解析几何圆锥曲线测试题及详解

1、高考总复习平面解析几何第卷(选择题共60分)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符号题目要求的。)1(2011·辽宁沈阳二中阶段检测)“a2”是“直线2xay10与直线ax2y20平行”的()A充要条件 B充分不必要条件C必要不充分条件 D既不充分也不必要条件答案B解析两直线平行的充要条件是，即两直线平行的充要条件是a±2.故a2是直线2xay10与直线ax2y20平行的充分不必要条件点评如果适合p的集合是A，适合q的集合是B，若A是B的真子集，则p是q的充分不必要条件，若AB，则p，q互为充要条件，若B是A的真子集，则

2、p是q的必要不充分条件2(2011·福州市期末)若双曲线1的焦点到其渐近线的距离等于实轴长，则该双曲线的离心率为()A. B5C. D2答案A解析焦点F(c,0)到渐近线yx的距离为d2a，两边平方并将b2c2a2代入得c25a2，e>1，e，故选A.3(2011·黄冈期末)已知直线l交椭圆4x25y280于M、N两点，椭圆与y轴的正半轴交于B点，若BMN的重心恰好落在椭圆的右焦点上，则直线l的方程是()A6x5y280 B6x5y280C5x6y280 D5x6y280答案A解析由椭圆方程1知，点B(0,4)，右焦点F(2,0)，F为BMN的重心，直线BF与MN交点

3、D为MN的中点，(3，6)，又B(0,4)，D(3，2)，将D点坐标代入选项检验排除B、C、D，选A.4(2011·江西南昌调研)直线l过抛物线y22px(p>0)的焦点F，且与抛物线交于A、B两点，若线段AB的长是8，AB的中点到y轴的距离是2，则此抛物线方程是()Ay212x By28xCy26x Dy24x答案B解析设AB中点为M，A、M、B在抛物线准线上的射影为A1、M1、B1，则2|MM1|AA1|BB1|AF|BF|AB|8，|MM1|4，又|MM1|2，p4，抛物线方程为y28x.5(2011·福州市期末)定义：平面内横坐标为整数的点称为“左整点”过函数

4、y图象上任意两个“左整点”作直线，则倾斜角大于45°的直线条数为()A10 B11C12 D13答案B解析依据“左整点”的定义知，函数y的图象上共有七个左整点，如图过两个左整点作直线，倾斜角大于45°的直线有：AC，AB，BG，CF，CG，DE，DF，DG，EF，EG，FG共11条，故选B.6(文)(2011·巢湖质检)设双曲线1的一个焦点为(0，2)，则双曲线的离心率为()A. B2C. D2答案A解析由条件知m24，m2，离心率e.(理)(2011·山东潍坊一中期末)已知抛物线y22px(p>0)与双曲线1有相同的焦点F，点A是两曲线的交点，且

5、AFx轴，则双曲线的离心率为()A. B.1C.1 D.答案C解析由AFx轴知点A坐标为，代入双曲线方程中得，1，双曲线与抛物线焦点相同，c，即p2c，又b2c2a2，1，由e代入整数得，e46e210，e>1，e232，e1.7(2011·烟台调研)与椭圆y21共焦点且过点P(2,1)的双曲线方程是()A.y21 B.y21C.1 Dx21答案B解析椭圆的焦点F1(，0)，F2(，0)，由双曲线定义知2a|PF1|PF2|2，a，b2c2a21，双曲线方程为y21.8(文)(2011·辽宁沈阳二中检测)椭圆y21的焦点为F1，F2，点M在椭圆上，·0，则M

6、到y轴的距离为()A. B.C. D.答案B分析条件·0，说明点M在以线段F1F2为直径的圆上，点M又在椭圆上，通过方程组可求得点M的坐标，即可求出点M到y轴的距离解析椭圆的焦点坐标是(±，0)，点M在以线段F1F2为直径的圆上，该圆的方程是x2y23，即y23x2，代入椭圆得3x21，解得x2，即|x|，此即点M到y轴的距离点评满足·0(其中A，B是平面上两个不同的定点)的动点M的轨迹是以线段AB为直径的圆(理)(2011·山东实验中学期末)已知双曲线的两个焦点为F1(，0)，F2(，0)，M是此双曲线上的一点，且·0，|·|2，则

7、该双曲线的方程是()A.y21 Bx21C.1 D.1答案A解析由条件知，|2|2|2(2)240，(|)2|2|22|·|402|·|36，|MF1|MF2|62a，a3，又c，b2c2a21，双曲线方程为y21.9(2011·宁波市期末)设双曲线C：1(a>0，b>0)的右焦点为F，O为坐标原点若以F为圆心，FO为半径的圆与双曲线C的一条渐近线交于点A(不同于O点)，则OAF的面积为()Aab BbcCac D.答案A解析由条件知，|FA|FO|c，即OAF为等腰三角形，F(c,0)到渐近线yx的距离为b，OA2a，SOAF×2a

8、5;bab.10(2011·北京朝阳区期末)已知圆的方程为x2y22x6y80，那么下列直线中经过圆心的直线方程为()A2xy10 B2xy10C2xy10 D2xy10答案B解析将圆心(1，3)坐标代入直线方程检验知选B.11(文)(2011·江西南昌调研)设圆C的圆心在双曲线1(a>0)的右焦点上，且与此双曲线的渐近线相切，若圆C被直线l：xy0截得的弦长等于2，则a()A. B.C. D2答案C解析由条件知，圆心C(，0)，C到渐近线yx的距离为d为C的半径，又截得弦长为2，圆心C到直线l：xy0的距离1，a22，a>0，a.(理)(2011·辽

9、宁沈阳二中阶段检测)直线ykx3与圆(x3)2(y2)24相交于M，N两点，若|MN|2，则k的取值范围是()A. B.0，)C. D.答案A解析由条件知，圆心(3,2)到直线ykx3的距离不大于1，1，解之得k0.12(2011·辽宁沈阳二中检测)已知曲线C：y2x2，点A(0，2)及点B(3，a)，从点A观察点B，要使视线不被曲线C挡住，则实数a的取值范围是()A(4，) B(，4C(10，) D(，10答案D解析过点A(0，2)作曲线C：y2x2的切线，设方程为ykx2，代入y2x2得，2x2kx20，令k2160得k±4，当k4时，切线为l，B点在直线x3上运动，直

10、线y4x2与x3的交点为M(3,10)，当点B(3，a)满足a10时，视线不被曲线C挡住，故选D.第卷(非选择题共90分)二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分，把正确答案填在题中横线上)13(2011·广东高州市长坡中学期末)若方程1表示焦点在x轴上的椭圆，则k的取值范围是_答案(6，1)解析由题意知，4k>6k>0，6<k<1.14(文)(2011·浙江宁波八校联考)已知F1、F2是双曲线的两焦点，以线段F1F2为边作正三角形，MF1的中点A在双曲线上，则双曲线的离心率是_答案1解析由条件知，|F1F2|2c，|AF1|c，|AF2|

11、c，由双曲线定义知，|AF2|AF1|2a，cc2a，e1.(理)(2011·重庆南开中学期末)设双曲线x21的左右焦点分别为F1、F2，P是直线x4上的动点，若F1PF2，则的最大值为_答案30°解析F1(2,0)、F2(2,0)，不妨设P(4，y)，y>0，过P作PMx轴，垂足为M，设F1PM，F2PM，则，tantan()，30°.15(文)(2011·黑龙江哈六中期末)设抛物线y28x的焦点为F，过点F作直线交抛物线于A、B两点，若线段AB的中点E到y轴的距离为3，则AB的长为_答案10解析2p8，2，E到抛物线准线的距离为5，|AB|AF

12、|BF|2×510.(理)(2011·辽宁大连联考)已知抛物线“y24x的焦点为F，准线与x轴的交点为M，N为抛物线上的一点，且满足|NF|MN|”，则NMF_.答案解析设N在准线上射影为A，由抛物线的定义与条件知，|NA|NF|MN|，AMN，从而NMF.16(文)(2011·湖南长沙一中月考)直线l：xy0与椭圆y21相交A、B两点，点C是椭圆上的动点，则ABC面积的最大值为_答案解析设与l平行的直线方程为xya0，当此直线与椭圆的切点为C时，ABC的面积最大，将yxa代入y20中整理得，3x24ax2(a21)0，由16a224(a21)0得，a±

13、，两平行直线xy0与xy0的距离d，将yx代入y21中得，x1，x2，|AB|()|，SABC|AB|·d××.(理)(2011·湖北荆门调研)已知P为椭圆C：1上的任意一点，F为椭圆C的右焦点，M的坐标为(1,3)，则|PM|PF|的最小值为_答案5解析如图，连结F1M，设直线F1M与C交于P，P是C上任一点，则有|PF1|PF|PF1|PF|，即|PM|MF1|PF|PF1|PF|，|PF1|PM|MF1|，|PM|PF|PM|PF|，故P点是使|PM|PF|取最小值的点，又M(1,3)，F1(3,0)，|MF1|5，|PM|PF|PF1|PF|MF

14、1|2×555.三、解答题(本大题共6个小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17(本小题满分12分)(2011·山东潍坊一中期末)已知椭圆1(a>b>0)的两个焦点为F1，F2，椭圆上一点M满足·0.(1)求椭圆的方程；(2)若直线L：ykx与椭圆恒有不同交点A、B，且·>1(O为坐标原点)，求k的取值范围解析(1)设F1(c,0)，F2(c,0)，·0，c2220，c23，a2b23又点M在椭圆上，1代入得1，整理得，a46a280，a22或a24，a2>3，a24，b21，椭圆方程为y21.(2)

15、由，消去y解得x22kx10，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则·x1x2y1y2x1x2(kx1)(kx2)(1k2)x1x2k(x1x2)2>1，k2<，又由k2>0得k2>，<k2<，k.18(本小题满分12分)(2010·湖北文)已知一条曲线C在y轴右边，C上每一点到点F(1,0)的距离减去它到y轴距离的差都是1.(1)求曲线C的方程；(2)是否存在正数m，对于过点M(m,0)且与曲线C有两个交点A，B的任一直线，都有·<0？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由解析(1)设P(x，y)是曲线C上任意

16、一点，那么点P(x，y)满足：x1(x>0)化简得y24x(x>0)(2)设过点M(m,0)(m>0)的直线l与曲线C的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)设l的方程为xtym，由得y24ty4m0，此时16(t2m)>0.于是又(x11，y1)，(x21，y2)·<0(x11)(x21)y1y2x1·x2(x1x2)1y1y2<0又x，于是不等式等价于·y1y2()1<0y1y2(y1y2)22y1y21<0由式，不等式等价于m26m1<4t2对任意实数t,4t2的最小值为0，所以不等式对于一切t成立等价

17、于m26m1<0，即32<m<32由此可知，存在正数m，对于过点M(m,0)且与曲线C有两个交点A，B的任意一直线，都有·<0，且m的取值范围是(32，32)19(本小题满分12分)(2011·巢湖市质检)设椭圆C：1(a>b>0)的离心率为，过原点O斜率为1的直线与椭圆C相交于M，N两点，椭圆右焦点F到直线l的距离为.(1)求椭圆C的方程；(2)设P是椭圆上异于M，N外的一点，当直线PM，PN的斜率存在且不为零时，记直线PM的斜率为k1，直线PN的斜率为k2，试探究k1·k2是否为定值？若是，求出定值；若不是，说明理由解析(1

18、)设椭圆的焦距为2c(c>0)，焦点F(c,0)，直线l：xy0，F到l的距离为，解得c2，又e，a2，b2.椭圆C的方程为1.(2)由解得xy，或xy，不妨设M，N，P(x，y)，kPM·kPN·，由1，即x282y2，代入化简得k1·k2kPM·kPN为定值20(本小题满分12分)(2011·厦门期末质检)已知抛物线C：y24x，直线l：yxb与C交于A、B两点，O为坐标原点(1)当直线l过抛物线C的焦点F时，求|AB|；(2)是否存在直线l使得直线OA、OB倾斜角之和为135°，若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理

19、由解析(1)抛物线C：y24x的焦点为F(1,0)，代入直线yxb可得b，l：yx，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立，消去y得x218x10，x1x218，x1x21，(方法一)|AB|·|x1x2|·20.(方法二)|AB|x1x2p18220.(2)假设存在满足要求的直线l：yxb，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立，消去x得y28y8b0，y1y28，y1y28b，设直线OA、OB的倾斜角分别为、，斜率分别为k1、k2，则135°，tan()tan135°1，其中k1，k2，代入上式整理得y1y2164(y1y2)0，8b1632

20、0，即b2，代入6432b128>0，满足要求综上，存在直线l：yx2使得直线OA、OB的倾斜角之和为135°.21(本小题满分12分)(2011·黑龙江哈六中期末)已知菱形ABCD的顶点A，C在椭圆x23y24上，对角线BD所在直线的斜率为1.(1)当直线BD过点(0,1)时，求直线AC的方程；(2)当ABC60°时，求菱形ABCD面积的最大值解析(1)由题意得直线BD的方程为yx1.因为四边形ABCD为菱形，所以ACBD.于是可设直线AC的方程为yxn.由得4x26nx3n240.因为A，C在椭圆上，所以12n264>0，解得<n<.设

21、A，C两点坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则x1x2，x1x2，y1x1n，y2x2n.所以y1y2，所以AC的中点坐标为.由四边形ABCD为菱形可知，点在直线yx1上，所以1，解得n2.所以直线AC的方程为yx2，即xy20.(2)因为四边形ABCD为菱形，且ABC60°，所以|AB|BC|CA|.所以菱形ABCD的面积S|AC|2.由(1)可得|AC|2(x1x2)2(y1y2)2，所以S(3n216).所以当n0时，菱形ABCD的面积取得最大值4.22(本小题满分12分)(文)(2011·温州八校期末)如图，在由圆O：x2y21和椭圆C：y21(a>1)构成的“眼形”结构中，已知椭圆的离心率为，直线l与圆O相切于点M，与椭圆C相交于两点A，B.(1)求椭圆C的方程；(2)是否存在直线l，使得·2，若存在，求此时直线l的方程；若不存在，请说明理由解析(1)e，c2a21，解得：a23，所以所求椭