第四章基本立体及表面交线1

1、4.1 4.1 基本立体的投影基本立体的投影4.2 4.2 平面与立体相交平面与立体相交 4.3 4.3 立体与立体相交立体与立体相交 第四章第四章 基本立体及基本立体及表面交线表面交线基本立体基本立体平面立体平面立体曲面立体曲面立体立体的表面均为平面立体的表面均为平面立体的表面均为曲面，立体的表面均为曲面，或由平面和曲面组成或由平面和曲面组成4 4.1 .1 基本立体的投影基本立体的投影 基本立体是由点、线、面几何要素构成的基本几何基本立体是由点、线、面几何要素构成的基本几何体，基本立体按其表面性质的不同可分为：体，基本立体按其表面性质的不同可分为： 1 1、棱柱、棱柱 棱柱的三面投影图棱柱

2、的三面投影图 棱柱的组成棱柱的组成 棱柱由棱面和上下底面组成，各棱柱由棱面和上下底面组成，各棱线互相平行。棱线互相平行。 直立的五棱柱，它的水平投影直立的五棱柱，它的水平投影是一个五边形，反映上下底面的形是一个五边形，反映上下底面的形状特征，另外两面投影为多个矩形状特征，另外两面投影为多个矩形线框。线框。一、平面立体一、平面立体 2 2、棱锥、棱锥 棱锥的三面投影图棱锥的三面投影图 棱锥的组成棱锥的组成 棱锥由多边形底面和具有棱锥由多边形底面和具有公共顶点的三角形棱面组成，公共顶点的三角形棱面组成，各棱线相交于顶点。各棱线相交于顶点。 直立的三棱锥，底面的水平投直立的三棱锥，底面的水平投影是一

3、个三角形（反映实形），棱影是一个三角形（反映实形），棱面的各投影均为三角形线框，棱线面的各投影均为三角形线框，棱线的投影汇交于同一点。的投影汇交于同一点。2 2、棱台、棱台 棱台的组成棱台的组成 用平行于棱锥底面的平面用平行于棱锥底面的平面将棱锥截断，去掉顶部后所得将棱锥截断，去掉顶部后所得的形体称为棱台。的形体称为棱台。 棱台的三面投影图棱台的三面投影图 水平放置的四棱台，上下水平放置的四棱台，上下底面的水平投影是四边形（反底面的水平投影是四边形（反映实形），棱面的各投影均为映实形），棱面的各投影均为梯形线框。梯形线框。 常见的基本平面立体投影图常见的基本平面立体投影图 工程物体都可视为由基

4、本形体经切割、叠加、组合工程物体都可视为由基本形体经切割、叠加、组合所形成。其投影图是组成他们的简单几何形体投影的集所形成。其投影图是组成他们的简单几何形体投影的集合，合，必须熟练掌握基本形体的投影图特点。必须熟练掌握基本形体的投影图特点。 对于柱体，应主要从反映底面实形的投影来判断其对于柱体，应主要从反映底面实形的投影来判断其形状特征。形状特征。 二、曲面立体二、曲面立体1 1、圆柱、圆柱 圆柱体由圆柱面和两个底面围成，正圆柱的底平面垂直于轴圆柱体由圆柱面和两个底面围成，正圆柱的底平面垂直于轴线。线。2 2、圆锥、圆锥 圆锥体由圆锥面及底平面所围成，正圆椎的底平面垂直于圆锥体由圆锥面及底平面

5、所围成，正圆椎的底平面垂直于圆锥的轴线。圆锥的轴线。4 4、圆球、圆球 由球面所围成的立体称为球体。由球面所围成的立体称为球体。3 3、圆台、圆台 用平行于圆锥底面的平面将圆锥截断，去掉顶部。用平行于圆锥底面的平面将圆锥截断，去掉顶部。常见的基本曲面立体投影图常见的基本曲面立体投影图 工程形体一般都是比较复杂的，当若干个基本形体工程形体一般都是比较复杂的，当若干个基本形体经叠加、切割或交接组合在一起时，这些基本形体表面经叠加、切割或交接组合在一起时，这些基本形体表面还可能产生还可能产生交线交线。 我们除了要熟练掌握基本形体投影图的特点外，还我们除了要熟练掌握基本形体投影图的特点外，还要要掌握这

6、些交线的画法。掌握这些交线的画法。例：两棱柱叠加例：两棱柱叠加形状特形状特征视图征视图交线交线 4.2 4.2 平面与立体相交平面与立体相交 平面与立体相交，可看作是由平面截切立体。该平面称为平面与立体相交，可看作是由平面截切立体。该平面称为截平面截平面，截切以后的立体称为，截切以后的立体称为截切体截切体。 截平面与立体表面的交线称为截平面与立体表面的交线称为截交线截交线。 （1）截交线是立体表面和截平面的共有线，截交线上的点是二）截交线是立体表面和截平面的共有线，截交线上的点是二者共有点者共有点 （2）截交线一般是封闭的平面图形。）截交线一般是封闭的平面图形。截平面截交线截断面截切体平面立体

7、的截交线平面立体的截交线曲面立体的截交线曲面立体的截交线 平面立体的截交线是一个由直线组成的封闭的平面立体的截交线是一个由直线组成的封闭的平面多边形平面多边形，其，其形状取决于平面立体的形状取决于平面立体的形状形状及截平面相对平面立体的及截平面相对平面立体的截切位置截切位置。 多边形多边形的各顶点是平面立体的棱线与截平面的的各顶点是平面立体的棱线与截平面的。多边形。多边形的的每条边是截平面与棱面的每条边是截平面与棱面的。求求截交线的实质是截交线的实质是依据共有性依据共有性求交点和交线求交点和交线截交线的性质：截交线的性质： 共有性：共有性：截交线既属于截平面，又属于立体表面。截交线既属于截平面

8、，又属于立体表面。4.2.1 4.2.1 平面与平面立体相交平面与平面立体相交平面截切立体的画图平面截切立体的画图 求截交线的两种方法：求截交线的两种方法： 求各棱线与截平面的交点求各棱线与截平面的交点。 求各棱面与截平面的交线求各棱面与截平面的交线。 求截交线的步骤：求截交线的步骤： 截平面与立体的相对位置截平面与立体的相对位置 截平面与投影面的相对位置截平面与投影面的相对位置确定截交线确定截交线的投影特性的投影特性确定截交确定截交线的形状线的形状 空间及投影分析空间及投影分析 画出截交线的投影画出截交线的投影 分别求出截平面与棱面的交线分别求出截平面与棱面的交线或交点，并连接成多边形。或交

9、点，并连接成多边形。例例1 1、求如图所示三棱锥被正垂面、求如图所示三棱锥被正垂面P PV V所截切，求作截交线所截切，求作截交线的水平投影和侧面投影。的水平投影和侧面投影。棱线法棱线法sabccabsPvs(1) (1) 求求PvPv与与s sa a、s sb b、s sc c的的交点交点1 1、2 2、3 3为截平面与各棱为截平面与各棱线的交点线的交点、的正面投的正面投影影123(2) (2) 根据线上取点的方法，求根据线上取点的方法，求出出1 1、2 2、3 3和和1 1、2 2 、3 3 11223(3) (3) 连接各点的同面投影即等连接各点的同面投影即等截交线的三个投影截交线的三个

10、投影(4) 4) 补全棱线的投影补全棱线的投影3具体步骤如下：具体步骤如下： 立体棱面的截交线对投影面的相对位置可分为以立体棱面的截交线对投影面的相对位置可分为以下三种情况：下三种情况： （1 1）平面平行于投影面，它与任何位置平面的交线都一定）平面平行于投影面，它与任何位置平面的交线都一定平行于相应的投影面。平行于相应的投影面。 （2 2）两平面同时垂直于某一投影面，其交线也应垂直于该）两平面同时垂直于某一投影面，其交线也应垂直于该投影面。投影面。 （3 3）其它情况下两平面的交线通常是一般位置直线，如正）其它情况下两平面的交线通常是一般位置直线，如正垂面与铅垂面的交线、正垂面与侧垂面、正垂

11、面与一般位置平垂面与铅垂面的交线、正垂面与侧垂面、正垂面与一般位置平面的交线等。面的交线等。PSRQT 截交线对投影面处于特殊位截交线对投影面处于特殊位置可以用棱面法直接求出截交线置可以用棱面法直接求出截交线2 21 12 21 12 23 43 43 34 43 34 4例例2 2 完成立体的三面投影图。完成立体的三面投影图。棱面法棱面法 空间分析空间分析 基本形体是四棱体，然后用一个正基本形体是四棱体，然后用一个正垂面垂面P和一个铅垂面和一个铅垂面Q截切。截切。 投影分析投影分析 正垂面截平面与立体顶面及左侧面正垂面截平面与立体顶面及左侧面的交线是的交线是正垂线正垂线。铅垂面截平面与立体。

12、铅垂面截平面与立体左侧面及前面的交线是左侧面及前面的交线是铅垂线铅垂线。两截平。两截平面的交线面的交线是是一般位置线一般位置线。PSRQT7766557651pq12431243 例例3 3 求作三棱锥被截切后的投影求作三棱锥被截切后的投影虚线虚线方法一：方法一：先用水平面完整截切立体，先用水平面完整截切立体，然后画正垂面截切立体。然后画正垂面截切立体。方法二：方法二：在立体棱面（平面）上取在立体棱面（平面）上取点。点。投影分析：投影分析： 分析三棱锥各棱面的投影。分析三棱锥各棱面的投影。 立体先用一个立体先用一个水平面水平面截切，然后截切，然后用一个用一个正垂面正垂面截切，两截平面的交截切，

13、两截平面的交线是线是正垂线正垂线。3412ababcdcd4.2.2 4.2.2 平面与曲面立体相交平面与曲面立体相交截平面截平面截交线截交线截交线的性质截交线的性质截交线是截平面与回转体表面截交线是截平面与回转体表面的的共有线共有线。截交线上的点是截平。截交线上的点是截平面与回转体表面的面与回转体表面的共有点共有点。截交线的形状取决于回转体表截交线的形状取决于回转体表面的形状及面的形状及截平面与回转体轴线截平面与回转体轴线的相对位置的相对位置。 截交线都是曲线和直线构成的截交线都是曲线和直线构成的封闭的平面图形封闭的平面图形。 空间分析和投影分析空间分析和投影分析 分析回转体的形状以及截平面

14、与回转体轴线的相对位置，以分析回转体的形状以及截平面与回转体轴线的相对位置，以便便确定确定截交线的形状截交线的形状。 分析截平面与投影面的相对位置，明确分析截平面与投影面的相对位置，明确截交线的投影特性截交线的投影特性，如积聚性、类似性等。找出截交线的如积聚性、类似性等。找出截交线的已知投影，预见未知投影。已知投影，预见未知投影。3.3.画出截交线的投影画出截交线的投影 将各点光滑地连接起来，并判断截交线的将各点光滑地连接起来，并判断截交线的可见性可见性。 先找先找特殊点特殊点（转向轮廓线上的点），补充（转向轮廓线上的点），补充中间点中间点。2.2.求截交线上点的方法求截交线上点的方法 直素线

15、法直素线法纬线圆法纬线圆法 表面取点法表面取点法平面与圆柱相交的三种情况平面与圆柱相交的三种情况垂直于轴线垂直于轴线圆圆椭圆椭圆平行于轴线平行于轴线两平行直线两平行直线倾斜于轴线倾斜于轴线P PV VP PP PV VP PP PV VP P例例1 1 如图所示，圆柱被正垂面截切，求出截交线的另外两个如图所示，圆柱被正垂面截切，求出截交线的另外两个投影。投影。平面与圆柱相交平面与圆柱相交具体步骤如下：具体步骤如下：（1 1）先作出截交线上的特殊点）先作出截交线上的特殊点（2 2）再作出适当数量的一般点）再作出适当数量的一般点（3 3）将这些点的投影依次光滑的）将这些点的投影依次光滑的连接起来连

16、接起来1155373(7)1”5”3”7”222”46844”（4 4）补全侧面投影中的转向轮）补全侧面投影中的转向轮廓线。廓线。8”6” 由于平面与圆柱的轴线斜交，由于平面与圆柱的轴线斜交，因此截交线为一因此截交线为一椭圆椭圆。 截交线的正面投影重影为一直截交线的正面投影重影为一直线，水平投影与圆柱面的投影重线，水平投影与圆柱面的投影重影为圆。侧面投影可根据影为圆。侧面投影可根据圆柱表圆柱表面取点面取点的方法求出。的方法求出。例例2 2 求圆柱管侧面投影求圆柱管侧面投影解题步骤：解题步骤：空间及投影分析空间及投影分析截平面截平面P P与圆柱管的轴线平行与圆柱管的轴线平行截交线是四条平行直线截

17、交线是四条平行直线截平面截平面Q Q与圆柱管的轴线垂直与圆柱管的轴线垂直截交线是两段圆弧截交线是两段圆弧截平面截平面P P 、Q Q的交线是正垂线的交线是正垂线qp求截交线求截交线先求截平面与圆柱体外表面的先求截平面与圆柱体外表面的截交线截交线然后求截平面与圆柱管内表面然后求截平面与圆柱管内表面的截交线线的截交线线 分析圆柱体轮廓素线的投影分析圆柱体轮廓素线的投影pq例例2 2 求圆柱管侧面投影求圆柱管侧面投影分分 析：析： 该立体是在圆柱管的该立体是在圆柱管的上部开出一个上部开出一个方槽方槽后形成后形成的的 。构成方槽的平面为垂。构成方槽的平面为垂直于轴线的直于轴线的水平面水平面P和两和两个

18、平行于轴线的个平行于轴线的侧平面侧平面Q 。 平面平面P与圆柱的交线与圆柱的交线为圆弧，平面为圆弧，平面Q与圆柱的与圆柱的交线为直线，平面交线为直线，平面和和Q彼此相交于直线段（彼此相交于直线段（正垂正垂线线）。）。 例例3 3 求圆柱管被挖切后立体的投影求圆柱管被挖切后立体的投影 。 平面与圆柱相交平面与圆柱相交作图步骤如下作图步骤如下：（1 1）先作出完整圆柱体基本形体的三面投影图。）先作出完整圆柱体基本形体的三面投影图。平面与圆柱相交平面与圆柱相交（2 2）然后作出槽口三面投影图。）然后作出槽口三面投影图。（3 3）作出管孔的三面投影图。）作出管孔的三面投影图。例例4 4 求作圆柱切口的

19、三面投影求作圆柱切口的三面投影382 47 915610384 92 75101612345106987圆圆椭圆椭圆三角形三角形双曲线加直线段双曲线加直线段抛物线加直线段抛物线加直线段圆锥的截交线：圆锥的截交线：根据截平面与圆锥轴线的相对位置不同，根据截平面与圆锥轴线的相对位置不同，截交线有五种形状。截交线有五种形状。过锥顶过锥顶两相交直线两相交直线P PV V圆圆P PV V= 90= 90P PV V椭圆椭圆抛物线抛物线P PV V=双曲线双曲线P PV V= 0= 0例例1 1 如图所示，圆锥被正垂面截切，求出截交线的另外两如图所示，圆锥被正垂面截切，求出截交线的另外两个投影。个投影。平

20、面与圆锥相交平面与圆锥相交 此种截交线为一椭圆。由于圆锥此种截交线为一椭圆。由于圆锥前后对称，故椭圆也前后对称。前后对称，故椭圆也前后对称。 椭圆的椭圆的长轴长轴为截平面与圆锥前为截平面与圆锥前后对称面的交线后对称面的交线正平线正平线，椭圆的，椭圆的短轴短轴是垂直与长轴的是垂直与长轴的正垂线正垂线。正平线正平线正垂线正垂线正平线正平线正垂线正垂线平面与圆锥相交平面与圆锥相交具体步骤如下：具体步骤如下：（1 1）先作出截交线上的特殊点。）先作出截交线上的特殊点。12121”2”34345665（2 2）再作一般点。）再作一般点。（3 3）依次光滑连接各点，即得）依次光滑连接各点，即得截交线的水平

21、投影和侧面投影。截交线的水平投影和侧面投影。（4 4）补全侧面转向轮廓线。）补全侧面转向轮廓线。3”4”5”6”78787”8”例例2 2 求圆锥被截切后的正面投影求圆锥被截切后的正面投影. .114545232311554433223 35 51 14 4y2y1y1y22 2例例3 3 完成顶尖的水平投影图完成顶尖的水平投影图。178 2 36456358724113872564 平面与圆球相交，平面与圆球相交，截交线的形状都是圆截交线的形状都是圆，但根，但根据截平面与投影面的相对位置不同，据截平面与投影面的相对位置不同，其其截交线的投截交线的投影可能为圆、椭圆或积聚成一条直线影可能为圆、

22、椭圆或积聚成一条直线。平面与球相交平面与球相交例例1 1：求半球体截切后的水平投影和侧面投影。：求半球体截切后的水平投影和侧面投影。 水平面截圆球的截交线的水平面截圆球的截交线的投影，在平面图上为部分投影，在平面图上为部分圆弧圆弧，在侧面图上积聚为在侧面图上积聚为直线直线。 两个侧平面截圆球的截交线两个侧平面截圆球的截交线的投影，在侧面图上为部分的投影，在侧面图上为部分圆圆弧弧，在平面图上积聚为，在平面图上积聚为直线直线。例例2 2、球被正垂面截切，求截交线的水平投影。、球被正垂面截切，求截交线的水平投影。具体步骤如下：具体步骤如下：（1 1）先求特殊点：长短轴和转向轮廓线上的点。）先求特殊点：长短轴和转向轮廓线上的点。（2 2）