第二章逻辑代数基本原理及公式化简

1、逻辑代数的基本运算逻辑代数的基本运算基本逻辑电路基本逻辑电路逻辑代数的公式、规则逻辑代数的公式、规则公式法化简逻辑函数公式法化简逻辑函数图解法图解法(卡诺图卡诺图)化简化简多输出函数的化简多输出函数的化简包含任意项的逻辑函数化简包含任意项的逻辑函数化简逻辑函数的变换、化简逻辑函数的变换、化简第第2 2章章 逻辑代数及逻辑函数化简逻辑代数及逻辑函数化简2.1 2.1 逻辑代数的基本原理逻辑代数的基本原理 逻辑代数的基本概念和性质是由英国数学家乔治逻辑代数的基本概念和性质是由英国数学家乔治布尔布尔在在1919世纪中期首先提出的。又叫布尔代数。是数字系统分析世纪中期首先提出的。又叫布尔代数。是数字系

2、统分析和设计的数学工具。和设计的数学工具。 逻辑函数的表示：真值表，表达式，逻辑图、卡诺图、逻辑函数的表示：真值表，表达式，逻辑图、卡诺图、波形图。波形图。 逻辑函数的生成：逻辑问题的描述逻辑函数的生成：逻辑问题的描述由文字叙述设计要由文字叙述设计要求，抽象为逻辑表达式的过程。然后化简。实现逻辑设计的求，抽象为逻辑表达式的过程。然后化简。实现逻辑设计的第一步。第一步。 逻辑函数、逻辑变量的取值：、逻辑函数、逻辑变量的取值：、 逻辑代数的基本运算：与、或、非逻辑代数的基本运算：与、或、非 1 1、“与与”运算，逻辑乘运算，逻辑乘 2 2、“或或”运算，逻辑加运算，逻辑加 3 3、“非非”运算，取

3、反运算，取反2.1.1 2.1.1 逻辑代数的基本运算逻辑代数的基本运算1 1、“与与”运算：运算： 当决定一事件的所有条件都具备之后，这事件当决定一事件的所有条件都具备之后，这事件才会而且一定会发生，称这种关系为才会而且一定会发生，称这种关系为“与与”逻辑关逻辑关系，也称为逻辑乘。系，也称为逻辑乘。A B 如图：用两个串联的开关如图：用两个串联的开关A A、B B来控制一盏灯。来控制一盏灯。灯亮的条件是开关灯亮的条件是开关A A“与与”开关开关B B“同时同时”处在处在“合上合上”位置。位置。 假定：灯亮为假定：灯亮为“1 1”，不亮为，不亮为“0 0”；开关；开关“合上合上”为为“1 1”

4、，“断开断开”为为“0 0”。 灯的状态和开关的位置之间的关系例表如：灯的状态和开关的位置之间的关系例表如：2.1.1 2.1.1 逻辑代数的基本运算逻辑代数的基本运算1 1、“与与”运算：运算： 常用真值表来表示逻辑命常用真值表来表示逻辑命题的真假关系题的真假关系 。 真值表：把所有的条件的真值表：把所有的条件的全部组合以表格的形式列出来，全部组合以表格的形式列出来，再把在每一种组合下对应的事再把在每一种组合下对应的事件的值求出来，这样的表格即件的值求出来，这样的表格即为真值表。为真值表。 每个条件有每个条件有“0 0”、“1 1”两种状态，两种状态，n n个条件个条件有有2 2n n个组合

5、。个组合。 真值表真值表 A BF0 01 00 11 10001F = A B = ABF = A B = AB2.1.1 2.1.1 逻辑代数的基本运算逻辑代数的基本运算1 1、“与与”运算：运算： 两变量两变量“与与”运算的真值表和门电路符号。运算的真值表和门电路符号。 A AB BF F真值表真值表A BF0 01 00 11 10001A AB BF F& &F = A B = AF = A B = AB=ABB=AB2.1.1 2.1.1 逻辑逻辑代数的基本运算代数的基本运算2 2、“或或”运算：运算： 当决定一个事件的各个条件中，只要具备一个，当决定一个事件的各个条件中，只要具备

6、一个，事件就会发生，这样的关系称为事件就会发生，这样的关系称为“或或”逻辑关系，或逻辑关系，或称逻辑加。称逻辑加。 A AB B 如图：用两个并联的开关如图：用两个并联的开关A A、B B来控制一盏灯。灯来控制一盏灯。灯亮的条件，只要开关亮的条件，只要开关A A“或或”开关开关B B在在“合上合上”位置。位置。 假定：灯亮为假定：灯亮为“1 1”，不亮为，不亮为“0 0”；开关；开关“合上合上”为为“1 1”，“断开断开”为为“0 0”。 把灯的状态和开关的位置之间把灯的状态和开关的位置之间的关系例表如下：的关系例表如下：2.1.1 2.1.1 逻辑逻辑代数的基本运算代数的基本运算2 2、“或

7、或”运算：运算：F = A + BF = A + BA AB BF F真值表真值表A BF0 01 00 11 10111+ +A AB BF F11F = A + B = AF = A + B = AB B2.1.1 2.1.1 逻辑代数的基本运算逻辑代数的基本运算3 3、“非非”运算：就是否定。运算：就是否定。 当决定事件的一个条件不具备时，事件就会当决定事件的一个条件不具备时，事件就会发生；条件具备时，事件不会发生。称这种关系发生；条件具备时，事件不会发生。称这种关系为为“非非”逻辑关系。逻辑关系。 A A 如图：用一个与灯并联的开关如图：用一个与灯并联的开关A A来控制一盏灯。来控制一

8、盏灯。开关开关A A在在“合上合上”的位置时，灯不亮；开关的位置时，灯不亮；开关A A在在“断开断开”的位置时，灯亮。的位置时，灯亮。 假定：灯亮为假定：灯亮为“1 1”，不亮为，不亮为“0 0”；开关；开关“合上合上”为为“1 1”，“断开断开”为为“0 0”。 把灯的状态和开关的位置把灯的状态和开关的位置之间的关系例表如下：之间的关系例表如下：2.1.12.1.1逻辑代数的基本运算逻辑代数的基本运算3 3、“非非”运算：就是否定、逻辑反运算：就是否定、逻辑反 F = A F = A A AF FA AF F 1 1 非门非门（A A是输入，是输入，F F是输出）是输出）真值表真值表A F0

9、 1 102.1.1 2.1.1 逻辑代数的基本运算逻辑代数的基本运算A AB BF F真值表真值表A BF0 01 00 11 11110 与非门与非门（实现（实现“与非与非”逻辑）逻辑） 将基本的逻辑门加以组合，可以构成将基本的逻辑门加以组合，可以构成“与非与非”、“或非或非”、“与或非与或非”、“异或异或”、“同或同或”、等、等门电路。门电路。4 4、“与非与非”运算运算: F=AB : F=AB 2.1.1 2.1.1 逻辑代数的基本运算逻辑代数的基本运算A AB BF F+ + 或非门或非门（实现（实现“或非或非”逻辑）逻辑）真值表真值表A BF0 01 00 11 110005 5

10、、“或非或非”运算运算: F = A+B : F = A+B 2.1.1 2.1.1 逻辑代数的基本运算逻辑代数的基本运算 与或非门与或非门（实现（实现“与或非与或非”逻辑）逻辑）C CD DY Y11A AB B& & &6 6、“与或非与或非”运算运算: F = AB + CD : F = AB + CD 真值表真值表A B C DF0 0 0 00 0 0 10 0 1 00 0 1 111102.1.1 2.1.1 逻辑代数的基本运算逻辑代数的基本运算 异或门异或门（实现（实现“异或异或”逻辑）逻辑）7 7、“异或异或”运算运算: F = AB + AB =A + B : F = AB

11、 + AB =A + B 真值表真值表A B F0 0 0 11 01 10110A AB BF F=1=1A AB BF F+ +2.1.1 2.1.1 逻辑代数的基本运算逻辑代数的基本运算Y=A Y=A B =AB + ABB =AB + AB表示式：表示式：1 11 1& & &11A AB BY=AB + ABY=AB + AB异或门的组成异或门的组成: : 用基本逻辑门组成异或门用基本逻辑门组成异或门2.1.1 2.1.1 逻辑代数的基本运算逻辑代数的基本运算 同或门同或门（实现（实现“同或同或”逻辑）逻辑）8 8、“同或同或”运算运算: F = AB + AB =A : F = A

12、B + AB =A B B 真值表真值表A B F0 0 0 11 01 11001A AB BF F=1=1A AB BF FB BA AB BA A “同或同或”、“异或异或”关系：关系：常用的逻辑门及符号常用的逻辑门及符号2.1.2 2.1.2 逻辑代数的基本公式逻辑代数的基本公式互补律：互补律：1 1律：律：0 0律：律： 1 10 0A AA AA AA A A AA AA A0 00 00 0 1 11 11 1A AA AA A交换律：交换律：结合律：结合律：分配律：分配律： A AB BB BA AA AB BB BA A C CB BA AC CB BA AC CB BA A

13、C CB BA A) )( () )( () )( () )( ( ) )( () )( () )( (C CA AB BA AC CB BA AC CA AB BA AC CB BA A2.1.2 2.1.2 逻辑代数的基本公式逻辑代数的基本公式 吸收律：吸收律： 反演律：反演律：( (德德摩根定律摩根定律) ) A AB)B)A(AA(AA AB BA AA AB BA AB)B)A A( (A AB BA AB BA AA A_ _B BA AB BA AB BA AB BA A2.1.2 2.1.2 逻辑代数的基本公式逻辑代数的基本公式包含律：包含律：推论：推论：对合律：对合律：重叠律

14、：重叠律： C)C)A AB)(B)(A(AC)C)C)(BC)(BA AB)(B)(A(AC CA AABABBCBCC CA AABAB_C CA AABABBCDBCDC CA AABAB A AA A A AA AA AA AA AA A2.1.2 2.1.2 逻辑代数的基本公式逻辑代数的基本公式基本公式验证方法：基本公式验证方法：真值表真值表利用基本定理化简公式利用基本定理化简公式例：真值表验证摩根定律例：真值表验证摩根定律1 10 00 00 0A AB B1 11 11 10 0A AB B1 11 11 10 0A BA B1 10 00 00 00 00 00 10 11 0

15、1 01 11 1A BA BA BA B _B BA AB BA AB BA AB BA A2.1.2 2.1.2 逻辑代数的基本公式逻辑代数的基本公式真值表真值表利用基本定理化简公式利用基本定理化简公式例：证明包含律例：证明包含律2.1.2 2.1.2 逻辑代数的基本公式逻辑代数的基本公式C CA AA AB BB BC CC CA AA AB B 律律、互互补补律律1 1 ) )( () )( (）（A AA AB BC CB BB BC CA AC CC CA AB B 证明：证明：分分配配律律 B BC CA AA AB BC CC CB BA AB BC CA AC CA AB B

16、A AB BC C 重重叠叠律律 C CB BA AB BC CA AC CA AB BA AB BC C 分分配配律律、互互补补律律 C CA AA AB B 基本定理、公式应用：基本定理、公式应用：证明：证明：2.1.2 2.1.2 逻辑代数的基本公式逻辑代数的基本公式C CA AABABBCDBCDC CA AABABA AB BA AB BA AA AB BA AABAB 、3 3) )()( ( 、2 2、1 12.1.3 2.1.3 逻辑代数的基本规则逻辑代数的基本规则f f ( (A A1 1, A, A2 2, , A, , An n) )f f ( (A A1 1, A, A

17、2 2, , A, , An n) )1 11 1、代入规则、代入规则例如：给定逻辑等式例如：给定逻辑等式 A A( (B+CB+C) )=AB+AC=AB+AC，若用若用 A+BC A+BC 代替代替A A，则该等式仍然成立，即：则该等式仍然成立，即：( (A+BCA+BC)()(B+CB+C)=()=(A+BCA+BC) )B B+(+(A+BCA+BC) )C C由互补率由互补率(A+A=1)(A+A=1)，同样有等式同样有等式 任何一个含有变量任何一个含有变量A A的逻辑等式，如果将所有出的逻辑等式，如果将所有出现现A A的位置都代之以同一个逻辑函数的位置都代之以同一个逻辑函数F F，

18、则等式仍然则等式仍然成立。成立。2、反演规则、反演规则使用反演规则时使用反演规则时, , 应注意保持原函式中运算符号的优先应注意保持原函式中运算符号的优先顺序不变。顺序不变。 例如：已知例如：已知 例如：已知例如：已知 根据反演规根据反演规则则可得可得: : 2.1.3 2.1.3 逻辑代数的基本规则逻辑代数的基本规则 如果将逻辑函数如果将逻辑函数F F 中所有的中所有的“ ”变成变成“+ +”, ,“+ +”变成变成“ ”, ,“0 0”变成变成“1 1”, ,“1 1”变成变成“0 0”, ,原变量变成反变量，原变量变成反变量，反变量变成原变量，得到的函数是原函数的反函数反变量变成原变量，

19、得到的函数是原函数的反函数 。F F 求：求： F F)()()( CBACBACBACBAF2、反演规则、反演规则 例题：已知例题：已知 1、根据反演规根据反演规则则可得可得: 求它的反函数求它的反函数 2、根据基本公式可、根据基本公式可得得: )()()( CBACBACBACBACBACBACABABCCBACBACABABCF)()()( CBACBACBACBAFCBACBACABABCF 比较两种方法，应用反演规则比较方便。比较两种方法，应用反演规则比较方便。 2.1.3 2.1.3 逻辑代数的基本规则逻辑代数的基本规则 例题：求下列函数的反函数例题：求下列函数的反函数B BC C

20、D DB BA A、F FD DC CA AB BF F 2 2、1 12、反演规则、反演规则2.1.3 2.1.3 逻辑代数的基本规则逻辑代数的基本规则3 3、对偶规则、对偶规则求某一函数求某一函数F F 的对偶式时，要注意保持原函数的运算的对偶式时，要注意保持原函数的运算顺序不变。顺序不变。例例: : F F = = A + B + C F= A B CA + B + C F= A B C2.1.3 2.1.3 逻辑代数的基本规则逻辑代数的基本规则 如果将逻辑函数如果将逻辑函数F F 中所有的中所有的“ ”变成变成“+ +”, ,“+ +”变变成成“ ”, ,“0 0”变成变成“1 1”,

21、 ,“1 1”变成变成“0 0”, , 则所得到的新则所得到的新逻辑函数逻辑函数是是F F 的对偶式的对偶式 FF。如果如果FF是是F F 的对偶式，则的对偶式，则F F 也也是是F F 的对偶式，即的对偶式，即F F 与与F F 互为对偶式。互为对偶式。 对偶规则：若两个逻辑函数对偶规则：若两个逻辑函数F F 和和G G 相等，则其对偶式相等，则其对偶式F F 和和GG也相等。也相等。函数的对偶的对偶式，为函数本身。函数的对偶的对偶式，为函数本身。3、对偶规则、对偶规则 例题：求下列函数的对偶式：例题：求下列函数的对偶式：M ME E) ) C C( (D DC CA A A AB B、F

22、FM MD DE E) )C C) )( (C CA AB B) )( (（A A、F FA AC CA AB B、F F C C）A A（B B、F F 4 43 32 21 12.1.3 2.1.3 逻辑代数的基本规则逻辑代数的基本规则4 4、附加公式、附加公式2.1.3 2.1.3 逻辑代数的基本规则逻辑代数的基本规则附加公式一：附加公式一： 当包含变量当包含变量 x， 的函数的函数f和变量和变量x相相“与与”时，函数时，函数f f中的中的x x均可由均可由“1 1”代之，代之， 均可由均可由“0 0”代之；当代之；当f f和变和变量量 相相“与与”时，函数时，函数f f中的中的x x均

23、可由均可由“0 0”代之，代之， 均均可由可由“1 1”代之。代之。 当包含变量当包含变量x x， 的函数的函数f f和变量和变量x x相相“或或”时，函数时，函数f f中的中的x x均可由均可由“0 0”代之，代之， 均可由均可由“1 1”代之；当代之；当f f和和变量变量 相相“或或”时，函数时，函数f f中的中的x x均可由均可由“1 1”代之，代之， 均可由均可由“0 0”代之。代之。x xx xx xx xx xx xx xx x例题：若例题：若 f fx x，z zx xy yx xz zx xxyxyf f 求求) )()( (x xy yz zy yz zy yx xz zx

24、xy yx xz zx xx xy yx xf fx x y yx x ) ) 1 1) )( (0 0( (0 01 1 ) ) ) )( ( ( 化简函数：化简函数： A AB BB BA AC CB BC CB BC CB BC CB BA AC CB BA AC CB BA AC CB BA AC CB BA AA A 1 11 10 00 0 4 4、附加公式、附加公式2.1.3 2.1.3 逻辑代数的基本规则逻辑代数的基本规则附加公式二：附加公式二： 一个包含有变量一个包含有变量x x、x x 的函数的函数f f，可展开为，可展开为 xfxf和和xfxf的逻辑或。的逻辑或。 一个包

25、含有变量一个包含有变量x x、x x 的函数的函数f f，可展开为（，可展开为（x+fx+f）和）和（x+fx+f）的逻辑与。）的逻辑与。 利用附加公式一，可以改写为：利用附加公式一，可以改写为： 4 4、附加公式、附加公式2.1.3 2.1.3 逻辑代数的基本规则逻辑代数的基本规则例题：化简函数例题：化简函数 E)E)(B)(BB BB）(AB）(A（A（AD DB BABAB D DB BAEAEABABE EB BA AD DB BABABAEAED DB BA AA AB BE)E)A)(A)(A）(A）(（D DA AB BE)E)A)(A)(A）(A）(（D DA AB BE)E)

26、(B)(BB BB）(AB）(A（A（AD DB BABABB BE)E)(B)(BB BB）(AB）(A（A（AD DB BABABB BE)E)(B)(BB BB）(AB）(A（A（AD DB BABAB 0 01 10 01 10 0 1 10 01 10 01 1 4 4、附加公式、附加公式2.1.3 2.1.3 逻辑代数的基本规则逻辑代数的基本规则例题：化简函数例题：化简函数 ) ) )( () )( () )( ( (E EA AD DA AC CA AB BA AA AD DF F ACEACEBDBDADADD)D)CECEA ABD)(BD)(A(AE)E)D DC CB B

27、D DA AE)E)D DC CB BD DA AE)E)A AD DA AC CA AB BA AADADA AE)E)A AD DA AC CA AB BA AADADA AE)E)A AD DA AC CA AB BA AADADF F )0 0)()(1 1)()(0 0)()(1 1( (1 1 ( ( )1 1)()(0 0)()(1 1)()(0 0( (0 0 ( ( )()()()()()( ( ( ( )()()()()()( ( ( ( )()()()()()( ( 4 4、附加公式、附加公式2.1.3 2.1.3 逻辑代数的基本规则逻辑代数的基本规则2.2 2.2 逻辑

28、函数的化简逻辑函数的化简 逻辑函数化简的目的逻辑函数化简的目的: : 省器件！用最少的门实现省器件！用最少的门实现相同的逻辑功能，每个门的输入也最少。主要掌握相同的逻辑功能，每个门的输入也最少。主要掌握“与或与或”表达式的化简。表达式的化简。 最简最简“与或与或”表达式：表达式： 1 1、乘积项的个数最少、乘积项的个数最少( (用门电路实现，所用与门用门电路实现，所用与门的个数最少的个数最少) ) 2 2、在满足（、在满足（1 1）的条件下，乘积项中的变量个数）的条件下，乘积项中的变量个数最少最少( (与门的输入端最少与门的输入端最少) ) 最简的目标不同，达到的效果也不同。如果功耗最简的目标不同，达到的效果也不同。如果功耗最小或者可靠性最高是目标，化简的结果完全不同！最小或者可靠性最高是目标，化简的结果完全不同！2.2.12.2.1公式法化简逻辑函数公式法化简逻辑函数1 1、合并乘积项法、合并乘积项法：A AC CA AACACB BB BC CA AB BB BACACC CABABC CB BA AC CB BA AABCABCC CB BA AC CABABC CB BA AABCABCC CB BA AC CABABC CB BBCBCA AF F ) )( () )( () )( () )( () )( (分配律：分配律：结合律：结