高数第一章极限的运算法则

1、1主讲教师主讲教师: 王升瑞王升瑞高等数学 第五讲2 第一章 二、二、 极限的四则运算法则极限的四则运算法则 三、三、 复合函数的极限运算法则复合函数的极限运算法则 一一 、无穷小的运算法则、无穷小的运算法则 第五节极限的运算法则3利用极限的定义可以验证一个函数在某一极限过程是否以常数A为极限,一般来说是比较繁琐的。但今后遇到的最多的问题是判断一极限过程中函数有没有极限函数有没有极限?如果有如何求出极限,这往往是通过一些已知的简单极限去寻求比较复杂的函数的极限,这就要用到极限的运算法则。本节介绍的几个定理,不仅可以用来求一些函数的极限,也可以用来判断某些函数的极限是否存在,并可以导出其他一些运

2、算法则.学习时注意结论和结论的条件.极限的运算法则极限的运算法则4时, 有,min21一、一、 无穷小运算法则无穷小运算法则定理定理1 有限个无穷小的和还是无穷小 .证证: 考虑两个无穷小的和 . 设,0lim0 xx,0lim0 xx,0,01当100 xx时 , 有2, 02当200 xx时 , 有2取则当00 xx22因此.0)(lim0 xx这说明当0 xx 时,为无穷小量 .5说明说明: 无限个无限个无穷小之和不一定不一定是无穷小 !例如，例如，nnnnnn2221211lim1类似可证: 有限个有限个无穷小之和仍为无穷小 . 6定理定理3 有界函数与无穷小的乘积是无穷小 . 证证:

3、 设, ),(10 xxMxu)(又设,0)(lim0 xxx即,0,02当),(20 xx时, 有Mx)(取,min21则当),(0 xx时 , 就有)()(xxu)()(xxuMM故0lim ( ) ( )0,xxu xx即)()(xxu是0 xx 时的无穷小 .推论推论 1 . 常数与无穷小的乘积是无穷小 .定理定理2 有限个无穷小的乘积是无穷小 .7oyx例例1. 求.sinlimxxx解解: 1sinx01limxx利用定理3 可知xxxsinlimxxysin说明说明 : y = 0 是xxysin的渐近线 .01sinlimxxx8.sin时的变化趋势当观察函数xxx自变量趋向无

4、穷大时函数的极限9.sin时的变化趋势当观察函数xxx自变量趋向无穷大时函数的极限10.sin时的变化趋势当观察函数xxx自变量趋向无穷大时函数的极限11.sin时的变化趋势当观察函数xxx一、自变量趋向无穷大时函数的极限12.sin时的变化趋势当观察函数xxx自变量趋向无穷大时函数的极限13.sin时的变化趋势当观察函数xxx自变量趋向无穷大时函数的极限14.sin时的变化趋势当观察函数xxx自变量趋向无穷大时函数的极限15.sin时的变化趋势当观察函数xxx自变量趋向无穷大时函数的极限16二、二、 极限的四则运算法则极限的四则运算法则,)(lim,)(limBxgAxf则有)()(limx

5、gxf)(lim)(limxgxfBA定理定理 4 若(1)()(limxgxf)(lim)(limxgxfBA(2)()(limxgxf)(lim)(limxgxf0.ABB(3)17,)(lim,)(limBxgAxf则有)()(limxgxf)(lim)(limxgxf证证: 因,)(lim,)(limBxgAxf则有BxgAxf)(,)(其中,为无穷小) 于是)()()()(BAxgxf)()(BA由定理 1 可知也是无穷小, 再利用极限与无穷小BA的关系定理 , 知定理结论成立 .(1)定理定理 4 4 若)()(limxgxf)(lim)(limxgxf提示提示: 利用极限与无穷小

6、关系定理及本节定理2 证明 .BA(2)18为无穷小定理定理4 . 若,)(lim,)(limBxgAxf且 B0 , 则有)()(limxgxf)(lim)(limxgxf证证: 因,)(lim,)(limBxgAxf有,)(,)(BxgAxf其中,设BAxgxf)()(BABA)(1BB)(AB无穷小有界BA因此由极限与无穷小关系定理 , 得BAxgxf)()(lim)(lim)(limxgxfBAxgxf)()(为无穷小,(3)19说明说明 .0 xx12( ),( ),( )nf xfxfx012(1) lim( )( )( )nxxf xfxfx推论推论2 . 极限存在的函数与无穷小

7、的乘积是无穷小.定理 4 有如下几个常用的推论 .推论推论 3 .)(lim)(limxfCxfC( C 为常数 )推论推论 4 .nnxfxf )(lim)(lim( n 为正整数 )推论推论5 . 如果 时，极限都存在，00012lim( )lim( )lim( )nxxxxxxf xfxfx012(2) lim( )( )( )nxxf xfxfx00012lim( ) lim( )lim( )nxxxxxxf xfxfx即有限个函数代数和的极限等于它们的极限的代数和；有限个函数乘积的极限等于它们的极限的积。则20,)(10nnnxaxaaxP试证).()(lim00 xPxPnnxx证

8、证:)(lim0 xPnxx0axaxx0lim1nxxnxa0lim)(0 xPn例例2 2 设n 次多项式0a10a x0nna x21例例3 3 求10 xe ；102lim(arctan).1xxxe0 x2arctan,2x 0 x2arctan,2x12( )arctan1xf xxe(0 );22f (0 )022f102lim(arctan)1xxxe.2解解 因为当时，当时，令 ，则所以 1+ .xe 22 x = 3 时分母为 0 !31lim3xxx例例4 设有分式函数,)()()(xQxPxR其中)(, )(xQxP都是多项式 ,0)(0 xQ试证: . )()(lim

9、00 xRxRxx证证: )(lim0 xRxx)(lim)(lim00 xQxPxxxx)()(00 xQxP)(0 xR说明说明: 若,0)(0 xQ不能直接用商的运算法则 .例例5934lim223xxxx)3)(3() 1)(3(lim3xxxxx6231 若23例例6 求.4532lim21xxxx解解: x = 1 时,4532lim21xxxx分母 = 0 , 分子0 ,24例例7 求下列函数的极限.125934lim. 122xxxxIx解解: x时,分子.22111125934limxxxxxI分子分母同除以,2x则54分母“ 抓大头抓大头”.12594lim. 22xxxI

10、x解解: 2211112594limxxxxxI025.15934lim2xxxx解解: x时,分子.2211115934limxxxxx分子分母同除以,2x则分母“ 抓大头抓大头”原式3 . 求26.4949lim11nnnnnI解解: 分子分母同除以 ,9nnnnI9419449lim9例例8 求27一般有如下结果：一般有如下结果：为非负常数 )nmba,0(00mn 当( 如如P41 例例5 )( 如如P42 例例7 )( 如如P42 例例6 )mmmxaxaxa110limnnnbxbxb110,00ba,0,mn 当mn 当28定理定理5 . 若,lim,limByAxnnnn则有)

11、(lim) 1 (nnnyx nnnyxlim)2(,00)3(时且当BynBAyxnnnlimBABA提示提示: 因为数列是一种特殊的函数 , 故此定理 可由定理 4 直接得出结论 .29例例9 求下列无穷小的和的极限.1211333nnnnxn、解解: 31112(1)nxnn、lim0nnxlimnnx .1212232323nnnnxn、.1213222nnnnxn、32) 1(nnn321212(1)nxnn、232) 1(nnn1lim2nnx21312(1)nxnn、22) 1(nnn30主讲教师主讲教师: 王升瑞王升瑞高等数学 第六讲31三、三、 复合函数的极限运算法则复合函数

12、的极限运算法则定理定理6. 设,)(lim0axxx且 x 满足100 xx时,)(ax 又 xuAufau,)(lim则有 )(lim0 xfxxAufau)(lim证证: Aufau)(lim,0,0当au0时, 有 Auf)(axxx)(lim0,0,02当200 xx时, 有ax)(对上述取,min21则当00 xx时ax )(au 故0Axf)(Auf)(,因此式成立.32例例10 求求解解 令.93lim23xxx23193xuxx已知ux3lim61 原式 =uu61lim6166 说明说明: 若定理中若定理中,)(lim0 xxx则类似可得 )(lim0 xfxxlim( ).

13、uf uA33例例11 . 求求解解: 方法方法 1.11lim1xxx,xu 则, 1lim1ux令11112uuxx1 u 原式) 1(lim1uu2方法方法 211lim1xxx1) 1)(1(lim1xxxx) 1(lim1xx234例例12 求下列函数的极限xxx2lim. 12lim xx1limxxxxx lim11lim. 222xxx（分子有理化）112lim22xxx0221lim. 3nnn2(1)lim2nnnn2114916) 1()32(lim. 4715510 xxxxx162106235例例13 求. )1(lim2xxxx解法解法 1 原式 =xxxx1lim

14、21111lim2xx21解法解法 2 令,1xt tttt1111lim2021则原式 =22011limttt111lim20tt 0t36例例1482lim232xbaxxIx试确定 a , b .解：解：此题分母的极限为0，当2x时，)(lim232baxxx048ba84 ab8412a2)4()8(lim232xxaxIx)42)2(lim22axaxx1,a 4.b 可见分子的极限一定为0，则有37例例15. 试确定常数 a 使.0)1(lim33xaxx解解 : 令,1xt 则tatt33011lim001atatt3301lim01lim330att故1a因此38)(xf解解:利用前一极限式可令bxaxxxf2322)(再利用后一极限式 , 得xxfx)(lim30可见0,3ba是多项式 , 且,22)(lim23xxxfx,3)(lim0 xxfx求. )(xf)(lim0 xbax故xxxxf322)(23例例161639内容小结内容小结1. 极限运算法则(1) 无穷小运算法则(2) 极限四则运算法则(3) 复合函数极限运算法则注意使用条件2. 求函数极限的方法(1) 分式函数极限求法0) 1xx 时, 用代入法( 分母不为