形式和指数形式互化的依据，而对数形式和指数形式的互化又是解决问题的重要手段.举一反三：【变式1】求下列各式中x的值：(1) (2) (3)lg1000=x (4)【答案】（1）；（2）；（3）3；（4）-4【解析】将对数式化为指数式，再利用指数幂的运算性质求出x.(1)；(2)；(3)10x=1000=103，于是x=3；(4)由.【变式2】计算：并比较【解析】 类型三、利用对数恒等式化简求值例3求值： 【答案】35 【解析】.【总结升华】对数恒等式中要注意格式：它们是同底的；指数中含有对数形式；其值为真数.举一反三：【变式

6、1】求的值(a，b，cR+，且不等于1，N0)【答案】【解析】将幂指数中的乘积关系转化为幂的幂，再进行运算.类型四、积、商、幂的对数例4. 表示下列各式 【解析】（1）；（2）；（3）；（4）=【总结升华】利用对数恒等式、对数性质及其运算性质进行化简是化简对数式的重要途径，因此我们必须准确地把握它们在运用对数的运算性质时，一要注意真数必须大于零；二要注意积、商、幂的对数运算对应着对数的和、差、积得运算举一反三：【变式1】求值(1) (2)lg2lg50+(lg5)2 (3)lg25+lg2lg50+(lg2)2 【答案】（1）22；（2）1；（3）2【解析】(1) (2)原式=lg2(1+lg

7、5)+(lg5)2=lg2+lg2lg5+(lg5)2=lg2+lg5(lg2+lg5)=lg2+lg5=1(3)原式=2lg5+lg2(1+lg5)+(lg2)2 =2lg5+lg2+lg2lg5+(lg2)2=1+lg5+lg2(lg5+lg2)=1+lg5+lg2=2.类型五、换底公式的运用例5.已知，求【答案】【解析】解法一：，于是解法二：，于是解法三：，解法四：，又令，则，即【总结升华】（1）利用换底公式可以把题目中不同底的对数化成同底的对数，进一步应用对数运算的性质（2）题目中有指数式和对数式时，要注意指数式与对数式的互化，将它们统一成一种形式（3）解决这类问题要注意隐含条件“”的

8、灵活运用举一反三：【变式1】求值：(1)；(2)；(3).【答案】（1）；（2）；（3）【解析】(1) ；(2)；(3)法一：法二：.类型六、对数运算法则的应用例6.求值(1) (2) (3)(4)【答案】（1）-10；（2）0；（3）3；（4）13【解析】(1)原式=(2) 原式=(3)原式=(4)原式举一反三：【变式1】计算下列各式的值（1）；（2）【答案】（1）3；（2）1【解析】（1）原式=2=2+1=3；（2）原式=+= =【变式2】求值：【答案】2【解析】另解：设 =m (m0). ， ， ， lg2=lgm， 2=m，即.【典型例题】类型一、指数式与对数式互化及其应用例1.将下列

9、指数式与对数式互化：(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6).【解析】运用对数的定义进行互化.(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6).【总结升华】对数的定义是对数形式和指数形式互化的依据，而对数形式和指数形式的互化又是解决问题的重要手段.举一反三：【变式1】求下列各式中x的值：(1) (2) (3)lg1000=x (4)【答案】（1）；（2）；（3）3；（4）-4【解析】将对数式化为指数式，再利用指数幂的运算性质求出x.(1)；(2)；(3)10x=1000=103，于是x=3；(4)由.【变式2】计算：并比较【答案】2 3 5【解析】 类型二、利用对数恒等式化简求值例2求值：

10、 【答案】35【解析】.【总结升华】对数恒等式中要注意格式：它们是同底的；指数中含有对数形式；其值为真数.举一反三：【变式1】求的值(a，b，cR+，且不等于1，N0)【答案】【解析】将幂指数中的乘积关系转化为幂的幂，再进行运算.类型三、积、商、幂的对数例3. 表示下列各式 【解析】（1）；（2）；（3）；（4）=【总结升华】利用对数恒等式、对数性质及其运算性质进行化简是化简对数式的重要途径，因此我们必须准确地把握它们在运用对数的运算性质时，一要注意真数必须大于零；二要注意积、商、幂的对数运算对应着对数的和、差、积得运算举一反三：【变式1】求值(1) (2)lg2lg50+(lg5)2 (3)

11、lg25+lg2lg50+(lg2)2 【答案】（1）22；（2）1；（3）2【解析】(1) (2)原式=lg2(1+lg5)+(lg5)2=lg2+lg2lg5+(lg5)2=lg2+lg5(lg2+lg5)=lg2+lg5=1(3)原式=2lg5+lg2(1+lg5)+(lg2)2 =2lg5+lg2+lg2lg5+(lg2)2=1+lg5+lg2(lg5+lg2)=1+lg5+lg2=2.【变式2】（1）设，求的值 （2）已知，求【答案】（1）1；（2）【解析】（1）由已知分别求出和， ， 由换底公式得： = =（2），又，故 故，又，从而， 故类型四、换底公式的运用例4.已知，求【答案

12、】【解析】解法一：，于是解法二：，于是解法三：，解法四：，又令，则，即【总结升华】（1）利用换底公式可以把题目中不同底的对数化成同底的对数，进一步应用对数运算的性质（2）题目中有指数式和对数式时，要注意指数式与对数式的互化，将它们统一成一种形式（3）解决这类问题要注意隐含条件“”的灵活运用举一反三：【变式1】求值：(1)；(2)；(3).【答案】（1）；（2）；（3）【解析】(1) ；(2)；(3)法一：法二：. 类型五、对数运算法则的应用例5.求值(1) (2) (3)(4)【答案】（1）-10；（2）0；（3）3；（4）13【解析】(1)原式=(2) 原式=(3)原式=(4)原式举一反三：

13、【变式1】求值：【答案】2【解析】另解：设 =m (m0). ， ， ， lg2=lgm， 2=m，即.例6.若方程的两根是a，b，求ab的值【答案】 【解析】设，则 是原方程的两个根， 【总结升华】解决本题的关键是要分清楚a，b是哪个方程的根，所以首先利用换元法把方程化成一元二次方程，这样就可以得到原方程的两根是举一反三：【变式1】若是方程的两个实根，求的值【答案】12【解析】原方程可化为，设，则原方程化为由已知是原方程的两个根，则，即，=即【巩固练习】1.下列说法中错误的是( )A.零和负数没有对数B.任何一个指数式都可化为对数式C.以10为底的对数叫做常用对数 D.以e为底的对数叫做自然

14、对数2.有以下四个结论：lg(lg10)=0；ln(lne)=0；若10=lgx，则x=10；若e=lnx，则x=e2，其中正确的是( )A.B.C.D.3.下列等式成立的有( )；A.B.C.D.4对数式中，实数的取值范围是（ ）A.B.C. D.5若，则下列说法正确的是（ ）若，则；，则；，则；若，则。A. B. C. D. 6.已知，那么用表示是( )A. B. C. D. 7.已知，且等于( )A. B. C. D.8若，则（ ）A. B. C. D. 9.3的 次幂等于8.10.若，则x= 。11. 若 ；12若，则 。13（1）设，求；（2）已知，用表示。14计算.【答案与解析】1

15、. 【答案】 B【解析】由对数的概念知，指数式中，只有，且的指数式才可以化为对数式。2. 【答案】C【解析】由知正确。3. 【答案】B【解析】；4. 【答案】C【解析】 由对数的定义可知所以且，故选C。5. 【答案】 C【解析】 注意使成立的条件是M、N必须为正数，所以不正确，而是正确的，故选C。 6. 【答案】A【解析】原式=，故选A。7【答案】D【解析】因为，所以，所以。8【答案】B【解析】，因为，所以，故选B。9. 【答案】 【解析】 由对数的恒等式可得；10. 【答案】 -13【解析】 由指数式与对数式互化，可得，解得。11. 【答案】 12【解析】 。12. 【答案】1【解析】 因为

16、所以，又因为所以，所以原式=。13【答案】 (1)9 (2) 【解析】（1）利用换底公式得：，得。（2）由对数换底公式得：=2（）=。14【答案】1【解析】原式= =【巩固练习】1.有以下四个结论：lg(lg10)=0；ln(lne)=0；若10=lgx，则x=10；若e=lnx，则x=e2，其中正确的是( )A.B.C.D.2.下列等式成立的有( )；A.B.C.D.3.已知，那么用表示是( )A. B. C. D. 4.已知，且等于( )A. B. C. D.5若，则（ ）A. B. C. D. 6设a，b，c为正数，且3a=4b=6c，则有( )A. B. C. D.7如果方程的两根为、

17、，则的值为（ ）A. B. C. D. -68已知函数满足：当时，；当时，则=（ ）A. B. C. D. 9. 已知，则 ；10. (1)= ； (2)= 11已知a=0.33，b=30.3， c=log30.3， d=log0.33，则a，b，c，d的大小关系是 .12已知，则的值等于 13计算：（1）；（2）若，求14设logac， logbc是方程x2-3x+1=0的两根，求的值.152010年我国国民生产总值为亿元，如果平均每年增长8%，那么经过多少年后国民生产总值是2010年的2倍（，精确到1年）？【答案与解析】1. 【答案】C【解析】由知正确2. 【答案】B【解析】；3. 【答案】A【解析】原式=，故选A4【答案】D【解析】因为，所以，所以5【答案】B【解析】，因为，所以，故选B6【答案】B【解析】设3a=4b=6c=k， 则a=log3k， b=log4k， c=log6k， 同理，而， ，即.7【答案】C【解析】由题意、是关于的方程的两根，8【答案】A【解析】 由于，所以，则=9【答案】3【解析】因为，所以，故10. 【答案】 (1)-3； (2)411【答案】bad