江苏省2020年普通高中学业水平合格性考试数学试题（解析版）

江苏省2020年普通高中学业水平合格性考试数学试题一、选择题(本大题共28小题，每小题3分，共84分。每个小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，不选、多选、错选均不给分)1．复数（）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据复数的乘法运算化简即可.【详解】.故选：D2．已知集合，则（）A． B．C． D．【答案】B【分析】根据题意，找两个集合的公共元素，即可得.【详解】因为，所以.故选：B.3．函数的最小正周期为（）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用辅助角公式化简，由可得结果.【详解】，其中，最小正周期.故选：B.4．函数的图象大致是（）A． B．C． D．【答案】A【分析】先根据条件分析出的奇偶性，然后取特殊值计算函数值分析得到的大致图象.【详解】因为，且的定义域为关于原点对称，所以是奇函数，所以排除BC，又因为当且较小时，可取，所以，所以排除D，故选：A.【点睛】本题考查根据函数解析式辨别函数图象，难度一般.辨别函数图象的常用方法：分析函数的奇偶性、单调性，计算特殊值的大小等.5．函数的定义域是（）A． B．C． D．【答案】C【分析】根据函数解析式，列不等式组求解即可.【详解】根据题意可得，所以.故选：C.6．给定两个向量a=(3,4)，b=(2,-1)，若，则的值是（）A．23 B． C． D．【答案】C【分析】先求出的坐标,然后利用向量垂直等价于数量积为零，利用数量积的坐标运算得到关于x的方程，求解即得.【详解】,，又，即，整理得,解得，故选:C.7．已知，那么函数有（）A．最大值2 B．最小值2 C．最小值4 D．最大值4【答案】B【分析】利用基本不等式，即可得到答案；【详解】，等号成立当且仅当，函数的最小值2，故选：B.8．二项式的展开式中的常数项为（）A．9 B．12 C．15 D．18【答案】C【分析】利用二项式定理的通项公式可得常数项．【详解】由题意可得，通项，令，得，所以常数项为，故选:C.9．已知是空间中两条不同的直线，为空间中两个互相垂直的平面，则下列命题正确的是（）A．若，则B．若，则C．若，则D．若，则【答案】C【分析】根据空间线面位置关系的判定定理、性质定理，逐项判定，即可求解.【详解】由直线是空间中两条不同的直线，为空间中两个互相垂直的平面，对于A中，若，可能，所以A不正确；对于B中，若，则或相交或异面，所以B不正确；对于C中，由，可得或，又由，所以，所以C正确；对于D中，由面面垂直的性质，可知只有时，才有，所以D不正确.故选：C.10．已知直线与平行，则实数a的值是（）A． B．2 C． D．-2【答案】C【分析】依题意根据两直线平行的充要条件得到，解得即可；【详解】解：因为直线与平行，所以，解得故选：C11．已知某学校高二年级的一班和二班分别有人和人.某次学校考试中，两班学生的平均分分别为和，则这两个班学生的数学平均分为（）A． B．C． D．【答案】C【分析】利用平均数公式可求得结果.【详解】这两个班学生的数学总分为，故这两个班学生的数学平均分为.故选：C.12．已知函数，则（）．A． B． C． D．【答案】D【分析】根据函数的解析式求得，再求即为所求.【详解】解：,,故选：D.13．执行如图所示的程序框图若输入，则输出的的值为（）A． B． C． D．【答案】C【分析】由程序语言依次计算，直到时输出即可【详解】程序的运行过程为当n=2时，时，，此时输出.故选：C【点睛】本题考查由程序框图计算输出结果，属于基础题14．如图是一个空间几何体的三视图，则这个几何体侧面展开图的面积是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】由已知可得该几何体是一个圆柱，利用圆柱侧面积公式计算即得结果.【详解】解：由已知可得该几何体是一个圆柱，底面直径为1，周长为，圆柱的高为1，故展开图是以圆柱底面周长和高为边长的矩形，故这个几何体侧面展开图的面积是.故选：B.【点睛】本题考查了简单几何体的三视图和圆柱的侧面积公式，属于基础题.15．已知“”表示一种运算，定义如下关系：①；②，.则（）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据条件依次令n=1,2,3,……得出规律即可得到答案.【详解】∵，∴由②，令n=1，则；令n=2，则；令n=3，则；……；故选：C.16．棉花的纤维长度是棉花质量的重要指标.在一批棉花中随机抽测了50根棉花的纤维长度(单位：mm)，其频率分布直方图如图所示.根据频率分布直方图，估计事件“棉花的纤维长度大于275mm”的概率为（）

A．0.30 B．0.48 C．0.52 D．0.70【答案】C【分析】根据直方图计算最右边两个矩形的面积可得结果.【详解】“棉花的纤维长度大于275mm”的概率为.故选：C17．函数的单调递增区间是（）A．，B．，C．，D．，【答案】D【分析】根据正弦函数的单调性，并采用整体法，可得结果.【详解】由令所以函数的单调递增区间为，故选：D【点睛】本题考查正弦型函数的单调递增区间，重点在于把握正弦函数的单调性，同时对于整体法的应用，使问题化繁为简，属基础题.18．在等差数列中，已知，则该数列前11项和（）A．58 B．88 C．143 D．176【答案】C【分析】根据等差数列的性质求解．【详解】因为是等差数列，所以，，．故选：C．19．在空间中，设，，为三条不同的直线，为一平面.现有：命题：若，，且，则；命题：若，，且，，则.则下列判断正确的是（）A．，都是真命题 B．，都是假命题C．是真命题，是假命题 D．是假命题，是真命题【答案】C【分析】根据直线与平面平行的判断定理和直线与平面垂直的判断定理即可得出答案.【详解】根据直线与平面平行的判断定理：平面外一条直线与平面内一条直线平行，则此直线与该平面平行，可得命题为真命题，根据直线与平面垂直的判断定理：平面外一条直线与平面内的两条相交直线垂直，则此直线与该平面垂直,命题为假命题.故选：C【点睛】本题主要考查了直线与平面平行、垂直的判断定理，属于基础题.20．如图，正方体中，异面直线与所成的角为（）A． B． C． D．【答案】B【分析】由，可得即为异面直线与所成的角，求即可.【详解】因为，所以即为异面直线与所成的角，在中，，所以为等腰直角三角形，所以，即异面直线与所成的角为.故选：B.21．的三边长分别为3，5，7，则的形状是（）A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不能确定【答案】C【分析】求出最大值角的余弦值后可判断．【详解】设最大角为，则，是钝角，三角形为钝角三角形．故选：C．【点睛】本题考查余弦定理，考查用余弦定理判断三角形形状．解题时求出最大角的余弦即可判断．22．学校要从10名候选人中选2名同学进入学生会，其中高二（1）班有4名候选人，假设每名候选人都有相同的机会被选到，若表示选到高二（1）班的候选人的人数，则（）A． B． C． D．【答案】D【分析】写出随机变量X的所有取值，分别计算的各种取值对应的概率，再计算数学期望．【详解】解：的可能取值有0，1，2，且，，，．故选：D.23．基础建设对社会经济效益产生巨大的作用，某市投入亿元进行基础建设，年后产生亿元社会经济效益．若该市投资基础建设4年后产生的社会经济效益是投资额的2倍，且再过年，该项投资产生的社会经济效益是投资额的8倍，则（）A．4 B．8 C．12 D．16【答案】B【分析】由4年后产生的社会经济效益是投资额的2倍求得参数，然后计算出产生的社会经济效益是投资额的8倍的时间，相减可得结论．【详解】由条件得，∴，即．设投资年后，产生的社会经济效益是投资额的8倍，则有，解得，．所以再过年，该项投资产生的社会经济笑意是投资额的8倍．故选：B．24．若实数，则的最小值为（）A． B．1 C． D．2【答案】D【分析】由条件变形，再结合基本不等式求最小值.【详解】由条件可知，，所以，当，即，结合条件，可知时，等号成立，所以的最小值为.故选：D25．若直线与曲线恰有两个交点，则实数的取值范围是（）．A． B． C． D．【答案】B【分析】由直线l与曲线的方程可得它们的图形，结合图形分析可知直线l与半圆相切到过时有两个交点，即可求的取值范围.【详解】由题意知：直线过定点，曲线为y轴上半部分的半圆，如下图示：如图，当且仅当直线l与半圆相切，到直线l过时，它们有两个交点，当直线l与曲线相切时，，得，当直线l过时，，得，∴结合图象知：时直线l与曲线有两个交点.故选：B26．已知数列的前项和为（），则下列结论正确的是()A．数列是等差数列 B．数列是递增数列C．，，成等差数列 D．，，成等差数列【答案】D【分析】由，时，．时，．进而判断出正误．【详解】解：由，时，．时，，时，，不成立．数列不是等差数列．，因此数列不是单调递增数列．，因此，，不成等差数列．．．．，，，成等差数列．故选：．【点睛】本题考查了等差数列的通项公式与求和公式、数列递推关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．27．已知直线与圆C：相交于A，B两点，且（C为圆心）为等腰直角三角形，则实数a的值为（）A． B． C． D．【答案】C【分析】由为等腰直角三角形，可得故圆心到直线的距离为：，同时由点到直线的距离公式，可得，可得答案.【详解】解：由题意得：为等腰直角三角形，故圆心到直线的距离为：，在利用点到直线的距离公式，可得圆心到直线的距离为：，解得：，故选：C.【点睛】本题主要考查直线与圆的位置关系，点到直线距离公式的应用等，属于基础题.28．若正数x，y满足，则的最大值为（）A．1 B． C． D．【答案】D【分析】已知等式变形为，然后用“1”的代换求出的最小值即可得．【详解】∵x，y均为正数，，∴，∴，当且仅当，即时等号成立，∴，所求最大值为．故选：D．【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方二、解答题(本大题共2小题，共16分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。)29．（本小题满分8分）某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额的商品后即可参加抽奖，抽奖有两种方案可供选择．方案一:从装有4个红球和2个白球的不透明箱中随机摸出2个球，若摸出的2个球都是红球则中奖，否则不中奖;方案二:掷2颗散子，如果出现的点数至少有一个为4则中奖，否则不中奖．[注:散子(或球)的大小､形状､质地均相同]（1）有顾客认为，在方案一中，箱子中的红球个数比白球个数多，所以中奖的概率大于．你认为正确吗?请说明理由．（2）如果是你参加抽奖，你会选择哪种方案?请说明理由．【答案】（1）错误，理由见解析；（2）选择方案一，理由见解析.【分析】（1）将4个红球分别记为，2个白球分别记为，利用列举法求得基本事件的总数和2个都是红球所包含的基本事件的个数，结合古典摡型的概率计算公式，即可求解.（2）根据古典摡型的概率计算公式，求得方案二中奖的概率，即可得到相应的结论.【详解】（1）将4个红球分别记为，2个白球分别记为，则从箱中随机摸出2个球有以下结果：，，总共15种，其中2个都是红球的有，，共6种，所以方案一中奖的概率，所以该顾客的想法是错误的．（2）抛掷2颗骰子，所有基本事件共有36种，其中出现的点数至少有一个4的基本事件有，，共11种，所以方案二中奖的概率，可得所以应该选择方案一．30．（本小题满分8分）已知为的三内角，且其对边分别为，若.（1）求；（2）若，，