第六讲对数与对数函数(教师版)

1、第六讲对数与对数函数1对数的概念如果axN(a>0且a1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作xlogaN，其中_a_叫做对数的底数，_N_叫做真数2对数的性质与运算法则(1)对数的运算法则 如果a>0且a1，M>0，N>0，那么loga(MN)logaMlogaN；logalogaMlogaN；logaMnnlogaM (nR)；logamMnlogaM.(2)对数的性质alogaN_N_；logaaN_N_(a>0且a1)(3)对数的重要公式换底公式：logbN (a，b均大于零且不等于1)；logab，推广logab·logbc·logc

2、dlogad.3对数函数的图象与性质4.反函数指数函数yax与对数函数ylogax互为反函数，它们的图象关于直线_yx_对称1判断下面结论是否正确(请在括号中打“”或“×”)(1)若log2(log3x)log3(log2y)0，则xy5.()(2)2log510log50.255.(×)(3)已知函数f(x)lg x，若f(ab)1，则f(a2)f(b2)2.()(4)log2x22log2x.(×)(5)当x>1时，logax>0.(×)(6)当x>1时，若logax>logbx，则a<b.(×)2(2013&

3、#183;课标全国)设alog36，blog510，clog714，则()Ac>b>a Bb>c>aCa>c>b Da>b>c答案D解析alog361log321，blog5101log521，clog7141log721，显然a>b>c.3(2013·浙江)已知x，y为正实数，则()A2lg xlg y2lg x2lg y B2lg(xy)2lg x·2lg yC2lg x·lg y2lg x2lg y D2lg(xy)2lg x·2lg y答案D解析2lg x·2lg y2lg x

4、lg y2lg(xy)故选D.4函数f(x)log5(2x1)的单调增区间是_答案(，)解析函数f(x)的定义域为(，)，令t2x1(t>0)因为ylog5t在t(0，)上为增函数，t2x1在(，)上为增函数，所以函数ylog5(2x1)的单调增区间是(，)5已知f(x)是定义在R上的偶函数，且在0，)上为增函数，f0，则不等式f(logx)>0的解集为_答案(2，)解析f(x)是R上的偶函数，它的图象关于y轴对称f(x)在0，)上为增函数，f(x)在(，0上为减函数，由f0，得f0.f(logx)>0logx<或logx>x>2或0<x<，x(

5、2，).题型一对数式的运算例1(1)若xlog43，则(2x2x)2等于()A. B. C. D.(2)已知函数f(x)则f(f(1)f(log3)的值是()A5 B3 C1 D.思维启迪(1)利用对数的定义将xlog43化成4x3；(2)利用分段函数的意义先求f(1)，再求f(f(1)；f(log3)可利用对数恒等式进行计算答案(1)D(2)A解析(1)由xlog43，得4x3，即2x，2x，所以(2x2x)2()2.(2)因为f(1)log210，所以f(f(1)f(0)2.因为log3<0，所以f(log3)3log313log321213.所以f(f(1)f(log3)235.思

6、维升华在对数运算中，要熟练掌握对数式的定义，灵活使用对数的运算性质、换底公式和对数恒等式对式子进行恒等变形，多个对数式要尽量化成同底的形式（3） 计算（1）；（2）；（3）（1）已知函数f(x)则f(2log23)的值为_答案解析因为2log23<4，所以f(2log23)f(3log23)，而3log23>4，所以f(3log23)()3log23×()log23×.(2)lg 25lg 2lglog29×log32的值是_（3）设2a5bm，且2，则m_解析：2a5bm>0，alog2m，blog5m，logm2logm5logm102.m2

7、10，m.答案：题型二对数函数的图象和性质例2(1)函数y2log4(1x)的图象大致是()(2)当0<x时，4x<logax，则实数a的取值范围是_听前试做(1)函数y2log4(1x)的定义域为(，1)，排除A、B；又函数y2log4(1x)在定义域内单调递减，排除D.选C.(2)构造函数f(x)4x和g(x)logax.当a>1时不满足条件；当0<a<1时，画出两个函数在上的图象可知，f<g，即2<loga，则a>.所以a的取值范围为.探究1若将本例(2)中的条件换为“不等式(x1)2<logax在x(1，2)时恒成立”，如何求解？解

8、析：设f1(x)(x1)2，f2(x)logax，要使当x(1，2)时，不等式(x1)2<logax恒成立，只需f1(x)(x1)2在(1，2)上的图象在f2(x)logax图象的下方即可当0<a<1时，显然不成立；当a>1时，如图，要使x(1，2)时f1(x)(x1)2的图象在f2(x)logax的图象下方，只需f1(2)f2(2)，即(21)2loga2，又即loga21.所以1<a2，即实数a的取值范围是(1，2探究2若将本例(2)中的条件换为“不等式(x1)2<logax恰有三个整数解”，如何求解？解：不等式logax>(x1)2恰有三个整数解

9、，画出示意图可知a>1，其整数解集为2，3，4，则应满足得a<.即实数a的取值范围为，)(3)已知f(x)是定义在(，)上的偶函数，且在(，0上是增函数，设af(log47)，bf(log3)，cf(0.20.6)，则a，b，c的大小关系是()Ac<a<b Bc<b<aCb<c<a Da<b<c思维启迪(1)结合函数的定义域、单调性、特殊点可判断函数图象；(2)比较函数值的大小可先看几个对数值的大小，利用函数的单调性或中间值可达到目的答案(1)C(2)B解析(1)函数y2log4(1x)的定义域为(，1)，排除A、B；又函数y2log

10、4(1x)在定义域内单调递减，排除D.选C.(2)log3log23log49，bf(log3)f(log49)f(log49)，log47<log49,0.20.6>2>log49，又f(x)是定义在(，)上的偶函数，且在(，0上是增函数，故f(x)在0，)上是单调递减的，f(0.20.6)<f(log3)<f(log47)，即c<b<a.思维升华(1)函数的单调性是函数最重要的性质，可以用来比较函数值的大小，解不等式等；(2)函数图象可以直观表示函数的所有关系，充分利用函数图象解题也体现了数形结合的思想(1)已知a21.2，b0.8，c2log52

11、，则a，b，c的大小关系为()Ac<b<a Bc<a<bCb<a<c Db<c<a(2)已知函数f(x)loga(xb) (a>0且a1)的图象过两点(1，0)和(0,1)，则a_，b_.答案(1)A(2)22解析(1)b0.820.8<21.2a，c2log52log522<log551<20.8b，故c<b<a.(2)f(x)的图象过两点(1,0)和(0,1)则f(1)loga(1b)0且f(0)loga(0b)1，即.题型三对数函数的应用例1 求下列函数的值域（1）ylog(x22x4) 答案1，)（2）

12、f(x)logx3log2x22解析令tlog2x，x21t1.函数化为yt26t2(t3)271t1.当t1，即x时，ymax9.当t1，即x2时，ymin3，函数的值域为3,9.例2.已知求函数的值域.例3已知函数f(x)loga(3ax)(1)当x0,2时，函数f(x)恒有意义，求实数a的取值范围；(2)是否存在这样的实数a，使得函数f(x)在区间1,2上为减函数，并且最大值为1？如果存在，试求出a的值；如果不存在，请说明理由思维启迪f(x)恒有意义转化为“恒成立”问题，分离参数a来解决；探究a是否存在，可从单调性入手解(1)a>0且a1，设t(x)3ax，则t(x)3ax为减函数

13、，x0,2时，t(x)最小值为32a，当x0,2时，f(x)恒有意义，即x0,2时，3ax>0恒成立32a>0.a<.又a>0且a1，a(0,1).(2)t(x)3ax，a>0，函数t(x)为减函数，f(x)在区间1,2上为减函数，ylogat为增函数，a>1，x1,2时，t(x)最小值为32a，f(x)最大值为f(1)loga(3a)，即，故不存在这样的实数a，使得函数f(x)在区间1,2上为减函数，并且最大值为1.思维升华解决对数函数综合问题时，无论是讨论函数的性质，还是利用函数的性质(1)要分清函数的底数是a(0,1)，还是a(1，)；(2)确定函数的

14、定义域，无论研究函数的什么性质或利用函数的某个性质，都要在其定义域上进行；(3)如果需将函数解析式变形，一定要保证其等价性，否则结论错误1.求函数在区间上的最值.2.(2014·重庆高考)函数f(x)log2·log(2x)的最小值为_听前试做显然x>0，f(x)log2·log(2x)log2x·log2(4x2)log2x·(log242log2x)log2x(log2x)2，当且仅当x时，有f(x)min.答案：3(2015·池州模拟)函数f(x)loga(ax3)在1，3上单调递增，则a的取值范围是()A(1，) B(0

15、，1)C. D(3，)解析：选D由于a>0，且a1，uax3为增函数，若函数f(x)为增函数，则f(x)logau必为增函数，因此a>1，又uax3在1，3上恒为正，a3>0，即a>3.4已知函数f(x)loga(8ax)(a0，a1)，若f(x)1在区间1，2上恒成立，则实数a的取值范围为_解析：当a1时，f(x)loga(8ax)在1，2上是减函数，由f(x)1恒成立，则f(x)minloga(82a)1，即82a>a，解得1a.若0a1时，f(x)在x1，2上是增函数，由f(x)1恒成立，则f(x)minloga(8a)1，即8a<a，且82a0，a4

16、，且a4，故不存在综上可知，实数a的取值范围是.5.已知f(x)log4(4x1)(1)求f(x)的定义域；(2)讨论f(x)的单调性；(3)求f(x)在区间，2上的值域解(1)由4x1>0，解得x>0，因此f(x)的定义域为(0，)(2)设0<x1<x2，则0<4x11<4x21，因此log4(4x11)<log4(4x21)，即f(x1)<f(x2)，故f(x)在(0，)上递增(3)f(x)在区间，2上递增，又f()0，f(2)log415，因此f(x)在，2上的值域为0，log415利用函数性质比较幂、对数的大小典例：(15分)(1)设a0

17、.50.5，b0.30.5，clog0.30.2，则a，b，c的大小关系是()Aa>b>c Ba<b<cCb<a<c Da<c<bAa>b>c Bb>a>cCa>c>b Dc>a>b(3)已知函数yf(x)的图象关于y轴对称，且当x(，0)时，f(x)xf(x)<0成立，a(20.2)·f(20.2)，b(log3)·f(log3)，c(log39)·f(log39)，则a，b，c的大小关系是()Ab>a>c Bc>a>bCc>b&g

18、t;a Da>c>b思维启迪(1)利用幂函数yx0.5和对数函数ylog0.3x的单调性，结合中间值比较a，b，c的大小；(2)化成同底的指数式，只需比较log23.4、log43.6、log30.3log3的大小即可，可以利用中间值或数形结合进行比较；(3)先判断函数(x)xf(x)的单调性，再根据20.2，log3，log39的大小关系求解解析(1)根据幂函数yx0.5的单调性，可得0.30.5<0.50.5<10.51，即b<a<1；根据对数函数ylog0.3x的单调性，可得log0.30.2>log0.30.31，即c>1.所以b<

19、a<c.方法一在同一坐标系中分别作出函数ylog2x，ylog3x，ylog4x的图象，如图所示由图象知：log23.4>log3>log43.6.方法二log3>log331，且<3.4，log3<log33.4<log23.4.log43.6<log441，log3>1，log43.6<log3.log23.4>log3>log43.6.(3)因为函数yf(x)关于y轴对称，所以函数yxf(x)为奇函数因为xf(x)f(x)xf(x)，且当x(，0)时，xf(x)f(x)xf(x)<0，则函数yxf(x)在(，0

20、)上单调递减；因为yxf(x)为奇函数，所以当x(0，)时，函数yxf(x)单调递减因为1<20.2<2,0<log3<1，log392，所以0<log3<20.2<log39，所以b>a>c，选A.答案(1)C(2)C(3)A温馨提醒(1)比较幂、对数的大小可以利用数形结合和引入中间量利用函数单调性两种方法(2)解题时要根据实际情况来构造相应的函数，利用函数单调性进行比较，如果指数相同，而底数不同则构造幂函数，若底数相同而指数不同则构造指数函数，若引入中间量，一般选0或1.方法与技巧1对数函数的定义域及单调性在对数式中，真数必须是大于0的

21、，所以对数函数ylogax的定义域应为x|x>0对数函数的单调性和a的值有关，因而，在研究对数函数的单调性时，要按0<a<1和a>1进行分类讨论2比较幂、对数大小有两种常用方法：(1)数形结合；(2)找中间量结合函数单调性3多个对数函数图象比较底数大小的问题，可通过图象与直线y1交点的横坐标进行判定失误与防范1在运算性质logaMlogaM中，要特别注意条件，在无M0的条件下应为logaMloga|M|(N，且为偶数)2指数函数yax (a>0，且a1)与对数函数ylogax(a>0，且a1)互为反函数，应从概念、图象和性质三个方面理解它们之间的联系与区别3

22、解决与对数函数有关的问题时需注意两点：(1)务必先研究函数的定义域；(2)注意对数底数的取值A组专项基础训练一、选择题1函数y的定义域是()Ax|0<x<2 Bx|0<x<1或1<x<2Cx|0<x2 Dx|0<x<1或1<x2答案D解析要使函数有意义只需要，解得0<x<1或1<x2，定义域为x|0<x<1或1<x22函数ylg|x1|的图象是()答案A解析ylg|x1|.A项符合题意3已知xln ，ylog52，ze，则()Ax<y<z Bz<x<yCz<y<x

23、 Dy<z<x答案D解析xln >ln e，x>1.ylog52<log5，0<y<.ze>，<z<1.综上可得，y<z<x.4 A(1,0)(0,1) B(，1)(1，)C(1,0)(1，) D(，1)(0,1)答案Ca>1或1<a<0.5函数f(x)loga(ax3)在1,3上单调递增，则a的取值范围是()A(1，) B(0,1)C. D(3，)答案D解析由于a>0，且a1，uax3为增函数，若函数f(x)为增函数，则f(x)logau必为增函数，因此a>1.又yax3在1,3上恒为正，a

24、3>0，即a>3，故选D.二、填空题67已知函数f(x)则使函数f(x)的图象位于直线y1上方的x的取值范围是_答案x|1<x0或x>2解析当x0时，3x1>1x1>0，1<x0；当x>0时，log2x>1x>2，x>2.综上所述，x的取值范围为1<x0或x>2.8若log2a<0，则a的取值范围是_答案解析当2a>1时，log2a<0log2a1，<1.1a>0，1a2<1a，a2a<0，0<a<1，<a<1.当0<2a<1时，log2a

25、<0log2a1，>1.1a>0，1a2>1a，a2a>0，a<0或a>1，此时不合题意综上所述，a.三、解答题9已知函数f(x)loga(x1)loga(1x)，a>0且a1.(1)求f(x)的定义域；(2)判断f(x)的奇偶性并予以证明；(3)当a>1时，求使f(x)>0的x的解集解(1)要使函数f(x)有意义则解得1<x<1.故所求函数f(x)的定义域为x|1<x<1(2)由(1)知f(x)的定义域为x|1<x<1，且f(x)loga(x1)loga(1x)loga(x1)loga(1x)f(

26、x)，故f(x)为奇函数(3)因为当a>1时，f(x)在定义域x|1<x<1内是增函数，所以f(x)>0>1，解得0<x<1.所以使f(x)>0的x的解集是x|0<x<110设x2,8时，函数f(x)loga(ax)·loga(a2x)(a>0，且a1)的最大值是1，最小值是，求a的值解由题意知f(x)(logax1)(logax2)(logx3logax2)(logax)2.当f(x)取最小值时，logax.又x2,8，a(0,1)f(x)是关于logax的二次函数，函数f(x)的最大值必在x2或x8时取得若(loga2)21，则a2，2,8，舍去若(loga8)21，则a，此时f(x)取得最小值时，x()22,8，符合题意，a.B组专项能力提升1设f(x)lg是奇函数，则使f(x)<0的x的取值范围是()A(1,0) B(0,1)C(，0) D(，0)(1，)答案A解析由f(x)是奇函数可得a1，f(x)lg，定义域为(1,1)由f(x)<0，可得0<<1，1<x<0.2设函数f(x)定义在实数集上，f(2x)f(x)，且当