第十一章 动量矩定理

1、第十一章第十一章 动量矩定理动量矩定理Moment of Momentum Theorem11-1 动量矩的概念一、质点的动量矩回顾：回顾：Mo(F)= rFxozyFrmMO(F)ZYXzyxkji大小：大小：Mo(F) =2SOAB方向：按右手螺旋规则定。方向：按右手螺旋规则定。BAkji)()()(yXxYxZzXzYyZ力对点的矩力对点的矩FrmMO(F)FrmMO(F)FrmMO(F)Concept of moment of momentumMo(mv)= rmvA(mv)xyxozymvrBB动量对固定轴动量对固定轴z的矩：的矩：zyxmvmvmvzyxkjiMo(mv)z= M

2、z(mv) 质点质点A的动量对固定点的动量对固定点O的矩：的矩：MO(mv)A(mv)xymvrBMO(mv)A(mv)xymvrBMO(mv)mvrMO(mv)A(mv)xyBA A A大小大小= mvrsin方位：过方位：过O且且OAB；指向：按右手螺旋规则定。指向：按右手螺旋规则定。 质点的动量质点的动量mv 在在Oxy平面内的投影平面内的投影(mv)xy对于点对于点O的矩定义为质点对于的矩定义为质点对于z轴的动量矩。轴的动量矩。Mo(mv)z= M z(mv)代数量代数量矢量矢量 质点对点质点对点O的动量矩矢在的动量矩矢在z轴上的投影，等于质点轴上的投影，等于质点对对z轴的动量矩，即轴

3、的动量矩，即 质点的动量对点质点的动量对点O的矩称为质点对于的矩称为质点对于O的动量矩。的动量矩。Mo（mv）= rmv结论结论：二、质点系的动量矩二、质点系的动量矩质点系对固定点质点系对固定点O的动量矩等于各质点对同的动量矩等于各质点对同一点一点O的动量矩的矢量和的动量矩的矢量和:niiioom1)(vML质点系对固定轴质点系对固定轴z的动量矩等于各质点对同一的动量矩等于各质点对同一轴轴z的动量矩的代数和，即的动量矩的代数和，即niiizzmML1)(v对定点对定点对定轴对定轴矢量矢量代数量代数量例例 已知均质杆质量为已知均质杆质量为m，长为，长为l，绕，绕z轴以匀角速度轴以匀角速度作圆作圆

4、锥摆动，圆锥顶角为锥摆动，圆锥顶角为2 。求该杆对。求该杆对z轴的动量矩。轴的动量矩。dxx解：沿杆轴线取坐标轴解：沿杆轴线取坐标轴x。则微元体则微元体dxlmmisinxviliizxvmL0sinldxxlm022sin22sin31lmOx质点系的动量矩矢质点系的动量矩矢Lo在直角坐标系在直角坐标系Oxyz中中的投影为：的投影为：质点系对某固定点的动量矩矢在通过该点的质点系对某固定点的动量矩矢在通过该点的轴上的投影等于质点系对该轴的动量矩。轴上的投影等于质点系对该轴的动量矩。)(mvMLxxxoL)(mvMLyyyoL)(mvMLzzzoL即即OAB问题问题： 质点系的动量质点系的动量

5、p =mivi 质点系的动量矩质点系的动量矩 Lo = M o(Mvc) ？ ll例例 已知无重细杆已知无重细杆ABAB两端各铰接质量为两端各铰接质量为m m的小球，系统绕水平的小球，系统绕水平O O轴以角速度轴以角速度转动，求系统对转动，求系统对O O轴的动量矩。轴的动量矩。系统对系统对O轴的动量矩为：轴的动量矩为：22mllmllmlLo= Mvc= Mvc= Mvc= MvcvAvBvAvBvAvBvAvB= l= lA例例: :vCO已知均质杆已知均质杆m，l，p = mvc = ml/2杆对杆对O O轴的动量矩为轴的动量矩为Lo = M o(Mvc) = (ml/2)(l/2) =

6、ml2/4C ？则杆的动量为则杆的动量为vCCvCCvCC 如何计算如何计算OAOA杆对杆对O O轴的动量矩？轴的动量矩？特例：定轴转动刚体的动量矩特例：定轴转动刚体的动量矩令令mivizniiizzmML1)(vzniiiJrm12刚体对刚体对z z轴的转动惯量轴的转动惯量Lz=Jziniiirm1vniiirm12iiniirrm1rimivimivimivimi11-4 刚体对轴的转动惯量刚体对轴的转动惯量一、转动惯量的概念一、转动惯量的概念转动惯量是刚体转动时的惯性度量转动惯量是刚体转动时的惯性度量niiizrmJ12 转动惯量不仅与质量的大小有关，而且与转动惯量不仅与质量的大小有关，

7、而且与质量的分布有关。质量的分布有关。Moment of inertia of a rigid body with respect to an axis二、转动惯量的确定二、转动惯量的确定: :计算法和实验法计算法和实验法 积分法计算简单形状物体的转动惯量积分法计算简单形状物体的转动惯量dmrrmJniiiz212xzoxlzc20 xdxlmJlz222llzcxdxlmJ对杆端轴对杆端轴z的转动惯量为的转动惯量为对质心轴对质心轴zC的转动惯量为的转动惯量为C231ml2121mldxxCdxxCdxxCdx均质薄圆环均质薄圆环均质圆轮（盘、柱）均质圆轮（盘、柱）2mRJz221mRJzRR

8、RRRRRRzz 惯性半径（回转半径）惯性半径（回转半径） 对于均质物体，其转动惯量与质量的比值对于均质物体，其转动惯量与质量的比值仅与物体的几何形状和尺寸有关，例如仅与物体的几何形状和尺寸有关，例如mJzzmz均质细直杆均质细直杆,312mlJz,312lmJz均质薄圆环均质薄圆环2mRJz2RmJzz转动惯量与质量的比值的平方根，转动惯量与质量的比值的平方根，即即mzmzmz常用常用 表示。表示。2zzmJ 惯性半径仅与物体的形状、尺寸有关，与材料惯性半径仅与物体的形状、尺寸有关，与材料无关。无关。 惯性半径的惯性半径的特点特点 查机械工程手册中简单几何形状或几何形状已查机械工程手册中简单

9、几何形状或几何形状已经标准化的零件的惯性半径，求经标准化的零件的惯性半径，求Jz 。惯性半径不是物体的某一具体尺寸惯性半径不是物体的某一具体尺寸 平行轴定理平行轴定理 刚体对任意轴的转动惯量，等于刚体对于通刚体对任意轴的转动惯量，等于刚体对于通过质心、且与该轴平行的轴的转动惯量，加上刚过质心、且与该轴平行的轴的转动惯量，加上刚体的质量与两轴间距离平方的乘积。体的质量与两轴间距离平方的乘积。2mdJJzcz刚体对于通过质心轴的转动惯量最小。刚体对于通过质心轴的转动惯量最小。zC2zC2zC2zC2 叠加法求转动惯量举例叠加法求转动惯量举例zxom1m2c1c221JJJz21131lml1l2例

10、例(1) 求该杆对于杆端轴求该杆对于杆端轴z的的转动惯量。转动惯量。当物体由几个物体组合而成时，可用叠加法计当物体由几个物体组合而成时，可用叠加法计算整体的转动惯量，即算整体的转动惯量，即先计算各部分的转动惯量，先计算各部分的转动惯量，然后再叠加起来。然后再叠加起来。2212222)21(121llmlmc1c2c1c2c1c2212222212131)3(31l lmlmlmm已知已知m1，m2 ，杆长为，杆长为 l；盘的半径为；盘的半径为R。杆与盘固结杆与盘固结为一体，求为一体，求JolRJo = Jo 杆杆+ Jo 盘盘Jo 杆杆=2131lm2222212131lmRmlmJo例例(2

11、)解：解：222lmJJcO盘222221lmRmC2C1OMoment of momentum theorem一、质点的动量矩定理一、质点的动量矩定理xozymvBMO(mv)FMO(F)Fv )(mdtdFrvr)(mdtd根据质点的动量定理根据质点的动量定理等式两边同时与等式两边同时与矢径矢径r作矢量积，作矢量积，mvMO(mv)FMO(F)mvMO(mv)FMO(F)mvMO(mv)FMO(F)r r r r即即A A A AMO(F)? ?11-2 动量矩定理动量矩定理质点的动量矩定理质点的动量矩定理：将上式向直角坐标轴投影，并利用对点的动量矩与对轴的将上式向直角坐标轴投影，并利用对

12、点的动量矩与对轴的动量矩的关系，可得动量矩的关系，可得)()(FMvMoomdtd)()()()()()(FvFvFvzzyyxxMmMdtdMmMdtdMmMdtd质点对某轴的动量矩质点对某轴的动量矩对时间的一阶导数，等于对时间的一阶导数，等于作用力对于同一轴的矩。作用力对于同一轴的矩。关于质点动量矩守恒 当当MO( F ) = 0 时，有时，有MO( mv ) = 常矢量。常矢量。 当当Mz( F ) = 0 时，有时，有Mz( mv ) = 常量。常量。r1r2ABz解：分析小球受力。解：分析小球受力。v2v1 思考题思考题： 小球系于线的一端，线穿过铅直小孔，小球系于线的一端，线穿过铅

13、直小孔，力力F将线缓慢将线缓慢向下拉。开始时，小球以匀速向下拉。开始时，小球以匀速v1沿半径为沿半径为r1的圆周运动，求当的圆周运动，求当小球被拉至小球被拉至B处处(2r2=r1)时的速度时的速度v2 。FmgTMZ(F(e) = 0， LZ = const !初瞬时初瞬时(A处处)，LZA = mv1r1，B处，处，LZB = mv2r2， mv1r1 = mv2r2得得v2 = 2v1mgTmgT而而 r1 =2r2 设质点系由设质点系由n个质点组成，个质点组成，mi， vi，受力：外力受力：外力F Fi i(e) (e) 、内力、内力F Fi i( (i i) ) 二、质点系的动量矩定理

14、二、质点系的动量矩定理)()()()()(eioiioiiomdtdFMFMvMnieioniiioniiiomdtd1)(1)(1)()()(FMFMvM 对于对于n个质点，有个质点，有n个这样的方程，将这些方程求和，则个这样的方程，将这些方程求和，则内力系主矢 = 0nieioniiiomdtd1)(1)()(FMvM所以得所以得质点系对定点的动量矩定理质点系对定点的动量矩定理即即nieioniiiomdtd1)(1)()(FMvMnieioodtd1)()(FML 质点系对某定点质点系对某定点O O的动量矩对时间的一阶导数，的动量矩对时间的一阶导数，等于作用于质点系的外力对同一点的主矩。

15、等于作用于质点系的外力对同一点的主矩。质点系对定轴的动量矩定理质点系对定轴的动量矩定理nieizznieixynieixxMLdtdMLdtdMLdtd1)(1)(1)()()()(FFF 质点系对某定轴的动量矩对时间的一阶导数，质点系对某定轴的动量矩对时间的一阶导数，等于作用于质点系的外力对同一轴的矩的代数和。等于作用于质点系的外力对同一轴的矩的代数和。计算动量矩与力矩时，符号规定应一致计算动量矩与力矩时，符号规定应一致O例例：均质滑轮：均质滑轮M，r，两重物质量，两重物质量m1，m2 。试求重物的加速度。试求重物的加速度。m2m1解：解：以系统为研究对象，画受力图。以系统为研究对象，画受力

16、图。m1gMgXOYOvvLo = Lo轮轮+ Lo1+ Lo2oJ+m1vrm2g设系统运动如图。设系统运动如图。m1gMgXOYOvvm2gm1gMgXOYOvvm2gm1gMgXOYOvvm2g系统对定轴系统对定轴O的动量矩为的动量矩为221Mr根据质点系对定轴的动量矩定理，有根据质点系对定轴的动量矩定理，有grmgrmrMmmdtd21221)21(rMmmgmmdtd)21()(2121+ m2vr+m1r2+ m2r2gMmmmmra212122)(2思考题O2O1QP12图示两均质轮质量均为图示两均质轮质量均为M，半径均为，半径均为R，且已知且已知PQ，则，则?12121 2 Q

17、PQP12QPQP12QPQP12QPRR对对O1轮：轮：QRPRRRgQJdtd111211)(RgQJRQPdtd11O1RQP对对O2轮：轮：QRPRRRgQRRgPJdtd22222222)(RgQRgPJRQPdtd2122O2RPQ 关于质点系动量矩守恒定律关于质点系动量矩守恒定律 当当Mo( Fi(e) ) = 0 时，有时，有Lo = 常矢量。常矢量。 当当Mz( Fi(e) ) = 0 时，有时，有Lz = 常量。常量。例：图示水平圆盘重为例：图示水平圆盘重为P，半径为，半径为R，可绕，可绕 z 轴转动，动物重轴转动，动物重为为Q，按，按S=at2/2的规律沿盘缘行走。若开始

18、时盘的角速度为的规律沿盘缘行走。若开始时盘的角速度为o，求任意瞬时求任意瞬时t，盘的角速度和角加速度。盘的角速度和角加速度。SABS S S221atzyxAB研究系统，画受力图。研究系统，画受力图。 Mz(F(e) = 0 系统对系统对z轴的动量矩守恒，轴的动量矩守恒，初瞬时，动物相对于盘速度为零，初瞬时，动物相对于盘速度为零， 只是与盘一起绕只是与盘一起绕z z轴转动，轴转动，RRgQoZAYAXAXBYB0 0)2(22PQgRoPQZAYAXAXBYBPQZAYAXAXBYBPQZAYAXAXBYBPQ系统对系统对z z轴的动量矩为轴的动量矩为ozogPRL22S 即即Lz=常量！常量

19、！续：续：zyxABS设瞬时设瞬时t，盘的角速度为，盘的角速度为，角加速度为，角加速度为，绝对速度为绝对速度为reavvvatdtdsvr动物相对于盘的速度为动物相对于盘的速度为系统对系统对z轴的动量矩为轴的动量矩为RvgQgPRLaz22由由 Lzo=Lz 得得RQPQato)2(2RQPQadtd)2(2vrvevrvevrvevrve对上式求导对上式求导 得得atR RatgQPQgR)2(2211-3 刚体绕定轴转动的微分方程刚体绕定轴转动的微分方程Lz=Jz根据根据nieizzdtd1)()(FMLFnF1F2zxy且轴承反力对且轴承反力对z轴的矩为零，所以有轴的矩为零，所以有nii

20、zzdtdJ1)(FMFN2或或)(izzJFMFiFN1Differential equations for the rotation of a rigid body around a fixed-axis结论：刚体对定轴的转动惯量与角加速度的乘积，等于刚体对定轴的转动惯量与角加速度的乘积，等于作用于刚体的主动力对该轴的矩的代数和。作用于刚体的主动力对该轴的矩的代数和。zzdtdJMzzdtdJM22zzJM或或或或刚体绕定轴的转动刚体绕定轴的转动微分方程。微分方程。根据刚体定轴转动微分方程可知根据刚体定轴转动微分方程可知： 作用于刚体的主动力对转轴的作用于刚体的主动力对转轴的矩使刚体转动状

21、态矩使刚体转动状态发生变化；发生变化； 刚体转动惯量的大小表现了刚体转动状态改变刚体转动惯量的大小表现了刚体转动状态改变的难易程度。的难易程度。转动惯量是刚体转动时的惯性度转动惯量是刚体转动时的惯性度量。量。请比较请比较 Jz = Mz 与与 m a = F 。 如果作用于刚体的主动力对转轴的如果作用于刚体的主动力对转轴的矩的代数和等矩的代数和等于零，则刚体作匀速转动；于零，则刚体作匀速转动； 如果主动力对转轴的如果主动力对转轴的矩为常量，则刚体作匀变速转动；矩为常量，则刚体作匀变速转动； 飞轮通常安装在经常受到冲击的机器上，如往复式飞轮通常安装在经常受到冲击的机器上，如往复式活塞发动机、冲床

22、和剪床等。活塞发动机、冲床和剪床等。制造飞轮时，要求尽可制造飞轮时，要求尽可能将质量分布在轮缘上，以使转动惯量尽可能大，能将质量分布在轮缘上，以使转动惯量尽可能大， 从转动惯量的概念，看飞轮的作用从转动惯量的概念，看飞轮的作用这这样，机器受到冲击时，角加速度很小，从而可以保持比样，机器受到冲击时，角加速度很小，从而可以保持比较稳定的运转状态。较稳定的运转状态。已知均质轮已知均质轮O1，R1，m1; 均质轮均质轮O2，R2，m2，主动力矩，主动力矩M，阻力矩，阻力矩Mf，求，求1。M思考题MfO1O2122111JJLofoMMJJdtdL22111问此种解法是否问此种解法是否正确？为什么？正确

23、？为什么？2正确解法正确解法 对对O1轮，有轮，有MMfO1O212T1T1T2T2121111RTRTMJ 对对O2轮，有轮，有fMRTRTJ222122R2R1; , 2211TTTT2211RR 补充方程：补充方程：且：且：2222211121,21RmJRmJ将将R2+R1可解得：可解得：22121121)()(2RRmmMRMRfMMfT1T1T2T2MMfT1T1T2T2MMfT1T1T2T2121212一、质点系对固定点一、质点系对固定点O O与对质心与对质心C的的动量矩之间的关系动量矩之间的关系11-5 11-5 质点系相对于质心的动量矩定理质点系相对于质心的动量矩定理 质点系

24、对任一点的动量矩等于集中于质点系对任一点的动量矩等于集中于系统质心的动量对该点的动量矩再加上系统质心的动量对该点的动量矩再加上此系统对于质心的动量矩（矢量和）此系统对于质心的动量矩（矢量和）。Lo=rcmvc+LcMoment of momentum theorem for a system with respect to its center of massC例：已知两均质轮例：已知两均质轮O、C重量分别为重量分别为P、Q，半径均为，半径均为r。O轮上作用主动力偶轮上作用主动力偶M，C轮在斜面上纯滚动，斜面倾轮在斜面上纯滚动，斜面倾角为角为。求。求C轮轮心的加速度。轮轮心的加速度。OMMMM

25、分析分析 本题可考虑用质点系对定轴的本题可考虑用质点系对定轴的动量动量 矩定理求解；矩定理求解； 问题的关键是如何求平面运动问题的关键是如何求平面运动的的C轮对轮对O轴的动量矩。轴的动量矩。COQPM解：解：由于由于C轮在斜面上纯滚动，瞬心为轮在斜面上纯滚动，瞬心为D，XoYoNF系统对系统对O O轴的动量矩为轴的动量矩为cccJrvgQcorvgQrrvgQrvgccc22Pr22vc所以，所以，vc = r c=r oQPMXoYoNFcovcQPMXoYoNFcovcQPMXoYoNFcovcD瞬心D D DooJL)3(2QPgrvcsin)3(2QrMQPgrvdtdcgrQPQrM

26、dtdvaCc)3()sin(2nieiCCdtd1)()(FML 质点系相对于质心的动量矩对时间质点系相对于质心的动量矩对时间的导数，等于作用于质点系的外力对质的导数，等于作用于质点系的外力对质心的矩的矢量和（主矩）。心的矩的矢量和（主矩）。三、质点系相对于质心的动量矩定理三、质点系相对于质心的动量矩定理11-6 刚体的平面运动微分方程刚体的平面运动微分方程分析：分析：在动力学的研究中，必须将刚体的运动与它所受的力在动力学的研究中，必须将刚体的运动与它所受的力联系起来。联系起来。 质心运动定理质心运动定理将刚体质心的运动与将刚体质心的运动与外力系的主矢外力系的主矢联系起来；联系起来； 相对于

27、质心的动量矩定理相对于质心的动量矩定理将刚体的转动与将刚体的转动与外力系的主矩外力系的主矩联系起来。联系起来。所以：所以：在动力学中，在动力学中，选取质心为基点选取质心为基点，从而得到，从而得到刚刚体的平面运动微分方程体的平面运动微分方程。Differential equations of plane motion of a rigid body OxyyxDLc=Jc)()()(eCccecJJdtdmFMFaF1F2FiFnCCD与与x轴的夹角为轴的夹角为，则刚体的位置可由，则刚体的位置可由xC，yC，确定。刚体的运动分解为确定。刚体的运动分解为随同随同质心质心C的平动的平动和和相对质心相

28、对质心C的转动的转动。刚体对质心刚体对质心C的动量矩为的动量矩为JC 刚体对过质心且于与运动平面垂刚体对过质心且于与运动平面垂直的轴的转动惯量。直的轴的转动惯量。DCDCDC刚体的平面运动微分方程)()(22)(22eCcecdtdJdtdmFMFr矢量方程代数方程矢量方程代数方程矢量方程代数方程矢量方程代数方程刚体的平面运动微分方程的投影式CcecyecxMJYmaXma)()(或或CcnnccMJYmaXma)()(当质心轨迹已知时例例 绕线轮质量绕线轮质量M=50Kg，半径为，半径为 R=100mm 和和 r=60mm，对质心的回转半径为对质心的回转半径为 =70mm；轮与地面的静、动；

29、轮与地面的静、动滑动摩擦系数分别为滑动摩擦系数分别为 f=0.20和和f =0.15，水平绳的拉，水平绳的拉力为力为T=200N，求轮心，求轮心C的加速度和轮的角加速度。的加速度和轮的角加速度。CTRrTRrTRrTRrT T T TRrCPFN解：解：绕线轮作平面运动，绕线轮作平面运动， 受力如图，受力如图，aC列出轮的平面运动微分方程式列出轮的平面运动微分方程式FTaMCMgN 0TrFRM2轮作纯滚动，则有轮作纯滚动，则有aC= R此时此时F为静摩擦力，应满足为静摩擦力，应满足F f N ,XMaCx,YMaCy,CCMJN = 490N = 10.74rad/s2F= 146.3N最大

30、静摩擦力最大静摩擦力Fmax = f N =0.2490=98N。F= 146.3NFmax PFNaCPFNaCPFNaC设设RrCFNTaC说明前面的假设：说明前面的假设：实际上，实际上，其中其中F = f N 为动摩擦力。为动摩擦力。,XMaCx,YMaCy,CCMJFTaMCMgN 0TrRFM2补充方程F = f NN = 490N = 18.95 rad/s2F = f N=73.6NaC= 2.53 m/s2PFNTaCPFNTaCPFaC轮作纯滚动不符合实际！轮作纯滚动不符合实际！轮既滚又滑！轮既滚又滑！BO例例：图示摆由均质细杆：图示摆由均质细杆(质量为质量为m1 =m，长度

31、为，长度为l=3r) 和和均质圆盘均质圆盘(质量为质量为m2 =2m，半径为，半径为r) 固结而成，求固结而成，求B端端绳子突然断裂瞬时，轴承绳子突然断裂瞬时，轴承O处的约束反力。处的约束反力。C1m2rC2m1l=3r分析分析求轴承反力用动量矩定理显然不行！求轴承反力用动量矩定理显然不行！应考虑用质心运动定理。应考虑用质心运动定理。摆的质心的加速度必须先求出。摆的质心的加速度必须先求出。B端绳断开瞬时，摆的受力如图。端绳断开瞬时，摆的受力如图。BOn解：解：C1m2grC2根据刚体定轴转动微分方程，根据刚体定轴转动微分方程，Jo=mo(F)rgmrgmJO42321acacn于是得摆的角加速

32、度为于是得摆的角加速度为rg7219m1g研究摆，研究摆，rcFnCFnFnFn l=3rFFFF2131lmJO2222)(21rlmrm236mr摆质心的加速度为摆质心的加速度为acn = 0，grrC7219ccraacacnrcCacacnrcCacacnrcCm2gm1gm2gm1gm2gm1g再由质心运动定理，再由质心运动定理，,)(enncFManncFamm)(21,)(ecFMaFgmgmammc2121)(gracc432361解得解得,0nF根据质心坐标公式，有根据质心坐标公式，有rmmrlmlmrc619)(22121BOnC12mgrC2acacnmgrcFnC l=

33、3rFmgF14471 例例 两根质量各为两根质量各为8 kg8 kg的均质细杆固连成的均质细杆固连成T T 字型，可绕通过字型，可绕通过O O点的水平轴转动，当点的水平轴转动，当OAOA处于水平位置时处于水平位置时, , T T 形杆具有角速度形杆具有角速度 =4rad/s =4rad/s 。求该瞬时轴承。求该瞬时轴承O O的反力。的反力。解：选解：选T 字型杆为研究对象。字型杆为研究对象。受力分析如图示。受力分析如图示。 rad/s 20.75 5 . 08 . 9825. 08 . 98 5 . 081217225 . 025. 0 mgmgIO2222121712131mlmlmlml

34、IO由定轴转动微分方程由定轴转动微分方程根据质心运动微分方程，得根据质心运动微分方程，得OxCxCXmama21mgmgYmamaOyCyC21N 96) 5 . 04 25. 04( 8)( 2221xCxCOaamXN 3 .32 ) 5 . 075.20 25. 075.20 ( 88 . 982OY关于质点系动量矩定理的说明关于质点系动量矩定理的说明质点系动量矩定理（相对于惯性参考系）：质点系动量矩定理（相对于惯性参考系）：质点系相对于质心的动量矩定理：质点系相对于质心的动量矩定理： 质点系动量矩定理的形式质点系动量矩定理的形式nieioodtd1)()(FMLnieizzMLdtd1

35、)()(F固定点：固定点：固定轴：固定轴：nieiCCdtd1)()(FMLnieiCzCzMdtdL1)()(F对质心：对质心：对质心轴：对质心轴：例例 均质圆柱体均质圆柱体A和和B的重量均为的重量均为P，半径均为，半径均为r，一绳缠在，一绳缠在绕固定轴绕固定轴O转动的圆柱转动的圆柱A上，绳的另一端绕在圆柱上，绳的另一端绕在圆柱B上，绳重上，绳重不计且不可伸长，不计轴不计且不可伸长，不计轴O处摩擦。处摩擦。求：求： 圆柱圆柱B下落时质心的加速度。下落时质心的加速度。 若在圆柱体若在圆柱体A上作用一逆时针转向的转矩上作用一逆时针转向的转矩M，试问在什么，试问在什么条件下圆柱条件下圆柱B的质心将

36、上升。的质心将上升。选圆柱选圆柱B为研究对象为研究对象rTrgPB212TPagPC运动学关系：运动学关系：BACrra TrrgPA221解：选圆柱解：选圆柱A为研究对象为研究对象由由 、 式得：式得：BA, 52rgBAgaC54 代入代入 、 式得：式得：由动量矩定理：由动量矩定理：rPMMrgPrvgPrgPdtdeOBCA2)222()(22rPMrgPragPrgPBcA222222(1)补充运动学关系式：补充运动学关系式：BACrra代入(1)式，得grPrPMarPMargPargPCCC5)2(2 ; 222当当M 2Pr 时，时， ，圆柱，圆柱B的质心将上升。的质心将上升。

37、0Ca再取系统为研究对象再取系统为研究对象BCAOrgPrvgPrgPL22222rPMMeO2)(例均质细杆均质细杆AB长长2l，质量为，质量为m，B端搁在光滑的地板上，端搁在光滑的地板上，A端靠在光滑的墙壁上，端靠在光滑的墙壁上，A、B均在垂直墙壁的同一铅直平面内。均在垂直墙壁的同一铅直平面内。初瞬时，杆与墙壁的夹角为初瞬时，杆与墙壁的夹角为 0，由静止开始运动。求杆的角加，由静止开始运动。求杆的角加速度、角速度及墙壁和地面的反力（表示成速度、角速度及墙壁和地面的反力（表示成 的函数）的函数）BACAB解：以杆为研究对象，进行受力分析。NANB列出杆的平面运动微分方程式ACNxm mgNy

38、mBC cossinlNlNJABC 上列三方程中未知量数必须找补充方程。根据几何关系，有xC=lsin,yC=lcos,对时间t求二阶导数，得sincos2 llxCcossin2 llyCll又杆对质心的转动惯量为2231)2(121mllmJCCmg5个。NANBmgNANBmgNANBmg)coscos6cos71 (402mgNB联立求解 式，得代入式，得sin43lg sincossin432mlmgNAcossin4322mlmgmgNBABCmgNANBll现在求杆的角速度，dtd sin43lgdd0sin430dlgd)cos(cos230lg式代入式、，得)cos2cos

39、3(sin430mgNAdtddddd例12-8续 已求得ABCmgNANBll)coscos6cos71 (402mgNB)cos(cos230lg)cos2cos3(sin430mgNA讨论问：AB杆什么时候开始脱离墙壁？AB杆脱离墙壁的条件是什么？杆脱离墙壁的条件是什么？此时，令0)cos2cos3(sin430mgNA得AB杆开始脱离墙壁的角度为)cos32arccos(0N NA= 0 !N NA= 0 !N NA= 0 !N NA= 0 ! 质点系动量矩定理在解决刚体平面运动的转动问题时，选取具备以下条件之一的动点为矩心，则动量矩定理仍然具有简单的形式，刚体的质心，（即相对质心的动

40、量矩定理）；质点系动量矩定理应用于刚体的平面运动问题瞬时加速度中心，即aO=0；当aO rC时瞬时速度中心。其中， rC为质心相对于O点的矢径。请参阅清华大学编理论力学 或天津大学编理论力学刚体的速度瞬心到质心的距离保持不变，速度瞬心O满足条件aO rC的实例均质圆轮C沿轨道纯滚动OABvBvAOCCrCvCOCrCvCOCrCvCOCrCvCvBvAOCvBvAOCvBvAOCrCrCrCrC易知,轮和杆的动瞬心O的轨迹是以质心C为中心的圆，均质杆AB两端分别沿铅直和水平方向滑动即任何瞬时，速度瞬心到质心的距离都相等，这时，瞬心的加速度指向质心， 于是条件aO rC必能满足。所以，前述的条件

41、可改为，均质圆轮或直杆作平面运动时,如果 则可以选取这样的瞬心为矩心，直接应用动量矩定理。刚体的速度瞬心到质心的距离保持不变，刚体的速度瞬心到质心的距离保持不变，刚体的速度瞬心到质心的距离保持不变，aOaOaOaOaOaOaOaO不妨再来看例12-8 前面已列出的杆的平面运动微分方程为已知杆m，2l；0，求时杆、及A、B处的反力。ABCmgNANBllOACNxm mgNymBC cossinlNlNJABC 式动量矩方程的矩心为质心， 方程中包含未知力NA、NB。根据约束条件，在A点尚未离开墙面之前，杆的速度瞬心正是NA、NB的交点O，sin)31(22mglmlml, )(FOOMJ 于是

42、直接求得sin43lg 且在运动过程中，点O到质心C的距离始终保持为l，所以，可选点O为矩心列出动量矩方程。l l l l本章小结质点的动量对于某点（或某轴）的矩称为质点对于该点（或该轴）的动量矩。质点系对于某点O的动量矩等于各质点的动量对点O的矩的矢量和，即niiioom1)(vMLniiizzmML1)(v质点系对于某轴z的动量矩等于各质点的动量对轴z的矩的代数和，即质点动量矩定理（相对于惯性参考系）： 若z轴通过点O，则质点系对于点O的动量矩在z轴上的投影等于质点系对于z轴的动量矩，即zzoLL)()(FMvMoomdtd)()(FvzzMmMdtd质点系动量矩定理（相对于惯性参考系）：nieioodtd1)()(FMLnieizzMLdtd1)()(F质点系相对于质心的动量矩定理：刚体绕z轴转动的动量矩为：nieiCCdtd1)()(FMLnieiCzCzMdtdL1)()(FzzJL 刚体绕定轴或通过质心的轴的转动微分方程在 形式上相同，即：)()(ezzMJF 刚体对于z轴的转动惯量Jz是刚体转动惯性的度量，计算公式为 式中JzC是刚体对于通过质心轴的转动惯量。dmrrmJni