非线性振动与混沌简介

1、1非线性振动系统及混沌的基本概念非线性振动系统及混沌的基本概念 概述：混沌的发现概述：混沌的发现 19611961年冬的一天，美国麻省理工学院的气象学家爱德年冬的一天，美国麻省理工学院的气象学家爱德华华洛仑兹在计算机上模拟天气情况，他的真空管计洛仑兹在计算机上模拟天气情况，他的真空管计算机速度约每秒做算机速度约每秒做6 6次乘法。次乘法。经简化后的洛仑兹气象模型为经简化后的洛仑兹气象模型为()()xyxyrz xyzxybz蝴蝶效应蝴蝶效应非线性系统的运动现象非线性系统的运动现象2为省时间，洛仑兹将上次记录的中间数据作为初值输为省时间，洛仑兹将上次记录的中间数据作为初值输入重新计算，指望重复出

2、现上次计算的后半段结果，入重新计算，指望重复出现上次计算的后半段结果，然后再接下去往前算。然而经过一段重复后，计算机然后再接下去往前算。然而经过一段重复后，计算机却偏离了上次的结果。却偏离了上次的结果。他第二次输入时去掉了小数点后面三位：他第二次输入时去掉了小数点后面三位：0.5061270.506混沌的初值敏感性混沌的初值敏感性3蝴蝶效应蝴蝶效应洛仑兹吸引子（奇怪吸引子）洛仑兹吸引子（奇怪吸引子）4非线性振动系统及混沌的基本概念非线性振动系统及混沌的基本概念 一、任意摆角情况下单摆的运动一、任意摆角情况下单摆的运动 lmONA线性系统（数学定义）：线性系统（数学定义）：若若则则( )f x满

3、足满足是线性的；是线性的；( )g x为非线性，则为非线性，则自由单摆的运动方程：自由单摆的运动方程：22sindgdtl 线性近似：线性近似：当当 很小，很小，22dgdtl (sin )1212()( )()g xxg xg x( )f x1212()( )()f xxf xf x若若按级数展开，取第一项而得按级数展开，取第一项而得.5若若 为为任意值，任意值，故自由单摆为非线性振动系统：故自由单摆为非线性振动系统：1212sin()sinsinlmONA22sindgdtl ddt令令，以及，以及，000,t 2220022cos1 cos2gl 则则上式变为上式变为而而(sin )6方

4、程解的非唯一性方程解的非唯一性1. 设初始条件为设初始条件为2220022cos1 cos2gl 0= ， 0= 0，2cos2gl 运动分析：运动分析：在最高点在最高点 = ， = 0，0ddtlmONA系统非稳定平衡点。可能出现三种运动情况：系统非稳定平衡点。可能出现三种运动情况：a. 停留在该顶点，尔后径直下落；停留在该顶点，尔后径直下落； b. 调头沿原路返回；调头沿原路返回；c. 越过该顶点继续向前运动。越过该顶点继续向前运动。 则其解为则其解为7，则解为，则解为类似地，当令类似地，当令 0=0，204gl0cos2 最高点最高点( = )，非稳平衡，非稳平衡，运动非唯一性。运动非唯

5、一性。 对于一般单摆的运动方程对于一般单摆的运动方程（受周期性驱动力作（受周期性驱动力作 用的阻尼单摆）用的阻尼单摆） ：22sincosddmllmgFtdtdt一个复杂的非线性系统。其解更为复杂。一个复杂的非线性系统。其解更为复杂。 结论：结论：对于一个非线性系统，在确定的初始条件对于一个非线性系统，在确定的初始条件 下，其解可能具有不可预测的随机性。下，其解可能具有不可预测的随机性。8二、确定性系统中的内在随机性二、确定性系统中的内在随机性 在一个确定性的系统中，由于其本身的非线性在一个确定性的系统中，由于其本身的非线性性质所产生的运动随机性称为确定性系统的性质所产生的运动随机性称为确定

6、性系统的内在内在随机性随机性。 例如，上述非线性单摆的运动。例如，上述非线性单摆的运动。支配整个系统运动的因素是严格确定的（具有确支配整个系统运动的因素是严格确定的（具有确定的运动方程），系统完全不存在随机力的作用。定的运动方程），系统完全不存在随机力的作用。然而经过时间的演化，在这种确定性系统中出现然而经过时间的演化，在这种确定性系统中出现了随机行为，产生出完全不可预测的、极为复杂的了随机行为，产生出完全不可预测的、极为复杂的结果来，最后得到一条完全随机的运动轨道。结果来，最后得到一条完全随机的运动轨道。 9三、混沌的基本概念三、混沌的基本概念 1. 混沌定义混沌定义（物理学上）：（物理学上

7、）：在确定性系统中所表现出在确定性系统中所表现出来的内在随机行为。是一个决定论的系统中所存在的来的内在随机行为。是一个决定论的系统中所存在的运动的不可预测性。运动的不可预测性。 2. 相图相图描述系统运动的各状态参量之间的关系图。描述系统运动的各状态参量之间的关系图。O例：例：自由单摆（简谐振动）自由单摆（简谐振动）2220ddt cos ,sinAtAt简谐振动是周期运动，每隔一定的时间运动又复原，简谐振动是周期运动，每隔一定的时间运动又复原，所以相轨线所以相轨线 为一闭合曲线。为一闭合曲线。 ()103. 自治系统与非自治系统自治系统与非自治系统 不显含时间不显含时间 t 的动力学方程称为

8、自治系统，而显含的动力学方程称为自治系统，而显含时间时间 t 的动力学方程称为非自治系统。的动力学方程称为非自治系统。 2 由线性单摆由线性单摆方程可得方程可得不显含不显含 t ，在二维相，在二维相空间中为自治系统。空间中为自治系统。由受阻力由受阻力和周期策动和周期策动力作用的非力作用的非线性单摆方线性单摆方程可得程可得（角谐振动）（角谐振动）sincosgFtmlml 显含显含 t ，在二维相空间中为非自治系统。，在二维相空间中为非自治系统。11自治系统的相空间与相轨线自治系统的相空间与相轨线引入新变量引入新变量 = t ，可将方程化为三维相空间中的，可将方程化为三维相空间中的自治系统：自治

9、系统：sincosgFmlml 一个自治系统在其相空间上的相轨线不会相交，一个自治系统在其相空间上的相轨线不会相交，即通过每一相点的轨线是唯一的。即通过每一相点的轨线是唯一的。 而非自治系统中相轨线则会相交。如上述系统在二而非自治系统中相轨线则会相交。如上述系统在二维维 相平面上相轨线有相交情况。相平面上相轨线有相交情况。()O124. 彭加勒截面图彭加勒截面图 2n相轨线环形相空间相轨线2n2(1)n2三维相空间若沿若沿 方向截取一系列截面，则根据该自治系统的方向截取一系列截面，则根据该自治系统的性质，每个截面上只有一个交点，即相轨线一次性质，每个截面上只有一个交点，即相轨线一次性的穿过每一

10、个截面。性的穿过每一个截面。 因因，若以，若以2 为周长，将为周长，将相空间弯成相空间弯成一圆环，则在该环形相空间上所取的任一固定截面一圆环，则在该环形相空间上所取的任一固定截面称为称为彭加勒截面彭加勒截面。2tn 132n相轨线环形相空间相轨线2n2(1)n2三维相空间相轨线在彭加勒截面上的交点的集合就称为相轨线在彭加勒截面上的交点的集合就称为 彭加勒截面图彭加勒截面图。通过分析相轨线在彭加勒截面上的交点的分布通过分析相轨线在彭加勒截面上的交点的分布 规律，就可了解到在长时间周期性的演变过程规律，就可了解到在长时间周期性的演变过程 中系统的运动规律。中系统的运动规律。14讨论：讨论：单周期振

11、动，每隔单周期振动，每隔2 运动状态复原，运动状态复原，即相轨线每次都从同一点穿过彭加勒截即相轨线每次都从同一点穿过彭加勒截面，面，在彭加勒截面图上只有一个不动在彭加勒截面图上只有一个不动点；点；运动无周期性，则彭加勒截面图上有无穷多个点。运动无周期性，则彭加勒截面图上有无穷多个点。 倍周期的运动，彭加勒截面图上有倍周期的运动，彭加勒截面图上有两个不动点；两个不动点； 。15四、单摆与混沌四、单摆与混沌 单摆方程单摆方程31sin6xxx22sincosd xdxmllmgxFtdtdt 按泰勒级数按泰勒级数 232cosd xdxxxftdtdt适当代换，得到非线性振动方程适当代换，得到非线

12、性振动方程（杜芬方程）（杜芬方程） 取前两项近似，取前两项近似， 运动的演变运动的演变 讨论讨论 1. 线性近似下的单摆运动线性近似下的单摆运动 16三种情况：三种情况： a. f= = = 0；b. f = =0；c. =0，相，相应得出简谐振动、阻尼和受迫振动方程。应得出简谐振动、阻尼和受迫振动方程。 令令 =0，退化为线性方程，退化为线性方程22cosd xdxxftdtdt阻尼振动的相轨线：从外向内收缩的螺旋线，最阻尼振动的相轨线：从外向内收缩的螺旋线，最终停止于中点终停止于中点-不动点吸引子不动点吸引子- 。受迫振动：经过暂受迫振动：经过暂态之后趋于一稳定的态之后趋于一稳定的闭合圈闭

13、合圈-周期吸引子周期吸引子或或极限环极限环。 简谐振动的相轨线：闭合圈简谐振动的相轨线：闭合圈-周期环周期环-。17方程代表复杂的非线性振动系统。方程代表复杂的非线性振动系统。 2. 非线性近似下的单摆运动非线性近似下的单摆运动 混沌混沌 232cosd xdxxxftdtdt为简化问题，在四个参数中只改变为简化问题，在四个参数中只改变 f 的值。的值。 数值模拟发现，随着数值模拟发现，随着 f 的逐渐增大，该振动系统产的逐渐增大，该振动系统产生了由简单的周期运动到出现倍周期分岔，再进生了由简单的周期运动到出现倍周期分岔，再进入混沌的演化过程。入混沌的演化过程。从周期运动到倍周期分岔从周期运动

14、到倍周期分岔 当当 f = 0.8，系统的运动仍是，系统的运动仍是一个简单的周期运动。一个简单的周期运动。 18当当 f =0.89，其结果为一个二倍周期的运动，即出，其结果为一个二倍周期的运动，即出现了现了倍周期分岔倍周期分岔。 说明：说明：图中看上去的每一条曲图中看上去的每一条曲线实际上是完全重合的两条曲线实际上是完全重合的两条曲线，它们的初始值略有差异：线，它们的初始值略有差异：a. x0=1， 0=0；b. x0=1.001， 0=0.001.结论：结论：初始条件的微小差别对周期性运动不产生影响，初始条件的微小差别对周期性运动不产生影响，或者说或者说周期运动对初值不敏感周期运动对初值不

15、敏感。混沌运动混沌运动 继续增大继续增大 f，当，当 =1.3，随机性运动取代了周期性运动，随机性运动取代了周期性运动，表明系统已进入混沌状态。表明系统已进入混沌状态。 19注意：注意：图图(a)中的两条运动曲线的初值分别为中的两条运动曲线的初值分别为x0=1， 0= 0和和 x0=1.00001， 0=0.00001。误差仅在小数点。误差仅在小数点后面第五位上，而给运动带来的差别正可谓后面第五位上，而给运动带来的差别正可谓“差差之毫厘，失之千里之毫厘，失之千里”。处于混沌状态时，系统的行为对于初值十分敏感，处于混沌状态时，系统的行为对于初值十分敏感，称这一特性为称这一特性为混沌的初值敏感性混

16、沌的初值敏感性。相图相图(b)反映出反映出混混沌运动的随机性沌运动的随机性。即相轨道即相轨道(运动状态运动状态)完全不可预测。完全不可预测。运动的随机性运动的随机性-蝴蝶效应蝴蝶效应-xxxxvvvt(a)(b)(c)(d)20混沌的内在规律性混沌的内在规律性-混沌吸引子混沌吸引子 图图(a)中两条曲线的运动完全各异，但它们的彭加勒中两条曲线的运动完全各异，但它们的彭加勒截面图截面图(c)和和(d)却又是完全相同的。把混沌的相轨却又是完全相同的。把混沌的相轨线在彭加勒截面上的这种点集称为线在彭加勒截面上的这种点集称为混沌吸引子混沌吸引子。 混沌吸引子是非混沌吸引子是非线性耗散系统混沌线性耗散系

17、统混沌的特征，表明耗散的特征，表明耗散系统演化的归宿。系统演化的归宿。代表混沌行为的代表混沌行为的全局特征。全局特征。混沌吸引子体现出混沌运动的内存规律性。混沌吸引子体现出混沌运动的内存规律性。xxxxvvvt(a)(b)(c)(d)21结论结论然而混沌的全局特征然而混沌的全局特征混沌吸引子却具有不依混沌吸引子却具有不依赖于初值的、确定的规则。赖于初值的、确定的规则。貌似随机的混沌运动，其长期的演化行为遵从确貌似随机的混沌运动，其长期的演化行为遵从确定的规律定的规律-混沌运动的内在规律性混沌运动的内在规律性。这是混沌运动区别于真实随机运动的重要标志。这是混沌运动区别于真实随机运动的重要标志。初

18、值悬殊的初值悬殊的三个吸引子三个吸引子xxxvvvxt混沌行为具有混沌行为具有极为敏感的初值极为敏感的初值依赖性；依赖性；22如继续增大如继续增大 f ，当当 f =1.53，则出现一个三倍周期的，则出现一个三倍周期的运动运动-周期三窗口。周期三窗口。当当 f =1.75时，系统又再次进入混沌状态。时，系统又再次进入混沌状态。周期窗口周期窗口在混沌状态中又复现的周期性运动，称为混沌区在混沌状态中又复现的周期性运动，称为混沌区中的中的周期窗口周期窗口。23五、混沌的演化，内部结构和普适性五、混沌的演化，内部结构和普适性 利用最简单的非线性方程作进一步分析：利用最简单的非线性方程作进一步分析：21

19、yx -抛物线方程抛物线方程 1,nnyxxx，得抛物线形迭代方程，得抛物线形迭代方程 令令2110,2, 1,1nnnxxx 在整个区间取值迭代便在整个区间取值迭代便得出由周期运动到倍周得出由周期运动到倍周期分岔，再进入混沌状期分岔，再进入混沌状态的整个演化过程。态的整个演化过程。 nx1. 混沌的演化（通向混沌的道路）混沌的演化（通向混沌的道路）24倍周期分岔序列：倍周期分岔序列：12482n .当当n，则解的数目，则解的数目，意味着系统已进入混，意味着系统已进入混沌状态。将混沌开始时对应的沌状态。将混沌开始时对应的 记为记为 ( =1.40115518909205 )。nx2. 混沌区的

20、结构混沌区的结构 a. 窗口窗口 在混沌区中重又出现在混沌区中重又出现的周期性运动。的周期性运动。窗口中包含着与整体窗口中包含着与整体完全相似的结构。完全相似的结构。周期三窗口周期三窗口通向混沌的其它道路通向混沌的其它道路准周期道路：平衡态准周期道路：平衡态周期周期准周期准周期混沌混沌.阵发混沌道路阵发混沌道路251框内部分放大得下页图框内部分放大得下页图26框内再放大得下页图框内再放大得下页图227328123混沌内部的自相似结构混沌内部的自相似结构29看似混乱的混沌体系中，包含着丰富有序的内部结看似混乱的混沌体系中，包含着丰富有序的内部结构。构。任何局部的小区域都包含着整体的信息，具有与任

21、何局部的小区域都包含着整体的信息，具有与整体完全相似的规律。整体完全相似的规律。 在混沌内部所包含的这种在不同尺度上的相似结在混沌内部所包含的这种在不同尺度上的相似结构称为构称为自相似性自相似性。从拓扑空间上来讲，自相似结构的维数往往不是从拓扑空间上来讲，自相似结构的维数往往不是整数维，而是分数维的，也就是具有整数维，而是分数维的，也就是具有分形分形的性质。的性质。 b. 自相似结构自相似结构混沌带的合并混沌带的合并 -从逆着混沌演化的方向，可找到混沌从逆着混沌演化的方向，可找到混沌带合并的规律：带合并的规律：0n 2168421 30c. 普适性普适性 若将第若将第n倍周期分岔（或混沌带合并

22、）时对应的参倍周期分岔（或混沌带合并）时对应的参数数 记为记为 n，则相继两次分岔（或合并）的间隔之，则相继两次分岔（或合并）的间隔之比趋于同一个常数：比趋于同一个常数：11lim4.66920160910299067nnnnn注意：注意：常数常数 并不只并不只限于单摆公式，而是对所有同限于单摆公式，而是对所有同一类的变换，所得的一类的变换，所得的 值都精确地相同。值都精确地相同。 的数值只与系统的某种非线性性质有关，而与的数值只与系统的某种非线性性质有关，而与各个系统的其他具体细节无关。各个系统的其他具体细节无关。反映出混沌演化过程中所存在的一种反映出混沌演化过程中所存在的一种普适性普适性.

23、是混沌内在规律性的另一个侧面反映。是混沌内在规律性的另一个侧面反映。 费根鲍姆常数费根鲍姆常数31在倍周期分岔序列图中，同次周期分岔中上下的各在倍周期分岔序列图中，同次周期分岔中上下的各对周期点之间的距离之比，以及第相邻两次周期分对周期点之间的距离之比，以及第相邻两次周期分岔中的各对周期点之间的距离之比又趋于另一个常岔中的各对周期点之间的距离之比又趋于另一个常数数 ，称为，称为标度因子标度因子或或普适常数普适常数: = 2.5029078750958928标度因子标度因子 nx123混沌区123a2a1a例如，图中例如，图中1lim= =2.5029078750958928nnnaa注意：当不满足注意：当不满足n ，则比值只是近似的